专题2.5 有理数的乘方（高效培优讲义）数学人教版2024七年级上册

专题2.5 有理数的乘方 教学目标 1. 掌握有理数的乘方的意义，理解幂，底数，指数的相关概念并能够熟练的指数幂中的底数和指数。 2. 掌握有理数的乘方的运算法则，能够熟练的进行乘方运算。 3. 掌握有理数的混合运算法则，能够熟练的对有理数进行混合运算。 教学重难点 1. 重点 （1）有理数的乘方的意义及其运算； （2）偶次方与绝对值的非负性； （3）有理数的混合运算。 2. 难点 （1）有理数的乘方的运算（的区别与联系）； （2）偶次方与绝对值的非负性。 知识点01 有理数的乘方的意义 1. 有理数的乘方的意义： 求 的积的运算叫做乘方。一般地：（个）可以记作： ，读作： 。当把看做的次方的结果时，也可读作： ，所以乘方的结果叫做 ，其中是 ，是 。 特别提示： （1） 当指数是 时，指数省略不写。即直接写成。 （2） 当底数是 或 时，要把底数用括号括起来。如－2的三次方写成 ； 的四次方写成 。 （3）任何数都可以看做是它本身的 次方，一个数的2次方可以读作： ，一个数3次方可以读作： 。 【即学即练1】 1．45表示（　　） A．4个5相乘 B．5个4相乘 C．5与4的积 D．5个4相加的和 【即学即练2】 2．对于式子（﹣3）2，下列说法正确的是（　　） A．指数是﹣3 B．底数是3 C．幂是9 D．表示2个3相乘 知识点02 有理数的乘方的计算 1. 有理数的乘方的计算： 。在计算有理数的乘方时，先根据有理数的乘方的意义把有理数的乘方转化为 ，计算时先确定幂的 ，在计算幂的 。可以计算出结果，也可以用幂来表示结果。 特别提示： （1） 正数的任何次方都是 。 （2） 负数的奇次方是 ，负数的偶次方是 。 （3） 0的任何正整数次方（除0外）都得 。 （4） 1的任何次方都得 ，﹣1的奇次方得 ，﹣1的偶次方得 。 【即学即练1】 3．求下列各式的值： （1）（﹣3）3 （2）（）3 （3）（﹣1）3 （4）﹣（﹣0.3）3 知识点03 有理数的偶次方 1. 有理数的偶次方： 由乘方的计算可知，任何一个数的偶次方得到的结果都 ，即任何数的偶次方（常考有理数的平方）都是 ，非负数具有 。几个非负数的和等于0，这几个非负数分别等于 。即，则 。 【即学即练1】 4．已知（x+2）2+|y﹣3|＝0，则xy＝　 　 ． 【即学即练2】 5．如果a表示一个有理数，那么式子a2+3的最小值是　 　 ，此时a＝　 　 ． 知识点04 的区别与联系 1. 三者的意义（区别）： 表示的意义是 ，即 ，底数是 。 表示的意义是 ，即 ，底数是 。 表示的意义是 ，即 ，底数是 。 2. 三者的联系 （1） 当为奇数时， 和 相等，他们与互为 。 （2） 当为偶数时， 和 相等，他们与互为 。 【即学即练1】 6．下列各组的两个数中，运算后的结果相等的是（　　） A．23和32 B．﹣33和（﹣3）3 C．﹣22和（﹣2）2 D．﹣（）3和 【即学即练2】 7．计算下列各题，并说说它们的区别． （1）； （2）； （3）． 知识点05 有理数的混合运算 1. 有理数的混合运算法则： 先算 ，再算 ，最后算 ；同级运算从左至右算起，有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号；能简便运算的采用简便运算。 【即学即练1】 8．计算： （1）﹣5﹣（﹣16）+（﹣21）； （2）（﹣1）2023（1）÷（﹣3）2； （3）（﹣2）4+（﹣4）×（）2﹣（﹣1）3； （4）（﹣1）4﹣（1﹣0.5）[2﹣（﹣3）2]． 题型01 有理数的幂的概念的理解 【典例1】下列说法正确的是（　　） A．﹣35的底数是﹣3 B．23表示3个2相加 C．（﹣2）3与﹣23意义相同 D．﹣23的指数是3 【变式1】﹣23表示的意义是（　　） A．3个﹣2相乘 B．3个2相乘的相反数 C．2个﹣3相加 D．2个3相乘的相反数 【变式2】关于（﹣2）4说法正确的是（　　） A．结果是﹣8 B．底数是4，指数是﹣2 C．可以表示为﹣2×2×2×2 D．底数是﹣2，指数是4 【变式3】关于（﹣3）4的正确说法是（　　） A．﹣3是底数，4是幂 B．﹣3是底数，4是指数，﹣81是幂 C．3是底数，4是指数，81是幂 D．﹣3是底数，4是指数，81是幂 题型02 有理数的乘方运算 【典例1】计算：（1）﹣（﹣3）3； （2）（）2； （3）（）3． 【变式1】计算：（1）23； （2）﹣54； （3）； （4）﹣（）3． 【变式2】计算： （1）； （2）； （3）﹣25； （4）． 【典例2】下列各对数中，数值相等的是（　　） A．﹣27与（﹣2）7 B．﹣32与（﹣3）2 C．3×23与32×2 D．﹣（﹣3）2与（﹣2）3 【变式1】下列各组式子中，运算结果相等的是（　　） A．﹣23与（﹣2）3 B．﹣（﹣2）2与22 C．（﹣2）2与﹣23 D．