12.2 三角形的性质（三角形角的性质）（题型专练）数学北京版2024八年级上册

12.2 三角形的性质（三角形角的性质） 题型一 证明三角形内角和 1．（24-25八年级上·北京·期中）通过学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路． 例如：在证明“三角形的内角和是”的结论时，如图，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知，求证，并进行了证明，如下： 已知：，，是的三个内角． 求证：． 证明：延长，过点作． ∴，． ∵． ∴． 请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质以及平角的定义，三角形内角和定理的证明；过点A作直线，利用平行线的性质，可得出，结合平角等于，即可证出． 【详解】证明：如图所示， 过点A作直线， ∴，(两直线平行，内错角相等)． ∵(平角的定义)， ∴． 2．（22-23八年级上·北京房山·期中）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形三个内角的和等于”为主题开展数学活动．某小组三位同学在纸上画出三角形并剪下，然后通过观察、实验的方法得到了“三角形三个内角的和等于”的结论，实验方法如下： 实验方法1：将撕下，然后拼接摆放如图． 实验方法2：将撕下，然后拼接摆放如图． 实验方法3：将撕下，然后把点A和点C重合拼接摆放如图． 受到实验方法1的启发，小明形成了证明该结论的想法：方法1的拼接方法直观上看，是把和移动到的右侧，且使这三个角的顶点重合，如果把这种拼接方法抽象为几何图形，那么利用所学过的知识就可以解决问题了． 小明的证明过程如下： 已知：如图，求证： 证明：延长到D，过点C作． ∵， ∴___________（两直线平行，内错角相等），（　　） ∵（平角定义）． ∴． 请你参考小明解决问题的方法1的思路，从方法2和方法3中任选一种，画图并标注字母，写出证明该结论的过程． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质得到，再利用平角的定义得到，从而得到； 选择实验方法3进行证明，过C点作的平行线，如图1，根据平行线的性质得到，即，然后利用等量代换得到． 【详解】证明：延长到D，过点C作， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：1；两直线平行，同位角相等； 选择实验方法3进行证明： 已知：如图， 求证： 证明：过C点作的平行线，如图1， ∵， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 题型二 由三角形内角和直接求角度 3．（20-21八年级上·湖南·期中）等腰三角形的一个角是，则它的底角度数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、等腰三角形的性质，熟练等腰三角形的性质是解题关键．先分顶角为和底角为两种情况，再根据等腰三角形的性质即可解答． 【详解】解：当它的顶角为时， 它的底角度数为：； 当它的底角为时， 它的底角度数为：； ∴它的底角度数是或． 故选：C． 4．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，沿向下翻折得到，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了翻折的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．由翻折的性质得，结合利用三角形的内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：由翻折的性质得，， 又， ． 故选：B． 5．（24-25八年级上·北京·期中）三个等边三角形的摆放位置如图所示，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，由等边三角形和平角的性质可得，可得，得到，再将代入可求解． 【详解】解：如图， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，已知，和，和是对应顶点．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据三角形的内角和定理求出，再利用全等三角形对应角相等的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，，，，． (1)求； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定以及30度直角三角形的性质；解题关键在于角度和边长的转换． （1）由可得，再由，即可求出， （2）先求出，即可得到，再根据在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边是斜边的一半可得，由此得出，从而求出的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴，即：， ∴ 题型三 由三角形内角和判断三角形形状 8．（20-21八年级上·北京·阶段练习）在△ABC中，，则△ABC是（    ） A．等腰直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】根据题意，可设∠A=x，表示出∠B，∠C的度数．根据三角形内角和定理列方程求出各角的度数再判断三角形的形状． 【详解】解：设∠A=x，∵， ∴∠B=2x，∠C=3x， 根据三角形内角和定理得，x+2x+3x=180， 解得 x=30， 则2x=60，3x=90， 即三角形内角分别为30°，60°，90°， ∴此三角形是直角三角形． 故选D． 【点睛】此题考查三角形内角和定理及判断三角形的形状，属基础题． 9．（24-25八年级上·北京·阶段练习）在一个三角形中，三个内角的度数之比为，则这个三角形是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】直角 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题，三角形的内角和定理，三角形的分类．设该三角形三个内角的度数分别为，，，根据三角形的内角和定理即可列出方程，求解得到各内角的度数，即可解答． 【详解】解：设该三角形三个内角的度数分别为，，，则 ， 解得：， ∴这个三角形的三个内角为，，， ∴这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角 10．（24-25七年级下·重庆万州·期末）已知的三个内角的对边分别为． (1)化简：； (2)若满足，试判断是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，并说明理由． 【答案】(1) (2)是钝角三角形，理由见详解 【分析】本题考查了三角形的三边关系，化简绝对值，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得，再化简绝对值，即可作答． （2）结合得，根据三角形内角和性质进行化简整理得，则，即可作答． 【详解】（1）解：∵的三个内角的对边分别为 ∴ ∴， ∴ ； （2）解：是钝角三角形，理由如下： ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴两式子相加得 解得 ∵ ∴ 即是钝角三角形． 题型四 三角形内角和与平行线的综合运用 11．