专题07 与三角形有关的角（压轴题专项训练）数学沪科版2024八年级上册

专题07 与三角形有关的角 目录 1 类型一、利用三角形内角和求角 1 类型二、利用直角三角形两锐角互余求角 7 类型三、三角形内角和与平行线、角平分线的综合运用 11 类型四、三角形内角和与三角板的综合运用 19 类型五、由三角形内角和定理探究角度之间的关系 32 类型六、由三角形的外角性质求角度 35 类型七、三角形的外角性质与平行线、角平分线的综合运用 38 类型八、由三角形的外角性质确定角度之间的关系 40 类型九、与三角形的外角性质有关的规律探究 45 类型十、三角形内角与外角综合问题 48 类型十一、不压边（向内翻折） 57 类型十二、压一边（向外翻折） 60 66 类型一、利用三角形内角和求角 1）无论三角形的形状、大小如何改变，三角形三个内角的和仍等于180°； 2）根据三角形的内角和定理可知，三角形中任意一个内角都小于180°，其内角可能都是锐角，也可能有一个直角或一个钝角. 3）判定三角形的形状一般只需求出三角形中各角的大小，由三角形的最大角就可以判定三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，在求角的过程中，可根据三角形内角和定理结合角与角之间的关系达到求角的目的. 1．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”，例如，三个内角分别为，，的三角形是“三倍角三角形”． (1)中，，，是“三倍角三角形”吗？为什么？ (2)若是“三倍角三角形”，且，求中最小内角的度数． 【答案】(1)是，见解析 (2)或 【分析】本题考查新定义问题，涉及三角形内角和定理，读懂题意，理解“三倍角三角形”是解决问题的关键． （1）根据定义，结合三角形内角和定理求解即可得到答案； （2）根据题意，由定义，结合三角形内角和定理分三种情况求解即可得到答案． 【详解】（1）解： 是“三倍角三角形”，理由如下： ∵，， ∴， ∴是“三倍角三角形”． （2）∵， ∴， 设最小的角为， ①当时，，满足题意； ②最小角为时，另外两个角为，，满足题意； ③当时，，，（不合题意，舍去） 答②：中最小内角的度数为或． 2．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，和是的两条高线且相交于点O． (1)已知，求的度数； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质，三角形的高的定义． （1）利用三角形内角和定理求出，即可求解； （2）利用等面积法得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵和是的两条高线， ∴． ∴． ∴． ∴． （2）解：由三角形的面积公式，得． ∵，， ∴． ∴． 3．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，四边形的内角的角平分线交于点E，的角平分线交于点F． (1)若，则______；_____； (2)探索与有怎样的数量关系，并说明理由 【答案】(1)220，110 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，利用数形结合，理清角度之间的关系是解题的关键． （1）先根据三角形内角和定理求出，再由角平分线定义得出，，可得；由四边形的内角和为，得出．由角平分线定义与三角形内角和定理可得答案； （2）由四边形的内角和为，由角平分线定义得出，结合三角形内角和定理有，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵、的角平分线交于点F， ∴，， ∴； ∵四边形的内角和为， ∴． ∵四边形的内角、的角平分线交于点E， ∴，， ∴， ∴； （2）．理由如下： ∵， ∵四边形的内角、的角平分线交于点E，、的角平分线交于点F， ∴， ∵，， ∴， ∴． 4．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）沪科版（数学）（八年级上册）第页第题求五角星形五个角的度数和（如图1）．我们求得 ．爱动脑筋的小聪借助几何画板将图1进行调整，得到图2、图3、图4三个图形，请你帮助小聪解决下列问题： (1)根据图2，直接写出，，，，满足的关系式___________； (2)如图3，点在上，求证：； (3)如图4，点在上方，请问（2）中的结论是否还成立，如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你的结论，并进行证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)成立，见解析 【分析】本题考查三角形的内角和的知识，解题的关键是掌握三角形的内角和为，平角的性质，平行线的性质，进行解答，即可． （1）连接，设，交于点，根据三角形的内角和，则，得到，根据，等量代换，即可； （2）根据三角形的内角和，则，，可得，根据，等量代换，即可； （3）如图，过点作交于点，交于点，根据平行线的性质，则，，根据三角形的内角和，则，，得到，根据平角的性质，则，等量代换，即可． 【详解】（1）解：如图，连接，设，交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：证明：如图， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：成立，理由如下： 如图，过点作交于点，交于点， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 类型二、利用直角三角形两锐角互余求角 5．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）直角三角形中，，是斜边上的高，，请求出图中所有锐角的值，并找出其中所有相等的锐角。 【答案】 ；相等的锐角有： 【分析】本题主要考查直角三角形两锐角互余，直接根据直角三角形两锐角互余进行解答即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴； 在中，∵，即， ∴， ∵， ∴； 在中，∵，即， ∴， ∵， ∴； ∴相等的锐角有： ． 6．（23-24八年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，，平分，于点F，和相交于点O．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，一元一次方程应用，角平分线定义，解题关键是根据三角形内角和定理求出，，． 【详解】解：设，则，，根据题意得： ， 解得：， ∴，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，是上一点，且．    (1)求证：； 证明：在中，∵（已知），∴（____________________）． 又∵（已知），∴（____________________）． 在中，（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质），∴（垂直的定义）． (2)如图②，若的平分线分别交，于点，，求证：； (3)如图③，若为上一点，交于点，，，，连接，求的面积． 【答案】(1)直角三角形两锐角互余；等量代换 (2)证明见解析 (3)9 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余以及三角形内角和定理填空即可； （2）利用等角的余角相等求出，然后根据对顶角相等可得，等量代换即可证明； （3）利用等高的两个三角形面积的比等于底的比，求得，，可得，连接，设，利用上述的结论和方法，列出方程，即可求解． 【详解】（1）证明：在中， ∵（已知）， ∴（直角三角形两锐角互余）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）． 在中，（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质）， ∴（垂直的定义）． 故答案为：直角三角形两锐角互余；等量代换； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 连接，    设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，三角形内角和定理，等高的两个三角形面积的比等于底的比，灵活运用“等高的两个三角形面积的比等于底的比”是解题的关键． 8．（19-20八年级上·河南三门峡·期中）如图，在中，，为上一点，过点作垂线，交于，交的延长线于． (1)与有什么关系？并请说明理由． (2)若，请你探索与的数量关系，并请说明理由． 【答案】(1)与相等，理由见解析 (2)与相等，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． （1）， 又由于， 继而可得出； （2）通过判定， 可得出． 【详解】（1）解： 与相等， 理由： ∵在中， ， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）若， 与相等， 理由： ∵在中， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 类型三、三角形内角和与平行线、角平分线的综合运用 9．（24-25八年级上·贵州黔东南·阶段练习）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等． (1)如图，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射，若被反射出的光线与光线平行，且，则_______，_____；若，则______； (2)请由（1）猜想：当两平面镜a，b的夹角 时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a，b的两次反射后，反射光线n与入射光线m平行．请写出推理过程． 【答案】(1)，， (2)，见解析． 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理等知识点，掌握相关结论是解题关键. （1）由题意得，根据、即可求解； （2）根据（1）的推理过程，逆向推导即可． 