|﹣22|与﹣|22| 【变式2】下列各组数中，数值相等的是（　　） A．﹣22和（﹣2）2 B．和（）2 C．（﹣2）2和22 D．﹣（）2和 题型03 偶次方与绝对值的非负性 【典例1】已知0，则（xy）2024的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2024 D．﹣2024 【变式1】已知a，b都是实数，若（a+2）2+|b﹣1|＝0，则（a+b）3的值是（　　） A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3 【变式2】当式子7+（a﹣2）2有最小值时，a＝　 　 ． 【变式3】若|a+1|+（b﹣2）2＝0，求（a+b）2022+a2021的值． 【变式4】x取什么值时，式子（x+3）2+15的值最小，这个最小值是多少？ 题型04 有理数的混合运算 【典例1】计算： （1）； （2）． 【变式1】计算 （1）（﹣1）2018×5+（﹣2）3÷4 （2）（）×24（）3﹣|﹣25|． 【变式2】计算 （1）﹣20+（﹣5）﹣（﹣18）； （2）﹣9÷3+（）×12+（﹣3）2； （3）﹣14﹣（1﹣0.5）[2﹣（﹣32）]； （4）﹣72+2×（﹣3）2+（﹣6）÷（）2． 【变式3】计算： （1）18+32÷（﹣2）3﹣（﹣4）2×5； （2）； （3）（﹣1）2021+（﹣2）3÷4×[5﹣（﹣3）2]； （4）． 题型05 有理数乘方的简单应用 【典例1】某药厂生产了一批新药，装箱后存放在仓库中，为了方便清点，按10×10×10箱一堆的方式摆放，共摆放了10堆，已知每箱装100瓶药，每瓶药装100片． （1）这批药共有多少箱？ （2）这批药共有多少片？ 【变式1】某种球形病毒，直径是0.01纳米，每一个病毒每经过一分钟就能繁殖出9个与自己同样的病毒，假如这种病毒在人体内聚集到一定数量，按这样的数量排列成一串，长度达到1分米时，人就会感到不适．（1米＝109纳米） （1）那么人从感染到第一个病毒后，5分钟后体内病毒的长度是多少纳米？ （2）经过多少分钟人会感到不适． 【变式2】当你把纸对折一次时，就得到2层，当对折两次时，就得到4层，照这样折下去（最多折7次）． （1）你能发现层数和折纸的次数有什么关系吗？ （2）计算当你对折6次时，层数是多少； （3）如果纸的厚度是0.1mm，求对折7次时，总厚度是多少． 1．对于算式（﹣3）4，正确的说法是（　　） A．3是底数，4是指数 B．3是底数，4是幂 C．﹣3是底数，4是幂 D．﹣3是底数，4是指数 2．下列各组数相等的有（　　） A．（﹣2）2与﹣22 B．（﹣1）3与﹣（﹣1）2 C．﹣|﹣0.3|与0.3 D．|a|与a 3．对于，若m＝2025，则其结果为（　　） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 4．计算的（﹣a）3•（﹣a）4结果是（　　） A．a7 B．﹣a12 C．a12 D．﹣a7 5．32×32+32×32+32×32的结果是（　　） A．34 B．35 C．36 D．38 6．已知|a+5|+（b﹣2）2＝0，则ab的值为（　　） A．25 B．﹣25 C．10 D．﹣10 7．定义一种幂的新运算：xm*xn＝xm+n+xmn，则21*22的值为（　　） A．32 B．10 C．12 D．16 8．若33×36＝3m，则m的值为（　　） A．18 B．9 C．5 D．3 9．若xm＝y，则记（x，y）＝m，例如32＝9，于是（3，9）＝2．若（﹣2，a）＝2，（b，8）＝3，（c，a）＝b，则c的值为（　　） A．16 B．﹣2 C．2或﹣2 D．16或﹣16 10．式子2×2×2＝23＝8，此时3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3），一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n），如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381，则log381＝4，同理log327＝3，log33＝1．由此可以得到下列式子：log381＝log3（27×3）＝log327+log33，且若logab＝logac，则b＝c，根据以上的信息及运关系，若log4（x+12）+log4x＝2log4（x+2），则x＝（　　） A． B． C．7 D． 11．若a，b为实数，且（a+3）2+|b﹣3|＝0，则 　 　 ． 12．观察下列等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，…通过观察，用你所发现的规律确定22009的个位数字是　 　 ． 13．（﹣1）2n+（﹣1）2n+1＝　 　 （n为正整数）． 14．