1.4线段垂直平分线与角平分线（基础提升练习）（暑期自学课）2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025-2026学年苏科版数学八年级上册 1.4线段垂直平分线与角平分线 （基础提升练习）（暑期自学课） 【题型一】线段垂直平分线的概念与性质 【例1】如图，有A，B，C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　） A．在边AC，BC两条高的交点处 B．在边AC，BC两条中线的交点处 C．在边AC，BC两条垂直平分线的交点处 D．在∠ABC，∠ACB两条角平分线的交点处 【例2】如图所示，在中，，是的垂直平分线，垂足为E．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例3】如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接．若，，则的长为 ． 【例4】如图，在中，，于点，点是上一点，连接，，若，则线段的长度为 ． 【例5】已知：如图，，点E在上，求证：． 【例6】如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为10． (1)求的长； (2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【题型二】线段垂直平分线的应用与证明 【例1】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【例2】如图，在中，边的垂直平分线交．于点，，且，，则的周长是（    ） A．7.5 B．5 C．8 D．6 【例3】在中国传统戏剧《白蛇传》中，许仙与白蛇在西湖断桥之上以一把红色油纸伞为媒，演绎了一段千古奇缘．如图，油纸伞是我国传统工艺品之一，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞骨的点固定不动，且满足，伞柄平分，当点D在滑动的过程中，下列说法错误的是（    ） A． B．平分 C．线段垂直平分线段 D． 【例4】在中，小明利用直尺和圆规进行了下面的作图：首先作的角平分线交于点D；然后作线段的垂直平分线交于点E，交于点F．据此，我们可以推出：线段与线段的关系为 ． 【例5】如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径面弧，两弧相交于点M，N，连接，与，分别交于点D，E，连接． (1)若，则________； (2)若，的周长为12，求的周长． 【例6】“风筝飞满天，笑语乐无边”，由喜闻乐见的风筝可以抽象得到一种特殊的四边形—筝形．如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． (1)初步认识筝形后，数学活动小组的同学通过观察、测量、折纸等方法猜想筝形有什么性质，请你试着写出图中筝形的两条性质（定义除外）：① ；② ； (2)选择（1）题中你写的其中一条筝形的性质进行证明； (3)如图，若，，求筝形的面积． 【题型三】角平分线的概念与性质 【例1】三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【例2】如图，已知点O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【例3】如图，于于则（   ） A． B． C． D． 【例4】如图，在中，．用尺规作图法作出射线，交于点，则点到的距离是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例5】如图，在直角中，，的平分线交于点，若垂直平分，求的度数． 【例6】如图，在中，，． (1)请用尺规作出的平分线，交于点D； (2)若，求的面积． 【题型四】角平分线的应用与证明 【例1】如图，在中，，平分，交于点，于点，若，，则的面积为（　　） A. B． C． D． 【例2】如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点E．已知，，的面积为（    ） A．6 B．11 C．14 D．28 【例3】如图，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA．若OD＝3，AB＝10，则△AOB的面积是 　　． 【例4】如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为20，24，12，点P是△ABC三个内角平分线的交点，则S△PAB：S△PBC：S△PCA＝　 ． 【例5】如图，在中，，是上一点，于点，且． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【例6】数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍. 【问题提出】 （1）尺规作图：如图①，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是______． 【问题探究】 （2）①巧翻折，造全等 如图②，在中，是的角平分线，请说明． 小明在上截取．连接DE，则．请继续完成小明的解答； ②构距离，造全等 如图③，在四边形ABCD中，，，和的平分线，交于点．过点作于点．若，求点到的距离； 【问题解决】 （3）如图④，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 答案解析 【题型一】线段垂直平分线的概念与性质 【例1】如图，有A，B，C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　） A．在边AC，BC两条高的交点处 B．在边AC，BC两条中线的交点处 C．在边AC，BC两条垂直平分线的交点处 D．在∠ABC，∠ACB两条角平分线的交点处 【答案】C 【例2】如图所示，在中，，是的垂直平分线，垂足为E．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【例3】如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接．若，，则的长为 ． 【答案】 【例4】如图，在中，，于点，点是上一点，连接，，若，则线段的长度为 ． 