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，若，是边上一点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理及平行线的性质，解题的关键是利用“两直线平行，同旁内角互补”或“内错角相等”推导角度关系． 【详解】在中，由三角形内角和为， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 12．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，在中，点在上，点在上，,若，，则的度数为 ( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键． 根据平行线的性质可得，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 13．（24-25八年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，，，，，若，则 ， ． 【答案】 /度 /度 【分析】本题考查了平行线的性质、角的和差倍分、三角形内角和定理、外角的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据平行线的性质、角的和差倍分、三角形的内角和定理、外角的性质即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：，． 14．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，已知，点E在上，平分，平分．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理及其方程的思想求解是解答的关键． 设，根据三角形的内角和定理可得， 利用角平分线的定义和平行线的性质推导出，再根据的内角和定理得到，进而列方程求得x值即可解答． 【详解】解：设， ， 平分， ， ， ，平分 ， 在中，， ， 解得， ． 故答案为：． 题型五 三角形内角和与角平分线的综合运用 15．（24-25七年级下·北京海淀·期末）如图，D为内一点，平分，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂线的定义，三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形内角和等于是解题关键．由垂线的定义可得，再由三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故选：C 16．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，是边上的高，平分交边于点E，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理．熟练掌握角平分线的定义，三角形内角和定理是解题的关键． 由题意知，，由平分，可得，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 17．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，，，平分，是边上的高，则的度数是 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查了三角形的高线，角的平分线，三角形内角和定理，直角三角形的性质，正确理解概念是解题的关键．根据，结合三角形内角和定理得结合角的平分线解答即可． 根据高线的定义，得到，，结合解答即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵平分， ∴． ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴． 18．（23-24八年级上·北京海淀·开学考试）如图，在中，，，，平分，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理和外角的性质，熟练掌握以上知识是解题． 先根据三角形内角和定理求出，，再由角平分线求出即可解答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 平分， ， ． 故答案为：． 19．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，平分，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)与平行，理由见解答 (2) 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、平行线的性质和判定，掌握平行线的性质、判定及三角形的内角和定理是解决本题的关键． （1）先说明，再说明，利用平行线的判定得结论； （2）利用平行线的性质求出，利用邻补角求出即可． 【详解】（1）解：与平行． 理由：平分， ， 则， ， ， ． （2）解：． ， ， ， ， ， ． 题型六 求三角形外角的度数 20．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，已知，的一个外角是 ，它的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角的性质． 根据三角形外角的性质作答即可． 【详解】解：的一个外角是，它的度数为． 故答案为：，． 21．（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知的三个外角度数之比为，那么三个外角中最大角的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查三角形的外角，根据三角形的外角和为360度，结合比例关系，进行求解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 22．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知等腰，若它的一个外角等于，则它的顶角度数为 ． 【答案】/110度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内外角的关系及三角形内角和；由外角的度数求得与它相邻的内角为，根据三角形内角和知，它就是顶角． 【详解】解：与外角相邻的内角为， 由等腰三角形性质及三角形内角和知，等腰三角形的底角是锐角， 所以等腰三角形的顶角为顶角； 故答案为：． 23．（23-24八年级上·湖北随州·阶段练习）已知的三个内角度数之比是，则三个外角对应的度数之比是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角，先分别求出各内角的度数，再求出外角的度数，即可得出答案． 【详解】设三个内角的度数为，根据三角形内角和定理，得 ， 解得， ∴， ∴三个外角为， ∴三个外角的比为． 故答案为：． 题型七 由三角形的外角性质求角度 24．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，点A，B在直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形外角定理可得，根据邻补角的定义可得.本题主要考查了三角形外角定理和邻补角的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键. 