精品解析：江苏省扬州市宝应县氾水镇初级中学2024-2025学年七年级下学期3月月考数学试题

江苏省扬州市宝应县氾水镇初级中学2024-2025学年七年级下学期3月月考数学试题 2025.3 （总分150分 时间150分钟 ） 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 可以改写成（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 4. 用完全平方公式计算的值，下列变形最恰当的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，的值是（ ） A. B. 2 C. 0.5 D. 6. 如图，将一个边长为a的正方形，剪掉一个边长为b的小正方形后，剩余部分沿对角线分成Ⅰ和Ⅱ两部分，I和Ⅱ可以拼成一个长方形，此操作过程能验证的公式是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，，则 a、b、c的大小关系是（    ） A. B. C. D. 8. 根据整式与整式相乘，可以得到等式：．试利用这个等式解决以下问题：如图，中，，分别以、、为边向外侧作正方形．如果、、的长分别是、、，且，，那么这三个正方形的面积和是（ ） A. 70 B. 107 C. 60 D. 83 二、填空题（每题3分，共30分） 9. 计算________________． 10. 计算：_____． 11. 清代袁枚的一首诗苔中的诗句“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为______． 12. 计算的结果为_____； 13. 若，则______． 14. 如图，在一个长为，宽为的长方形木板的四个角上各裁去一个边长为n的正方形木板，则剩下部分的木板（即阴影部分）的面积为______．（化简） 15. 若，则的值为______． 16. 已知，则________． 17. 若关于x的代数式的展开式中不含x的一次项，则______． 18. 如图，长方形的面积是，为上一点，，为上一点，，则的面积是____________． 三、解答题（共96分） 19. 计算： （1） （2） 20. 计算： （1）； （2）． 21. 计算： （1） （2） 22. 计算： （1） （2）． 23. 先化简，再求值：，其中，． 24. 已知． （1）求的值； （2）求的值； 25. 如图，某长方形商业街区分为五部分，其中两块大小相同的长方形区域为餐饮区，两块大小相同的正方形区域为购物区，中间正方形区域为休息娱乐区．已知区域的边长为米，区域的边长为米． （1）请用含，的式子表示该长方形商业街区的总面积； （2）若，，求该长方形商业街区的总面积． 26. 若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： （1）如果，求的值； （2）如果，求的值． 27. 毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列的形数．如图1，当小石子的数是，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数． （1）图1和图2中的第7个图形，三角形数和正方形数分别为__________； （2）下列自然数中，既是三角形数又是正方形数的是__________（填序号）； ①1；②25；③36；④84. （3）仔细观察，三角形数与正方形数有怎样的联系呢？设第n个图形三角形数为，第个图形三角形数为，第个图形正方形数为，请猜想出之间有何数量关系，并验证这个结论． 28. 阅读理解并解答：在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？ 【初步思考】 同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： 因为， 所以． 所以当时，的值最大，最大值是0. 所以当时，的值最大，最大值是4. 所以的最大值是4 【尝试应用】 （1）求代数式的最大值，并写出相应的的值． （2）已知，，请比较与的大小，并说明理由． 【拓展提高】 （3）将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有无最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度；若没有，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬州市宝应县氾水镇初级中学2024-2025学年七年级下学期3月月考数学试题 2025.3 （总分150分 时间150分钟 ） 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方的运算法则是关键． 根据同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方的运算法则计算即可求解． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算正确，符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：B ． 2. 可以改写成（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，根据同底数幂乘法法则计算即可． 【详解】解：． 故选D． 3. 已知，，则等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构特点是解答本题的关键．根据平方差公式计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 4. 用完全平方公式计算的值，下列变形最恰当的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用完全平方公式进行简便运算，熟练掌握该公式变形是解题关键.把化为即可. 【详解】解：，此时计算最简便； 故选B 5. 已知，的值是（ ） A. B. 2 C. 0.5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的除法，掌握其运算法则是解题的关键． 根据同底数幂相除的运算法则解题． 【详解】解：， ∴， ∴． 故选：B． 6. 