【详解】（1）解：如图所示： 由题意得：，， ∴， ∵光线与光线平行， ∴， ∴， ∴， 当， 同理：， ∵光线与光线平行， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，，； （2）解：当两平面镜a、b的夹角时，可以使任何射到平面镜上的光线，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线与反射光线平行．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．（24-25八年级上·广西南宁·期末）问题背景：折纸和数学联系紧密，一张纸片通过折叠等操作，就能得到许多图形． 在综合与实践课上，同学们以“等边三角形纸片的折叠”为主题开展探究． 实验操作：已知等边纸片中，点D，E分别是边上的点，连接，将沿折叠得到，连接与． 【初步探究】当折痕平行时，完成下面探索任务： （1）如图1，当点恰好落在边上时，求证：是等边三角形； （2）如图2，当点落在内部时，求证：； （3）当是直角三角形时，若，求的长； 【深入探究】当折痕与不平行时，完成下面探索任务： （4）当是等腰直角三角形时，请直接写出的度数． 【答案】（1）见详解（2）见详解（3）或2（4）或 【分析】（1）由得出，从而得出，进而得出，从而得出，从而是等边三角形； （2）可证得，，从而得出； （3）分两种情形：当时，可得出，从而得出结果；当时，可得出，从而得出结果； （4）分三种情形：当时，；当时，；当时，． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：由（1）知：， 同理可得，， ∴是等边三角形，， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图1， 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图2， 当时， ∵， ∴， ∴ 综上所述：或2； （4）解：如图， 当时，， 如图， 当时，， ∴ 如图， 当时，， ∴， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形的内角和性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 11．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）在中，于点D，平分且交于点E． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定．掌握等腰三角形的判定方法，能熟练利用三角形内角和定理进行求解是解题的关键． （1）由三角形内角和定理得 ，由直角三角形的特征得，即可求解； （2）由三角形内角和定理得，可求，由已知得，再结合三角形内角和定理得，即可得证． 【详解】（1）解： ，， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）证明：，， ， 解得：， ， 平分， ， ， ， ． 12．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，点E，F分别在边和上，连接，将沿着直线折叠，使得点A与点重合，连接，，平分，平分． (1)若，求的度数： (2)若，，求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查折叠的性质，三角形内角和定理和角平分线定义等知识，熟练掌握疏导他对于空间解答本题的关键． （1）由三角形内角和定理求出，由角平分线定义得，再由三角形内角和定理可求出； （2）设，则，求出 根据可得结论． 【详解】（1）解：如图， ，且 又平分，平分， ∴ ∴ ； （2）解：设，则， 由折叠得， ∴ ∴ 而 ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 类型四、三角形内角和与三角板的综合运用 13．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）将一副三角板拼成如图所示的图形，其中A，，三点在同一条直线上，，，三点在同一条直线上，的平分线交于点．    (1)求证：． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意得，，根据角平分线的性质得，可得，则，即可得； （2）由（1）得，，，根据三角形内角和定理即可得． 【详解】（1）证明：根据题意得，， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：由（1）得，，， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，掌握三角形内角和等于180°． 14．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点按如图方式叠放在一起，，，． (1)①若，则的度数为 ； ②若，则的度数为 ； (2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由． (3)现固定，将绕点旋转，点永远在直线上方，使两块三角尺有一组边互相平行，请直接写出所有满足条件的的度数． 【答案】(1)①，② (2)，理由见解析 (3)、、、、 【分析】本题考查了平行线的性质求角度，三角形内角和定理，角的和差计算． （1）①由角的和差运算求解即可；②由角的和差运算求解即可； （2）由角的和差运算求解即可； （3）分五种情况讨论，根据平行线的性质，三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】（1）解：① ，， ， ， ， 故答案为：； ② ，， ， ， 故答案为：； （2）解：猜想：， 理由如下： ， 又 ， ， 即； （3）解：的度数为、、、、． 理由：当时，如图1所示： ， ； 当时，如图2所示： ； 当时，如图3所示： ， ； 当时，如图4所示： ， ； 当时，延长交于，如图5所示： ， ，， ， ． 综上：所有满足条件的的度数为、、、、． 15．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）小明将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中是一个角()等于的直角三角板，是一个角（）等于的直角三角板，小明摆放时确保点A在线段上，与相交于点F，且． (1)判断，的位置关系，并说明理由； (2)直接写出图中等于的角． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，，． 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，三角形内角和定理等； （1）由三角形内角和定理得，由内错角相等，两直线平行即可得证； （2）由邻补角的定义及对顶角的性质得，由平行线的性质得 ，由角的和差即可求解； 掌握平行线的判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）解：； 理由如下： ，， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； 故图中等于的角有，，． 16．（24-25八年级上·山东济宁·期末）一副三角板如图1摆放，，点在上，点在上，且平分，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当点落在射线上时停止旋转），设旋转时间为秒． (1)图1中，_______ (2)当_______秒时，；当_______秒时，； (3)在旋转过程中，与的交点记为（如图2），若有两个内角相等，求的值； 【答案】(1) (2)3；21 (3)6秒或15秒或24秒 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，熟知三角形内角和为180度，三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键． （1）由三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，然后利用三角形内角和定理即可求解； （2）由平行线的性质得到，则由三角形外角的性质可得，据此可得答案；根据三角形内角和定理和对顶角相等得到，再求出的度数即可得到答案； （3）分，，，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为： （2）解：如图（1），当时，， ∵为的一个外角， ∴， ∴；    如图（2），当时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3；21． （3）解：①如图（3），当时， ∵， ∴， ∴；    ②如图（4），当时， ∵，， ∴， ∴；    ③如图（5），当时， ， ∴， 综上所述：当t为6秒或15秒或24秒时，有两个内角相等． 17．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）一副三角板的三个内角分别是和，按如图1叠放在一起，改变三角形的位置（其中点A位置始终不变），可以摆成不同的位置，设 (1)如图2中，请你探索当为多少时，； (2)如图3中，当 时，； (3)你还能摆成怎样不同的位置，使两块三角板至少有一组的边平行，请画出其中的两种情况并直接写出α的度数及平行的直线． 