【详解】解：是的一个外角， ， ， 又， . 故选：C. 25．（24-25八年级上·青海海西·期末）如图，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质的应用，首先根据三角形外角性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 26．（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图，在中，，． 尺规作图的步骤为：①以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，交的延长线于点E；②分别以D，E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F；③作射线．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了三角形外角的性质、角平分线的作图、角平分线的定义，根据三角形外角的性质求出的度数，再由平分即可得到答案． 【详解】解∶∵，， ∴， 由题意知： 平分， ∴， 故选：B． 27．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则 °． 【答案】30 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的性质等知识点，根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，即可求出的度数，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【详解】解：∵是中的平分线，是的外角的平分线， ∴，， ∵是的外角， ∴， 故答案为：30． 28．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，把按如图的方式进行折叠使点A落到上，． (1)连接，与的位置关系是___________； (2)___________°； (3)计算的度数． 【答案】(1) (2)50 (3) 【分析】本题考查了折叠，三角形外角的性质，解题的关键是： （1）根据轴对称的性质求解即可； （2）根据轴对称的性质求解即可； （3）根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图， 由题意知：A、D关于对称， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意知：A、D关于对称，， ∴， 故答案为：50； （3）解：∵，， ∴ ， 又，， ∴． 题型八 三角形的外角性质与平行线的综合运用 29．（2025·北京朝阳·一模）如图，，，相交于点，若，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．延长至点，交于点，由，，可得，推出，最后根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：如图，延长至点，交于点， ，， ， ， ， ， 故选：B． 30．（20-21八年级上·陕西西安·期末）如图，已知 ，则的度数是（   ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据平行线的性质，求出的度数，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 31．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，一束平行主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线为，一束光线经过光心，其折射光线为，折射光线与交于P点，点F为焦点．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，熟知平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质求出的度数，再结合光线经过光心O，得出，最后利用外角定理即可解决问题． 【详解】解：， ． 又， ． 又光线经过光心O，且， ， ． 故答案为：． 题型九 三角形的外角性质与角平分线的综合运用 32．（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）如图，中，，，平分，交于点D，那么的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的运用，先根据三角形内角和得到的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，进而根据三角形外角，即可得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， 故选：C． 33．（24-25七年级下·山东东营·期末）如图，平分，点，是射线，上的点，连接．按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；②分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点，则．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形外角的性质和角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质是关键．证明，，得到，则，解得，即可得到的度数． 【详解】解：由作图可知，平分， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：D 34．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角和角平分线的性质，解题关键是熟练掌握三角形内角和定理、三角形外角和角平分线的性质． 根据三角形外角的性质和角平分线的定义求出，利用三角形的内角和定理求出，得到，从而求出，再次利用角平分线的性质与三角形的内角和定理进行解答即可． 【详解】解：如图所示： 、分别平分、， ，， ，， ， 、CE分别平分、， ， ， ， ， ， 、分别平分、， ， ， ， 故选：A． 35．（24-25七年级下·山东东营·期末）如图，点是的内角和的平分线的交点，点是的内角和的角平分线的交点，同样点是的内角和的角平分线的交点，若，那么 ． 【答案】 【分析】本题是找规律的题目，主要考查了三角形的外角性质及三角形的内角和定理，平分线的定义等知识，根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知，，…，依此类推可知的度数，即可求解． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴ ； 同理可得，， …， ∴， ∴ 故答案为：． 题型一 三角形内角和与翻折的综合运用 1．（24-25七年级下·江苏·期末）如图，在中，，沿直线翻折，使得点A与点B重合，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角，由三角形内角和定理求出，由折叠的性质可得，再由等边对等角可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵沿直线翻折，使得点A与点B重合， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，将三个角分别沿、、翻折，三个顶点均落在点O处，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利用翻折变换的性质和三角形内角和定理． 