如图，将一个边长为a的正方形，剪掉一个边长为b的小正方形后，剩余部分沿对角线分成Ⅰ和Ⅱ两部分，I和Ⅱ可以拼成一个长方形，此操作过程能验证的公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查平方差公式的验证，两个正方形面积的差，构造一个长为，宽为的长方形，相同的面积用不同的表达式表示，从而可推导验证乘法公式中的平方差公式，解题的关键是根据图形找到等量关系． 【详解】解：由题意可知长方形面积为，大正方形减去小正方形后的面积为， ∴， 故选：． 7. 已知，，，，则 a、b、c的大小关系是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查有理数乘方的应用，解决本题的关键是熟记有理数的乘方法则．应先将化为指数都为11的乘方形式，再比较底数的大小，即可确定出的大小． 【详解】解：， ， 故选：A 8. 根据整式与整式相乘，可以得到等式：．试利用这个等式解决以下问题：如图，中，，分别以、、为边向外侧作正方形．如果、、的长分别是、、，且，，那么这三个正方形的面积和是（ ） A. 70 B. 107 C. 60 D. 83 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整体代入，整式的乘法公式的变形，根据所给等式可得，然后整体代入计算即可． 【详解】解：由公式得：， ∴这三个正方形的面积和是， 故选：A． 二、填空题（每题3分，共30分） 9. 计算________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，掌握单项式乘以单项式的运算法则成为解题的关键． 根据单项式乘单项式法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 10. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算，直接运算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 清代袁枚的一首诗苔中的诗句“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 计算的结果为_____； 【答案】 【解析】 【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果． 【详解】原式＝x²−2x−x＋2＝x²−3x＋2， 故答案为：x²−3x＋2. 【点睛】点评：此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 13. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质和积的乘方等知识点，根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可，熟练掌握非负数的性质和积的乘方运算法则是解决此题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在一个长为，宽为的长方形木板的四个角上各裁去一个边长为n的正方形木板，则剩下部分的木板（即阴影部分）的面积为______．（化简） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，正确理解题意并列出代数式化简是解题的关键．根据题意列出代数式，再根据整式的运算法则化简，即得答案． 【详解】解： 剩下部分的木板（即阴影部分）的面积为． 故答案为：． 15. 若，则的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算及化简求值，先计算单项式乘多项式、多项式乘多项式，再合并同类项，最后将代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ， 原式， 故答案为：8． 16. 已知，则________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘除法，掌握计算公式是解题的关键． 先根据幂的乘方运算将化为，再根据同底数幂的乘除法化简计算，最后代入求值． 【详解】解：， 故答案为：8． 17. 若关于x的代数式的展开式中不含x的一次项，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，合并同类项，熟练运用整式的运算法则是解题的关键． 根据多项式乘以多项式的法则和合并同类项法则，即可解答． 【详解】解： ， ∵关于x的代数式的展开式中不含x的一次项， ∴ ， 解得： ， 故答案为：． 18. 如图，长方形的面积是，为上一点，，为上一点，，则的面积是____________． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积，将几何问题转化为代数问题是解题的关键． 设长方形的长为，宽为，则，，，利用代入数据计算即可． 【详解】解：设长方形的长为，宽为，则，，， ∴ ． 故答案为： ． 三、解答题（共96分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，同底数幂的乘除运算，幂的乘方； （1）先计算乘方，零次幂，负整数指数幂，再计算加减； （2）先计算同底数幂的乘法，幂的乘方，再计算同底数幂的除法运算，再合并同类项即可； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： . 20. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法运算，涉及单项式乘以单项式以及单项式乘以多项式计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算幂的、积的乘方运算，再计算单项式乘以单项式； （2）利用单项式乘以多项式运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 21. 计算： （1） （2） 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，平方差公式和完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）按照多项式乘法法则计算，然后合并同类项即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算： 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 22. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用完全平方公式计算即可； （2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式计算． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 解： ． 23. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，4． 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式利用多项式乘多项式法则，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x、y的值代入计算即可求出值。 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 24. 已知． （1）求的值； （2）求的值； 【答案】（1）24 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘和相除法则的逆用， （1）逆用同底数幂相乘法则计算即可； （2）逆用幂的乘方可得，再逆用同底数幂相除法则计算． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴． 25. 如图，某长方形商业街区分为五部分，其中两块大小相同的长方形区域为餐饮区，两块大小相同的正方形区域为购物区，中间正方形区域为休息娱乐区．已知区域的边长为米，区域的边长为米． （1）请用含，的式子表示该长方形商业街区的总面积； （2）若，，求该长方形商业街区的总面积． 【答案】（1） （2）1500平方米 【解析】 【分析】本题考查整式的运算以及代数式求值知识点， （1）先求出长方形商业街的长和宽，再根据长方形面积公式列出式子，并化简； （2）将，代入（1）所求的面积的式子进行计算求值。 【解析过程详细过程】 【小问1详解】 长方形区域的长为（米）， 宽为（米）， 该长方形商业街区的长为（米）， 宽为（米）， 该长方形商业街区的总面积为： ． 【小问2详解】 当，时， （平方米）． 当，时，该长方形商业街区的总面积为1500平方米． 26. 若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： （1）如果，求的值； （2）如果，求的值． 【答案】（1）6 （2）2 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方，解题的关键是熟练掌握幂的乘方对式子进行变形． （1）根据幂的乘方运算法则把和化为底数为2的幂，再根据同底数幂的乘除法法则解答即可； （2）根据同底数幂的乘法法则把变形为，解答即可． 【小问1详解】 解： ， ， ， 解得； 【小问2详解】 ， ， ， ． 27. 毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列的形数．如图1，当小石子的数是，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数． （1）图1和图2中的第7个图形，三角形数和正方形数分别为__________； （2）下列自然数中，既是三角形数又是正方形数的是__________（填序号）； ①1；②25；③36；④84. （3）仔细观察，三角形数与正方形数有怎样的联系呢？设第n个图形三角形数为，第个图形三角形数为，第个图形正方形数为，请猜想出之间有何数量关系，并验证这个结论． 【答案】（1）28；49 （2）①，③ （3） 解：，过程如下： ∵设第n个图形三角形数为，第个图形三角形数为，第个图形正方形数为， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查图形的变化规律，整式的乘法，完全平方公式,正确找出图形的规律是解题的关键． （1）根据题意得出第n个三角形数为，第n个正方形数为，据此可得答案； （2）逐个把数值代入或中且结合为正整数进行计算， 即可作答． （3）分别找出，，再整理的式子，即可作答． 【小问1详解】 解：由题意知第n个三角形数为， ∴把代入，得； 第n个正方形数为； ∴把代入，得； 故答案为：； 【小问2详解】 解：依题意，结合图形得出1既是三角形数又是正方形数 依题意，，且为正整数， 此时无解； 依题意， 解得， ∴， ∴36既是三角形数又是正方形数； 依题意，，且为正整数， 此时无解； 故答案为：①，③； 【小问3详解】 略 28. 阅读理解并解答：在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？ 【初步思考】 同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： 因为， 所以． 所以当时，的值最大，最大值是0. 所以当时，的值最大，最大值是4. 所以的最大值是4 【尝试应用】 （1）求代数式的最大值，并写出相应的的值． （2）已知，，请比较与的大小，并说明理由． 【拓展提高】 （3）将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有无最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度；若没有，请说明理由． 【答案】（1）的最大值为14，此时的值为2． （2） 解：，理由如下： ，， ， 当时，有最小值2， （3）这两个正方形面积之和有最小值，此时两段铁丝的长度均为，面积之和为 【解析】 【分析】（1）仿照题中例子配出完全平方公式进行求解； （2）计算，仿照题中例子配出完全平方公式进行求解，即可得到结论； （3）设一段铁丝的长度为，则另一段铁丝的长度为，可分别求出两个正方形的边长为和，根据正方形的面积公式，列出代数式，仿照题中例子配出完全平方公式进行求解． 【小问1详解】 解： ， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 解得：， 的最大值为14，此时的值为2． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设一段铁丝的长度为，则另一段铁丝的长度为， 根据题意得： ， ， 时，有最小值， 解得：，则， 这两个正方形面积之和有最小值，此时两段铁丝的长度均为，面积之和为． 【点睛】本题考查了完全平方公式，利用完全平方不为负数的性质求函数值的最值是常用方法，应熟练掌握． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $