河北省石家庄市第四十八中学2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年河北省石家庄四十八中七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.清代诗人袁枚创作了一首诗《苔》：“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开.”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向.若苔花的花粉粒直径约为米，用科学记数法表示为米. A. B. C. D. 2.对于①；②从左到右的变形，表述正确的是(    ) A. ①②都是因式分解 B. ①②都是乘法运算 C. ①是因式分解，②是乘法运算 D. ①是乘法运算，②是因式分解 3.不等关系在生活中广泛存在.如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度.图中两人的对话体现的数学原理是(    ) A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4.如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小华在池塘一侧选取一点P，测得，，那么A，B之间的距离不可能是(    ) A. 8m B. 10m C. 12m D. 14m 5.如图，直线AB和CD相交于点O，若，则的大小为(    ) A. B. C. D. 6.如图，沿BC方向平移后的图像为，已知，，则平移的距离是(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7.如图，AD是中边上的中线，CE是AB边上的高，，，(    ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8.下列各式中，正确的是(    ) A. B. C. D. 9.“孔子周游列国”是流传很广的故事.有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时x里，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 10.将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，BC为折痕，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 11.若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是(    ) A. B. C. D. 12.定义一种新运算：当时，；当时，若，则x的取值范围是(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13.计算：______. 14.关于x，y的二元一次方程组的解是，其中y的值被盖住了，不过仍能求出m，则m的值是______. 15.若，则          . 16.一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角顶部支架EF与灯杆CD所成锐角，则EF与FG所成锐角的度数为______. 三、解答题：本题共8小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题6分 计算： 解分式方程： 18.本小题4分 解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答. 解不等式①，得______； 解不等式②，得______； 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 原不等式组的解集为______. 19.本小题5分 小明和小红在学习分式时，老师布置一道题“计算：” 小明的解法 解： ① ② ③ ④ 小红的解法 解： ① ② ③ ④ 老师批改时，发现两位同学都出错了，请你分别指出他们从哪一步出现错误填写序号 请你写出正确的计算过程. 20.本小题7分 如图，，，，DE平分交BC于点 求的度数； 试说明： 21.本小题7分 “字母表示数”被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，用字母表示数可以从特殊到一般的表达数学规律.请观察下列关于正整数的平方拆分的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 请用此方法拆分______； 请你用上面的方法归纳一般结论，用含为正整数的等式表示，并借助运算证明这个结论是正确的； 嘉嘉尝试借助图形的面积验证中的结论.思路是将边长为n的正方形如图进行适当分割，请你帮助他完成画图，并在图中标出相应线段的长度. 22.本小题8分 港珠澳大桥是一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程.根据规定，内地货车载重后总质量超过49吨的禁止通行，现有一辆自重6吨的货车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输.已知2个A部件和1个B部件的总质量为2吨，4个A部件和3个B部件的质量相等. 求1个A部件和1个B部件的质量各为多少吨？ 该货车要从珠海运输这种成套设备经由港珠澳大桥到香港，一次最多可运输多少套这种设备？ 23.本小题7分 七年级兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解. 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式； 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法.分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止 【类比】请用分组分解法将因式分解； 【挑战】请用分组分解法将因式分解； 【应用】已知的三边a，b，c满足，请通过计算说明是什么三角形？ 24.本小题8分 【探究验证】 如图1，，点A，B分别在OM，ON上运动不与点O重合，BC是的平分线，BC的反向延长线交的平分线于点 ①若，则______； ②随着点A，B的运动，的大小是否会变化？如果不变，求的度数；如果变化，请说明理由. 【拓展延伸】 如图2，直线与直线相交于点O，夹角为，点B在点O右侧，点C在上方，点A在点O左侧，点E在射线CO上运动不与C，O重合，AG平分，EF平分交直线AG于点G，当时，请直接写出的度数. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：米米， 故选： 将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键． 2.【答案】C  【解析】解：①，等式从左到右的变形属于因式分解； ②属于整式乘法，不属于因式分解； 故选： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据因式分解的定义判断即可． 本题考查了因式分解的定义，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 3.【答案】A  【解析】解：由题意得，， ， 图中两人的对话体现的数学原理是若，则 故选： 根据不等式的性质判断即可． 本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质性质是解答本题的关键． 4.【答案】D  【解析】解：由三角形三边关系定理得：， ， 、B之间的距离不可能是 故选： 三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此得到，即可得到答案． 本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 5.【答案】B  【解析】解：， ， ， 故选： 根据垂直的定义得出，再由对顶角相等得出，由进行计算即可． 