专题07 基本不等式6种常见考法归类　讲义-2025年《考点通关》新高一暑假数学素养提升（人教A版必修第一册）

2025年《考点通关》新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题07 基本不等式6种常见考法归类 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 对基本不等式的理解 考点二 利用基本不等式比较大小 考点三 利用基本不等式证明不等式 考点四 利用基本不等式求最值 （一）直接法 （二）配凑法求最值 （1）凑项 （2）凑系数 （3）分离 （三）常数代换法 （四）消元法 （五）不等式法（整体化） （六）对勾函数求最值 （七）多次运用基本不等式 考点五 基本不等式的实际应用 考点六 基本不等式的恒成立问题 知识点1：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） 基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号） 其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. 知识点2：基本不等式的证明 （1）法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为. 这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为. 由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：. 当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点， 这时有. 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得： 如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”） （2）法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 知识点3：基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，,， 过点作交圆于点D，连接、. 易证，那么，即. 这个圆的半径为，它大于或等于，即， 其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立. 知识点4：利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 知识点5：基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 知识点6：三个正数的基本不等式 如果，，，那么（当且仅当时，取“”号） 考点一 对基本不等式的理解 策略方法 基本不等式 （1）基本不等式：如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． （2）变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 注：（1）不等式≥ab和≥中等号成立的条件相同吗？ 答案　相同．都是当且仅当a＝b时等号成立． (2)“当且仅当a＝b时，等号成立”的含义是什么？ 答案　a＝b⇔＝ab；a＝b>0⇔＝. 题型训练 1．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·上海·期末）若满足，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·河北石家庄·期中）下列不等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 考点二 利用基本不等式比较大小 策略方法 运用基本不等式比较大小的注意点 (1)利用基本不等式比较两个数(式)的大小，就是把数(式)适当的放大或缩小,达到比较的目的，在放缩的过程中，要结合不等式的传递性，即要保证不等号同方向．　 (2)要灵活运用基本不等式，特别注意其变形． (3)应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b. 题型训练 4．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 6.【多选】（24-25高一下·湖南娄底·期末）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 考点三 利用基本不等式证明不等式 策略方法 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 题型训练 7．（23-24高一上·四川成都·期中）已知． (1)求证：； (2)若，求证：． 8．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 考点四 利用基本不等式求最值 （一）直接法 策略方法 对基本不等式的准确掌握要抓住以下三个方面 (1)不等式成立的条件是a，b都是正数． (2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. (3)基本不等式的结构体现了“和式”与“积式”的相互转化，当题目中不等号的两端一端是“和式”而另一端是“积式”时，就要考虑利用基本不等式来解决，在应用过程中注意“一正、二定、三相等”．　 题型训练 9．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 10．（24-25高一上·陕西汉中·期末）若，且，则（   ） A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 11．（24-25高二下·山东泰安·期末）已知，则有（   ） A．最大值0 B．最小值0 C．最大值 D．最小值 12．（2025高二上·云南·学业考试）已知，则的最小值为（   ） A．1 B．4 C．8 D．16 13．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）若正数满足，且的最小值是16，则的值为 . （二）配凑法求最值 策略方法 配凑法，配凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形配凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件． 形如的分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。 题型训练 （1） 凑项 14．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知，的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D．5 15．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知，则函数的最小值为 ． 16．（2020高一·全国·专题练习）已知，求的最大值； （2） 凑系数 17．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，求的最大值； 18．（2025高三·全国·专题练习）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． （3）分离 19．（22-23高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知，求的最小值 20．（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为 . 21．