第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式（八大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式 【人教A版2019】 模块一 一元二次不等式 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 3．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 4．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 【题型1 不含参的一元二次不等式的解法】 【例1】（24-25高一上·湖南株洲·期中）不等的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 【解题思路】根据一元二次不等式解法确定不等式的解集. 【解答过程】原不等式就转化为. 解得，即不等式的解集为. 故选：D. 【变式1.1】（24-25高一上·广东肇庆·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．{或} D．或 【解题思路】由一元二次不等式的解法求解. 【解答过程】由可得， 所以不等式的解集为， 故选：A. 【变式1.2】（24-25高一上·安徽·阶段练习）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】求出二次不等式的解，利用充分条件、必要条件的定义求解即可 【解答过程】由 若成立，则不一定成立，即充分性不成立； 若成立，则一定成立，即必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 【变式1.3】（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】把原不等式两边同时乘以，把二次项系数化为正值，因式分解后可求得二次不等式的解集． 【解答过程】由得，即， 解得或 所以不等式的解集为 故选：C. 【题型2 含参的一元二次不等式的解法】 【例2】（24-25高一上·重庆·阶段练习）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据t的范围可得，从而即可求得不等式的解集. 【解答过程】 ， ， 不等式， 即不等式的解集为. 故选：C. 【变式2.1】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】考虑和两种情况，当时将不等式变形为，根据根的大小关系得到，，三种情况，解不等式对比选项即可. 【解答过程】当时，不等式，即，， 故不等式的解集为，故A可能； 当时，，即， 当时，的解集为，故D可能； 当时，不等式无解； 当时，的解集为，故B可能. 故选：C. 【变式2.2】（24-25高一上·浙江·期中）当时，关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】确定二次项的系数符号和两根的大小关系，直接写出解集即可. 【解答过程】因为，又因为， 所以，所以， 又因为，于是等价于， 可得， 所以的解集为. 故选：B. 【变式2.3】（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）已知实数，则不等式的解集不可能是（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】分、、三种情况讨论计算，分别求出不等式的解集，即可判断. 【解答过程】由， 当时，不等式即为，解得， 即不等式的解集为； 当时，解方程得， 则当时，，函数开口向上， 故不等式的解集为； 当时，，函数开口向下， 所以不等式的解集为或. 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或， 所以不等式的解集不可能是选项D对应的解集. 故选：D. 【题型3 解分式、高次、绝对值不等式】 【例3】（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据分式不等式的性质，转化为即可求解. 【解答过程】由可得， 解得或，即不等式解集为， 故选：C. 【变式3.1】（24-25高一上·辽宁·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用分类讨论法计算可得. 【解答过程】不等式，等价于或， 解得或， 即不等式的解集为. 故选：A. 【变式3.2】（24-25高一上·上海·阶段练习）求下列不等式的解集： (1)； (2)． 【解题思路】（1）根据绝对值不等式的解法求解即可； （2）根据分式不等式的解法求解即可. 【解答过程】（1）由，得或， 所以或， 所以不等式的解集为或； （2）由，得， 解得， 所以不等式的解集为. 【变式3.3】（24-25高一上·湖南怀化·期中）求下列不等式的解集： (1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用二次不等式的解法即可得解； （2）利用绝对不等式的解法即可得解； （3）利用分式不等式的解法即可得解. 【解答过程】（1）因为，所以， 解得，故不等式的解集为. （2）因为，所以，解得， 所以的解集为. （3）因为，所以， 等价于，解得或， 所以不等式的解集为. 【题型4 由一元二次不等式的解确定参数】 【例4】（24-25高一上·天津滨海新·期中）不等式的解集是，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据一元二次不等式与其对应的方程之间的联系可得，结合一元二次不等式的解法计算即可求解. 【解答过程】设是方程的两个根， 由题意知，，解得， 所以不等式可变为， 即，解得. 所以不等式的解集为. 故选：A. 【变式4.1】（24-25高一上·辽宁·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则的值是（   ） A． B． C． D．