1.4线段垂直平分线与角平分线 同步练习 (暑期自学课)2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025-2026学年苏科版数学八年级上册 1.4线段垂直平分线与角平分线 （同步练习）（暑期自学课） （满分100分，时间90分钟） 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.到三角形各顶点距离相等的点是（　　） A．三条边垂直平分线交点 B．三个内角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高交点 2.如图，AP平分∠BAC，PD⊥AC于点D，若PD＝6，则P到AB的距离是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 3.如图，直线l1，l2，l3表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（　　） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 4.如图，，根据尺规作图的痕迹推断，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5.如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，DE是AC的中垂线，则△ABD的周长为（　　） ​ A．10 B．11 C．12 D．13 6.如图，点在内部的一条射线上，于点，且．已知点到射线的最小距离为4，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7.如图，在中，平分，于点，是线段的中点，若，，，则的长是（   ） A. B． C． D． 8.如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，与交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．若，，则的度数为(   )    A． B． C． D． 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.如图，点O是内一点，且，则点O是 的交点．    10.如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是 ．    11.如图，四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．相交于点，请结合图形写出一个正确的数学结论 ． 12.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝5，EC＝3，则BC的长 　　． 13.如图所示，在中，若，的平分线交于点D，且，点E是边上的一动点，则的最小值为 ． 14.如图，在中，，点在边上，，垂足为点，，，则的度数为 ． 15.如图，在中，，，作边的垂直平分线，交于点，交于点．若，则的长为 ． 16.如图，在中，以点C为圆心、任意长为半径作弧，分别交于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F；作射线交于点G．若，，的面积为9，则的面积为 ． 三、解答题（本题共6小题，共52分） 17.请确定一个点P，使得点P到和的距离相等，且满足它到点A和点C的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹．） 18.如图，，于点E，交的延长线于点D，且，求证：是的平分线． 19.学校数理学习小组活动纪实：已知：在中，D是上一点． 小宜说：如图1，若是边上的中线，则利用三角形的面积公式可以得出：； 小昌说：如图2，若点D是边上任意一点，则有； 小石说：如图3，若是的角平分线时，则有； 小榴说：受前面同学的启发我想到了：当是的角平分线时，有，请你为小榴同学说明理由． 20.如图，中，垂直平分，交 于点F，交于点E，且． (1)若，求的度数； (2)若周长为，求的长． 21.如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，AG． （1）若△AEG的周长为10，求线段BC的长； （2）若∠BAC＝104°，求∠EAG的度数． 22.【问题发现】 （1）如图①，在中，过点作，垂足为点，．若，则的值为________． 【问题探究】 （2）如图②，在中，、的垂直平分线分别交于点、，垂足分别为， 连接、，求的周长； 【拓展应用】 （3）如图③，是一个游乐场的平面示意图，其中，，平分交于点．现计划分别在处各修建一个游客休息区，、分别在小路、上，且，连接、，由规划得知的最小值为．现要继续在点、、处修建游乐区，点在上，且在线段的垂直平分线上，点、分别是、上的动点．沿、修建轨道交通以方便游客游玩．为节约成本要求的值最小，请问的值是否存在最小值；若存在，请求出此时的长；若不存在，请说明理由． 答案解析 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.到三角形各顶点距离相等的点是（　　） A．三条边垂直平分线交点 B．三个内角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高交点 【答案】A 2.如图，AP平分∠BAC，PD⊥AC于点D，若PD＝6，则P到AB的距离是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 3.如图，直线l1，l2，l3表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（　　） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 【答案】D 4.