通过分析翻折后形成的角与原三角形内角的关系，计算出的度数． 【详解】由题知： ， ， ， ， 故选：A． 3．（21-22八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，将沿翻折后，点落在边上的点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，根据折叠得出，，进而得出，根据三角形内角和定理得出，进而即可求解． 【详解】解：∵将沿翻折后，点落在边上的点处， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴, 故选：C． 4．（24-25八年级上·吉林白城·期末）已知等边三角形中，点分别在边上，把沿直线翻折，使点落在点处，、分别交边于点，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、等边三角形的性质、三角形的内角和定理等知识点，掌握折叠后的对应角相等及三角形内角和定理是解题关键． 由题意可得，由折叠可知，又，所以，，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵三角形为等边三角形， ∴． 由折叠可知，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 题型二 三角形内角和与三角板的综合运用 5．（24-25八年级上·北京·期中）数学活动课上，小明将一副三角板按如图方式叠放，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 6．（22-23八年级上·辽宁鞍山·期中）小明把一副含，的直角三角板如图摆放，其中，，则等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形外角的性质，三角形内角和定理，对顶角，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 根据三角形的外角的性质分别表示出和，计算即可． 【详解】解：如图，    ∵，， ∵， ∴， ∵ ， 故选：B． 7．（22-23七年级下·北京顺义·期末）一副三角板如图放置，其中，，，．有下列说法：①如果，那么；②如果，那么；③与的度数之和随着的变化而变化；④如果，那么．其中正确的是 （填写相应序号）．    【答案】①②④ 【分析】根据平行线的性质和判定以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：①∵，， ∴， ∵， ∴，故①正确； ②∵ ∴ ∵ ∴，故②正确； ③， ∴与的度数之和不会随着的变化而变化，故③错误； ④∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】此题考查了平行线的性质和判定以及三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 8．（24-25七年级下·北京西城·期中）如图1，将三角板与三角板摆放在一起；如图2，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角． (1)当为________度时，，并在图3中画出相应的图形； (2)当的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角的所有可能的度数； (3)当时，连结，利用图4探究值的大小变化情况，并给出你的证明． 【答案】(1)；图见解析 (2)，，，，； (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质， 对于（1），根据，可得，再根据得出答案； 对于（2），分别画出图形，再根据平行线的性质求出旋转角即可； 对于（3），设分别交于点M，N，根据三角形的内角和定理得，再根据三角形外角的性质得，，可得，再将代入得出答案. 【详解】（1）解：； 根据题意可知， ∵， ∴， ∴. 故答案为：； （2）解：，，，，；理由如下： 由（1）知，时， 如图所示，，； 如图所示，， ∴， ∴， ∴； 如图所示，， ∴； 如图所示，， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： 证明：设分别交于点M，N， 在中，， ∵是的外角，是的外角， ∴，， ． ， ． 题型三 由三角形内角和定理探究角度之间的关系 9．（24-25八年级上·广东汕头·期中）已知，如图，在中，、分别是的高和角平分线， (1)若，，求的度数； (2)若为x，为y，求与x、y的关系． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的高，熟练掌握内角和定理是解本题的关键． （1）在中，由与的度数求出的度数，根据为角平分线求出的度数，由即可求出的度数； （2）仿照（1）得出与x、y的关系即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， 则； （2）解：， 理由如下： ∵，， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， 则． 10．（18-19七年级下·广东揭阳·期中）小学四年级我们已经知道三角形三个内角和是，对于如图1中，，交于点，形成的两个三角形中的角存在以下关系：①；②．试探究下面问题： 已知的平分线与的平分线交于点， (1)如图2，若，，，则 ； (2)如图3，若不平行，，，则 ； (3)在总结前两问的基础上，借助图3，探究与、之间是否存在某种等量关系？若存在，请说明理由；若不存在，请举例说明． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，对顶角相等的性质． （1）先求得，，利用角平分线的定义求得，，根据题意，即可求解； （2）根据角平分线的定义，结合题干求得，代入数据即可求解； （3）根据角平分线的定义，题干给出的结论即可求解． 【详解】（1）解：平分，平分，，， ∴，， ，， ， ； 故答案为：； （2）， 解：平分，平分 ，， ，， ． ． ∴． 故答案为：； （3）解：，理由如下， 平分，平分 ，， ，， ． ． 1．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知中， (1)如图1，平分，平分，，求的度数； (2)如图2，是的外角，、的平分线交于点D，求与的数量关系； (3)如图3，、是的外角，的平分线所在的直线与、的平分线分别交于点F､D．在中，如果，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由三角形的内角和定理可得，再根据三角形角平分线的定义可得，然后再次利用三角形的内角和定理即可得出的度数； （2）设与交于点，由三角形角平分线的定义可得，，由三角形外角的性质可得，由三角形的内角和定理、对顶角相等可推出，于是可得结论； （3）由三角形角平分线的定义可得，，进而可推出，由（2）可知，根据三角形的内角和定理可得，于是可得关于的一元一次方程，解方程即可得出的度数，进而得出的度数． 