第十四章 全等三角形（证明题专题训练）-2025-2026学年人教版数学八年级上册暑能力提升训练

第十四章 全等三角形（证明题专题训练）-2025-2026学年人教版数学八年级上册暑能力提升训练 目录 一、三角形全等的判定-SAS 2 二、三角形全等的判定ASA 4 三、三角形全等的判定AAS 6 四、直角三角形全等的判定-HL 9 一、三角形全等的判定-SAS 1．已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 2．已知：如图，在、中，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接． （1）求证：； （2）试猜想、有何特殊位置关系，并证明． 3．如图，，，，点在边上，求证：． 4．如图，点C是线段的中点，，求证： 5．如图，在 与 中， 连接，，与相交于点F，连接，与相交于点 G （1）求证： ； （2）求 的度数 6．如图，点D在AC上，BC，DE交于点F，，，． （1）求证：； （2）若，求∠CDE的度数． 二、三角形全等的判定ASA 7．如图，四边形中，对角线、交于点，，点是上一点，且，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 8．如图，点B、C、D在同一条直线上，，，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 9．如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：． 10．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上， 且 ．求证： ． 11． 已知：如图，AC∥DF，点B为线段AC上一点，连接BF交DC于点H，过点A作AE∥BF分别交DC、DF于点G、点E，DG＝CH，求证：△DFH≌△CAG． 12．如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，E是AB边上一点，连接ED，F是ED延长线上一点，连接CF，若BC平分∠ACF，求证：BE＝CF． 三、三角形全等的判定AAS 13．如图．点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，．． （1）求证：； （2）若，，求的长． 14．已知：如图，点E、F在线段BD上，BE＝DF，AB∥CD，∠A＝∠C.求证：△ABF≌△CDE. 15．如图，，，，，垂足分别是，． （1）求证：； （2）猜想线段，，之间具有怎样的数量关系，并说明理由． 16．已知：如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF与DE交于点O．求证：AB=DC． 17．已知：点在同一直线上，，，．求证： （1）； （2）． 18．如图，在中，，是边上的高，过点作交的延长线于点， 求证：． 四、直角三角形全等的判定-HL 19．如图，已知，垂足分别为E，F，，求证：． 20．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，且BF＝AC，DF＝DC． 求证：BE⊥AC． 21．如图，，，与交于点，． （1）求证：； （2）已知：，求证：． 22．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一点，连接BD，EC⊥AC，且AE＝BD，AE与BC交于点F． （1）求证：△ABD≌△CAE； （2）当AD＝CF时，求∠ABD的度数． 23．如图，在中，．点在外，连接，作于点，交于点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 24．如图，，，在同一条直线上，，，． （1）求证：≌； （2）求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 全等三角形（证明题专题训练）-2025-2026学年人教版数学八年级上册暑能力提升训练 目录 一、三角形全等的判定-SAS 2 二、三角形全等的判定ASA 9 三、三角形全等的判定AAS 15 四、直角三角形全等的判定-HL 21 一、三角形全等的判定-SAS 1．已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 【解析】【分析】（1）根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得，由线段的和差和等式的性质可得，结合已知，用边角边可证，再根据全等三角形的对应边相等可求解； （2）根据全等三角形的对应角相等可得，在△ACE中，根据三角形的内角和等于180°即可求解． （1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 2．已知：如图，在、中，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接． （1）求证：； （2）试猜想、有何特殊位置关系，并证明． 【答案】（1）证明：， ，即， 在和中， ， ； （2）解：，理由如下： ， 如图，设与交于点G， ， ， ，， ， ． 【解析】【分析】（1）由等量加等量和相等得∠BAD=∠CAE，从而利用“SAS”判断出△BAD≌△CAE； （2）根据全等三角形的对应角相等即可得到，由“8”字形图可得∠CDG=∠BAC=90°，从而可得结论. （1）证明：， ，即， 在和中， ， ； （2）解：，理由如下： ， 如图，设与交于点G， ， ， ，， ， ． 3．如图，，，，点在边上，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴ 在，中， ∴ 【解析】【分析】先利用角的运算和等量代换可得，再利用“SAS”证出即可. 4．如图，点C是线段的中点，，求证： 【答案】证明：∵C是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】【分析】先根据题意得到和，再根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等证明即可． 5．如图，在 与 中， 连接，，与相交于点F，连接，与相交于点 G （1）求证： ； （2）求 的度数 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， （2）解：∵， ∴， 又， ∴， 即． 