如图，，根据尺规作图的痕迹推断，下列结论不一定成立的是（    ） B． B． C． D． 【答案】C 5.如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，DE是AC的中垂线，则△ABD的周长为（　　） ​ A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 6.如图，点在内部的一条射线上，于点，且．已知点到射线的最小距离为4，且，则的度数为（    ） B． B． C． D． 【答案】C 7.如图，在中，平分，于点，是线段的中点，若，，，则的长是（   ） A. B． C． D． 【答案】D 8.如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，与交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．若，，则的度数为(   )    B． B． C． D． 【答案】D 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.如图，点O是内一点，且，则点O是 的交点．    【答案】三边的垂直平分线 10.如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是 ．    【答案】 11.如图，四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．相交于点，请结合图形写出一个正确的数学结论 ． 【答案】（答案不唯一） 12.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝5，EC＝3，则BC的长 　　． 【答案】8 13.如图所示，在中，若，的平分线交于点D，且，点E是边上的一动点，则的最小值为 ． 【答案】4 14.如图，在中，，点在边上，，垂足为点，，，则的度数为 ． 【答案】 15.如图，在中，，，作边的垂直平分线，交于点，交于点．若，则的长为 ． 【答案】 16.如图，在中，以点C为圆心、任意长为半径作弧，分别交于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F；作射线交于点G．若，，的面积为9，则的面积为 ． 【答案】 三、解答题（本题共6小题，共52分） 17.请确定一个点P，使得点P到和的距离相等，且满足它到点A和点C的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹．） 【答案】如图，点P为所作． 18.如图，，于点E，交的延长线于点D，且，求证：是的平分线． 【答案】证明：，， ， 在和中， ， ， ， ，， 点C在的平分线上， ∴是的平分线． 19.学校数理学习小组活动纪实：已知：在中，D是上一点． 小宜说：如图1，若是边上的中线，则利用三角形的面积公式可以得出：； 小昌说：如图2，若点D是边上任意一点，则有； 小石说：如图3，若是的角平分线时，则有； 小榴说：受前面同学的启发我想到了：当是的角平分线时，有，请你为小榴同学说明理由． 【答案】证明：作， 是的角平分线， ， ， 又∵， ． 20.如图，中，垂直平分，交 于点F，交于点E，且． (1)若，求的度数； (2)若周长为，求的长． 【答案】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵周长为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 即， ∴． 21.如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，AG． （1）若△AEG的周长为10，求线段BC的长； （2）若∠BAC＝104°，求∠EAG的度数． 【答案】（1）∵DE垂直平分AB，GF垂直平分AC， ∴EA＝EB，GA＝GC， ∵△AEG的周长为10， ∴AE+EG+AG＝10， ∴BC＝BE+EG+GC＝AE+EG+GC＝10； （2）∵∠BAC＝104°， ∴∠B+∠C＝180°﹣104°＝76°， ∵EA＝EB，GA＝GC， ∴∠EAB＝∠B，∠GAC＝∠C， ∴∠EAB+∠GAC＝∠B+∠C＝76°， ∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠EAB+∠GAC）＝104°﹣76°＝28°． 22.【问题发现】 （1）如图①，在中，过点作，垂足为点，．若，则的值为________． 【问题探究】 （2）如图②，在中，、的垂直平分线分别交于点、，垂足分别为， 连接、，求的周长； 【拓展应用】 （3）如图③，是一个游乐场的平面示意图，其中，，平分交于点．现计划分别在处各修建一个游客休息区，、分别在小路、上，且，连接、，由规划得知的最小值为．现要继续在点、、处修建游乐区，点在上，且在线段的垂直平分线上，点、分别是、上的动点．沿、修建轨道交通以方便游客游玩．为节约成本要求的值最小，请问的值是否存在最小值；若存在，请求出此时的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：4． （2）解：∵、的垂直平分线分别交于点、， ∴， ∴的周长为． （3）解∶∵，， ∴， ∵平分， ∴， 如图∶作线段，使， ，连接， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．， ∵ 的最小值为，即 ∴． 如图：作的垂直平分线交与M，即，作点F关于的对称点R，连接，则 ∵平分，点F关于的对称点R， ∴点R在直线上， ∵， ∴当共线且直线垂直于， ∴点R和点O重合，即时，有最小值， ∵平分，点R在直线上，点F关于的对称点R， ∴ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$