2 【解题思路】根据一元二次方程与不等式的关系，结合韦达定理，即可求解. 【解答过程】由题不等式的解集为， 所以是方程的两不等实数根， 所以，得，， 所以. 故选：C. 【变式4.2】（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【解题思路】将原不等式化为，按照与2的大小分类讨论解不等式，再结合解集中的整数个数建立不等式求解可得, 【解答过程】． 当时，不等式的解集为空集，不符合题意． 当时，不等式的解集为， 要使关于的不等式的解集中恰有3个整数， 只需满足解得． 当时，不等式的解集为， 要使关于的不等式的解集中恰有3个整数， 只需满足解得． 综上，实数的取值范围为. 故选：B. 【变式4.3】（24-25高一上·四川成都·期中）已知关于的不等式的解集为，则错误的说法是（    ） A． B． C．的最小值为 D．的解集为或 【解题思路】根据分式不等式解集得，，且，再应用基本不等式和含参一元二次不等式的解法判断各项正误. 【解答过程】由题知，其解集为， 所以，，且，即，故A错误，B正确； 由，当且仅当时等号成立，故C正确； 由或，解集为或，故D正确. 故选：A. 【题型5 一元二次不等式恒成立问题】 【例5】（24-25高一上·广东珠海·阶段练习）若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】讨论、，结合一元二次不等式恒成立求参数范围. 【解答过程】当时，恒成立，满足； 当时，，可得， 综上，. 故选：A. 【变式5.1】（24-25高一上·辽宁朝阳·阶段练习）若对任意的，关于的不等式恒成立，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．10 D．9 【解题思路】将不等式的未知数移到同一侧，得到小于等于关于的函数的最小值，利用基本不等式求解即可. 【解答过程】由，得对任意的恒成立. 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即的最大值为10. 故选：C. 【变式5.2】（24-25高一上·北京·阶段练习）已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，关于的不等式恒成立，求的取值范围. 【解题思路】（1）把代入，解不等式即可； （2）把恒成立的问题转化为分离参数求值的问题，再利用基本不等式求的最小值即可. 【解答过程】（1）当时，， 则不等式，即， 解得，或， 因此当时，不等式的解集为. （2）当时，关于的不等式恒成立， 即当时，关于的不等式恒成立， 在时，恒成立， 令， 令，则， 故， 又， 当且仅当，即时等号成立， 故当，即时，， 因此可得， 即当时，关于的不等式恒成立，的取值范围为. 【变式5.3】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知不等式. (1)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【解题思路】（1）根据二次项系数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质，分与两类进行讨论求解即可； （2）根据二次项系数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质，分、和三类进行讨论求解即可； 【解答过程】（1）①若，则原不等式可化为，显然恒成立， ②若，则不等式恒成立， 等价于 ，解得， 综上，实数m的取值范围是. （2）①当时，则原不等式可化为，显然恒成立， ②当时，函数的图象开口向上，对称轴为直线， 若时不等式恒成立， 则，解得， ③当时，函数的图象开口向下， 若时不等式恒成立， 则，解得， 综上，实数m的取值范围是. 【题型6 一元二次不等式有解问题】 【例6】（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分析可知原题意等价于，使得成立，令，利用基本不等式结合存在性问题分析求解. 【解答过程】因为，即， 又因为，则，可得， 原题意等价于，使得成立， 令，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的范围是. 故选：B. 【变式6.1】（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】求得的最大值，由此列不等式来求得的取值范围. 【解答过程】，所以当或时， 取得最大值为， 由于关于的不等式在区间内有解， 所以，解得. 故选：A. 【变式6.2】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）若存在，使，则的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出命题的否定为真时，的范围，再求其补集即可. 【解答过程】命题存在，使的否定为，使， 若，使为真， 则，所以， 故若存在，使则， 所以的取值集合是. 故选：A. 【变式6.3】（24-25高一上·山东聊城·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】当时，由参变量分离法可得，利用基本不等式求出的最大值，即可求得实数的取值范围. 【解答过程】当时，由，可得，则， 因为，当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，当时，的最大值为，故. 故选：A. 模块二 三个“二次”的关系 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 ∆>0 ∆=0 ∆<0 y=ax2+bx+ c (a>0)的图象 ax2+bx+ c=0 (a>0)的根 有两个不相等 的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等 的实数根 没有实数根 ax2+bx+ c>0 (a>0)的解集 或 R ax2+bx+ c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【题型7 二次函数的图象分析与判断】 【例7】（24-25高一上·重庆·期中）已知函数，若，则的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】判断出的符号后可得正确的选项. 