（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． （三）常数代换法 策略方法 常数代换法，常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，灵活运用“1”的代换，在不等式的解题过程中，常常将不等式乘“1”，除以“1”或将不等式中的某个常数用等于“1”的式子代替． 题型训练 22．（2025高三·全国·专题练习）已知，求函数的最小值． 23．（2025高三·全国·专题练习）已知且满足，则的最小值为 ． 24．（24-25高一上·四川泸州·期末）若正数a，b满足：，则的最小值为 ． 25．（24-25高二下·河北邢台·期末）若，且，则的最小值为 ． 26．（24-25高二下·山东滨州·期末）若正数满足，则的最小值为 ． 27．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为 ． 28．（2025·天津和平·三模）已知实数与满足，且，则的最小值为 ． 29.【多选】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． （四）消元法 策略方法 消元法，即根据条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解． 题型训练 30．（24-25高二下·河北·期末）已知，，且，则的最小值为 ． 31．（24-25高二下·江西赣州·期末）若，且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 32．（24-25高一下·四川泸州·期末）若，，且，则的最小值是 . 33．（24-25高二下·重庆·期末）若正实数x，y满足，则的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 34．【多选】（24-25高二下·辽宁·期末）已知a，b均为正实数，且，则下列命题正确的有（   ） A．的最小值为1 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 （五）不等式法（整体化） 策略方法 ①当条件式中给出了"和"与"积"之间的关系时，可以考虑借助基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关于"和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值. ②双换元求最值：若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系． 题型训练 35．（24-25高一上·安徽宿州·阶段练习）已知x，y均为正数，，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．7 D． 36．（24-25高一上·云南文山·阶段练习）若，，，则ab的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．（2024·海南·模拟预测）若正数 满足，则 的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 （六）对勾函数求最值 策略方法 当基本不等式等号取不到时（即自变量无法满足 “一正、二定、三相等” 中的 “相等” 条件），可结合对勾函数的单调性求解最值。 题型训练 338．（2023高三·全国·专题练习）函数y＝x＋（x≥2）取得最小值时的x值为 ． 39．（2023高三·全国·专题练习）函数f（x）＝＋1的最小值为 ． （七）多次运用基本不等式 策略方法 多次运用不等式求最值，取到最值时要注意的是每次取等的条件是否一致. 题型训练 40．（2022·天津·一模）设，那么 的最小值是 . 考点五 基本不等式的实际应用 策略方法 利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式．把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值． (4)正确写出答案． 题型训练 41．（23-24高一上·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 42．（23-24高一上·广东广州·期末）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱.设箱体的长度为米，高度为米.现有制箱材料60平方米.问当，各为多少米时，该沉淀箱的体积最大，并求体积的最大值. 43．（21-22高一上·上海徐汇·期中）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 考点六 基本不等式的恒成立问题 策略方法 求参数的值或取值范围的一般方法 (1)分离参数，转化为求代数式的最值问题． (2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围． 题型训练 44．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为 . 45．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 46．（2025高一上·全国·专题练习）若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是 ． 47．（24-25高二下·吉林白城·阶段练习）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 48．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）对一切x，，都有，则实数a的最小值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对 49．【多选】（2025高一上·全国·专题练习）已知，，，若恒成立，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 50．【多选】（2025高一上·全国·专题练习）对任意实数，，不等式恒成立，则实数a取值可能（   ） A．2 B．4 C． D． $$2025年《考点通关》新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题07 基本不等式6种常见考法归类 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 对基本不等式的理解 考点二 利用基本不等式比较大小 考点三 利用基本不等式证明不等式 考点四 利用基本不等式求最值 （一）直接法 （二）配凑法求最值 （1）凑项 （2）凑系数 （3）分离 （三）常数代换法 （四）消元法 （五）不等式法（整体化） （六）对勾函数求最值 （七）多次运用基本不等式 考点五 基本不等式的实际应用 考点六 基本不等式的恒成立问题 知识点1：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） 基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号） 其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. 知识点2：基本不等式的证明 （1）法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为. 这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为. 由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：. 当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点， 这时有. 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得： 如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”） （2）法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 知识点3：基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，,， 过点作交圆于点D，连接、. 