当a＝ 　 　 时，式子5+（a﹣2）2的值最小，最小值是 　 　 ． 15．如图某种细胞经过30分钟便由1个分裂成2个，经过3小时这种细胞由1个分裂成 　 个． 16．计算 （1）； （2）． 17．观察下列各式，回答问题 1，1，1． 按上述规律填空： （1）1　 　 ． （2）计算：（1）×（1）×…×（1）×（1） 18．已知M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…，（n为正整数）． （1）求2M（2018）+M（2019）的值． （2）猜想2M（n）与M（n+1）的关系并说明理由． 19．请你研究以下分析过程，并尝试完成下列问题． 13＝12 13+23＝9＝32＝（1+2）2 13+23+33＝36＝62＝（1+2+3）2 13+23+33+43＝100＝102＝（1+2+3+4）2 （1）13+23+33+…+103＝　 　 （2）13+23+33+…+203＝　 　 （3）13+23+33+…+n3＝　 　 （4）计算：113+123+133+…+203的值． 20．（概念学习） 规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．一般地，把记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． （初步探究） （1）直接写出计算结果：2③＝ ，　 　 ． （2）关于除方，下列说法错误的是 　 ． A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数． B．对于任何正整数n，1ⓝ＝1． C．3③＝4④． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． （深入思考） 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？ （3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式（﹣3）④＝ 　 ；5⑥＝　 　 ；　 　 ． （4）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式是 　 　 ． （5）算一算：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 有理数的乘方 教学目标 1. 掌握有理数的乘方的意义，理解幂，底数，指数的相关概念并能够熟练的指数幂中的底数和指数。 2. 掌握有理数的乘方的运算法则，能够熟练的进行乘方运算。 3. 掌握有理数的混合运算法则，能够熟练的对有理数进行混合运算。 教学重难点 1. 重点 （1）有理数的乘方的意义及其运算； （2）偶次方与绝对值的非负性； （3）有理数的混合运算。 2. 难点 （1）有理数的乘方的运算（的区别与联系）； （2）偶次方与绝对值的非负性。 知识点01 有理数的乘方的意义 1. 有理数的乘方的意义： 求 几个相同因数 的积的运算叫做乘方。一般地：（个）可以记作： ，读作： 的次方 。当把看做的次方的结果时，也可读作： 的次幂 ，所以乘方的结果叫做 幂 ，其中是 底数 ，是 指数 。 特别提示： （1） 当指数是 1 时，指数省略不写。即直接写成。 （2） 当底数是 负数 或 分数 时，要把底数用括号括起来。如－2的三次方写成 ； 的四次方写成 。 （3）任何数都可以看做是它本身的 1 次方，一个数的2次方可以读作： 平方 ，一个数3次方可以读作： 立方 。 【即学即练1】 1．45表示（　　） A．4个5相乘 B．5个4相乘 C．5与4的积 D．5个4相加的和 【答案】B 【解答】解：45表示5个4相乘． 故选：B． 【即学即练2】 2．对于式子（﹣3）2，下列说法正确的是（　　） A．指数是﹣3 B．底数是3 C．幂是9 D．表示2个3相乘 【答案】C 【解答】解：A．（﹣3）2的指数是2，故选项A错误； B．（﹣3）2的底数是﹣3，故选项B错误； C．（﹣3）2的幂是9，故选项C正确； D．（﹣3）2表示2个﹣3相乘，故选项D错误． 故选：C． 知识点02 有理数的乘方的计算 1. 有理数的乘方的计算： 。在计算有理数的乘方时，先根据有理数的乘方的意义把有理数的乘方转化为 乘法运算 ，计算时先确定幂的 符号 ，在计算幂的 绝对值 。可以计算出结果，也可以用幂来表示结果。 特别提示： （1） 正数的任何次方都是 正数 。 （2） 负数的奇次方是 负数 ，负数的偶次方是 正数 。 （3） 0的任何正整数次方（除0外）都得 0 。 （4） 1的任何次方都得 1 ，﹣1的奇次方得 ﹣1 ，﹣1的偶次方得 1 。 【即学即练1】 3．