【答案】(1)当，理由见解析 (2)当时，，理由见解析 (3)有8种情况，详见解析 【分析】本题是一副三角板运动的问题，考查了平行线的性质和判定及三角形的内角和，根据三角形内角和及平行线所得角的关系求角的度数，难度不大，但比较麻烦，容易丢解，要依次按顺序旋转． （1）根据三角形的外角，推出，即可得出结论； （2）根据平行线的判定方法，求解即可； （3）分8种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1），理由如下： 如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）当时，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）①如图4，当时；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴当时，； ②如图，当时；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴当时，； ③如图6，当时；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴当时，； ④如图7，当时；理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； ⑤如图8，当时；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴当时，； ⑥如图7，当时；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴当时，； ⑦如图10，当时； ∵， ∴与重合， ∴， ∴当时，； ⑧如图11，当时；理由如下： ∵， ∴， ∴当时，． 类型五、由三角形内角和定理探究角度之间的关系 18．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）在中，． (1)是上的高，． ①如图1，如果，则______°； ②如图2，如果，则______°． (2)思考：通过以上两小题，你发现与之间有什么关系？请用式子表示：______． (3)如图3，如果不是上的高，，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由． 【答案】(1)①15；②20； (2) (3)仍有上述关系，理由见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形“三线合一”和等边对等角的性质是解题的关键． （1）①等腰三角形三线合一，所以，又因为，所以，所以． ②同理，证明，所以． （2）利用等腰三角形 “三线合一”的性质得，再根据，得，再根据，从而可得出结论． （3）由于，所以，根据已知，证明，而，所以． 【详解】（1）解：①在中，，是上的高， ， ， ， ， ， 是上的高， ． 故答案为：15； ②在中，，是上的高， ， ， ， ， ， ． 故答案为：20； （2）解：在中，，是上的高， ， ∵ ∴， ∵是上的高， ∴ ∴ ∴． （3）解：仍有上述关系，理由如下： ， ， ， 又， ， ，即． 19．（24-25八年级上·广东汕头·期中）已知，如图，在中，、分别是的高和角平分线， (1)若，，求的度数； (2)若为x，为y，求与x、y的关系． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的高，熟练掌握内角和定理是解本题的关键． （1）在中，由与的度数求出的度数，根据为角平分线求出的度数，由即可求出的度数； （2）仿照（1）得出与x、y的关系即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， 则； （2）解：， 理由如下： ∵，， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， 则． 类型六、由三角形的外角性质求角度 三角形的外角实质上是与它相邻内角的邻补角求角时，当在图中发现了外角，或所求角本身是另一个三角形的外角时，通常要考虑三角形的外角性质将这些结合起来，问题就容易解决了. 20．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，，，点D在上，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形．求出，从而，再证明，进而可求出的值． 【详解】解：，， ， 又， ， ， ， ． 在中，，， ，即， ． 21．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，平分的外角，且交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的外角的性质； （1）先求解，可得，再利用三角形的外角的性质可得结论； （2）证明，结合，，可得结论． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ； （2）解：，理由如下： 平分， ， 又∵， ， 即． 22．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形中线的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质即可得出结论； （2）根据三角形中线的性质即可求解． 【详解】（1）解：由图可知，是的一个外角， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线，， ∴， ∵是的中线， ∴． 23．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角的性质；连接，连接、并延长至，根据三角形的外角的性质得出，，然后相加，结合已知条件，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，连接、并延长至，    ∵ ∴ ∴， 即． 类型七、三角形的外角性质与平行线、角平分线的综合运用 24．（23-24八年级上·四川达州·期末）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． (1)如图1，若，点P在内部，， 求； (2)如图2，将点P移到外部，则之间有何数量关系？请证明你的结论． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，关键是熟悉两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等的知识点． （1）过P点作，根据平行线的性质即可求解； （2）根据平行线的性质和三角形外角的性质即可求解； 【详解】（1）【小问1详解】 解：如图1，过P点作，    ∵， ∴， ∴，， ∵； （2）解：，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴； 25．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的边上一点，平分，，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内角和，三角形的角平分线，三角形的外角等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质，则设，根据三角形的外角，求出，根据，求出，根据三角形的内角和为，解出，最后根据，即可． 【详解】解：∵平分， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 类型八、由三角形的外角性质确定角度之间的关系 26．（24-25八年级上·江西南昌·期中）在中，平分交于点D，点E是线段上的动点（不与点D重合），过点E作交射线于点F，的平分线所在直线与射线交于点G．如图，点E在线段上运动．    (1)若，，则的度数是______；的度数是______； (2)设，，请用含m的式子表示n，并说明理由； 【答案】(1)； (2)，见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形内角和定理， 对于（1），根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据平行线的性质得出答案； 对于（2），根据三角形的外角的性质得，再根据平行线的性质得，然后根据三角形内角和定理得，再根据角平分线的定义得，然后根据平行线的性质得出答案. 【详解】（1）∵， ∴， ∵平分 ∴． ∵， ∴． 故答案为：；； （2）． 理由如下： ∵是是一个外角， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴. ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 27．（22-23八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，与的角平分线交于点，与相交于点，交于点、交于． (1)若，，求的度数； (2)猜想，，的等量关系，直接写出结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，根据角平分线的定义得出，，根据三角形内角和定理得出①．根据三角形外角的性质得出②．③，进而得出； （2）由（1）同理可知：，即可求解． 【详解】（1）解：设，， 根据和的角平分线相交于点可知： ，， 三角形的内角和等于，，， ，即①． 是与的外角， ，即②． 同理，是与的外角， ，即③， ①②得，④， ①③得，⑤， ④代入⑤得，， ， 解得； （2），理由如下： 由（1）同理可知： ， 解得：． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 28．（22-23八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，内角平分线和外角平分线相交于点P，根据下列条件求的度数． (1)若，，则 ，若，则 ； (2)若，则 ； (3)从以上的计算中，你能发现与的关系是 ； (4)证明第（3）题中你所猜想的结论． 【答案】(1)； (2) (3) (4)见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再由三角形外角的性质，即可； （2）根据角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，即可； （3）根据前两问的结果，即可求解； （4）根据角平分线的定义和再由三角形外角的性质，即可． 