【详解】（1）解：，， ， 平分，平分， ，， ， ， ； （2）解：如图，设与交于点， 、分别是、的平分线， ，， ， ， ； （3）解：平分，平分， ，， ， 平分，平分， ∴由（2）可知：， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，等式的性质，三角形角平分线的定义，三角形外角的性质，对顶角相等，等式的性质，解一元一次方程等知识点，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 2．探究与发现： 探究：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？ 问题发现： (1)已知如图1，与分别为的两个外角，试探究与的数量关系； (2)类比探究：已知如图2，在中，分别平分和，试探究与的数量关系； (3)拓展延伸：如图3，在四边形中，分别平分和，直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形的内角、外角以及角平分线的定义等知识，解题的关键是根据外角的性质以及角平分线的定义正确表示角之间的关系． （1）根据三角形外角的性质表示出和即可解答； （2）先根据角平分线的性质求得，，然后利用三角形的内角和定理表示出即可解答； （3）根据（1）和（2）的结论代入整理即可． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴， 即； （2）∵平分， ∴， 同理，， ∴， 即； （3）如图，延长交于点， 由（2）中结论知，， 由（1）中结论知，， ∴， 即． 3．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）在中，分别平分． (1)如图1，若，则 ； (2)如图2，连接，求证：平分； (3)如图3，若求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形的内角和定理得到； （2）如图2，过作于，于，于，根据角平分线的性质和角平分线的定义即可得到结论； （3）在上截取，连接，根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，根据等腰三角形的判定和性质即可得到结论． 本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性质，三角形的内角和定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， 、分别平分、， ，， ， ， 故答案为：； （2）证明：如图2，过作于，于，于， 、分别平分、， ，， ， 平分； （3）解：在上截取，连接， 平分， ， ， ∴， ，， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.2 三角形的性质（三角形角的性质） 题型一 证明三角形内角和 1．（24-25八年级上·北京·期中）通过学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路． 例如：在证明“三角形的内角和是”的结论时，如图，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知，求证，并进行了证明，如下： 已知：，，是的三个内角． 求证：． 证明：延长，过点作． ∴，． ∵． ∴． 请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程． 2．（22-23八年级上·北京房山·期中）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形三个内角的和等于”为主题开展数学活动．某小组三位同学在纸上画出三角形并剪下，然后通过观察、实验的方法得到了“三角形三个内角的和等于”的结论，实验方法如下： 实验方法1：将撕下，然后拼接摆放如图． 实验方法2：将撕下，然后拼接摆放如图． 实验方法3：将撕下，然后把点A和点C重合拼接摆放如图． 受到实验方法1的启发，小明形成了证明该结论的想法：方法1的拼接方法直观上看，是把和移动到的右侧，且使这三个角的顶点重合，如果把这种拼接方法抽象为几何图形，那么利用所学过的知识就可以解决问题了． 小明的证明过程如下： 已知：如图，求证： 证明：延长到D，过点C作． ∵， ∴___________（两直线平行，内错角相等），（　　） ∵（平角定义）． ∴． 请你参考小明解决问题的方法1的思路，从方法2和方法3中任选一种，画图并标注字母，写出证明该结论的过程． 题型二 由三角形内角和直接求角度 3．（20-21八年级上·湖南·期中）等腰三角形的一个角是，则它的底角度数是（   ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，沿向下翻折得到，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·北京·期中）三个等边三角形的摆放位置如图所示，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，已知，和，和是对应顶点．若，，则 ． 7．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，，，，． (1)求； (2)求的长． 题型三 由三角形内角和判断三角形形状 8．（20-21八年级上·北京·阶段练习）在△ABC中，，则△ABC是（    ） A．等腰直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 9．（24-25八年级上·北京·阶段练习）在一个三角形中，三个内角的度数之比为，则这个三角形是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 10．（24-25七年级下·重庆万州·期末）已知的三个内角的对边分别为． (1)化简：； (2)若满足，试判断是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，并说明理由． 题型四 三角形内角和与平行线的综合运用 11．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，若，是边上一点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，在中，点在上，点在上，,若，，则的度数为 ( ) A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，，，，，若，则 ， ． 14．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，已知，点E在上，平分，平分．若，则的度数为 ． 题型五 三角形内角和与角平分线的综合运用 15．（24-25七年级下·北京海淀·期末）如图，D为内一点，平分，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 16．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，是边上的高，平分交边于点E，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，，，平分，是边上的高，则的度数是 ． 18．（23-24八年级上·北京海淀·开学考试）如图，在中，，，，平分，则 ． 19．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，平分，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 题型六 求三角形外角的度数 20．