4.3角的平分线（题型专练）数学新教材青岛版八年级上册

4.3角的平分线 （4大题型基础达标练+能力提升练+拓展培优练） 题型一 角的平分线的性质的应用 题型二 角的平分线的判定方法的应用 题型三 角的平分线的性质与判定的综合应用 题型四 尺规作图：作已知角的平分线 题型一 角的平分线的性质的应用 1．如图，在△ABC中，，平分，交于点D．，垂足为E．若，．则的长为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，由角平分线的性质定理得，即可求解；掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 【详解】解：，，平分， ， ； 故答案：B． 2．如图，平分，在上取一点，过作，垂足为，点是射线上一动点，连接，若，则的长度不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质、垂线段最短，根据角平分线的性质作出图形转化线段是解决问题的关键．过点作，如图所示，由角平分线的性质可得，根据点与直线上各点的距离中垂线段最短可得，从而得到答案． 【详解】解：过点作，如图所示： 平分，点是射线上一点，于点，， 由角平分线性质可得， 点是射线上一动点， 由点与直线上各点的距离中垂线段最短可得， 综合四个选项可知，的长度不可能是， 故选：D． 3．如图，在中，，分别平分和，连接．若，求的度数． 【答案】43° 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，过点O作，、，则根据角平分线的性质得到，，则，即可得到平分， 进而解题即可 【详解】解：如图，过点O作，、，垂足分别为D，E，F， ∵和的平分线交于点O，，，， ∴，， ∴， ∴平分． ∵∠， ∴． 4．如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，根据，是的平分线，于，得到，结合，证明即可． 【详解】证明：，是的平分线，于， ， ， ， ． 题型二 角的平分线的判定方法的应用 1．如图，在中，，点在上，连接，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的判定以及三角形的内角和性质，根据，以及，得出，证明是的角平分线，结合，，得出，即可作答． 【详解】解：如图：过点D作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴是的角平分线 ∴ ∵， ∴ ∴的度数为 故选：C． 2．三角形中，到三边距离相等的点是（    ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 利用角平分线的性质，只有角平分线的交点到三边的距离相等． 【详解】解：到三角形各边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点， 故选：C． 3．如图，在中，，，，点D在边上，点D 到边，的距离相等，且，则的周长等于（   ）    A．10 B．13 C．16 D．19 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定，全等三角形的判定与性质等知识，先根据角平分线的判定得出，根据证明，得出，然后根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵点D 到边，的距离相等， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴的周长等于， 故选：B． 4．如图，于E，于F，，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】根据在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上解答．结合垂直定义以及四边形内角和360度，进行列式计算即可．本题考查了角平分线的性质，熟记在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：，，， 点在的平分线上， ∴． ∴ ∴ 故答案为： 5．如图，，，于点E，交的延长线于点F． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）通过证明，再根据其性质得出，再根据角平分线的判定进行证明即可； （2）先证明，再根据全等三角形的性质及线段的和差进行求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， 在与中，， ， ， 平分； （2）由（1）知平分， ， 在和中， ， ， ， 由（1）知， ， ． 题型三 角的平分线的性质与判定的综合应用 1．如图，在中，，平分，于，则下列结论：平分；；平分；，其中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、同角的余角相等的性质，解决本题的关键是根据角平分线的性质找出边和角之间的相等关系，根据边角之间的相等关系判断两三角形全等，利用全等三角形的性质证明结论是否成立． 【详解】解：， ， 平分， ， 在和中，， ， 平分， 故正确； 在中，， ， ， ， ， ， 故正确； 若平分， 则有， 只有当时，平分， 若，则不平分， 故不正确； 由可知， ， ， ， 故正确； 综上所述，错误的是． 故选：C． 3．如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，连接．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】 此题考查了角平分线的性质，理解角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解答此题的关键．过点作于点，于点，先通过计算得出，根据角平分线的性质得，，进而得，据此根据角平分线的性质可得出结论 【详解】证明：如图，过点作于点，于点， ，， ， ， ， ，即为的平分线． 又，， ． 是的平分线， ， ， 点在的平分线上， 平分． 4．如图，在四边形中，，，平分交于点E，连接，若点E是边的中点，求的度数． 【答案】 【分析】过点E作于点F，利用角的平分线的性质和判定解答即可． 本题考查了角的平分线的性质和判定，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如解图，过点E作于点F， ∵，平分， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴． 5．如图，在中，和的平分线交于点，过点作，，，垂足分别为． (1)求证：点在的平分线上； (2)若的周长和面积都为24，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）利用角平分线的性质证得，然后利用角平分线的判定定理，即可得出结论； （2）连接，由（1）知，然后由求得，根据的周长和面积都为24列式求解即可． 【详解】（1）证明：∵和的平分线交于点，过点作，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上； （2）解：连接， 由（1）知， ∴ ， ∵的周长和面积都为24， ∴， ∴． 