【详解】（1）解：∵的内角平分线和外角平分线相交于点P，，， ∴，， ∵， ∴； ∵的内角平分线和外角平分线相交于点P， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵的内角平分线和外角平分线相交于点P， ∴， ∴； 故答案为： （3）解：从以上的计算中，能发现与的关系是 故答案为： （4）解：∵的内角平分线和外角平分线相交于点P， ∴， 即与的关系是． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，有关角平分线的三角形的内角和定理，熟练掌握三角形外角的性质，三角形的内角和定理是解题的关键． 类型九、与三角形的外角性质有关的规律探究 29．（21-22八年级上·安徽淮南·期中）如图，已知∠AOB＝α，在射线OA、OB上分别取点OA1＝OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2＝B1A2，连接A2B2…按此规律上去，记∠A2B1B2＝θ1，∠A3B2B3＝θ2，…，∠An＋1BnBn＋1＝θn，则θn＝ ． 【答案】 【分析】根据三角形外角性质找到等腰三角形的底角度数变化规律，用α表示出等腰三角形的底角，再平角等于180°列式用α表示出θ1，同理表示出θ2、θ3……，由此即可找到规律求解． 【详解】解：∵OA1＝OB1，∠AOB＝α， ∴． ∴θ． ∵B1B2＝B1A2，∠A2B1B2＝θ1， ∴， ∵ ∴， 同理可求：，， •••以此类推， ，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键在于能够准确找到规律求解. 30．（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先分别对运用三角形的外角定理，设，则，，则，得到，，同理可求：，所以可得． 【详解】解：如图： ∵，， ∴设，，则，， 由三角形的外角的性质得：，， ∴， 如图： 同理可求：， ∴， ……， ∴， 即， 故答案为：． 31．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，，为的外角，与的平分线交干点，与的平分线交于点，…，与的平分线相交于点．    （1）的度数为 ； （2）若得到点后，再依此规律作角平分线，两条角平分线无交点，则n的值为 ． 【答案】 3 【分析】（1）根据三角形内角和为，可以得到，再根据三角形外角可以得到，即，即可得到结果； （2）根据，是角平分线，可以得到，进而可以求得，同理可得，无法求得，此时可求得结果． 【详解】解：（1）由图可得：    ∵， ∴， ∴， ∵，是角平分线， ∴， ∴； （2）∵，是角平分线， ∴， ∴， ， 同理可得， ∴， 则， 此时若再作出，则可类比上述过程得到，无法组成三角形， 即此时两条角平分线无交点， 故； 故答案为：；3． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，找到各个角度之间的关系是解题的关键． 类型十、三角形内角与外角综合问题 32．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在四边形中，的平分线与外角的平分线交于点P，爱动脑筋的小明在写作业时发现如下规律：    ①若，则； ②若，则； ③若，则． (1)根据上述规律，若．则______． (2)猜想：的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理、外角的定义、多边形内角和问题，解题的关键是掌握三角形内角和为180度，四边形内角和为360度． （1）根据题目中已知式子找出规律，即可求解； （2）先根据角平分线的定义和三角形内角和定理推出，再根据四边形内角和360度，推出，进而可得． 【详解】（1）解：由题意知：若，则， 故答案为：； （2）解：； 理由如下：∵分别是，的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵在四边形中，， ∴． 33．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）（1）问题引入：如图①，在中，O是和的平分线的交点，若，则________；如图②，，，，则________（用含的式子表示） （2）如图③，，，，请猜想________（用含的式子表示），并说明理由． （3）类比研究：，分别是的外角，的n等分线，它们交于点O，，，，请猜想________． 【答案】（1）；（2）（3） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）由三角形内角和定理可求得，根据角平分线的定义可求得，在中利用三角形内角和定理可求得； （2）方法同（1）； （3）根据三角形的内角和等于列式整理即可得． 【详解】解：（1）∵，, ∴， ∵点O是和平分线的交点， ∴， ∵， ∴； 同法，在中， ， 故答案为：；； （2） 理由如下：在中， ； 故答案为：； （3）类似（2），可得在中， ； 故答案为：． 34．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）计算：如图1，已知，，求的度数． 归纳：与分别为的两个外角，与之间的数量关系为__________________，并给予证明． 应用：如图2，在纸片中剪去，得到四边形．若，则_______________． 拓展：如图3，在四边形中，，分别平分外角，，设 ①试说明与的数量关系； ②根据值的情况，请直接判断的形状（按角分类）． 【答案】计算：；归纳：，证明见解析；应用：；拓展：①；②当时，为钝角三角形；当，为直角三角形；当时，为锐角三角形； 【分析】计算：根据三角形外角的性质和三角形内角和定理求解即可． 归纳： 由，，，再进一步求解即可． 拓展：①利用角平分线的定义、三角形外角和内角和定理求解即可．②分三种情况：当时，当时，当时，分别判定即可. 【详解】解：计算：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 归纳：； 证明：， ． ，， ，， ∴， ∴， ∴； 应用：∵在纸片中剪去，得到四边形． ∴结合归纳可得：， ∵， ∴； 拓展： ①如图，∵，分别平分外角，， ∴，， ∴ ， ； ②当时， ， ， 为钝角三角形； 当时，， 为直角三角形； 当时， ， ， 由题意可得，， ，都是锐角． 为锐角三角形． 【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形外角性质与内角和定理，三角形分类，四边形的内角和定理，熟练掌握三角形外角性质与内角和定理是解题的关键． 35．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）在中，，的角平分线，交于点F． (1)【问题呈现】如图1，若，求的度数； (2)【问题推广】如图2，将沿折叠，使得点A与点F重合，若，求的度数； (3)【问题拓展】若P，Q分别是线段，上的点，设，．射线与的平分线所在的直线相交于点H（不与点P重合），直接写出与之间的数量关系（用含α，β的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)与之间的数量关系是：或． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由三角形内角和定理结合角平分线的定义可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解； （2）由题意可得，由折叠性质得，，从而可得，由（1）得，从而计算即可得解； （3）依题意分两种情况，分别求解即可得解． 【详解】（1）解：在中， ∵，的角平分线，交于点F， ∴， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴， 由折叠性质得：，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴； （3）解：∵P，Q分别是线段，上的点，射线与的平分线所在的直线相交于点H， ∴有以下两种情况： ①射线与的平分线相交于点H，设射线交于K，如图1所示： 由（1）得：， ∴， ∵平分，平分，， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴， 即， ∵， ∴， ∴； ②射线与的平分线所在的直线相交于点H时，设射线交于K，如图2所示： 同理：， 在中，， ∴． 综上所述：与之间的数量关系是：或． 类型十一、不压边（向内翻折） 36．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）现有一张纸片，点、分别是边上两点，若沿直线折叠，折成如图的形状．    (1)若、，求的度数； (2)猜想、和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题主要考查图形折叠的性质和三角形内角和定理，根据图形折叠的性质可得，进而可得，可求得的度数，同理可求得的度数，结合三角形内角和定理即可求得答案． （2）本题主要考查图形折叠的性质和三角形内角和定理，根据图形折叠的性质可得，进而可得，可求得，同理可求得，结合三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】（1）根据图形折叠的性质可知， ∴． ∴． 同理可得． ∴． （2），理由如下： 根据图形折叠的性质可知， ∴． ∴． 同理可得． ∴． 37．（2023八年级下·浙江·专题练习） (1)如图1，设，则　　； (2)把三角形纸片顶角A沿折叠，点A落到点处，记为，为. ①如图2，，与的数量关系是 　　； ②如图3，请你写出，与的数量关系，并说明理由. (3)如图4，把一个三角形纸片的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中　　. 【答案】(1) (2)①，②，理由见详解 (3) 【分析】（1）表示出，，用三角形内角和定理即可求解； （2）①由折叠可求得，，用三角形内角和定理即可求解；②由①可求和，即可求解； （3）由（2）得：，可同理求出，，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ，， ． 故答案：． （2）解：①如图2，由折叠得：，， ，， ， ， ． 