求下列各式的值： （1）（﹣3）3 （2）（）3 （3）（﹣1）3 （4）﹣（﹣0.3）3 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（﹣3）3＝（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）＝﹣27， （2）（）3＝（）×（）×（）， （3）原式＝（）3＝（）×（）×（）， （4）原式＝﹣（﹣0.3）×（﹣0.3）×（﹣0.3）＝0.027． 知识点03 有理数的偶次方 1. 有理数的偶次方： 由乘方的计算可知，任何一个数的偶次方得到的结果都 大于等于0 ，即任何数的偶次方（常考有理数的平方）都是 非负数 ，非负数具有 非负性 。几个非负数的和等于0，这几个非负数分别等于 0 。即，则 0 。 【即学即练1】 4．已知（x+2）2+|y﹣3|＝0，则xy＝　﹣8　 ． 【答案】﹣8． 【解答】解：∵|x+2|+|y﹣3|＝0， ∴x+2＝0，y﹣3＝0， 解得：x＝﹣2，y＝3， 故xy＝（﹣2）3＝﹣8． 【即学即练2】 5．如果a表示一个有理数，那么式子a2+3的最小值是　3　 ，此时a＝　0　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵a2≥0， ∴a＝0时，a2+3有最小值，是3． 故答案为：3；0． 知识点04 的区别与联系 1. 三者的意义（区别）： 表示的意义是 n个a相乘的积 ，即 ，底数是 a 。 表示的意义是 n个a相乘的积的相反数 ，即 － ，底数是 a 。 表示的意义是 n个－a相乘的积 ，即 ，底数是 －a 。 2. 三者的联系 （1） 当为奇数时， － 和 相等，他们与互为 相反数 。 （2） 当为偶数时， 和 相等，他们与互为 相反数 。 【即学即练1】 6．下列各组的两个数中，运算后的结果相等的是（　　） A．23和32 B．﹣33和（﹣3）3 C．﹣22和（﹣2）2 D．﹣（）3和 【答案】B 【解答】解：A、23＝8，32＝9，不相等； B、﹣33＝（﹣3）3＝﹣27，相等； C、﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，不相等； D、﹣（）3，，不相等， 故选：B． 【即学即练2】 7．计算下列各题，并说说它们的区别． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）；区别见解答过程． 【解答】解：（1）； （2）； （3）． 区别：有理数的乘方运算，底数不同，第（1）题进行有理数的乘方运算，其底数是，第（2）题分子部分进行有理数的乘方运算，其底数是3，第（3）题分母部分进行有理数的乘方运算，其底数是5． 知识点05 有理数的混合运算 1. 有理数的混合运算法则： 先算 乘方 ，再算 乘除 ，最后算 加减 ；同级运算从左至右算起，有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号；能简便运算的采用简便运算。 【即学即练1】 8．计算： （1）﹣5﹣（﹣16）+（﹣21）； （2）（﹣1）2023（1）÷（﹣3）2； （3）（﹣2）4+（﹣4）×（）2﹣（﹣1）3； （4）（﹣1）4﹣（1﹣0.5）[2﹣（﹣3）2]． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）﹣5﹣（﹣16）+（﹣21） ＝﹣5+16﹣21 ＝11﹣21 ＝﹣10； （2）（﹣1）2023（1）÷（﹣3）2 ＝﹣1（）÷9 ＝﹣1（） ＝﹣1 ； （3）（﹣2）4+（﹣4）×（）2﹣（﹣1）3 ＝16+（﹣4）（﹣1） ＝16+（﹣1）+1 ＝16； （4）（﹣1）4﹣（1﹣0.5）[2﹣（﹣3）2] ＝1（2﹣9） ＝1（﹣7） ＝1 ． 题型01 有理数的幂的概念的理解 【典例1】下列说法正确的是（　　） A．﹣35的底数是﹣3 B．23表示3个2相加 C．（﹣2）3与﹣23意义相同 D．﹣23的指数是3 【答案】D 【解答】解：A．∵﹣35的底数是3，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意； B．∵23表示3个2相乘，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意； C．∵（﹣2）3表示3个﹣2相乘，﹣23表示3个2相乘的相反数，∴这两个数表示的意义不同，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意； D．∵﹣23的指数是3，∴此选项的说法正确，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式1】﹣23表示的意义是（　　） A．3个﹣2相乘 B．3个2相乘的相反数 C．2个﹣3相加 D．2个3相乘的相反数 【答案】B 【解答】解：意义是3个2相乘的相反数， 故选：B． 