题型四 尺规作图：作已知角的平分线 1．观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（    ） A．为的平分线 B． C．点到、的距离不相等 D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的尺规作图，涉及角平分线的定义、角平分线的性质等知识，根据题中尺规作图即可得到答案，熟记角平分线的尺规作图方法是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，图中尺规作图是作的平分线， A、有尺规作图可知为的平分线，说法正确，不符合题意； B、由尺规作图可知，说法正确，不符合题意； C、由角平分线性质可知点到、的距离相等，选项原说法错误，符合题意； D、由角平分线定义可得，说法正确，不符合题意； 故选：C． 2．已知，求作射线，使平分，那么作法的合理顺序是（    ） ①作射线； ②在射线和上分别截取，使； ③分别以D、E为圆心，大于的长为半径在内作弧，两弧交于点C． A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①② 【答案】C 【分析】本题考查基本作图—角平分线．根据角平分线的作图方法，进行排序判断即可． 【详解】解：作法的合理顺序是： ②在射线和上分别截取，使； ③分别以D、E为圆心，大于的长为半径在内作弧，两弧交于点C． ①作射线； 故选：C． 3．如图，在△ABC中，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P； ③作射线交于点D． 若，的面积为3，则的面积为 ． 【答案】 【分析】根据基本作图，得平分，过点D作于点E，于点F，则，利用三角形面积公式计算即可． 本题考查了角的平分线的基本作图，角的平分线的性质，熟练掌握作图和性质是解题的关键． 【详解】解：根据基本作图，得平分， 过点D作于点E，于点F， 则， ∵ ∴， ∵，的面积为3， ∴， 解得， 故答案为：． 4．如图，在中． (1)利用尺规作图，在边上找到一点P，使得点P到、的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，过点P作，垂足为D，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了角平分线的作法与性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据角平分线的性质，作的角平分线交于点P，点P即为所作； （2）根据角平分线的性质得到，然后证明，然后利用可得结论． 【详解】（1）图形如图所示： （2）∵AP平分，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 5．如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的判定，线段的垂直平分线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 连接，作线段的垂直平分线交的角平分线于点，点即为所求． 【详解】解：如图，点P即为所求． 1．如图，在△AOB和中，，，，．连接，交于点M，连接．下列结论： ①，②，③平分，④平分．其中正确的结论个数有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；由证明，得到，由三角形的外角性质得：，得出，①正确；根据全等三角形的性质得出，，②正确；作于G，于H，则，由证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；由，得出当时，才平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，，②正确； ∴， 由三角形的外角性质得：， ∴，①正确； 作于G，于H，如图所示： 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分，④正确； ∵， ∴当时，才平分， 假设 ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴ 与矛盾， ∴③错误； 正确的有①②④； 故选：B． 2．如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题．过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：过点C作于点P，交于点E，过点E作于F， ∵平分，，， ∴， ∴，此时取最小值． ∵的面积为18，， ∴， ∴． 即的最小值为6， 故选：B． 3．如图，的两个外角和的平分线，相交于点P，作射线，过点P作，，垂足分别是点C，D，则下列结论：①平分；②；③；④；⑤，其中正确的有 ． 【答案】①②④⑤ 【分析】此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．作于点E，由角平分线的性质得，，所以，则点P在的平分线上，所以平分，可判断①正确；再根据“”证明，得，可判断②正确；假设成立，可根据“”证明，得，则，与已知条件不符，可判断③错误；再根据“”证明，得，，同理可证明，，则，可判断④正确；由，，得，可判断⑤正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点E，则， ∵平分，平分，且于点C，于点D， ∴，， ∴， ∴点P在的平分线上， ∴平分，即平分，故①正确； 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； 假设成立，则有， ∴， ∴， ∴，与已知条件不符， ∴不成立，故③错误； 在和中， ， ∴， ∴，， 同理， ∴， ∴，，故④正确； ∵， ， ∴，故⑤正确， 故答案为：①②④⑤． 4．如图，，E是的中点，平分． (1)求证：是的平分线： (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质与判定，证明三角形全等是解题的关键． （1）过点作于点，首先根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得，根据等量代换可得，再根据角平分线的判定可得平分； （2）首先证明，可得，同理可得，再由利用等量代换可得结论． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点， ，平分，， ， 是的中点， ， ， 又，， 平分； （2）证明：， ， 在△DFE和△DCE中， DE=DE ∠DFE=∠DCE ∠ FDE=∠EDC ∴△DFE≌△DCE ， 同理， ， ． 5．如图，中，平分，且平分，于，于． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确找出全等三角形是解题关键． （1）连接、，先证出，，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，再设，根据线段的和差建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接、， 且平分， ， 平分，于，于， ，， 在与中， ， ∴， ． （2）解：平分，于，于， ，， 在与中， ， ∴， ， 由（1）已证：， 设， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴． 6．如图，，，，边分别与边和相交于点F和点G，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的判定定理等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键． （1）先证出，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，，再利用三角形的面积公式可得，然后根据角平分线的判定定理可得平分，最后根据三角形的内角和定理可得，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：如图，过点作于点，作于点， 由（1）已证：，， ∴，， ∴， ∴， 又∵，，点在的内部， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 1．如图1，已知等腰直角中，，，点D是腰上的一点（不与A，C重合），连接，过点A作，垂足为点E． (1)若是的角平分线，求证：； (2)探究：如图2，连接，当点D在线段上运动时（不与A，C重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 【答案】(1)见解析 (2)的大小不变，为定值 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）延长，相交于点F，先证明得到，再证明得到，进而可证得结论； （2）过点C作于点M，于点N，证明得到，根据角平分线的判定定理证得是的角平分线，进而可得，即可得结论． 【详解】（1）证明：如图，延长，相交于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：的大小不变，为定值，理由如下： 如图，过点C作于点M，于点N， 则， ∵， ∴， 由①可知，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∴, 即的大小不变，为定值． 2．数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍． 【问题提出】（1）尺规作图：如图1，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是_________； 【问题探究】（2）①构距离，造全等 如图2，在四边形中，，和的平分线交于边上一点．过点作于点．若，则_________； ②巧翻折，造全等 如图3，在中，是的角平分线，请说明；小明在上截取．连接，则．请继续完成小明的解答． 【问题解决】（3）如图4，在中，是△ABC的两条角平分线，且交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②见解析；（3），见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的作法、角平分线性质定理、三角形的外角性质以及全等三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． （1）直接利用证明即可得出； （2）①如图：过点作，垂足为点，利用角平分线的性质证得，即为的中点，进而求得的长即可； ②在上截取AE=AB．连接，根据全等三角形的判定和性质，利用三角形的外角性质即可解答； （3）在上截取，连接；再证明得到，；再证明，最后利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：（1）证明：根据作图可得，又， ， ， 即； 故答案为：； （2）①如图：过点作，垂足为点， 和的平分线交于点， ，即， ； ②如图：在上截取AE=AB．连接， 是的角平分线， ， 又， ． ， 又， ； （3），理由如下： ， 是△ABC的两条角平分线，且交于点． ， ； 在上截取，连接，则， ， ， ， 又， ， 是△ABC的角平分线， ， ， ， ． 3．【母题呈现】人教版八年级上册数学教材56页第10题，如图的三角形纸片中，，，．沿过点的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长． 解：是由折叠而得到， ． ，． ， ． ， 的周长为：． 【知识应用（1）在中，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P连接． (1)如图1，若，，求的面积： (2)如图2，求证： 平分； (3)如图3，过点作于，若，，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质，三角形面积的计算，折叠的性质， （1）根据折叠得出，，，根据求出结果即可； （2）过点P分别作、、边的垂线垂足分别为点F、H、M，根据角平分线的性质得出，，证明，根据角平分线的判定得出答案即可； （3）过点P分别作、边的垂线，垂足分别为点G、M，连接，证明，根据，得出，代入数据求出结果即可． 【详解】（1）解：根据折叠可知：，，， ； （2）证明：如图，过点P分别作、、边的垂线垂足分别为点F、H、M， 由题可知，，， ， 平分， ， ， ， 即平分； （3）如图，过点P分别作、边的垂线，垂足分别为点G、M，连接， 由题可知，，， ， 由（2）可知， ， ， ， ∵，， ∴， 解得：． 4．综合与实践 【问题情境】 在学习了角平分线的性质后，兴趣小组通过查阅资料得到以下知识： 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形， 如图1，在四边形中，，，这种四边形被称为等补四边形． 【探究实践】 经过交流讨论，李明、王红向同学们分享了自己的发现． （1）如图2，李明发现，连接，则为的角平分线，请你判断他的结论是否正确，并说明理由； （2）如图3，王红发现，在等补四边形中，当，，时，，与之间存在某种数量关系，请写出该关系并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，已知，，，若，，则的长度是_________． 【答案】（1）正确，理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质．正确地作出辅助线是解题的关键． （1）作交延长线于点，作于点，利用“角角边”证明，得出，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等反推出为的角平分线． （2）延长至使，连接，利用“边角边”证明，得到，，再通过角的等量代换得到，再利用“边角边”证明，得到，最后通过角的等量代换即可得到结论． （3）延长至，使，连接，利用“边角边”证明，得到，，再通过角的等量代换得到，再利用“边角边”证明，，最后通过角的等量代换即可得到结论． 【详解】解：（1）正确，理由如下： 作交延长线于点，作于点， ， 已知，， ． 在和中， ， ， ， 又，， 为的角平分线． （2），理由如下： 延长至使，连接， ，， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ， 又 ． （3）延长至，使，连接， ，， ． 在和中， ， ， ，． 又， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3角的平分线 （4大题型基础达标练+能力提升练+拓展培优练） 题型一 角的平分线的性质的应用 题型二 角的平分线的判定方法的应用 题型三 角的平分线的性质与判定的综合应用 题型四 尺规作图：作已知角的平分线 题型一 角的平分线的性质的应用 1．如图，在△ABC中，，平分，交于点D．，垂足为E．若，．则的长为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图，平分，在上取一点，过作，垂足为，点是射线上一动点，连接，若，则的长度不可能是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，分别平分和，连接．若，求的度数． 4．如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，，求证：． 题型二 角的平分线的判定方法的应用 1．如图，在中，，点在上，连接，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．三角形中，到三边距离相等的点是（    ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 3．如图，在中，，，，点D在边上，点D 到边，的距离相等，且，则的周长等于（   ）    A．10 B．13 C．16 D．19 4．如图，于E，于F，，，则的度数是 ． 5．如图，，，于点E，交的延长线于点F． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． 题型三 角的平分线的性质与判定的综合应用 1．如图，在中，，平分，于，则下列结论：平分；；平分；，其中错误的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，连接．求证：平分． 4．如图，在四边形中，，，平分交于点E，连接，若点E是边的中点，求的度数． 5．如图，在中，和的平分线交于点，过点作，，，垂足分别为． (1)求证：点在的平分线上； (2)若的周长和面积都为24，求的长． 题型四 尺规作图：作已知角的平分线 1．观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（    ） A．为的平分线 B． C．点到、的距离不相等 D． 2．已知，求作射线，使平分，那么作法的合理顺序是（    ） ①作射线； ②在射线和上分别截取，使； ③分别以D、E为圆心，大于的长为半径在内作弧，两弧交于点C． A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①② 3．如图，在△ABC中，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P； ③作射线交于点D． 若，的面积为3，则的面积为 ． 4．如图，在中． (1)利用尺规作图，在边上找到一点P，使得点P到、的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，过点P作，垂足为D，若，，求的长． 5．如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P． 1．如图，在△AOB和中，，，，．连接，交于点M，连接．下列结论： ①，②，③平分，④平分．其中正确的结论个数有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．如图，的两个外角和的平分线，相交于点P，作射线，过点P作，，垂足分别是点C，D，则下列结论：①平分；②；③；④；⑤，其中正确的有 ． 4．如图，，E是的中点，平分． (1)求证：是的平分线： (2)求证：． 5．如图，中，平分，且平分，于，于． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 6．如图，，，，边分别与边和相交于点F和点G，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 1．如图1，已知等腰直角中，，，点D是腰上的一点（不与A，C重合），连接，过点A作，垂足为点E． (1)若是的角平分线，求证：； (2)探究：如图2，连接，当点D在线段上运动时（不与A，C重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 2．数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍． 【问题提出】（1）尺规作图：如图1，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是_________； 【问题探究】（2）①构距离，造全等 如图2，在四边形中，，和的平分线交于边上一点．过点作于点．若，则_________； ②巧翻折，造全等 如图3，在中，是的角平分线，请说明；小明在上截取．连接，则．请继续完成小明的解答． 【问题解决】（3）如图4，在中，是△ABC的两条角平分线，且交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 3．【母题呈现】人教版八年级上册数学教材56页第10题，如图的三角形纸片中，，，．沿过点的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长． 解：是由折叠而得到， ． ，． ， ． ， 的周长为：． 【知识应用（1）在中，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P连接． (1)如图1，若，，求的面积： (2)如图2，求证： 平分； (3)如图3，过点作于，若，，，求的长． 4．综合与实践 【问题情境】 在学习了角平分线的性质后，兴趣小组通过查阅资料得到以下知识： 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形， 如图1，在四边形中，，，这种四边形被称为等补四边形． 【探究实践】 经过交流讨论，李明、王红向同学们分享了自己的发现． （1）如图2，李明发现，连接，则为的角平分线，请你判断他的结论是否正确，并说明理由； （2）如图3，王红发现，在等补四边形中，当，，时，，与之间存在某种数量关系，请写出该关系并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，已知，，，若，，则的长度是_________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$