故答案：． ②如图3，， 理由如下：设与交于， 由①得：，， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：由（2）得：， 同理可得：，， ． 故答案：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，三角形外角与内角关系，四边形的内角和，掌握相关的性质及定理，正确进行整体代换是解题的关键． 类型十二、压一边（向外翻折） 38．（22-23八年级上·安徽安庆·期中）如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置， (1)若、则__________． (2)若“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”如图2，试猜想此时与、之间的数量关系，并说明理由． (3)将四边形纸片（不平行）折叠成图3的形状，若，，请直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3) 【分析】（1）根据折叠的性质可得，，利用三角形外角的性质可得，，即可求解； （2）由折叠的性质可得：，利用三角形外角的性质可得，，，即可求解； （3）延长交的延长线于，利用（2）中结论求解即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得： 由三角形外角的性质可得 ∴ ∴ 故答案为： （2），理由如下： 设交于，如下图： ∵ ∴ ∴ （3）如下图，延长交的延长线于， 由（2）可得 ∴，即 ∵ ∴ 【点睛】此题考查了折叠的性质和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 39．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期中）在中，，点是边上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若，（）．    (1)求的度数； (2)若中有两个角相等，求的值． 【答案】(1) (2)30 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余可求得，结合题意即可求解； （2）根据三角形的外角性质可得，求得，根据折叠的性质可得，，求得，根据三角形内角和定理求得，分、、三种情况，列方程解答即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴，即， 又∵， 故，解得：． （2）∵，， 则， ∴， 根据折叠可得：，， ∴． ， ∴， ①当时，即，解得：， ②当时，即，解得，， ∵， ∴不合题意，故舍去， ③当，即，解得，， ∵， ∴不合题意舍去． 综上所述，， 【点睛】本题考查了折叠的性质，直角三角形两锐角互余，三角形的外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上性质是解题的关键． 40．（24-25八年级上·全国·期中）直角三角形纸片中，，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边上，记落点为D，设折痕与边分别交于点E、F． (1)如果，那么的度数 (2)如果，求的度数； (3)若折叠后的与均为等腰三角形，那么纸片中的度数是多少？ 【答案】(1)55 (2) (3)或 【分析】本题考查与折叠有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，等腰三角形的性质： （1）三角形的外角求出的度数，折叠得到，即可得解； （2）折叠得到，求出的度数，再根据三角形的外角的性质求解即可； （3）分和和三种情况分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵是的一个外角， ∴， ∵由折叠可得，， ∴； 故答案为：55； （2）由折叠可得，， ∵是的一个外角， ∴； （3）∵是等腰三角形，， ∴ ∴， 由折叠可得， ∵是等腰三角形， ①当时，， ∴， ∴， ∴； ②当时，， ∴， ∴； ③当时，， ∴，不合题意，舍去； 综上：或． 41．（24-25八年级上·江西·阶段练习）（1）如图1，若；则_______； （2）把三角形纸片顶角A沿折叠，点A落到点处，记为为． ①如图2，与的数量关系是_______； ②如图3，与的数量关系是_______； （3）如图4，把一个三角形纸片的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中_______． 【答案】（1）；（2）①，②；（3） 【分析】本题考查了翻着变换（折叠问题），以及三角形内角和定理．根据题意给出的条件，折叠角相等以及三角形内角相加为等知识即可推导出答案． 【详解】解：（1）∵，∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①题图2中，由折叠得， ∵ ∴， ， 故答案为：． ②题图3中，∵， ∴，由折叠得， ∴， ∴． 故答案为：． （3）由（2）知， 同理得，， ∴ ． 故答案为：． 42．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）两张直角三角形纸片如图1摆放，点D在上，，． (1)证明：； (2)如图2，分别作与的平分线交于点F，求的度数； (3)如图3，点P，G分别在线段，上，连接，作的平分线交于点Q，若点H是线段上一点，连接，且．设，，，求，，之间的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由三角形的内角和定理可得，利用已知条件，及等式的性质可得，根据内错角相等两直线平行即可得证； （2）由直角三角形的两个锐角互余及已知条件可得，由与的平分线交于点可得，过作，由平行公理推论可得，由两直线平行内错角相等可得，，由即可得出答案； （3）设，则，，由（1）可得，利用平行线的性质可得，，由三角形外角的性质可得，，由、可得，利用等式的性质消去即可得出，，之间的数量关系． 【详解】（1）证明：， 又，， ， ； （2）解：，， ， 与的平分线交于点， ，， ， 如图，过作， 由（1）可得：， ， ，， ； （3）解：如图，当在线段上， 设，则，， 由（1）可得：， ，， ， ， ，，，的平分线交于点Q， ，， 由、可得： ， ，，之间的数量关系为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，等式的性质，内错角相等两直线平行，直角三角形的两个锐角互余，角平分线的有关计算，平行公理推论的应用，两直线平行内错角相等，三角形外角的性质，列代数式，等式的性质等知识点，熟练掌握三角形内外角之间的有关计算是解题的关键． 43．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）已知在中，是边BC上的高，是的角平分线． (1)如图1，若，，则的度数为__________． (2)如图2，平分交于点，交的外角的平分线于点P，请猜想与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，若，且，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)． 【分析】（1）先求解，，，再结合三角形的高可得答案； （2）先证明结合，可得； （3）设，可得，，，，结合（2）可得，，求解，结合，再建立方程进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∵是边上的高， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：．理由如下： ∵，分别平分和的外角， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）解：设，则， ∴，，， ∴由（2）可得，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，四边形的内角和定理的应用，角平分线的定义，理清各角度之间的关系是解本题的关键． 44．（23-24七年级下·四川乐山·期末）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为“对顶三角形”．根据三角形内角和定理可知“对顶三角形”有如下性质∶．    (1)性质理解：如图1，在“对顶三角形”与中，若，则 ； (2)性质应用∶ ①如图2，则 ； ②如图3，在中，分别平分和，若，比大，求的度数； (3)拓展提高：如图4，是的角平分线，和的平分线和相交于点P，设，求的度数（用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2)①② (3) 【分析】本题综合考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，掌握整体思想是解题关键． （1）求出即可求解； （2）①连接，可得，据此即可求解；②求出即可求解； （3）根据、、 即可求解； 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵， ∴ 故答案为： （2）解：①连接，如图所示：    则 ∴ 故答案为： ②∵， ∴ ∵分别平分和， ∴ ∵ ∴ ∵ 由①②可得： （3）解：∵， ∴ ∵是的角平分线， ∴ ∵和的平分线和相交于点P， ∴ ∵ ∴得： ∴ 45．（17-18八年级上·安徽蚌埠·期中）【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2．分别平分，， 若，求的度数； 【问题探究】（3）如图3， 直线平分的外角，平分的外角， 若，请猜想的度数，并说明理由． 【拓展延伸】（4）在图4中，若设 ， ，直接写出与之间的数量关系为：_________________（用、表示）． 【答案】（1）见详解；（2）；（3），理由见详解；（4） 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明． （2）（3）由平分的外角，平分的外角，推出，，推出，，由，，推出，即可解决问题． （4）由前面小题的结论易求，，再将已知条件代入化简可求，进而可求解． 