专题2.4 有理数的除法（高效培优讲义）数学人教版2024七年级上册

专题2.4 有理数的除法 教学目标 1. 掌握有数的倒数的求法，能够熟练的求出一个有理数的倒数。 2. 掌握有理数的除法运算法则能够熟练的进行运算。 3. 掌握有理数的乘除以及加减乘除混合运算法则，并能够对有理数混合运算熟练的进行计算。 教学重难点 1. 重点 （1）有理数的倒数； （2）有理数的除法运算； （3）有理数的混合运算。 2. 难点 （1）倒数及其性质的应用； （2）数轴及其有理数的混合运算。 知识点01 有理数的倒数 1. 倒数的定义： 乘积为 1 的两个数互为倒数（或分子分母刚好相反的两个数互为倒数）。若，则与互为 倒数 或是的 倒数 或是的 倒数 。一个数不能说是倒数。 2. 求倒数： 符号不变，交换其分子分母即可求得一个数的倒数。 正数的倒数是 正数 ，负数的倒数是 负数 ， 0 没有倒数，倒数等于它本身的数有 ±1 。 求带分数的倒数时，先把带分数化成 假分数 ，求小数的倒数时，把小数化成 分数 。 【即学即练1】 1．求下列各数的倒数： （1）； （2）1.2； （3）； （4）﹣0.08． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解答】解：（1）的倒数为． （2），所以1.2的倒数为． （3），所以的倒数为． （4），所以﹣0.08的倒数为． 【即学即练2】 2．已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，|m|＝3． 根据已知条件请回答： （1）ab＝　1　 ，c+d＝　0　 ，m＝　±3　 ，　﹣1　 ． （2）求：ab的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵a，b互为倒数， ∴ab＝1， ∵c，d互为相反数， ∴c+d＝0，1， ∵|m|＝3， ∴m＝±3， 故答案为：1，0，±3，﹣1； （2）当m＝3时，原式1+0﹣（﹣1）＝3， 当m＝﹣3时，原式1+0﹣（﹣1）＝1． 知识点02 有理数的除法 1. 除法运算法则： 说法一：除以一个数，等于乘以这个数的 倒数 。即 。 说法二：两数相除，同号得 正 ，异号得 负 ，再把 绝对值 相除。0除以任何一个不为0的数都得 0 。若两数相除的结果为1时，这两个数 相等 ，若两数相除的结果为﹣1时，这两个数 互为相反数 。 【即学即练1】 3．计算： （1）0.9； （2）（）÷5； （3）﹣18÷（）； （4）（﹣8）； （5）（）； （6）2（）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）0.9÷3 ； （2）（）÷5 ＝（） ； （3）﹣18÷（﹣1） ＝18 ＝10； （4）2（﹣8） （） ； （5）2（﹣2）＝﹣1； （6）2（﹣4） ＝2（） ＝﹣1． 【即学即练2】 4．化简下列分数： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）3． （2）． （3）． （4）21． （5）． （6）20． 知识点03 有理数的乘除混合运算 1. 运算法则： 有理数的乘法和除法属于同级运算，按照除法运算法则，把有理数的除法变换成乘法之后从左至右算起即可。注意有括号的先算括号。 【即学即练1】 5．计算： （1）（﹣8）（﹣7）； （2）（）； （3）（﹣1）÷（﹣5）×（）； （4）（）（）； （5）（﹣1155）÷[（﹣11）×（+3）×（﹣5）]； （6）﹣5×（）+13×（）﹣3×（）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：1）（﹣8）（﹣7） ＝87 ＝84； （2））（） ； （3））（﹣1）÷（﹣5）×（） ＝﹣1 ； （4）（）（） 4×（） 4 ； （5）（﹣1155）÷[（﹣11）×（+3）×（﹣5）] ＝（﹣1155）÷165 ＝﹣7； （6）﹣5×（）+13×（）﹣3×（） ＝（﹣5+13﹣3）×（） ＝5×（） ＝﹣11． 知识点04 有理数的加减乘除混合运算 1. 有理数的加减乘除混合运算法则： ①先 乘除 ，后 加减 ，有 括号 的要先算 括号 。先算 小括号 ，再算 中括号 ，最后算 大括号 。 ②同级运算中，按照 从左至右 的顺序计算。 能使用简便运算的使用简便运算。 【即学即练1】 6．计算： （1）[（）]×（）； （2）﹣0.25÷（）×（）； （3）﹣25×（）+13×（）﹣3×（）； （4）[（）+（﹣0.4）÷（）]． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）[（）]×（） ＝（30）×（） ＝5×（） ＝﹣1； （2）﹣0.25÷（）×（） ； （3）﹣25×（）+13×（）﹣3×（） ＝（﹣25+13﹣3）×（） ＝﹣15×（） ＝7； （4）[（）+（﹣0.4）÷（）] ＝（） ＝（） ＝﹣2+3 ＝1． 题型01 有理数的倒数及其性质的应用 【典例1】的倒数是（　　） A．﹣6 B．6 C． D． 【答案】B 【解答】解：∵61， ∴的倒数为：6． 故选：B． 【变式1】|﹣3|的倒数是（　　） A．3 B． C．﹣3 D． 【答案】B 【解答】解：∵|﹣3|＝3，3的倒数是， ∴|﹣3|的倒数是． 故选：B． 【变式2】如果ab＝﹣1，则称a、b互为“负倒数”．那么﹣3的“负倒数”等于　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据题意，得﹣3的负倒数等于． 故答案为：． 【变式3】已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，2（a+b）+cd的值． 【答案】1． 【解答】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数， ∴a+b＝0，cd＝1， ∴2（a+b）+cd＝0+1＝1， 答：2（a+b）+cd的值为1． 【变式4】已知：有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位，a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数． 求：2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位， ∴m＝﹣5或3， ∵a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数， ∴a+b＝0，cd＝1， 当m＝﹣5时， ∴2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m ＝2（a+b）+（a+b）﹣3cd﹣m ＝﹣3﹣（﹣5） ＝2， 当m＝3时， 2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m ＝2（a+b）+（a+b）﹣3cd﹣m ＝﹣3﹣3 ＝﹣6 综上所述：原式＝2或﹣6． 题型02 有理数的除法及其混合运算 【典例1】计算：①（﹣16.8）÷（﹣3）； ②； ③； ④； ⑤﹣18÷（+3.25）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①原式＝16.8÷3， ＝16.8， ＝5.6； ②原式， ， ； ③原式， ， ； ④原式＝1.25÷0.5， ， ＝4； ⑤原式＝18÷3.25÷2， ＝18， ． 【变式1】计算： （1）﹣8+（﹣15）÷（﹣5） （2）（） （3）5 （4）（﹣24）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）﹣8+（﹣15）÷（﹣5） ＝﹣8+3 ＝﹣5； （2）（） ＝（）×（） ； （3）5 ＝5﹣32×（﹣2） ＝8； （4）（﹣24） ＝﹣24 ＝﹣144． 【变式2】计算： （1）0÷（）； （2）； （3）； （4）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式＝0； （2）原式＝﹣（）， ； （3）原式＝81 ＝1； （4）原式＝（）×（） （）（）（） ＝﹣2+3 ． 【变式3】计算： （1）375÷（）÷（）； （2）3×（﹣4）+（﹣28）÷7； （2）42×（）+（）÷（﹣0.25）； （4）（﹣1155）÷[（﹣11）×（+3）×（﹣5）]． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式＝375×（）×（）； （2）原式＝﹣12﹣4＝﹣16； （3）原式＝﹣28+3＝﹣25； （4）原式＝﹣1155÷165＝﹣7． 题型03 繁分数的化简 【典例1】下列化简：①3；②7；③1；④；⑤．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：①3，正确； ②7，正确； ③1，错误，正确答案为36； ④，正确； ⑤，错误，正确答案为． 其中正确的有3个． 故选：C． 【变式1】化简下列分数： （1）． （2）． （3）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）． （2）20． （3）0． 【变式2】化简下列分数： （1）； （2）； （3）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）9； （2）； （3）． 