【解答过程】因为，故即， 而，故， BC中图象开口向下，不符合，而A中图象过原点，与矛盾， 故选：D. 【变式7.1】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（   ） A．     B．   C．   D．   【解题思路】根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案. 【解答过程】由题意得，为的两个根， 故，即， 开口向下，对称轴为，与轴交点纵坐标为 故选：B. 【变式7.2】（24-25高一上·河北保定·期末）关于二次函数，则下列正确的是（    ） A．函数图象与x轴总有两个不同的交点 B．若函数图象与x轴正半轴交于不同的两点，则 C．不论k为何值，若将函数图象向左平移1个单位，则图象经过原点 D．当时，y随x的增大而增大，则 【解题思路】根据二次函数对应二次方程的判别式判断A，由根与系数的关系判断B，由图象的平移判断C，根据对称轴判断D. 【解答过程】，函数图象与x轴总有两个不同的交点或相同的交点，故A错误； 若函数图象与x轴正半轴交于不同的两点，则由根与系数的关系知，解得且，故B错误； 若将函数图象向左平移1个单位，可得到，令，则，即图象经过原点，故C错误； 当时，y随x的增大而增大，即函数图象的对称轴，解得，故D错误. 故选：C. 【变式7.3】（24-25高二下·北京昌平·期末）若不等式的解集为，则函数的图象可以为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题可得和是方程的两个根，求出，再根据二次函数的性质即可得出. 【解答过程】由题可得和是方程的两个根，且， ，解得， 则， 则函数图象开口向下，与轴交于. 故选：C. 【题型8 三个“二次”关系的应用】 【例8】（2024高三·全国·专题练习）已知函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D．不等式的解集是 【解题思路】根据一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标，结合二次函数与一元二次不等式的关系，即可求解. 【解答过程】由题图知抛物线开口向上，所以， 抛物线与轴交点纵坐标为正，所以， 因为，所以， 由韦达定理， 即，，对称轴， 则.所以A错误，B,C正确. 不等式 可化为， 即，解得 或. 所以不等式的解集是.D正确. 故选：A. 【变式8.1】（24-25高一·全国·课堂例题）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．     D．   【解题思路】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可． 【解答过程】因为的解集为， 所以方程的两根分别为和1，且， 则变形可得 故函数的图象开口向下， 且与x轴的交点坐标为和，故A选项的图象符合. 故选：A. 【变式8.2】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知函数. (1)若函数的图象经过点，求实数的值； (2)在（1）的条件下，求不等式的解集； (3)解关于的不等式. 【解题思路】（1）将点代入解析式即可得解； （2）利用二次不等式的解法即可得解； （3）利用因式分解，结合含参二次不等式的解法即可得解. 【解答过程】（1）因为的图象经过点， 所以，则； （2）由（1）得，解得， 所以不等式的解集为； （3）， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【变式8.3】（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数，满足 (1)求函数的解析式； (2)求不等式的解集； (3)对于，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）将已知条件代入求出即可求解； （2）由（1）可知，则解不等式即可求解； （3）将不等式转化为恒成立，因为开口向上，根据即可求解. 【解答过程】（1）由函数，满足， ，解得， 故函数的解析式为：. （2）由（1）知，即不等式转化为， 则， 所以不等式的解集或. （3）不等式转化为恒成立， 因为开口向上， 可得，解之可得， 所以实数的取值范围是. 一、单选题 1．（24-25高一上·重庆·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】由一元二次不等式的解法求解即可. 【解答过程】由，可得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 2．（24-25高一上·安徽宿州·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据分式不等式的解法求解即可. 【解答过程】由，得，解得或， 故选：D. 3．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【解题思路】即不等式对应函数图象与x轴相切或在x轴上方，据此可得答案. 【解答过程】因关于的不等式的解集为， 则图象与与x轴相切或在x轴上方， 当时，，此时的解集不是R 则. 故选：B. 4．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据一元二次不等式解法以及根与系数的关系即可求得结果. 【解答过程】依题意可知和3是方程的两个实数根，且； 因此，解得； 所以不等式可化为，即， 解得或，即不等式的解集为 故选：A. 5．