本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题，属于中考常考题型． 【详解】 解：（1）在中，， 在中，， ， ； （2）、分别平分． ， 由（1）的结论得：， ①②，得 ． （3）如图3， 平分的外角，平分的外角， ，， ，， ，， ， ； （4）由（1）可知：，，， ，， ， ，，，， ，， ， ． 故答案为：． 46．（20-21七年级下·河南洛阳·期中）如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，且满足，线段AB交y轴于点D，，点E是y轴负半轴上一动点（点E不与点O重合）． (1)求点A、B、C的坐标． (2)问题探究： ①如图2，过点E作，小明发现在点E的运动过程中，的度数为定值，为求出这个定值，小明过点O作，请你帮他用表示出的度数，并说明理由. ②如图3，分别作，的平分线交于点M，试问在点E的运动过程中，的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请直接写出的度数． 【答案】(1)A，B，C (2)①，理由见解析；②不变， =45° 【分析】（1）结合题意，根据乘方、算术平方根、绝对值的性质，结合坐标的性质分析，即可得到答案； （2）①根据平行线的性质，推导得，，结合余角的性质计算，即可得到答案； ②根据角平分线的性质，得，；根据余角和三角形内角和的性质计算，即可得到答案． 【详解】（1）∵，，，. ∴，，， ∴，， ∴， ∴点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为； （2）①∵，， ∴ ∴，. ∵， ∴， ∴； ②连AE 根据（2）①的结论，得： ∵，的平分线交于点M ∴， ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴在点E的运动过程中，的度数不发生变化，． 【点睛】本题考查了直角坐标系、乘方、算术平方根、绝对值、角平分线、平行线、三角形内角和、余角的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、平行线、三角形内角和的性质，从而完成求解． 47．（2024八年级上·全国·专题练习）已知与的平分线交于点． ①如图1，试探究，与之间的数量关系，并说明理由； ②如图2，试探究，与之间的数量关系，并说明理由； ③如图3，若，的平分线交于点，则，与之间有怎样的数量关系？ 【答案】，理由见解析 ，理由见解析 （理由见解析） 【分析】延长交于，设与交于点，由三角形外角的性质可得，，进而可得，再根据角平分线的定义可得，，由三角形的内角和定理可得，据此即可得出结论； 根据，是与的平分线，可设，，由可知，即，则，根据四边形的内角和等于可得，即，将代入整理即可得出结论； 延长交于，根据，是与的平分线，可设，，在中，利用三角形的内角和定理可得，由可知，即，由邻补角互补可得，由三角形外角的性质可得，进而可得，将代入整理即可得出结论． 【详解】解：，与之间的数量关系是：，理由如下： 如图，延长交于，设与交于点， 是的外角， ， 是的外角， ， ， 是的平分线， ， 是的平分线， ， ，， 又， ， 即：， 整理，得：， ，与之间的数量关系是：； ，与之间的数量关系是：，理由如下： ，为与的平分线， 可设，， 由可知：， 即：， ， 根据四边形的内角和等于，得：， 即：， 将代入上式，得：， ， ，与之间的数量关系是：； ，与之间的数量关系是：，理由如下： 如图，延长交于， ，是与的平分线， 可设，， 在中，， 即：， ， 由可知：， 即：， 由邻补角互补可得：， 是的一个外角， ， ， 将代入上式，得：， 即：， 答：，与之间的数量关系是：． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的有关计算，三角形的内角和定理，对顶角相等，等式的性质，等式的性质，利用邻补角互补求角度等知识点，准确识图，理解角平分线的定义，灵活运用三角形的内角和定理及三角形外角的性质进行计算是解题的关键． 48．（24-25八年级上·广西南宁·期中）数学课上，刘老师列举了下面两个例题： 例1：在等腰中，，求的度数．（只有一个：） 例2：在等腰中，，求的度数．（共有三个：、或） 刘老师启发同学们进行变式探索，小明编了如下题目： (1)变式1：已知在等腰中，，求的度数； (2)变式2：已知在等腰中，，求的度数； (3)探索：在解（1）（2）后，小明发现，的度数不同，得到的度数的个数也可能不同．于是小明开始探索在等腰中，的度数取哪些值时，的度数是唯一的？已知：在等腰中，，当的度数唯一时，求的取值范围．请你帮助小明完成此题． 【答案】(1) (2)或或 (3)或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形的内角和定理并运用分类讨论思想是解题的关键． （1）由已知条件可推断为顶角，再利用三角形的内角和定理即可求出的度数； （2）分三种情况讨论：当为顶角时；当为底角，为顶角时；当为底角，为底角时；利用三角形的内角和定理分别求解即可； （3）分两种情况讨论：当时；当时，当时；分别作答即可． 【详解】（1）解：， 只能为的顶角， 是等腰三角形， ； （2）解：分三种情况讨论： 当为顶角时， 则为底角， ； 当为底角，为顶角时， ； 当为底角，为底角时， ； 综上所述，或或； （3）解：分两种情况讨论： 当时， 此时只能为顶角，为底角且度数唯一； 当时，时，此时为等边三角形，且度数唯一； 综上，当的度数唯一时，的取值范围为或． 49．（24-25八年级上·河北张家口·期中）【定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这个三角形为“二倍角三角形”、例如：在中，，，则为“二倍角三角形”． 【理解】若为“二倍角三角形”，，则这个三角形中最小的内角为______； 【应用】已知是“二倍角三角形”中最小的内角，通过计算确定的最大取值； 【拓展】如图，平分的内角，交于点E，平分的外角，延长和交于点G，且，当是二倍角三角形，直接写出的度数． 【答案】[理解]20；[应用] ；[拓展] 或或 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质、角平分线的定义等知识点，掌握分类讨论思想、方程思想、数形结合思想成为解题的关键． [理解]设的最小，则，然后根据三角形的内角和即可解答； [应用]由是“二倍角三角形”的最小角，不妨假设，则，，由三角形的内角和得，由此可得出，进而解得，据此即可解答； [拓展]先设，再用的代数式表示出，然后根据“二倍角三角形”的定义进行分类讨论即可解答． 【详解】解：[理解] 设的最小，则， ∵，， ∴，解得：． 故答案为：20． [应用] 不妨假设，则，， ∵， ∴，即：， ∵， ∴，解得：， ∴的最大取值为． [拓展] 设， ∵为的平分线， ∴， ∵是是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴，解得：， 又∵是二倍角三角形， ∴有以下六种情况： ①当时，则，解得：， ； ②当时，则，解得：，不合题意，舍去； ③当时，则，解得：，不合题意，舍去； ④当时，则，此方程无解； ⑤当时，则，解得：， ∴； ⑥当时，则，解得：， ∴． 综上所述：当或或时，是二倍角三角形． 50．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）小红在数学课上学习了角的相关知识后，立即对角产生了浓厚的兴趣．她查阅书籍发现两个有趣的概念，三角形中相邻两条边的夹角叫做三角形的内角；三角形一条边的延长线与其邻边的夹角，叫做三角形的外角．小红还了解到三角形的内角和是，同时她很容易地证明了三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．于是，爱思考的小红在想，三角形的内角是否也具有类似的性质呢？三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ (1)尝试探究：如图1，与分别为的两个外角，试探究与之间存在怎样的数量关系？为什么？ (2)初步应用：如图2，在纸片中剪去得到四边形ABDE，，则________． (3)如图3，在中，分别平分外角，，则与有何数量关系？ (4)如图4，在四边形中，分别平分外角，则∠P与，有何数量关系？（直接写出，不需说明理由．） 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是角平分线的定义、三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理计算； （2）根据三角形内角和定理计算； （3）根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算； （4）延长线段、线段交于点，根据（2）、（3）的结论计算即可． 【详解】（1）解：数量关系：， 理由： 与 分别为 的两个外角， ．， ， 三角形的内角和为， ， ； （2）解：由（1）得，， ， 故答案为：； （3）解：由（1）得，， 、分别平分外角、， ，， ； （4）数量关系：， 理由：如图4，延长线段、线段交于点， 由（3）可知，， ， 由（1）可知，， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 与三角形有关的角 目录 1 类型一、利用三角形内角和求角 1 类型二、利用直角三角形两锐角互余求角 3 类型三、三角形内角和与平行线、角平分线的综合运用 4 类型四、三角形内角和与三角板的综合运用 6 类型五、由三角形内角和定理探究角度之间的关系 7 类型六、由三角形的外角性质求角度 8 类型七、三角形的外角性质与平行线、角平分线的综合运用 9 类型八、由三角形的外角性质确定角度之间的关系 10 类型九、与三角形的外角性质有关的规律探究 11 类型十、三角形内角与外角综合问题 12 类型十一、不压边（向内翻折） 14 类型十二、压一边（向外翻折） 15 17 类型一、利用三角形内角和求角 1）无论三角形的形状、大小如何改变，三角形三个内角的和仍等于180°； 2）根据三角形的内角和定理可知，三角形中任意一个内角都小于180°，其内角可能都是锐角，也可能有一个直角或一个钝角. 