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，已知，的一个外角是 ，它的度数为 ． 21．（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知的三个外角度数之比为，那么三个外角中最大角的度数是 ． 22．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知等腰，若它的一个外角等于，则它的顶角度数为 ． 23．（23-24八年级上·湖北随州·阶段练习）已知的三个内角度数之比是，则三个外角对应的度数之比是 ． 题型七 由三角形的外角性质求角度 24．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，点A，B在直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 25．（24-25八年级上·青海海西·期末）如图，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 26．（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图，在中，，． 尺规作图的步骤为：①以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，交的延长线于点E；②分别以D，E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F；③作射线．则的度数为（   ） A． B． C． D． 27．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则 °． 28．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，把按如图的方式进行折叠使点A落到上，． (1)连接，与的位置关系是___________； (2)___________°； (3)计算的度数． 题型八 三角形的外角性质与平行线的综合运用 29．（2025·北京朝阳·一模）如图，，，相交于点，若，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 30．（20-21八年级上·陕西西安·期末）如图，已知 ，则的度数是（   ）．    A． B． C． D． 31．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，一束平行主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线为，一束光线经过光心，其折射光线为，折射光线与交于P点，点F为焦点．若，，则 ． 题型九 三角形的外角性质与角平分线的综合运用 32．（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）如图，中，，，平分，交于点D，那么的度数是（　　） A． B． C． D． 33．（24-25七年级下·山东东营·期末）如图，平分，点，是射线，上的点，连接．按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；②分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点，则．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 34．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则等于（ ） A． B． C． D． 35．（24-25七年级下·山东东营·期末）如图，点是的内角和的平分线的交点，点是的内角和的角平分线的交点，同样点是的内角和的角平分线的交点，若，那么 ． 题型一 三角形内角和与翻折的综合运用 1．（24-25七年级下·江苏·期末）如图，在中，，沿直线翻折，使得点A与点B重合，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，将三个角分别沿、、翻折，三个顶点均落在点O处，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（21-22八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，将沿翻折后，点落在边上的点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·吉林白城·期末）已知等边三角形中，点分别在边上，把沿直线翻折，使点落在点处，、分别交边于点，若，求的度数． 题型二 三角形内角和与三角板的综合运用 5．（24-25八年级上·北京·期中）数学活动课上，小明将一副三角板按如图方式叠放，则等于（    ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级上·辽宁鞍山·期中）小明把一副含，的直角三角板如图摆放，其中，，则等于（　　）    A． B． C． D．   7．（22-23七年级下·北京顺义·期末）一副三角板如图放置，其中，，，．有下列说法：①如果，那么；②如果，那么；③与的度数之和随着的变化而变化；④如果，那么．其中正确的是 （填写相应序号）．    8．（24-25七年级下·北京西城·期中）如图1，将三角板与三角板摆放在一起；如图2，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角． (1)当为________度时，，并在图3中画出相应的图形； (2)当的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角的所有可能的度数； (3)当时，连结，利用图4探究值的大小变化情况，并给出你的证明． 题型三 由三角形内角和定理探究角度之间的关系 9．（24-25八年级上·广东汕头·期中）已知，如图，在中，、分别是的高和角平分线， (1)若，，求的度数； (2)若为x，为y，求与x、y的关系． 10．（18-19七年级下·广东揭阳·期中）小学四年级我们已经知道三角形三个内角和是，对于如图1中，，交于点，形成的两个三角形中的角存在以下关系：①；②．试探究下面问题： 已知的平分线与的平分线交于点， (1)如图2，若，，，则 ； (2)如图3，若不平行，，，则 ； (3)在总结前两问的基础上，借助图3，探究与、之间是否存在某种等量关系？若存在，请说明理由；若不存在，请举例说明． 1．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知中， (1)如图1，平分，平分，，求的度数； (2)如图2，是的外角，、的平分线交于点D，求与的数量关系； (3)如图3，、是的外角，的平分线所在的直线与、的平分线分别交于点F､D．在中，如果，求的度数． 2．探究与发现： 探究：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？ 问题发现： (1)已知如图1，与分别为的两个外角，试探究与的数量关系； (2)类比探究：已知如图2，在中，分别平分和，试探究与的数量关系； (3)拓展延伸：如图3，在四边形中，分别平分和，直接写出与的数量关系． 3．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）在中，分别平分． (1)如图1，若，则 ； (2)如图2，连接，求证：平分； (3)如图3，若求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$