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由一元二次方程的根与二次函数的关系，即可由二次函数的性质求解. 【解答过程】记，则函数为开口向上的二次函数， 要使方程的根一个大于1一个小于1，则只需要时，即可， 即，解得，所以实数a的取值范围是. 故选：C. 6．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）设a，b，c为实数，不等式的解集是或，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据韦达定理得，，再利用基本不等式即可得到答案. 【解答过程】由题意，1和3为方程的两根，且， 所以，即，， 所以. 当且仅当，即时等号成立. 故选：C. 7．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知，函数与轴的交点横坐标为、，且，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先画出函数的大致图象，再将其图象往上平移1个单位，并画出其大致图象，数形结合即可求解. 【解答过程】二次函数与轴的交点横坐标为 、 ， 将其图象往上平移1个单位长度可得出二次函数的图象， 如图所示观察图象，可知: . 故选: B. 8．（24-25高一上·湖北宜昌·阶段练习）已知，且关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．命题“，”为假命题 D．若的解集为M，则 【解题思路】根据一元二次不等式与方程的关系可得，，可判断选项A；利用二次函数对称轴可判断选项B；根据关系化简不等式可判断选项C；利用两不等式的关系可判断选项D. 【解答过程】因为，且关于x的不等式的解集为， 所以，且的根为和2，所以，得，， 对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，，所以，， 因为，，所以，故B错误； 对于C，即为，即，无解， 故命题“，”为假命题，故C正确； 对于D，因为是由向上平移一个单位，所以，故D错误. 故选：C． 二、多选题 9．（24-25高一上·福建南平·期中）已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D．不等式的解集为 【解题思路】根据题设及图象有且，得，并结合一元二次不等式解法，判断各项正误. 【解答过程】由题设及函数图象知：且， 所以，则，，，A错，B、C对； ，则，D对. 故选：BCD. 10．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 【解题思路】是方程的两根，且，A正确；由韦达定理得到，，从而解不等式得到B错误，D正确，，C错误. 【解答过程】由题意得是方程的两根，且，A正确； 故，即，， 所以，B错误； ，C错误； ， 解得，D正确. 故选：AD. 11．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知函数，则下列叙述正确的是（    ） A．若对都有成立，则 B．若使得有解，则 C．若且使得，则 D．若的解集是，则 【解题思路】利用不等式恒成立求解判断A；分离参数求出最大值判断B；由方程有两个正根求出范围判断C；由不等式解集求出判断D. 【解答过程】对于A，由恒成立，得，解得，A正确； 对于B，当时，，函数在上递减， 当时，，由使得有解，得，B错误； 对于C，依题意，方程有两个不等的正根，则，解得，C正确； 对于D，由的解集是，得是方程的两个根，则，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是 ． 【解题思路】根据两根之积小于0列不等式，求解可得结果. 【解答过程】设方程的两根为，由韦达定理得. ∵方程有一正根一负根， ∴，即，解得， ∴实数的取值范围是. 故答案为：. 13．（24-25高一上·上海金山·阶段练习）若不等式的解集是，则的解集为 ． 【解题思路】由已知不等式的解集得相应二次方程的根，从而求得，然后再解不等式可得． 【解答过程】不等式的解集是， 是方程的两根， 由根与系数的关系可得，解得， 则化为，解得． 的解集为． 故答案为：． 14．（24-25高一上·广东广州·期中）若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 【解题思路】问题化为上恒成立，利用基本不等式及对勾函数的性质求右侧最大值，即可得. 【解答过程】由时，恒成立，即恒成立， 对于，有，当且仅当时取等号， 又在上单调递减，在上单调递增，且，， ，故的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）解下列不等式 (1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）直接化简解出一元二次不等式即可； （2）根据判别式即可得到其解； （3）移项并通分将分式不等式转化为一元二次不等式即可求解. 【解答过程】（1）将不等式化简为， 解得或， 则解集为； （2）将不等式化简为， 因为， 该不等式无实数解，即解集为； （3），即，通分可得， 则，解得， 所以解集为. 16．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【解题思路】（1）根据给定条件，利用一元二次型不等式恒成立列式求出范围. （2）原不等式化为，再按分类讨论求解不等式. 【解答过程】（1）不等式，依题意，在上恒成立， 当时，在上不恒成立； 当时，，即，解得， 所以a的取值范围是. （2）不等式， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为，解得或； 当时，不等式为，若，解得； 若，则无解；若，解得， 所以当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 17．