【变式2】关于（﹣2）4说法正确的是（　　） A．结果是﹣8 B．底数是4，指数是﹣2 C．可以表示为﹣2×2×2×2 D．底数是﹣2，指数是4 【答案】D 【解答】解：A、（﹣2）4＝16，故此选项不符合题意； B、（﹣2）4的底数是﹣2，指数是4，故此选项不符合题意； C、（﹣2）4表示（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），故此选项不符合题意； D、（﹣2）4的底数是﹣2，指数是4，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式3】关于（﹣3）4的正确说法是（　　） A．﹣3是底数，4是幂 B．﹣3是底数，4是指数，﹣81是幂 C．3是底数，4是指数，81是幂 D．﹣3是底数，4是指数，81是幂 【答案】D 【解答】解：（﹣3）4中，﹣3是底数，4是指数，81是幂． 故选：D． 题型02 有理数的乘方运算 【典例1】计算：（1）﹣（﹣3）3； （2）（）2； （3）（）3． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）﹣（﹣3）3＝﹣（﹣33）＝33＝3×3×3＝27． （2）（）2． （3）（）3＝﹣（）． 【变式1】计算：（1）23； （2）﹣54； （3）； （4）﹣（）3． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）23＝8； （2）﹣54＝﹣625； （3）； （4）﹣（）3． 【变式2】计算： （1）； （2）； （3）﹣25； （4）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式＝﹣32； （4）原式． 【典例2】下列各对数中，数值相等的是（　　） A．﹣27与（﹣2）7 B．﹣32与（﹣3）2 C．3×23与32×2 D．﹣（﹣3）2与（﹣2）3 【答案】A 【解答】解：A、﹣27＝（﹣2）7＝﹣128，相等，符合题意； B、﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，不相等，不合题意； C、3×23＝24，32×2＝18，不相等，不合题意； D、﹣（﹣3）2＝﹣9，（﹣2）3＝﹣8，不相等，不合题意， 故选：A． 【变式1】下列各组式子中，运算结果相等的是（　　） A．﹣23与（﹣2）3 B．﹣（﹣2）2与22 C．（﹣2）2与﹣23 D．|﹣22|与﹣|22| 【答案】A 【解答】解：A、﹣23＝（﹣2）3＝﹣8，选项正确； B、﹣（﹣2）2＝﹣4，22＝4，选项错误； C、（﹣2）2，＝4，﹣23＝﹣8，故选项错误； D、|﹣22|＝4，﹣|22|＝﹣4，故选项错误． 故选：A． 【变式2】下列各组数中，数值相等的是（　　） A．﹣22和（﹣2）2 B．和（）2 C．（﹣2）2和22 D．﹣（）2和 【答案】C 【解答】解：∵﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，﹣22≠（﹣2）2， ∴选项A不符合题意； ∵，（）2，（）2， ∴选项B不符合题意； ∵（﹣2）2＝4，22＝4，（﹣2）2＝22， ∴选项C符合题意； ∵﹣（）2，，﹣（）2， ∴选项D不符合题意． 故选：C． 题型03 偶次方与绝对值的非负性 【典例1】已知0，则（xy）2024的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2024 D．﹣2024 【答案】A 【解答】解：∵， ∴y﹣2＝0，0， ∴x，y＝2， ∴（xy）20241． 故选：A． 【变式1】已知a，b都是实数，若（a+2）2+|b﹣1|＝0，则（a+b）3的值是（　　） A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3 【答案】A 【解答】解：由题意得，a+2＝0，b﹣1＝0， 解得a＝﹣2，b＝1， 所以（a+b）3＝（﹣2+1）3＝﹣1． 故选：A． 【变式2】当式子7+（a﹣2）2有最小值时，a＝　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：∵（a﹣2）2≥0， ∴当a＝2时，（a﹣2）2有最小值， ∴当式子7+（a﹣2）2有最小值时，a＝2． 故答案为：2． 【变式3】若|a+1|+（b﹣2）2＝0，求（a+b）2022+a2021的值． 【答案】0． 【解答】解：由题意得，a+1＝0，b﹣2＝0， 解得a＝﹣1，b＝2， 所以（a+b）2022+a2021 ＝（﹣1+2）2022+（﹣1）2021 ＝1﹣1 ＝0． 【变式4】x取什么值时，式子（x+3）2+15的值最小，这个最小值是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（x+3）2＝0时即x＝﹣3时，值最小，这个最小值为15． 