3）判定三角形的形状一般只需求出三角形中各角的大小，由三角形的最大角就可以判定三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，在求角的过程中，可根据三角形内角和定理结合角与角之间的关系达到求角的目的. 1．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”，例如，三个内角分别为，，的三角形是“三倍角三角形”． (1)中，，，是“三倍角三角形”吗？为什么？ (2)若是“三倍角三角形”，且，求中最小内角的度数． 2．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，和是的两条高线且相交于点O． (1)已知，求的度数； (2)若，，求的值． 3．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，四边形的内角的角平分线交于点E，的角平分线交于点F． (1)若，则______；_____； (2)探索与有怎样的数量关系，并说明理由 4．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）沪科版（数学）（八年级上册）第页第题求五角星形五个角的度数和（如图1）．我们求得 ．爱动脑筋的小聪借助几何画板将图1进行调整，得到图2、图3、图4三个图形，请你帮助小聪解决下列问题： (1)根据图2，直接写出，，，，满足的关系式___________； (2)如图3，点在上，求证：； (3)如图4，点在上方，请问（2）中的结论是否还成立，如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你的结论，并进行证明． 类型二、利用直角三角形两锐角互余求角 5．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）直角三角形中，，是斜边上的高，，请求出图中所有锐角的值，并找出其中所有相等的锐角。 6．（23-24八年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，，平分，于点F，和相交于点O．求的度数． 7．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，是上一点，且．    (1)求证：； 证明：在中，∵（已知），∴（____________________）． 又∵（已知），∴（____________________）． 在中，（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质），∴（垂直的定义）． (2)如图②，若的平分线分别交，于点，，求证：； (3)如图③，若为上一点，交于点，，，，连接，求的面积． 8．（19-20八年级上·河南三门峡·期中）如图，在中，，为上一点，过点作垂线，交于，交的延长线于． (1)与有什么关系？并请说明理由． (2)若，请你探索与的数量关系，并请说明理由． 类型三、三角形内角和与平行线、角平分线的综合运用 9．（24-25八年级上·贵州黔东南·阶段练习）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等． (1)如图，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射，若被反射出的光线与光线平行，且，则_______，_____；若，则______； (2)请由（1）猜想：当两平面镜a，b的夹角 时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a，b的两次反射后，反射光线n与入射光线m平行．请写出推理过程． 10．（24-25八年级上·广西南宁·期末）问题背景：折纸和数学联系紧密，一张纸片通过折叠等操作，就能得到许多图形． 在综合与实践课上，同学们以“等边三角形纸片的折叠”为主题开展探究． 实验操作：已知等边纸片中，点D，E分别是边上的点，连接，将沿折叠得到，连接与． 【初步探究】当折痕平行时，完成下面探索任务： （1）如图1，当点恰好落在边上时，求证：是等边三角形； （2）如图2，当点落在内部时，求证：； （3）当是直角三角形时，若，求的长； 【深入探究】当折痕与不平行时，完成下面探索任务： （4）当是等腰直角三角形时，请直接写出的度数． 11．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）在中，于点D，平分且交于点E． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，求证：． 12．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，点E，F分别在边和上，连接，将沿着直线折叠，使得点A与点重合，连接，，平分，平分． (1)若，求的度数： (2)若，，求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 类型四、三角形内角和与三角板的综合运用 13．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）将一副三角板拼成如图所示的图形，其中A，，三点在同一条直线上，，，三点在同一条直线上，的平分线交于点．    (1)求证：． (2)求的度数． 14．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点按如图方式叠放在一起，，，． (1)①若，则的度数为 ； ②若，则的度数为 ； (2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由． (3)现固定，将绕点旋转，点永远在直线上方，使两块三角尺有一组边互相平行，请直接写出所有满足条件的的度数． 15．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）小明将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中是一个角()等于的直角三角板，是一个角（）等于的直角三角板，小明摆放时确保点A在线段上，与相交于点F，且． (1)判断，的位置关系，并说明理由； (2)直接写出图中等于的角． 16．（24-25八年级上·山东济宁·期末）一副三角板如图1摆放，，点在上，点在上，且平分，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当点落在射线上时停止旋转），设旋转时间为秒． (1)图1中，_______ (2)当_______秒时，；当_______秒时，； (3)在旋转过程中，与的交点记为（如图2），若有两个内角相等，求的值； 17．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）一副三角板的三个内角分别是和，按如图1叠放在一起，改变三角形的位置（其中点A位置始终不变），可以摆成不同的位置，设 (1)如图2中，请你探索当为多少时，； (2)如图3中，当 时，； (3)你还能摆成怎样不同的位置，使两块三角板至少有一组的边平行，请画出其中的两种情况并直接写出α的度数及平行的直线． 类型五、由三角形内角和定理探究角度之间的关系 18．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）在中，． (1)是上的高，． ①如图1，如果，则______°； ②如图2，如果，则______°． (2)思考：通过以上两小题，你发现与之间有什么关系？请用式子表示：______． (3)如图3，如果不是上的高，，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由． 19．（24-25八年级上·广东汕头·期中）已知，如图，在中，、分别是的高和角平分线， (1)若，，求的度数； (2)若为x，为y，求与x、y的关系． 类型六、由三角形的外角性质求角度 三角形的外角实质上是与它相邻内角的邻补角求角时，当在图中发现了外角，或所求角本身是另一个三角形的外角时，通常要考虑三角形的外角性质将这些结合起来，问题就容易解决了. 20．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，，，点D在上，，求的值． 21．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，平分的外角，且交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 22．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线． (1)求证：； (2)若，求的面积． 23．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，，求的度数．    类型七、三角形的外角性质与平行线、角平分线的综合运用 24．（23-24八年级上·四川达州·期末）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． (1)如图1，若，点P在内部，， 求； (2)如图2，将点P移到外部，则之间有何数量关系？请证明你的结论． 25．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的边上一点，平分，，，若，求的度数． 类型八、由三角形的外角性质确定角度之间的关系 26．（24-25八年级上·江西南昌·期中）在中，平分交于点D，点E是线段上的动点（不与点D重合），过点E作交射线于点F，的平分线所在直线与射线交于点G．如图，点E在线段上运动．    (1)若，，则的度数是______；的度数是______； (2)设，，请用含m的式子表示n，并说明理由； 27．（22-23八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，与的角平分线交于点，与相交于点，交于点、交于． (1)若，，求的度数； (2)猜想，，的等量关系，直接写出结果． 28．（22-23八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，内角平分线和外角平分线相交于点P，根据下列条件求的度数． (1)若，，则 ，若，则 ； (2)若，则 ； (3)从以上的计算中，你能发现与的关系是 ； (4)证明第（3）题中你所猜想的结论． 