【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质. （1）由，利用角的运算可得：，再根据，，利用全等三角形的判定定理“”可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，再根据三角形外角的性质可得出，进而可得，再进行计算可求出的度数． （1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， （2）解：∵， ∴， 又， ∴， 即． 6．如图，点D在AC上，BC，DE交于点F，，，． （1）求证：； （2）若，求∠CDE的度数． 【答案】（1）证明：∵∠DBA=∠EBC， ∴∠DBA+∠CBD=∠EBC+∠CBCD， ∴∠CBA=∠EBD， 在△ABC和△DBE中， ， ∴△ABC≌△DBE（SAS）. （2）解：由（1）可知：△ABC≌△DBE， ∴∠C=∠E， ∵∠C+∠CDE+∠CFD=∠E+∠CBE+∠BFE，且∠CFD=∠BFE， ∴∠CDE=∠CBE， ∵ ， ， ∴∠CDE=∠ABD=20°. 【解析】【分析】】（1）利用“SAS”直接证明三角形全等即可； （2）由全等三角形的性质可得∠C=∠E，再根据三角形内角和定理即可求解． （1）证明：∵∠ABD=∠CBE， ∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC， 即：∠ABC=∠DBE， 在△ABC和△DBE中， ， ∴△ABC≌△DBE（SAS）； （2）解：由（1）可知：△ABC≌△DBE， ∴∠C=∠E， ∵∠DFB=∠C+∠CDE， ∠DFB=∠E+∠CBE， ∴∠CDE=∠CBE， ∵∠ABD=∠CBE=20°， ∴∠CDE=20°． 二、三角形全等的判定ASA 7．如图，四边形中，对角线、交于点，，点是上一点，且，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：， ， 即：， 在和中， ， ∴， . （2）解：由（1）得， ， ，， ． 【解析】【分析】（1）先求出，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可； （2）根据全等三角形的性质求出，再计算求解即可。 （1）证明：， ， 即：， 在和中， ， ∴， ； （2）解：由（1）得， ， ，， ． 8．如图，点B、C、D在同一条直线上，，，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， 在△ABC和△CDE中， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【解析】【分析】（1）由垂直得，从而可得，于是可根据证明； （2）根据，得出，，根据等腰三角形的性质求出，再由即可得到结论． （1）证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 9．如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明：∵BC∥EF， ∴∠ACB=∠DFE， ∵AF=CD， ∴AF+FC=CD+CF，即AC=DF， 在△ABC与△DEF中， ∵∠A=∠D，AC=DF，∠ACB=∠DFE， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， ∴BC=EF. 【解析】【分析】由二直线平行，内错角相等得∠ACB=∠DFE，再由AF=CD可推出AC=DF，从而根据全等三角形ASA证出△ABC≌△DEF，再根据全等三角形的对应边相等即可得证. 10．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上， 且 ．求证： ． 【答案】证明：∵AB∥DE，AC∥DF， ∴∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F． ∵BE＝CF， ∴BC＝EF． 在△ABC与△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， ∴AB＝DE． 【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，再利用线段的和差及BE=CF，可得BC=EF，再利用“ASA”证明△ABC≌△DEF，可得AB=DE。 11． 已知：如图，AC∥DF，点B为线段AC上一点，连接BF交DC于点H，过点A作AE∥BF分别交DC、DF于点G、点E，DG＝CH，求证：△DFH≌△CAG． 【答案】证明：∵AC∥DF，AE∥BF， ∴∠C＝∠D，∠AGC＝∠DHF， ∵DG＝CH， ∴CH+HG＝HG+DG，即CG＝DH， 在△DFH和△CAG中， ， ∴△DFH≌△CAG（ASA）． 【解析】【分析】想要证明△DFH≌△CAG，先根据已知条件观察两个三角形，发现AC∥DF可以带来一组等角，AE∥BF可以带来另一组等角，两个三角形已经有了对应相等的两组角，根据ASA定理或者AAS定理，还须要一组对应边相等，题中给的DG＝CH 不是三角形的边，同时加上线段HG就可以得到一组相等的对应边了，至此整理思路写出证明过程即可。 12．如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，E是AB边上一点，连接ED，F是ED延长线上一点，连接CF，若BC平分∠ACF，求证：BE＝CF． 【答案】证明：∵AD垂直平分BC， ∴AB＝AC，BD＝DC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BC平分∠ACF， ∴∠FCB＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠FCB， 在△BDE和△CDF中， ， ∴△BDE≌△CDF（ASA）， ∴BE＝CF． 【解析】【分析】先求出∠ABC＝∠FCB，再利用“ASA”证明△BDE≌△CDF，可得BE=CF。 三、三角形全等的判定AAS 13．如图．点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，．． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， 又∵， ∴． 