1.4线段垂直平分线与角平分线 巩固练习 （暑期自学课）2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025-2026学年苏科版数学八年级上册 1.4线段垂直平分线与角平分线 （巩固练习）（暑期自学课） 【典型例题】 【例1】到三角形三个顶点距离都相等的点是（   ） A．三角形的三条角平分线的交点 B．三角形的三边垂直平分线的交点 C．三角形的三条高线的交点 D．三角形的三条中线的交点 【例2】到三角形各边距离相等的点是（　　） A．三条边垂直平分线交点 B．三个内角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高交点 【例3】如图，平分，，，垂足分别为，．若，则（   ） A．2 B．3 C．1.5 D．2.5 【例4】如图，某景区有，，三处景点，景点之间均以最短路线修建公路，为了便于游客游玩与休息，现计划建设一座游客休息厅提供给游客休息，为了确保各个景点到游客休息厅的距离相等，则游客休息厅应建设在（    ） A．三条中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 【例5】如图，在中，是的垂直平分线，．求证：点在的垂直平分线上． 【例6】如图，平分，，，A，B为垂足，交于点N．求证：． 【举一反三】 【变式1】如图，在中，．用尺规作图法作出射线，交于点，则点到的距离是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】如图，直线经过线段的中点，点在直线上，且，则下列结论：；；平分；垂直平分线段．其中正确的个数有（    ） A． 个 B．个 C．个 D．个 【变式3】如图，在中，，平分，如果，点D到的距离是 ． 【变式4】如图，在中，，，作边的垂直平分线，交于点，交于点．若，则的长为 ． 【变式5】如图，在中，，，，．在上有一点D，恰好在的垂直平分线上． (1)求的面积； (2)连接，求的周长． 【变式6】如图，在中，平分，过点作于点，作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【巩固练习】 1.为促进旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示，若要使度假村到三条公路的距离相等，则这个度假村应修建在（　　） A．△ABC三条高线的交点处 B．△ABC三条中线的交点处 C．△ABC三条角平分线的交点处 D．△ABC三边垂直平分线的交点处 2.如图，两把相同的直尺的一边分别与射线重合，另一边相交于点P，则平分的依据是（    ） A．在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．角平分线的性质 D．角是轴对称图形 3.如图，在中，，边的垂直平分线和边的垂直平分线与边分别相交于点E，F，连接，，则的周长为（    ） A．36 B．18 C．32 D．不能确定 4.如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　） ①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5.如图，在中，的平分线交于点于D，如果，且三角形的面积，那么的长为 （   ） A． B． C． D．无法确定 6.如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，若CD＝3cm，则点D到AB的距离为 　　cm． 7.如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，连接，若，，则的长 ． 8.如图，在中，于E，于F，为的平分线，的面积是，， ．    9.图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，不要求写出画法． （1）在图①中作∠ABC的平分线BD． （2）在图②、图③中，过点C作一条直线CE，使点A、B到直线CE的距离相等，图②、图③所画直线CE不相同． 10.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G． （1）若BC＝9，求△AEG的周长． （2）若∠BAC＝130°，求∠EAG的度数． 11.如图，于于F，若， (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 12.如图所示，三个相同的直角三角形拼成一个四边形． (1)写出图1中互相平行的线段： 、 、 ； (2)如图2，若点M是线段的三等分点，点P是线段上的一个动点，画出取得最小值时点P的位置，并说明理由； (3)如图3，若点M是直线上的一个动点，点P是线段上的一个动点．已知，求的最小值． 答案解析 【典型例题】 【例1】到三角形三个顶点距离都相等的点是（   ） A．三角形的三条角平分线的交点 B．三角形的三边垂直平分线的交点 C．三角形的三条高线的交点 D．三角形的三条中线的交点 【答案】B 【例2】到三角形各边距离相等的点是（　　） A．三条边垂直平分线交点 B．三个内角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高交点 【答案】B 【例3】如图，平分，，，垂足分别为，．若，则（   ） A．2 B．3 C．1.5 D．2.5 【答案】B 【例4】如图，某景区有，，三处景点，景点之间均以最短路线修建公路，为了便于游客游玩与休息，现计划建设一座游客休息厅提供给游客休息，为了确保各个景点到游客休息厅的距离相等，则游客休息厅应建设在（    ） A．三条中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】B 【例5】如图，在中，是的垂直平分线，．求证：点在的垂直平分线上． 