4.3　角的平分线 同步练习 2025—2026学年青岛版数学八年级上册

4.3　角的平分线 【A层 基础夯实】 知识点1　角平分线的性质定理 1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,AB=10,S△ABD=20,则CD的长为( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.2 B.3 C.4 D.5 2.如图,△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P,若点P到AC的距离为3,则点P到AB的距离为 .  3.如图,点B,D分别在∠BAD的两边上,点C是∠BAD内一点,AB=AD,BC=CD,CE⊥AD于点E,CF⊥AB于点F.求证:CE=CF. 知识点2　角平分线的判定 4.在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,到∠AOB两边距离相等的点应是( ) A.M点 B.N点 C.P点 D.Q点 5.如图,已知AB∥CD,点P到AB,BC,CD的距离相等,则∠P的度数是 .  知识点3　角平分线的尺规作图 6.如图,用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图,则说明∠CAD=∠DAB的依据是( ) A.SAS　 B.ASA　 C.AAS　 D.SSS 7.如图,已知∠AOB,以点O为圆心,任意长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D,再分别以C,D为圆心,以大于CD长为半径画弧,两弧交于点F,作射线OF,点P为OF上一点,PE⊥OB,垂足为点E,若PE=5,则点P到OA的距离为 .  【B层 能力进阶】 8.如图,已知OC平分∠AOB,P是OC上一点,PH⊥OB于H,若PH=5,则点P与射线OA上某一点连线的长度可以是( ) 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.7 B.4 C.3 D.2 9.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)如图,为了促进当地旅游发展,某地要在三条公路旁边的平地上修建一个游客中心,要使这个游客中心到三条公路的距离相等,游客中心可以选择的位置有( ) A.一种 B.二种 C.三种 D.四种 10.如图,△ABC的三边AB,BC,CA的长分别为20,24,12,点P是△ABC三个内角平分线的交点,则S△PAB∶S△PBC∶S△PCA= .  11.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DF⊥AB于点F,E是AC上一点,且CE=BF. (1)求证:△CDE≌△FDB. (2)若∠B=40°,求∠ADE的度数. 12.小宇和小明一起进行数学游戏:已知∠MON=90°,将等腰直角三角板△ABC摆放在平面内,使点A在∠MON的内部,且两个底角顶点B,C分别放在边OM,ON上. (1)如图1,小明摆放△ABC,恰好使得AB⊥OM,AC⊥ON,又由于△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,从而直接可以判断出点A在∠MON的平分线上.请回答:小明能够直接作出判断的数学依据是 .  (2)如图2,小宇调整了△ABC的位置,请判断OA平分∠MON是否仍然成立,若成立,请证明;若不成立,请举出反例. 【C层 创新挑战（选做）】 13.(推理能力、模型观念)如图,在△ABC中,点D在边BC延长线上,∠ACB=110°,∠ABC的平分线交AD于点E,过点E作EH⊥BD,垂足为H,且∠CEH=55°. (1)求∠ACE的度数; (2)求证:AE平分∠CAF; (3)若AC+CD=14,AB=8.5,且S△ACD=21,求△ABE的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3　角的平分线 【A层 基础夯实】 知识点1　角平分线的性质定理 1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,AB=10,S△ABD=20,则CD的长为(C) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.2 B.3 C.4 D.5 2.如图,△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P,若点P到AC的距离为3,则点P到AB的距离为　3　.  3.如图,点B,D分别在∠BAD的两边上,点C是∠BAD内一点,AB=AD,BC=CD,CE⊥AD于点E,CF⊥AB于点F.求证:CE=CF. 【证明】在△ADC和△ABC中, ,所以△ADC≌△ABC(SSS), 所以∠DAC=∠BAC, 因为CE⊥AD,CF⊥AB,所以CE=CF. 知识点2　角平分线的判定 4.在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,到∠AOB两边距离相等的点应是(A) A.M点 B.N点 C.P点 D.Q点 5.