【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理即可求出答案. （2）根据全等三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案. （1）证明：在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， 又∵， ∴． 14．已知：如图，点E、F在线段BD上，BE＝DF，AB∥CD，∠A＝∠C.求证：△ABF≌△CDE. 【答案】证明：∵BE＝DF， ∴BE+EF＝DF+EF， 即BF＝DE， ∵AB∥CD， ∴∠B＝∠D， 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（AAS）. 【解析】【分析】由BE＝DF可得BF＝DE，由平行线的性质可得∠B＝∠D，然后根据全等三角形的判定定理AAS进行证明. 15．如图，，，，，垂足分别是，． （1）求证：； （2）猜想线段，，之间具有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵，， ∴． ∵， ∴． 在和中 ∴； （2）解：AD=BE+DE，理由如下： ∵， ∴，． ∴． ∴. 【解析】【分析】(1) 由题知，先求，再根据证，由AAS即可证 ； (2) 要找，，之间的数量关系，即需要将几条线段换到一条线段上作比较，由(1)知，，再由即可证. 16．已知：如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF与DE交于点O．求证：AB=DC． 【答案】证明：∵ BE=CF ， ∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE， ∵ ∠A=∠D，∠B=∠C ， ∴ △ABF≌△DCE(AAS)， ∴AB=DC . 【解析】【分析】根据AAS证明△ABF≌△DCE，利用全等三角形的对应边相等即得结论. 17．已知：点在同一直线上，，，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中 ． （2）解：由（1）可知，， ， ． 【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质可得∠B=∠DEF，再利用线段的和差及等量代换求出BC=EF，再利用“AAS”证出即可； （2）利用全等三角形的性质可得∠ACB=∠F，再利用平行线的判定方法可得． （1）证明：， ， ， ， ， 在和中 ． （2）解：由（1）可知，， ， ． 18．如图，在中，，是边上的高，过点作交的延长线于点， 求证：． 【答案】证明： ， ． ， ， 又，， ． 在和中， ≌， ． 【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质，得到再根据平行线的性质，得到最后根据等量代换即可得出结论． 四、直角三角形全等的判定-HL 19．如图，已知，垂足分别为E，F，，求证：． 【答案】证明：， ， ， ， 在和中， ， ． 【解析】【分析】先根据垂直的定义得，由线段的和差关系求出，然后根据两直角三角形全等的判定定理”“即可得证结论. 20．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，且BF＝AC，DF＝DC． 求证：BE⊥AC． 【答案】证明：∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 【解析】【分析】利用"HL"证明则r然后根据三角形内角和定理和对顶角的定义即可得到：进而即可求证. 21．如图，，，与交于点，． （1）求证：； （2）已知：，求证：． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ 【解析】【分析】（1）由题意可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案. （2）根据全等三角形性质可得，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案. （1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 22．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一点，连接BD，EC⊥AC，且AE＝BD，AE与BC交于点F． （1）求证：△ABD≌△CAE； （2）当AD＝CF时，求∠ABD的度数． 【答案】（1）证明 ， ， ， 在与中， ， ． （2）由（1）知 ，又， ，， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， 由（1）知 ， 【解析】【分析】（1）直接利用证明 即可； （2）先判定 △ABC 为等腰直角三角形，则，再由两角互余可得，再由全等的性质结合等量代换可得，则由三角形的内角和可得，再由三角形的外角性质可得，最后由全等的性质即可求得． 23．如图，在中，．点在外，连接，作于点，交于点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， 在和， ， ∴（）， ∴， （2）解：如图，连接， ∵， ∴， 在和， ， ∴（）， ∴， ∴； 【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得（），则，即可求出答案. （2）连接AF，根据边之间的关系可得DE=3，再根据全等三角形判定定理可得（），则，再根据边之间的关系即可求出答案. （1）证明：∵，， ∴， 在和， ， ∴（）， ∴， （2）解：如图，连接， ∵， ∴， 在和， ， ∴（）， ∴， ∴； 24．如图，，，在同一条直线上，，，． （1）求证：≌； （2）求证：． 【答案】（1）证明：， ． ， 和都是直角三角形． 在和中， ， ≌； （2）证明：≌， ． ， ． ，，在同一条直线上， ， ， ． 【解析】【分析】（1）结合已知条件找出判定全等三角形的三组条件即可，其中通过题干的等角即可提供一组等边进而得证全等； （2）利用（1）中全等的性质进行全等推理，即可得出目标∠CBE为直角，不熟练的情况也可以通过设元更为直观表示角度关系. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$