类型九、与三角形的外角性质有关的规律探究 29．（21-22八年级上·安徽淮南·期中）如图，已知∠AOB＝α，在射线OA、OB上分别取点OA1＝OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2＝B1A2，连接A2B2…按此规律上去，记∠A2B1B2＝θ1，∠A3B2B3＝θ2，…，∠An＋1BnBn＋1＝θn，则θn＝ ． 30．（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度． 31．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，，为的外角，与的平分线交干点，与的平分线交于点，…，与的平分线相交于点．    （1）的度数为 ； （2）若得到点后，再依此规律作角平分线，两条角平分线无交点，则n的值为 ． 类型十、三角形内角与外角综合问题 32．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在四边形中，的平分线与外角的平分线交于点P，爱动脑筋的小明在写作业时发现如下规律： ①若，则； ②若，则； ③若，则． (1)根据上述规律，若．则______． (2)猜想：的数量关系，并证明． 33．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）（1）问题引入：如图①，在中，O是和的平分线的交点，若，则________；如图②，，，，则________（用含的式子表示） （2）如图③，，，，请猜想________（用含的式子表示），并说明理由． （3）类比研究：，分别是的外角，的n等分线，它们交于点O，，，，请猜想________． 34．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）计算：如图1，已知，，求的度数． 归纳：与分别为的两个外角，与之间的数量关系为__________________，并给予证明． 应用：如图2，在纸片中剪去，得到四边形．若，则_______________． 拓展：如图3，在四边形中，，分别平分外角，，设 ①试说明与的数量关系； ②根据值的情况，请直接判断的形状（按角分类）． 35．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）在中，，的角平分线，交于点F． (1)【问题呈现】如图1，若，求的度数； (2)【问题推广】如图2，将沿折叠，使得点A与点F重合，若，求的度数； (3)【问题拓展】若P，Q分别是线段，上的点，设，．射线与的平分线所在的直线相交于点H（不与点P重合），直接写出与之间的数量关系（用含α，β的式子表示）． 类型十一、不压边（向内翻折） 36．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）现有一张纸片，点、分别是边上两点，若沿直线折叠，折成如图的形状．    (1)若、，求的度数； (2)猜想、和的数量关系，并说明理由． 37．（2023八年级下·浙江·专题练习） (1)如图1，设，则　　； (2)把三角形纸片顶角A沿折叠，点A落到点处，记为，为. ①如图2，，与的数量关系是 　　； ②如图3，请你写出，与的数量关系，并说明理由. (3)如图4，把一个三角形纸片的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中　　. 类型十二、压一边（向外翻折） 38．（22-23八年级上·安徽安庆·期中）如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置， (1)若、则__________． (2)若“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”如图2，试猜想此时与、之间的数量关系，并说明理由． (3)将四边形纸片（不平行）折叠成图3的形状，若，，请直接写出的度数． 39．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期中）在中，，点是边上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若，（）．    (1)求的度数； (2)若中有两个角相等，求的值． 40．（24-25八年级上·全国·期中）直角三角形纸片中，，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边上，记落点为D，设折痕与边分别交于点E、F． (1)如果，那么的度数 (2)如果，求的度数； (3)若折叠后的与均为等腰三角形，那么纸片中的度数是多少？ 41．（24-25八年级上·江西·阶段练习）（1）如图1，若；则_______； （2）把三角形纸片顶角A沿折叠，点A落到点处，记为为． ①如图2，与的数量关系是_______； ②如图3，与的数量关系是_______； （3）如图4，把一个三角形纸片的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中_______． 42．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）两张直角三角形纸片如图1摆放，点D在上，，． (1)证明：； (2)如图2，分别作与的平分线交于点F，求的度数； (3)如图3，点P，G分别在线段，上，连接，作的平分线交于点Q，若点H是线段上一点，连接，且．设，，，求，，之间的数量关系． 43．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）已知在中，是边BC上的高，是的角平分线． (1)如图1，若，，则的度数为__________． (2)如图2，平分交于点，交的外角的平分线于点P，请猜想与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，若，且，请直接写出的度数． 44．（23-24七年级下·四川乐山·期末）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为“对顶三角形”．根据三角形内角和定理可知“对顶三角形”有如下性质∶．    (1)性质理解：如图1，在“对顶三角形”与中，若，则 ； (2)性质应用∶ ①如图2，则 ； ②如图3，在中，分别平分和，若，比大，求的度数； (3)拓展提高：如图4，是的角平分线，和的平分线和相交于点P，设，求的度数（用含α的式子表示）． 45．（17-18八年级上·安徽蚌埠·期中）【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2．分别平分，， 若，求的度数； 【问题探究】（3）如图3， 直线平分的外角，平分的外角， 若，请猜想的度数，并说明理由． 【拓展延伸】（4）在图4中，若设 ， ，直接写出与之间的数量关系为：_________________（用、表示）． 46．（20-21七年级下·河南洛阳·期中）如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，且满足，线段AB交y轴于点D，，点E是y轴负半轴上一动点（点E不与点O重合）． (1)求点A、B、C的坐标． (2)问题探究： ①如图2，过点E作，小明发现在点E的运动过程中，的度数为定值，为求出这个定值，小明过点O作，请你帮他用表示出的度数，并说明理由. ②如图3，分别作，的平分线交于点M，试问在点E的运动过程中，的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请直接写出的度数． 47．（2024八年级上·全国·专题练习）已知与的平分线交于点． ①如图1，试探究，与之间的数量关系，并说明理由； ②如图2，试探究，与之间的数量关系，并说明理由； ③如图3，若，的平分线交于点，则，与之间有怎样的数量关系？ 48．（24-25八年级上·广西南宁·期中）数学课上，刘老师列举了下面两个例题： 例1：在等腰中，，求的度数．（只有一个：） 例2：在等腰中，，求的度数．（共有三个：、或） 刘老师启发同学们进行变式探索，小明编了如下题目： (1)变式1：已知在等腰中，，求的度数； (2)变式2：已知在等腰中，，求的度数； (3)探索：在解（1）（2）后，小明发现，的度数不同，得到的度数的个数也可能不同．于是小明开始探索在等腰中，的度数取哪些值时，的度数是唯一的？已知：在等腰中，，当的度数唯一时，求的取值范围．请你帮助小明完成此题． 49．（24-25八年级上·河北张家口·期中）【定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这个三角形为“二倍角三角形”、例如：在中，，，则为“二倍角三角形”． 【理解】若为“二倍角三角形”，，则这个三角形中最小的内角为______； 【应用】已知是“二倍角三角形”中最小的内角，通过计算确定的最大取值； 【拓展】如图，平分的内角，交于点E，平分的外角，延长和交于点G，且，当是二倍角三角形，直接写出的度数． 50．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）小红在数学课上学习了角的相关知识后，立即对角产生了浓厚的兴趣．她查阅书籍发现两个有趣的概念，三角形中相邻两条边的夹角叫做三角形的内角；三角形一条边的延长线与其邻边的夹角，叫做三角形的外角．小红还了解到三角形的内角和是，同时她很容易地证明了三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．于是，爱思考的小红在想，三角形的内角是否也具有类似的性质呢？三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ (1)尝试探究：如图1，与分别为的两个外角，试探究与之间存在怎样的数量关系？为什么？ (2)初步应用：如图2，在纸片中剪去得到四边形ABDE，，则________． (3)如图3，在中，分别平分外角，，则与有何数量关系？ (4)如图4，在四边形中，分别平分外角，则∠P与，有何数量关系？（直接写出，不需说明理由．） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$