题型04 有理数的混合运算 【典例1】计算： （1）； （2）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式＝4+36 ＝40； （2）原式＝﹣1﹣2×3+9 ＝﹣1﹣6+9 ＝2． 【变式1】计算 （1）（﹣1）2018×5+（﹣2）3÷4 （2）（）×24（）3﹣|﹣25|． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（﹣1）2018×5+（﹣2）3÷4 ＝1×5+（﹣8）÷4 ＝5﹣2 ＝3； （2）（）×24（）3﹣|﹣25| ＝15﹣16（）﹣25 ＝15﹣16+2﹣25 ＝﹣24． 【变式2】计算 （1）﹣20+（﹣5）﹣（﹣18）； （2）﹣9÷3+（）×12+（﹣3）2； （3）﹣14﹣（1﹣0.5）[2﹣（﹣32）]； （4）﹣72+2×（﹣3）2+（﹣6）÷（）2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）﹣20+（﹣5）﹣（﹣18） ＝﹣20﹣5+18 ＝﹣7 （2） ＝﹣3+6﹣8+9 ＝4 （3） ＝﹣1（2+9） ＝﹣111 ＝﹣1 ； （4）﹣72+2×（﹣3）2+（﹣6）÷（）2 ＝﹣49+2×9+（﹣6）×9 ＝﹣49+18﹣54 ＝﹣85 【变式3】计算： （1）18+32÷（﹣2）3﹣（﹣4）2×5； （2）； （3）（﹣1）2021+（﹣2）3÷4×[5﹣（﹣3）2]； （4）． 【答案】（1）﹣66；（2）1；（3）7；（4）3． 【解答】解：（1）原式＝18+32÷（﹣8）﹣16×5 ＝18+（﹣4）﹣80 ＝14﹣80 ＝﹣66； （2）原式＝﹣6÷21212+9 ＝﹣3+4﹣9+9 ＝1； （3）原式＝﹣1+（﹣8）÷4×（5﹣9） ＝﹣1+（﹣2）×（﹣4） ＝﹣1+8 ＝7； （4）原式＝﹣1+（﹣4﹣16）÷（﹣5） ＝﹣1+（﹣20）÷（﹣5） ＝﹣1+4 ＝3． 题型05 有理数乘方的简单应用 【典例1】某药厂生产了一批新药，装箱后存放在仓库中，为了方便清点，按10×10×10箱一堆的方式摆放，共摆放了10堆，已知每箱装100瓶药，每瓶药装100片． （1）这批药共有多少箱？ （2）这批药共有多少片？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）10×10×10×10＝104（箱）； （2）10×10×10×10×100×100＝108（片）． 答：（1）这批药共有104箱，（2）这批药共有108片． 【变式1】某种球形病毒，直径是0.01纳米，每一个病毒每经过一分钟就能繁殖出9个与自己同样的病毒，假如这种病毒在人体内聚集到一定数量，按这样的数量排列成一串，长度达到1分米时，人就会感到不适．（1米＝109纳米） （1）那么人从感染到第一个病毒后，5分钟后体内病毒的长度是多少纳米？ （2）经过多少分钟人会感到不适． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）0.01×1×105＝103（纳米）； （2）∵第9分钟病毒数量长度是：0.01×1×109＝107（纳米）（米）（分米）， 第10分钟病毒数量长度是：0.01×1×1010＝108（纳米）（米）＝1（分米）， ∴经过10分钟人会感到不适． 【变式2】当你把纸对折一次时，就得到2层，当对折两次时，就得到4层，照这样折下去（最多折7次）． （1）你能发现层数和折纸的次数有什么关系吗？ （2）计算当你对折6次时，层数是多少； （3）如果纸的厚度是0.1mm，求对折7次时，总厚度是多少． 【答案】（1）折纸的次数是n时，折得的层数是2n（1≤n≤7且n为正整数）； （2）64； （3）12.8mm． 【解答】解：（1）纸对折一次时，就得到2层，即21层； 当对折两次时，就得到4层，即22层； 当对折三次时，就得到8层，即23层； 当折纸的次数是n时，折得的层数是2n（1≤n≤7且n为正整数）； （2）26＝64， 所以对折6次时，层数是64； （3）0.1×27＝0.1×128＝12.8（mm）， 所以对折7次时，总厚度是12.8mm 1．对于算式（﹣3）4，正确的说法是（　　） A．3是底数，4是指数 B．3是底数，4是幂 C．﹣3是底数，4是幂 D．﹣3是底数，4是指数 【答案】D 【解答】解：在（﹣3）4中，﹣3是底数，4是指数，（﹣3）4是幂， 故选：D． 2．下列各组数相等的有（　　） A．（﹣2）2与﹣22 B．（﹣1）3与﹣（﹣1）2 C．﹣|﹣0.3|与0.3 D．|a|与a 【答案】B 【解答】解：A．∵（﹣2）2＝（﹣2）×（﹣2）＝4，﹣22＝﹣2×2＝﹣4，∴﹣4≠4，故此选项不符合题意； B．