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知函数 (1)若不等式恒成立，求实数a的取值； (2)若不等式有解，求的解集. 【解题思路】（1）利用一元二次不等式恒成立求出值. （2）由不等式有解求出的范围，再分类解不等式. 【解答过程】（1）不等式恒成立，则，解得， 所以. （2）不等式有解，则，解得， 不等式化为，当时，解得；当时，解得， 所以当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为. 18．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）要建造一个容积为，深为的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为100元，池底的造价为150元，设池底一边长为. (1)求为何值时，总造价最少？ (2)要使水池的总造价控制在12万元以内，求的取值范围. 【解题思路】（1）设出未知数，根据造价等量关系列方程，再根据基本不等式计算最值即可. （2）解一元二次不等式即可. 【解答过程】（1）设水池总造价为元，因为水池的一边长为，所以另一边为， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 答：当时，总造价最少，最少为10.8万元. （2）由（1）得，， 整理得，解得， 所以x的取值范围是. 19．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）若不等式的解集是． (1)求a的值，并求不等式的解集； (2)一元二次不等式的解集为，求k的取值范围． 【解题思路】（1）由题意可知：方程的两根为，且，利用韦达定理求a的值，进而解不等式； （2）由题意可得：一元二次不等式的解集为，分和两种情况，结合一元二次不等式恒成立运算求解. 【解答过程】（1）由题意可知：方程的两根为，且，即， 则，解得， 不等式，即为，解得或， 所以不等式的解集为. （2）由（1）知，， 结合题意可得：一元二次不等式的解集为， 若，则不恒成立，不符合题意； 若，则，解得. 综上所述：的取值范围是. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式 【人教A版2019】 模块一 一元二次不等式 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 3．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 4．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 【题型1 不含参的一元二次不等式的解法】 【例1】（24-25高一上·湖南株洲·期中）不等的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 【变式1.1】（24-25高一上·广东肇庆·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．{或} D．或 【变式1.2】（24-25高一上·安徽·阶段练习）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1.3】（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【题型2 含参的一元二次不等式的解法】 【例2】（24-25高一上·重庆·阶段练习）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高一上·浙江·期中）当时，关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）已知实数，则不等式的解集不可能是（    ） A． B． C．或 D．或 【题型3 解分式、高次、绝对值不等式】 【例3】（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高一上·辽宁·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高一上·上海·阶段练习）求下列不等式的解集： (1)； (2)． 【变式3.3】（24-25高一上·湖南怀化·期中）求下列不等式的解集： (1) (2) (3) 【题型4 由一元二次不等式的解确定参数】 【例4】（24-25高一上·天津滨海新·期中）不等式的解集是，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高一上·辽宁·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则的值是（   ） A． B． C． D．2 【变式4.2】（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【变式4.3】（24-25高一上·四川成都·期中）已知关于的不等式的解集为，则错误的说法是（    ） A． B． C．的最小值为 D．的解集为或 【题型5 一元二次不等式恒成立问题】 【例5】（24-25高一上·广东珠海·阶段练习）若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高一上·辽宁朝阳·阶段练习）若对任意的，关于的不等式恒成立，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．10 D．9 【变式5.2】（24-25高一上·北京·阶段练习）已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，关于的不等式恒成立，求的取值范围. 