易证，那么，即. 这个圆的半径为，它大于或等于，即， 其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立. 知识点4：利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 知识点5：基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 知识点6：三个正数的基本不等式 如果，，，那么（当且仅当时，取“”号） 考点一 对基本不等式的理解 策略方法 基本不等式 （1）基本不等式：如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． （2）变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 注：（1）不等式≥ab和≥中等号成立的条件相同吗？ 答案　相同．都是当且仅当a＝b时等号成立． (2)“当且仅当a＝b时，等号成立”的含义是什么？ 答案　a＝b⇔＝ab；a＝b>0⇔＝. 题型训练 1．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由充分必要条件的定义判断． 【详解】成立时，可以有，此时不成立，不充分， 成立时，，因此有，必定成立，因此是必要的， 所以是必要不充分条件， 故选：B． 2．（24-25高一上·上海·期末）若满足，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】AB通过分析a，b符号，可判断选项正误； C由基本不等式可判断选项正误； D由作差法结合AB分析可判断选项正误. 【详解】对于AB，因，则a，b同号，当a，b都为负数时， 显然，，故AB错误； 对于C，由基本不等式，因，则，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，，则当a，b都为负数时， ，故D错误. 故选：C 3．（24-25高一上·河北石家庄·期中）下列不等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式使用的条件判断即可. 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B：取，，故B错误； 对于C：当时，无意义，故C错误； 对于D：，取等条件为，即，故D正确. 故选：D 考点二 利用基本不等式比较大小 策略方法 运用基本不等式比较大小的注意点 (1)利用基本不等式比较两个数(式)的大小，就是把数(式)适当的放大或缩小,达到比较的目的，在放缩的过程中，要结合不等式的传递性，即要保证不等号同方向．　 (2)要灵活运用基本不等式，特别注意其变形． (3)应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b. 题型训练 4．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的性质，结合基本不等式比较大小. 【详解】由，得，则， 又，则，所以. 故选：B 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式判断AB；举例说明判断CD. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，取，，C错误； 对于D，取，，D错误. 故选：A 6.【多选】（24-25高一下·湖南娄底·期末）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用作差法可判断AD选项，利用基本不等式可判断BC选项. 【详解】对于A选项，对任意的、，，即， 当且仅当时，等号成立，A对； 对于B选项，当，时，由A选项可知， 则，故， 当且仅当时，等号成立， 故，B对； 对于C选项，当时，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，C错； 对于D选项，因为，，则， 故，D对. 故选：ABD. 考点三 利用基本不等式证明不等式 策略方法 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 题型训练 7．（23-24高一上·四川成都·期中）已知． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）应用作差法证明不等式； （2）应用已知条件，常值代换根据基本不等式证明. 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以 ，   当且仅当，即，时等号成立． 8．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对分别应用基本不等式即可证明； （2）对分别应用基本不等式即可证明. 【详解】证明  （1）由，，，都是正数，利用基本不等式可知，， 当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 即有，当且仅当，时，等号成立. （2）由，，都是正数，利用基本不等式可知， ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 当且仅当时，等号成立. 考点四 利用基本不等式求最值 （一）直接法 策略方法 对基本不等式的准确掌握要抓住以下三个方面 (1)不等式成立的条件是a，b都是正数． (2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. (3)基本不等式的结构体现了“和式”与“积式”的相互转化，当题目中不等号的两端一端是“和式”而另一端是“积式”时，就要考虑利用基本不等式来解决，在应用过程中注意“一正、二定、三相等”．　 题型训练 9．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式即可求得的最大值. 【详解】因为，， 根据基本不等式可得，所以. 当时，取最大值. 故选：A. 10．（24-25高一上·陕西汉中·期末）若，且，则（   ） A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 【答案】D 【分析】根据基本不等式，可得答案. 【详解】由题意可得，当且仅当时取等号，解得. 故选：D. 11．（24-25高二下·山东泰安·期末）已知，则有（   ） A．最大值0 B．最小值0 C．最大值 D．最小值 【答案】C 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】已知，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以已知，则有最大值. 故选：C. 12．（2025高二上·云南·学业考试）已知，则的最小值为（   ） A．1 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】由基本不等式可得答案. 【详解】，当且仅当，即时取等号. 故选：C 13．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）若正数满足，且的最小值是16，则的值为 . 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值，再列式求出值. 【详解】依题意，，解得，当且仅当时取等号， 因此，解得，所以的值为4. 故答案为：4 （二）配凑法求最值 策略方法 配凑法，配凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形配凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件． 