∵（﹣1）3＝（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）＝﹣1，﹣（﹣1）2＝﹣（﹣1）×（﹣1）＝﹣1，∴（﹣1）3＝﹣（﹣1）2，故此选项符合题意； C．∵﹣|﹣0.3|＝﹣0.3，﹣0.3≠0.3，故此选项不符合题意； D．∵当a≥0时，|a|＝a，当a＜0时，|a|＝﹣a，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．对于，若m＝2025，则其结果为（　　） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 【答案】B 【解答】解：（﹣3）m， ∵负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数， ∴m＝2025时，（﹣3）m是负数， 故选：B． 4．计算的（﹣a）3•（﹣a）4结果是（　　） A．a7 B．﹣a12 C．a12 D．﹣a7 【答案】D 【解答】解：原式＝（﹣a）7＝﹣a7， 故选：D． 5．32×32+32×32+32×32的结果是（　　） A．34 B．35 C．36 D．38 【答案】B 【解答】解：原式＝3×（32×32）＝31+2+2＝35， 故选：B． 6．已知|a+5|+（b﹣2）2＝0，则ab的值为（　　） A．25 B．﹣25 C．10 D．﹣10 【答案】A． 【解答】解：∵|a+5|+（b﹣2）2＝0， ∴a+5＝0，b﹣2＝0， ∴a＝﹣5，b＝2， ∴ab＝（﹣5）2＝25． 故选：A． 7．定义一种幂的新运算：xm*xn＝xm+n+xmn，则21*22的值为（　　） A．32 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【解答】解：∵xm*xn＝xm+n+xmn， ∴21*22 ＝21+2+21×2 ＝23+22 ＝8+4 ＝12， 故选：C． 8．若33×36＝3m，则m的值为（　　） A．18 B．9 C．5 D．3 【答案】B 【解答】解：∵33×36＝33+6＝39， ∴m＝9， 故选：B． 9．若xm＝y，则记（x，y）＝m，例如32＝9，于是（3，9）＝2．若（﹣2，a）＝2，（b，8）＝3，（c，a）＝b，则c的值为（　　） A．16 B．﹣2 C．2或﹣2 D．16或﹣16 【答案】C 【解答】解：∵（﹣2，a）＝2，（b，8）＝3，（c，a）＝b， ∴（﹣2）2＝a，b3＝8，cb＝a， ∴a＝4，b＝2， ∴c2＝4， ∴c＝±2． 故选：C． 10．式子2×2×2＝23＝8，此时3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3），一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n），如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381，则log381＝4，同理log327＝3，log33＝1．由此可以得到下列式子：log381＝log3（27×3）＝log327+log33，且若logab＝logac，则b＝c，根据以上的信息及运关系，若log4（x+12）+log4x＝2log4（x+2），则x＝（　　） A． B． C．7 D． 【答案】A 【解答】解：设a＝log3（x+12），b＝log3x，c＝log3（x+2）， ∴3a+b＝x（x+12），32c＝（x+2）•（x+2）＝（x+2）2， ∴a+b＝log3x（x+12），， ∴， ∴x（x+12）＝（x+2）2， 解得：． 故选：A． 11．若a，b为实数，且（a+3）2+|b﹣3|＝0，则 　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：∵（a+3）2+|b﹣3|＝0， ∴a+3＝0，b﹣3＝0， ∴a＝﹣3，b＝3， ∴1． 故答案为：﹣1． 12．观察下列等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，…通过观察，用你所发现的规律确定22009的个位数字是　2　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：以2为底的幂的末位数字是2，4，8，6依次循环的， 2009÷4＝502…1， 所以22006的个位数字是2， 故答案为：2． 13．（﹣1）2n+（﹣1）2n+1＝　0　 （n为正整数）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原式＝1﹣1 ＝0， 故答案为：0． 14．