【答案】27 【例5】已知：如图，，点E在上，求证：． 【答案】∵ ∴点A在的垂直平分线上， ∵， ∴点D在的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， ∵点E在上， ∴． 【例6】如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为10． (1)求的长； (2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】（1）垂直平分， ， 同理， ； （2）点在边的垂直平分线上， 理由：连接，，， 与是，的垂直平分线， ，， ， 点在边的垂直平分线上． 【题型二】线段垂直平分线的应用与证明 【例1】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【答案】B 【例2】如图，在中，边的垂直平分线交．于点，，且，，则的周长是（    ） A．7.5 B．5 C．8 D．6 【答案】B 【例3】在中国传统戏剧《白蛇传》中，许仙与白蛇在西湖断桥之上以一把红色油纸伞为媒，演绎了一段千古奇缘．如图，油纸伞是我国传统工艺品之一，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞骨的点固定不动，且满足，伞柄平分，当点D在滑动的过程中，下列说法错误的是（    ） A． B．平分 C．线段垂直平分线段 D． 【答案】D 【例4】在中，小明利用直尺和圆规进行了下面的作图：首先作的角平分线交于点D；然后作线段的垂直平分线交于点E，交于点F．据此，我们可以推出：线段与线段的关系为 ． 【答案】互相垂直平分 【例5】如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径面弧，两弧相交于点M，N，连接，与，分别交于点D，E，连接． (1)若，则________； (2)若，的周长为12，求的周长． 【答案】（1）解：根据作图可知：垂直平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：根据解析（1） 可知：， ∵的周长为12， ∴， 即． ∵， ∴的周长． 【例6】“风筝飞满天，笑语乐无边”，由喜闻乐见的风筝可以抽象得到一种特殊的四边形—筝形．如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． (1)初步认识筝形后，数学活动小组的同学通过观察、测量、折纸等方法猜想筝形有什么性质，请你试着写出图中筝形的两条性质（定义除外）：① ；② ； (2)选择（1）题中你写的其中一条筝形的性质进行证明； (3)如图，若，，求筝形的面积． 【答案】（1）解：观察可知：垂直平分，； 故答案为：垂直平分，； （2）性质1：∵，， ∴点均在线段的中垂线上， ∴垂直平分； 性质2：∵， ∴； （3）∵垂直平分， ∴． 【题型三】角平分线的概念与性质 【例1】三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【例2】如图，已知点O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则的度数为（   ）． B． B． C． D． 【答案】C 【例3】如图，于于则（   ） B． B． C． D． 【答案】C 【例4】如图，在中，．用尺规作图法作出射线，交于点，则点到的距离是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【例5】如图，在直角中，，的平分线交于点，若垂直平分，求的度数． 【答案】平分， ， 又垂直平分， ， ， ， ，， ， ， 即， ． 【例6】如图，在中，，． (1)请用尺规作出的平分线，交于点D； (2)若，求的面积． 【答案】（1）解；如图所示，线段和点D即为所求； （2）解：如图所示，过点D作于E， ∵平分，且，， ∴， ∴． 【题型四】角平分线的应用与证明 【例1】如图，在中，，平分，交于点，于点，若，，则的面积为（　　） A. B． C． D． 【答案】C 【例2】如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点E．已知，，的面积为（    ） A．6 B．11 C．14 D．28 【答案】C 【例3】如图，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA．若OD＝3，AB＝10，则△AOB的面积是 　　． 【答案】15 【例4】如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为20，24，12，点P是△ABC三个内角平分线的交点，则S△PAB：S△PBC：S△PCA＝　 ． 【答案】5：6：3． 【例5】如图，在中，，是上一点，于点，且． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】（1）证明：，，， 点在的平分线上， 平分． （2）解：，， ， 平分， 【例6】数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍. 【问题提出】 （1）尺规作图：如图①，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是______． 【问题探究】 （2）①巧翻折，造全等 如图②，在中，是的角平分线，请说明． 小明在上截取．连接DE，则．请继续完成小明的解答； ②构距离，造全等 如图③，在四边形ABCD中，，，和的平分线，交于点．过点作于点．若，求点到的距离； 【问题解决】 （3）如图④，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：    根据作图可得， 又， ∴， ∴， 即； 故答案为：； （2）①在上截取．连接DE， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴． ∴； ②如图：过点作，垂足为点， 和的平分线，交于点， ，即， ，即点到的距离是； （3），理由如下： ， ， ，是的两条角平分线，且，交于点． ， ； 在上截取，连接，则， ，， ∵， ， ， ， 又， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$