本题考查垂线，对顶角、邻补角，掌握互相垂直的定义，对顶角相等是正确解答的关键． 6.【答案】C  【解析】解：点B平移后对应点是点 线段BE就是平移距离， 已知，， 故选： 利用平移的性质，找对应点，对应点间的距离就是平移的距离． 考查图形平移性质，关键找到平移前后的对应点． 7.【答案】D  【解析】解：是中边上的中线，， ， 是AB边上的高，， ，，， 故选： 根据AD是中边上的中线，得，根据CE是AB边上的高，得，即可得． 本题考查了三角形的中线，三角形的面积公式，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 8.【答案】D  【解析】解：当，，时，，则A不符合题意， ，则B不符合题意， 不能进行约分，则C不符合题意， ，则D符合题意， 故选： 利用分式的基本性质逐项判断即可． 本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 9.【答案】A  【解析】解：学生步行的速度为每小时x里，牛车的速度是步行的倍， 牛车的速度是里/时， 由题意可得：， 故选： 根据题意可知：步行的时间=牛车用的时间，然后即可列出相应的方程． 本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程． 10.【答案】D  【解析】解：方法一：四边形ADFE是长方形纸片， ，， ， 由题意知， ， ； 方法二：由题意知， ，， ， ， ， 故选： 方法一：根据平行线的性质，可以得到，再根据折叠的性质，即可得到，最后根据平角的性质即可得解； 方法二：根据折叠可得，求出，再根据平行线的性质即可得解． 本题考查平行线的性质、角的和差，解答本题的关键掌握平行线的性质． 11.【答案】A  【解析】解：由题意得：， ， ， 故选： 由题意得：，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可． 本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 12.【答案】C  【解析】解：当，即时， ， ， ， ， ； 当，即时， ， ， ， ， ； 综上所述，或， 故选： 分当，即时，当，即时，两种情况根据题目所给的新定义建立关于x的不等式进行求解即可． 本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元一次不等式，正确理解题意并利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解： ， 故答案为： 根据负整数指数幂和零指数幂计算即可． 本题考查了负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握这些知识是解题的关键． 14.【答案】5  【解析】解：将分别代入和得， 整理得，解得 故答案为： 将分别代入和得，求出m值即可． 本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组是关键． 15.【答案】10  【解析】解：， 故答案为 【分析】本题主要考查因式分解的应用，将分子分解因式是解题的关键． 利用平方差公式分解因式后化简可求解． 16.【答案】  【解析】解：过点E作， ， ， 两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补， ， ， ， 与FG所成锐角的度数为， 故答案为： 过点E作，可得，即得，，根据求出即可． 本题考查了平行线的性质，平行公理及推论，关键是平行线性质的熟练掌握． 17.【答案】；     【解析】原式 ； 原方程去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为 利用积的乘方法则，同底数幂乘法及除法法则计算后再合并同类项即可； 利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 本题考查整式的混合运算，解分式方程，熟练掌握相关运算法则及解方程的方法是解题的关键． 18.【答案】；   ；   见解答；     【解析】， ， ， 故答案为：； ， ， ， ， 故答案为：； 把解集表示在数轴上为： 不等式组的解集为： 故答案为： 解不等式即可； 解不等式即可； 把解集表示在数轴上； 结合写出不等式组的解集即可． 本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握取公共解集的方法． 19.【答案】小明第①步出错，小红第②步出错；   见解析．  【解析】由题干中的解题步骤可得小明第①步出错，小红第②步出错； 原式 根据两位同学的解题步骤进行判断即可； 将原式通分并计算后再约分即可． 本题考查分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 20.【答案】解：， ， ， ； 证明：， ， ， 平分， ， ，   【解析】由可得，进而可得的度数； 由可得，结合DE平分，可得，再由平行线的判定，即可得出结论． 本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． 21.【答案】  【解析】第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ……， 以此类推，可知第2024个等式： 故答案为：； 由可知含n的等式是 理由：右边， 左边， 左边=右边， 成立． 如图所示，即为所求． 依据材料中等式的规律解答即可； 根据依据材料中发现等式的规律写出含 n的等式证明成立即可． 根据题意画出图形即可． 本题主要考查了数字规律型问题，还考查了整式的运算和乘法公式．正确得到等式所反映的规律，是解题的关键． 22.【答案】解：设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨， 由题意得：， 解得：， 答：1个A部件的质量为吨，1个B部件的质量为吨； 设该货车一次可运输m套这种设备， 根据题意得：， 解得：， 为正整数， 的最大值为14， 答：该货车一次最多可运输14套这种设备．  【解析】设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨，根据2个A部件和1个B部件的总质量为2吨，4个A部件和3个B部件的质量相等．列出二元一次方程组，解方程组即可； 设该货车一次可运输m套这种设备，根据内地货车载重后总质量超过49吨的禁止通行，列出一元一次不等式，解不等式即可． 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 23.【答案】；   ；   等腰三角形．  【解析】解 ； ； ， 的三边a，b，c， ， ， ， 三角形为等腰三角形． 运用分组分解法将式子进行因式分解； 运用分组分解法将式子进行因式分解； 运用分组分解法将式子进行因式分解，再根据三角形三边关系，可得，据此可得三角形为等腰三角形． 本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用题中示例的分组分解法分解因式． 24.【答案】45；   的大小不会变，；   的度数为或  【解析】，， ，， 平分，AD平分， ，， ， 故答案为：45； ， ， 平分，AD平分， ，， ， 的大小不会变，度数为； 平分，EF平分， ，， 设，， 则，， ①当点E在AB上方时，如图， ， 即， 解得， ； ②当点E在AB下方时，如图， 由题意知， ， ， 解得， ； 综上所述，的度数或 由题意可得，，由BC平分，AD平分，可得，，根据，计算求解即可； 同理求解即可； 由AG平分，EF平分，可得，，设，，则，，由题意知，分点E在AB上方，点E在AB下方两种情况，利用三角形外角的性质，三角形内角和定理求解作答即可． 本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角性质，熟练掌握三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角性质并分情况求解是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$