如图,已知AB∥CD,点P到AB,BC,CD的距离相等,则∠P的度数是　90°　.  知识点3　角平分线的尺规作图 6.如图,用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图,则说明∠CAD=∠DAB的依据是(D) A.SAS　 B.ASA　 C.AAS　 D.SSS 7.如图,已知∠AOB,以点O为圆心,任意长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D,再分别以C,D为圆心,以大于CD长为半径画弧,两弧交于点F,作射线OF,点P为OF上一点,PE⊥OB,垂足为点E,若PE=5,则点P到OA的距离为　5　.  【B层 能力进阶】 8.如图,已知OC平分∠AOB,P是OC上一点,PH⊥OB于H,若PH=5,则点P与射线OA上某一点连线的长度可以是(A) 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.7 B.4 C.3 D.2 9.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)如图,为了促进当地旅游发展,某地要在三条公路旁边的平地上修建一个游客中心,要使这个游客中心到三条公路的距离相等,游客中心可以选择的位置有(D) A.一种 B.二种 C.三种 D.四种 10.如图,△ABC的三边AB,BC,CA的长分别为20,24,12,点P是△ABC三个内角平分线的交点,则S△PAB∶S△PBC∶S△PCA=　5∶6∶3　.  11.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DF⊥AB于点F,E是AC上一点,且CE=BF. (1)求证:△CDE≌△FDB. (2)若∠B=40°,求∠ADE的度数. 【解析】(1)因为DF⊥AB, 所以∠DFA=90°, 所以∠DFA=∠C=90°, 因为AD是∠BAC的平分线, 所以CD=DF, 在△CDE和△FDB中,, 所以△CDE≌△FDB(SAS). (2)因为∠C=90°,∠B=40°, 所以∠BAC=90°-∠B=50°, 因为AD是∠BAC的平分线, 所以∠CAD=∠BAC=25°, 因为△CDE≌△FDB, 所以∠CED=∠B=40°, 所以∠ADE=∠CED-∠CAD=40°-25°=15°. 所以∠ADE的度数为15°. 12.小宇和小明一起进行数学游戏:已知∠MON=90°,将等腰直角三角板△ABC摆放在平面内,使点A在∠MON的内部,且两个底角顶点B,C分别放在边OM,ON上. (1)如图1,小明摆放△ABC,恰好使得AB⊥OM,AC⊥ON,又由于△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,从而直接可以判断出点A在∠MON的平分线上.请回答:小明能够直接作出判断的数学依据是　　　　　　　　　　.  (2)如图2,小宇调整了△ABC的位置,请判断OA平分∠MON是否仍然成立,若成立,请证明;若不成立,请举出反例. 【解析】(1)因为AB⊥OM,AC⊥ON,AB=AC,根据角的内部到角两边距离相等的点,都在这个角的平分线上,所以点A在∠MON的平分线上. 答案:角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 (2)OA平分∠MON仍然成立; 证明:如图,过点A作AG⊥OM,AH⊥ON,AG交OM于点G,AH交ON于点H. 所以∠AGB=∠AHC=90°, 又因为∠MON=90°,所以∠GAH=90°, 所以∠GAB+∠BAH=90°, 又因为∠BAC=90°=∠BAH+∠HAC, 所以∠GAB=∠HAC, 在△GAB和△HAC中, , 所以△GAB≌△HAC(AAS),所以AG=AH, 又因为AG⊥OM,AH⊥ON, 所以OA平分∠MON. 【C层 创新挑战（选做）】 13.(推理能力、模型观念)如图,在△ABC中,点D在边BC延长线上,∠ACB=110°,∠ABC的平分线交AD于点E,过点E作EH⊥BD,垂足为H,且∠CEH=55°. (1)求∠ACE的度数; (2)求证:AE平分∠CAF; (3)若AC+CD=14,AB=8.5,且S△ACD=21,求△ABE的面积. 【解析】(1)因为∠ACB=110°, 所以∠ACD=180°-∠ACB=70°, 因为EH⊥BD,∠CEH=55°, 所以∠DCE=90°-∠CEH=35°, 所以∠ACE=∠ACD-∠DCE=35°. (2)如图,过点E作EM⊥BF交BF于点M,作EN⊥AC交AC于点N, 因为BE平分∠ABC,EM⊥BF,EH⊥BD, 所以EM=EH, 由(1)可知,∠ACE=∠DCE=35°,即CE平分∠ACD, 所以EN=EH, 所以EM=EN, 又因为点E在∠CAF的内部, 所以AE平分∠CAF. (3)由(2)得:EM=EH=EN, 设EM=EH=EN=x, 因为S△ACD=21, 所以S△ACE+S△DCE=21, 所以AC·EN+CD·EH=21,即x(AC+CD)=21, 又因为AC+CD=14, 所以x===3, 所以EM=3, 因为AB=8.5, 所以△ABE的面积为AB·EM=×8.5×3=. 学科网（北京）股份有限公司 $$