【答案】如图：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴点在的垂直平分线上． 【例6】如图，平分，，，A，B为垂足，交于点N．求证：． 【答案】证明：平分， ， 在和中， ， ． 【举一反三】 【变式1】如图，在中，．用尺规作图法作出射线，交于点，则点到的距离是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【变式2】如图，直线经过线段的中点，点在直线上，且，则下列结论：；；平分；垂直平分线段．其中正确的个数有（    ） B． 个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【变式3】如图，在中，，平分，如果，点D到的距离是 ． 【答案】2 【变式4】如图，在中，，，作边的垂直平分线，交于点，交于点．若，则的长为 ． 【答案】 【变式5】如图，在中，，，，．在上有一点D，恰好在的垂直平分线上． (1)求的面积； (2)连接，求的周长． 【答案】（1）解：； （2）解：如图： ∵点D在线段的垂直平分线上， ， 的周长为． 【变式6】如图，在中，平分，过点作于点，作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】（1）证明：平分，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，，，，， ， ， ． 【巩固练习】 1.为促进旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示，若要使度假村到三条公路的距离相等，则这个度假村应修建在（　　） A．△ABC三条高线的交点处 B．△ABC三条中线的交点处 C．△ABC三条角平分线的交点处 D．△ABC三边垂直平分线的交点处 【答案】C 2.如图，两把相同的直尺的一边分别与射线重合，另一边相交于点P，则平分的依据是（    ） A．在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．角平分线的性质 D．角是轴对称图形 【答案】A 3.如图，在中，，边的垂直平分线和边的垂直平分线与边分别相交于点E，F，连接，，则的周长为（    ） A．36 B．18 C．32 D．不能确定 【答案】A 4.如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　） ①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 5.如图，在中，的平分线交于点于D，如果，且三角形的面积，那么的长为 （   ） B． B． C． D．无法确定 【答案】B 6.如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，若CD＝3cm，则点D到AB的距离为 　3　cm． 【答案】3 7.如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，连接，若，，则的长 ． 【答案】 8.如图，在中，于E，于F，为的平分线，的面积是，， ．    【答案】2 9.图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，不要求写出画法． （1）在图①中作∠ABC的平分线BD． （2）在图②、图③中，过点C作一条直线CE，使点A、B到直线CE的距离相等，图②、图③所画直线CE不相同． 【答案】解：（1）由图可得：AB＝BC，找到线段AC中点，连接B点和中点的射线BD即是∠ABC的角平分线； （2）解：要使点A、B到直线CE的距离相等，即过点A、B向直线CE作垂线，垂线段距离相等；故图②图③中的直线CE即为所求作． 10.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G． （1）若BC＝9，求△AEG的周长． （2）若∠BAC＝130°，求∠EAG的度数． 【答案】（1）∵DE是AB的垂直平分线，GF是AC的垂直平分线， ∴EA＝EB，GA＝GC， ∴△AEG的周长＝EA+EG+GA＝EB+EG+GC＝BC＝9； （2）∵∠BAC＝130°， ∴∠B+∠C＝180°﹣130°＝50°， ∵EA＝EB，GA＝GC， ∴∠EAB＝∠B，∠GAC＝∠C， ∴∠EAB+∠GAC＝∠B+∠C＝50°， ∴∠EAG＝130°﹣50°＝80°． 11.如图，于于F，若， (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴平分； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 12.如图所示，三个相同的直角三角形拼成一个四边形． (1)写出图1中互相平行的线段： 、 、 ； (2)如图2，若点M是线段的三等分点，点P是线段上的一个动点，画出取得最小值时点P的位置，并说明理由； (3)如图3，若点M是直线上的一个动点，点P是线段上的一个动点．已知，求的最小值． 【答案】（1）解：∵， ∴ 同理可得 ∵， ∴， 同理可得， ∴由平行线的唯一性可知B、C、D三点共线， ∴； 故答案为：；；； （2）解：如图，延长至点H，使，连接交于点P，点P即为所求； ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，即此时取得最小值； （3）解：如图，延长至点H，使，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 连接，过H作于， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， 当三点共线，且时有最小值，最小值为的长度， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$