当a＝ 　2　 时，式子5+（a﹣2）2的值最小，最小值是 　5　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：当a＝2时，（a﹣2）2有最小值0，此时式子5+（a﹣2）2的值最小，最小值是5． 15．如图某种细胞经过30分钟便由1个分裂成2个，经过3小时这种细胞由1个分裂成　64　 个． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵36（次）， ∴1个分裂26＝64个． 故答案为：64 16．计算 （1）； （2）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式＝4﹣3﹣8×（）×5 ＝4﹣3+5 ＝6； （2）原式＝﹣125×（）﹣32÷4 ＝75﹣10 ＝65． 17．观察下列各式，回答问题 1，1，1． 按上述规律填空： （1）1　　 ×　　 ． （2）计算：（1）×（1）×…×（1）×（1）＝　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）1； （2）原式． 故答案为：（1）；；（2） 18．已知M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…，（n为正整数）． （1）求2M（2018）+M（2019）的值． （2）猜想2M（n）与M（n+1）的关系并说明理由． 【答案】（1）0； （2）2M（n）与M（n+1）互为相反数． 【解答】解：（1）2M（2018）+M（2019） ＝2×（﹣2）2018+（﹣2）2019 ＝2×22018+（﹣2）2019 ＝22019+（﹣2）2019 ＝0； （2）2M（n）与M（n+1）互为相反数，理由如下： 因为2M（n）＝2×（﹣2）n＝﹣（﹣2）×（﹣2）n＝﹣（﹣2）n+1，M（n+1）＝（﹣2）n+1， 所以2M（n）＝﹣M（n+1）， 所以2M（n）与M（n+1）互为相反数． 19．请你研究以下分析过程，并尝试完成下列问题． 13＝12 13+23＝9＝32＝（1+2）2 13+23+33＝36＝62＝（1+2+3）2 13+23+33+43＝100＝102＝（1+2+3+4）2 （1）13+23+33+…+103＝　3025　 （2）13+23+33+…+203＝　44100　 （3）13+23+33+…+n3＝　　 （4）计算：113+123+133+…+203的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）13+23+33+…+103＝3025； （2）13+23+33+…+203＝44100； （3）13+23+33+…+n3； （4）113+123+133+…+203＝44100﹣3025＝41075． 故答案为：（1）3025；（2）44100；（3）；（4）41075． 20．（概念学习） 规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．一般地，把记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． （初步探究） （1）直接写出计算结果：2③＝　　 ，　4　 ． （2）关于除方，下列说法错误的是 　C　 ． A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数． B．对于任何正整数n，1ⓝ＝1． C．3③＝4④． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． （深入思考） 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？ （3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式（﹣3）④＝　　 ；5⑥＝　　 ；　28　 ． （4）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式是 　　 ． （5）算一算：． 【答案】（1），4．（2）C．（3）（）2；（）4；28.（4）（）n﹣2；（5）． 【解答】解：（1）2③＝2÷2÷2， （）④＝（）÷（）÷（）÷（） 2×2×2 ＝4． 故答案为：，4． （2）∵3③＝3÷3÷3， 4③＝4÷4÷4÷4， 由于， ∴3③≠4③ 所以选项C错误 故选C． （3）（﹣3）④＝（）4﹣2 ＝（）2 ＝（）2； 5⑥＝（）6﹣2 ＝（）4； （）⑩＝（﹣2）10﹣2 ＝（﹣2）8 ＝28； 故答案为：（）2；（）4；28； （4）aⓝ＝a÷a÷…÷a ＝1 ＝（）n﹣2 故答案为：（）n﹣2； （5）原式＝144÷（﹣3）2×（﹣2）﹣（﹣3）2÷34 ＝﹣144÷9×2﹣32÷34 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$