形如的分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。 题型训练 （1） 凑项 14．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知，的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】由题意有，利用均值不等式即可求解. 【详解】由，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 故选：C. 15．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知，则函数的最小值为 ． 【答案】7 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由于，则， 当且仅当，即时取到等号， 故最小值为7， 故答案为：7 16．（2020高一·全国·专题练习）已知，求的最大值； 【答案】1 【分析】将变形为，然后利用基本不等式求解最大值即可. 【详解】∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，上式等号成立， 故当时，． （2） 凑系数 17．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，求的最大值； 【答案】 【分析】利用基本不等式,结合构造和为定值来求积的最大值，并注意说明取等号条件. 【详解】∵，∴， ∴， ∴当且仅当， 即时，． 18．（2025高三·全国·专题练习）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式可得最值. 【详解】当时，， 当且仅当，即时等号成立， 当或时，恒成立， 综上所述的最大值为， 故选：D. （3）分离 19．（22-23高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知，求的最小值 【答案】6 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为6. 20．（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 21．（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果. 【详解】，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为. 故选：D. （三）常数代换法 策略方法 常数代换法，常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，灵活运用“1”的代换，在不等式的解题过程中，常常将不等式乘“1”，除以“1”或将不等式中的某个常数用等于“1”的式子代替． 题型训练 22．（2025高三·全国·专题练习）已知，求函数的最小值． 【答案】9 【分析】根据条件，利用“”的妙用，即可求解. 【详解】因为，所以． 所以， 当且仅当，即时，上式取等号， 故． 23．（2025高三·全国·专题练习）已知且满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式可得答案. 【详解】因为，所以，因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：． 24．（24-25高一上·四川泸州·期末）若正数a，b满足：，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据基本不等式求最值的条件，结合“1”的妙用，即可求解. 【详解】因为正数a，b满足：，即， 所以， 当，且，得时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 25．（24-25高二下·河北邢台·期末）若，且，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】化简式子，然后利用基本不等式计算. 【详解】因为，所以． 因为，所以， 则，当且仅当，即时，等号成立， 则，即的最小值为3． 故答案为：3 26．（24-25高二下·山东滨州·期末）若正数满足，则的最小值为 ． 【答案】18 【分析】根据基本不等式求最值的条件，结合“1”的妙用，即可求解. 【详解】因为，， 所以， 当，且，得时等号成立， 所以的最小值为18. 故答案为：. 27．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 28．（2025·天津和平·三模）已知实数与满足，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】由于，故，且， 故 ， 当且仅当，结合，故当时等号取到， 故答案为： 29.【多选】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式即可判断A，B，D，特殊值法判断C. 【详解】对于A： ，故，即，当且仅当取等号，故A正确； 对于B：因为， ，当且仅当取等号，故B正确； 对于C：若，令，故C错误； 对于D：，故，当且仅当取等号，故D正确. 故选：ABD. （四）消元法 策略方法 消元法，即根据条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解． 题型训练 30．（24-25高二下·河北·期末）已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用消元思想，把二元变量转化为一元变量，再利用基本不等式来求最小值即可. 【详解】由可得：， 因为，所以， 又因为，所以， 则， 因为，所以由基本不等式得：， 当且仅当，即时取等号，此时. 故答案为：. 31．（24-25高二下·江西赣州·期末）若，且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由变形得，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】由有，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：. 32．（24-25高一下·四川泸州·期末）若，，且，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由变形为，化应用基本不等式可求最小值． 【详解】因为满足， 所以，即，即， 所以， 所以 ， 所以当且仅当，即，时取“”，解得 所以的最小值为， 故答案为：． 33．（24-25高二下·重庆·期末）若正实数x，y满足，则的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】整理等式，根据基本不等式，可得答案. 【详解】由有，则，当且仅当时，等号成立. 故选：D． 34．【多选】（24-25高二下·辽宁·期末）已知a，b均为正实数，且，则下列命题正确的有（   ） A．的最小值为1 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，转换为关于的二次函数即可验算；对于B，由结合基本不等式即可验算；对于C，由基本不等式即可验算；对于D，由乘一法验算即可. 【详解】对于A，因为a，b均为正实数，且， 所以， 因为，所以当时，的最小值为1，故A正确； 对于B，， 等号成立当且仅当，故B错误； 对于C，，等号成立当且仅当，故C正确； 对于D， ， 因为，所以，故D正确. 故选：ACD. （五）不等式法（整体化） 策略方法 ①当条件式中给出了"和"与"积"之间的关系时，可以考虑借助基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关于"和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值. ②双换元求最值：若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系． 题型训练 35．（24-25高一上·安徽宿州·阶段练习）已知x，y均为正数，，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．7 D． 【答案】A 【分析】由已知等式化简后用基本不等式即可解得结果. 【详解】∵，，， ∴， 令，则，即， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为4． 故选:A． 36．（24-25高一上·云南文山·阶段练习）若，，，则ab的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用基本不等式可得，以为整体，解一元二次不等式即可. 【详解】因为，，由基本不等式可得， 即，解得或（舍去），即， 当且仅当，即时，等号成立， 故ab的取值范围是． 故选：D． 37．（2024·海南·模拟预测）若正数 满足，则 的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】利用，可求最小值. 【详解】因为为正数，所以， 当且仅当时取等号，所以， 所以， 所以或（舍去）， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C. （六）对勾函数求最值 策略方法 当基本不等式等号取不到时（即自变量无法满足 “一正、二定、三相等” 中的 “相等” 条件），可结合对勾函数的单调性求解最值。 题型训练 338．（2023高三·全国·专题练习）函数y＝x＋（x≥2）取得最小值时的x值为 ． 【答案】2 【分析】令x＋1＝t(t≥3)，则有＝t＋－1在[3,＋∞)上单调递增，当t＝3时，即可求解. 【详解】依题意， y＝x＋＝x＋1＋－1(x≥2)， 设x＋1＝t(t≥3)．因为f(t)＝t＋－1在[3,＋∞)上单调递增， 所以当t＝3，即x＝2时，y＝x＋(x≥2)取得最小值． 故答案为：2. 39．（2023高三·全国·专题练习）函数f（x）＝＋1的最小值为 ． 【答案】＋1 【分析】先对函数进行化简，然后利用对勾函数的单调性可求出有最小值. 【详解】f（x）＝＋1＝＋1＝＋＋1， 令，t∈[，＋∞）， 则函数f（x）可转化为g（t）＝t＋＋1，t∈[，＋∞）．令u（t）＝t＋（t≥）， 则由u（t）在[，＋∞）上单调递增可知，u（t）≥＋＝， 则g（t）≥， 所以函数f（x）的最小值为； 故答案为：. （七）多次运用基本不等式 策略方法 多次运用不等式求最值，取到最值时要注意的是每次取等的条件是否一致. 题型训练 40．（2022·天津·一模）设，那么 的最小值是 . 【答案】16 【分析】利用均值不等式求的最大值表达式，再利用均值不等式求解作答. 【详解】因，则，当且仅当，即时取“=”， 因此，，当且仅当，即时取“=”， 所以，当时，取最小值16. 故答案为：16 考点五 基本不等式的实际应用 策略方法 利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式．把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值． (4)正确写出答案． 题型训练 41．（23-24高一上·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 【答案】 【分析】求出房屋的总造价，利用基本不等式可得答案. 【详解】设房屋底面一边长为m，则另一边长为m， 所以房屋的总造价为， 因为，所以， 当且仅当即时等号成立. 故答案为：. 42．（23-24高一上·广东广州·期末）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱.设箱体的长度为米，高度为米.现有制箱材料60平方米.问当，各为多少米时，该沉淀箱的体积最大，并求体积的最大值. 【答案】米，米；立方米 【分析】根据面积列出方程，据此条件利用均值不等式解出的范围即可得解. 【详解】由题意，，即，， 所以，即， 解得，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以. 即当，各为6米，3米时，该沉淀箱的体积最大，最大为36立方米. 43．（21-22高一上·上海徐汇·期中）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 【答案】当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，为198400元． 【分析】根据题意表达出总造价，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】解：设池底的一边长为，则另一边长为，总造价为元， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，最低为198400元． 考点六 基本不等式的恒成立问题 策略方法 求参数的值或取值范围的一般方法 (1)分离参数，转化为求代数式的最值问题． (2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围． 题型训练 44．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为 . 【答案】8 【分析】利用代换1法结合基本不等式来求的最小值，即可求出的最大值. 【详解】由， 因为，，所以有， 当且仅当时取等号， 所以有， 故答案为：. 45．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变换得到，计算得到答案. 【详解】不等式恒成，即， ， 当且仅当，即时等号成立，故. 故选：. 46．（2025高一上·全国·专题练习）若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解此不等式即可得的取值范围． 【详解】因为正实数满足，即，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号． 因此的最小值为4， 又恒成立，所以，解得， 即实数的取值范围是． 故答案为：. 47．（24-25高二下·吉林白城·阶段练习）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对分母换元，然后用基本不等式可求出的最小值,从而可以求出结果. 【详解】设 ，，则 ，且 ，， ， 当且仅当时，即时取等； ， . 故答案为：. 48．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）对一切x，，都有，则实数a的最小值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对 【答案】B 【分析】由题意可得，求得即可. 【详解】因为x，，所以，所以， 又， 当且仅当时，取等号，所以， 所以实数a的最小值是. 故选：B. 49．【多选】（2025高一上·全国·专题练习）已知，，，若恒成立，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】变形恒成立的不等式，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值，再解分式不等式即得. 【详解】因为，则，而， 于是， 当且仅当，即时取等号，依题意，， 整理得，解得或， 所以实数的值可以是，，. 故选：ACD 50．【多选】（2025高一上·全国·专题练习）对任意实数，，不等式恒成立，则实数a取值可能（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】ACD 【分析】变形后，两次使用基本不等式进行求解，且等号成立的条件相同，从而得到，又，从而得到，求出或，从而得到答案. 【详解】，， ， 当且仅当①时，等号成立， 其中，， 当且仅当，，即，时，等号成立， 此时，即①式成立， 综上，， 又（）， 故，解得或， 实数a取值可能为2，，，ACD正确，B错误. 故选：ACD $$