【变式5.3】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知不等式. (1)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【题型6 一元二次不等式有解问题】 【例6】（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）若存在，使，则的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【变式6.3】（24-25高一上·山东聊城·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 模块二 三个“二次”的关系 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 ∆>0 ∆=0 ∆<0 y=ax2+bx+ c (a>0)的图象 ax2+bx+ c=0 (a>0)的根 有两个不相等 的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等 的实数根 没有实数根 ax2+bx+ c>0 (a>0)的解集 或 R ax2+bx+ c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【题型7 二次函数的图象分析与判断】 【例7】（24-25高一上·重庆·期中）已知函数，若，则的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（   ） A．     B．   C．   D．   【变式7.2】（24-25高一上·河北保定·期末）关于二次函数，则下列正确的是（    ） A．函数图象与x轴总有两个不同的交点 B．若函数图象与x轴正半轴交于不同的两点，则 C．不论k为何值，若将函数图象向左平移1个单位，则图象经过原点 D．当时，y随x的增大而增大，则 【变式7.3】（24-25高二下·北京昌平·期末）若不等式的解集为，则函数的图象可以为（    ） A． B． C． D． 【题型8 三个“二次”关系的应用】 【例8】（2024高三·全国·专题练习）已知函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D．不等式的解集是 【变式8.1】（24-25高一·全国·课堂例题）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．     D．   【变式8.2】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知函数. (1)若函数的图象经过点，求实数的值； (2)在（1）的条件下，求不等式的解集； (3)解关于的不等式. 【变式8.3】（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数，满足 (1)求函数的解析式； (2)求不等式的解集； (3)对于，不等式恒成立，求实数的取值范围. 一、单选题 1．（24-25高一上·重庆·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25高一上·安徽宿州·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 4．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）设a，b，c为实数，不等式的解集是或，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知，函数与轴的交点横坐标为、，且，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·湖北宜昌·阶段练习）已知，且关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．命题“，”为假命题 D．若的解集为M，则 二、多选题 9．（24-25高一上·福建南平·期中）已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D．不等式的解集为 10．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 11．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知函数，则下列叙述正确的是（    ） A．若对都有成立，则 B．若使得有解，则 C．若且使得，则 D．若的解集是，则 三、填空题 12．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是 ． 13．（24-25高一上·上海金山·阶段练习）若不等式的解集是，则的解集为 ． 14．（24-25高一上·广东广州·期中）若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）解下列不等式 (1)； (2)； (3). 16．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 17．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知函数 (1)若不等式恒成立，求实数a的取值； (2)若不等式有解，求的解集. 18．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）要建造一个容积为，深为的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为100元，池底的造价为150元，设池底一边长为. (1)求为何值时，总造价最少？ (2)要使水池的总造价控制在12万元以内，求的取值范围. 19．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）若不等式的解集是． (1)求a的值，并求不等式的解集； (2)一元二次不等式的解集为，求k的取值范围． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$