题型04 数轴与有理数的混合运算 【典例1】已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（　　） A．a（a+b）＜0 B．a﹣b＜0 C． D．|a|＞|b| 【答案】C 【解答】解：由数轴得b＜a＜0， A、∵b＜a＜0， ∴a+b＜0， ∴a（a+b）＞0， 故A选项错误； B、∵b＜a＜0， ∴a﹣b＞0， 故B选项错误； C、∵b＜a＜0， ∴0， 故C选项正确； D、∵b＜a＜0， ∴|a|＜|b|， 故D选项错误． 故选：C． 【变式1】若a，b为有理数，它们在数轴上的位置如图所示，以下计算正确的是（　　） A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C．ab＞0 D．a÷b＞0 【答案】A 【解答】解：由a、b在数轴上的位置可知：a＞0，b＜0，且|a|＜|b|， ∴a+b＜0，ab＜0，a﹣b＞0，a÷b＜0． 故选：A． 【变式2】如图，已知有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列关系中，正确的是（　　） A．a+c＞0 B．abc＜0 C．a﹣b＞0 D． 【答案】D 【解答】解：由数轴得，﹣3＜a＜﹣2，﹣2＜b＜﹣1，0＜c＜1， ∴a+c＜0，abc＞0，a﹣b＜0，， 故选：D． 【变式3】有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列四个结论：①b﹣a＞0；②|a|＜|b|；③a+b＞0；④，⑤|b+a|＝|b|﹣|a|．其中正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【解答】解：根据数轴可知，a＜0＜b，|a|＜|b|， ∴b﹣a＞0，a+b＞0，， ∴|b+a|＝b+a，|b|﹣|a|＝b﹣（﹣a）＝b+a， ∴|b+a|＝|b|﹣|a|， ∴①正确，符合题意； ②正确，符合题意； ③正确，符合题意； ④错误，不符合题意； ⑤正确，符合题意． 故选：B． 【变式4】已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的共有（　　） ①， ②ab＞0， ③a﹣b＞0， ④a+b＞0， ⑤﹣a＜﹣b， ⑥a＜|b| A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解答】解：由题意可知b＜0＜a，且|b|＞|a|， ∴，故①正确； ab＜0，故②错误； a﹣b＞0，故③正确； a+b＜0，故④错误； ﹣a＜﹣b，故⑤正确； a＜|b|，故⑥正确． ∴正确的有①③⑤⑥共4个． 故选：C． 1．的倒数的相反数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【解答】解：的倒数是， 的相反数是， 则的倒数的相反数是． 故选：D． 2．将式子（﹣1）×（﹣1）中的除法转化为乘法运算，正确的是（　　） A．（﹣1）×（） B．（﹣1）×（） C．（﹣1）×（） D．（﹣1）×（） 【答案】B 【解答】解：∵除以一个数等于乘以一个数的倒数， ∴（﹣1）×（﹣1）（﹣1）×（）， 故选：B． 3．已知ab＝1，若a＝5，则b的值为（　　） A．5 B．﹣5 C． D． 【答案】C 【解答】解：已知ab＝1，若a＝5， 则b， 故选：C． 4．若a+b＜0，，则有（　　） A．a＞0，b＞0 B．a、b异号，且正数的绝对值较大 C．a＜0，b＜0 D．a、b异号，且负数的绝对值较大 【答案】C 【解答】解：∵， ∴a、b同号， 又∵a+b＜0， ∴a、b同时为负数，即a＜0，b＜0， 故选：C． 5．在﹣2，﹣3，0，4这四个数中，任意选两个数相除，所得的商最小是（　　） A． B．﹣2 C． D．﹣4 【答案】B 【解答】解：由有理数除法运算法则可知，异号相除得负， 所以要使所得的商最小必为一正一负相除， 若选﹣2和4，则﹣2÷4＝﹣0.5，4÷（﹣2）＝﹣2； 若选﹣3和4，则﹣3÷4＝﹣0.75，； 因为， 所以所得的商最小是﹣2， 故选：B． 6．已知a、b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的共有（　　） ①0，②ab＞0，③a﹣b＜0，④a+b＞0，⑤﹣a＜﹣b；⑥a＜|b|；⑦b＜﹣a＜a＜﹣b． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解答】①∵由数轴可知a＞0，b＜0，∴①对． ②由数轴可知a＞0，b＜0， ∴ab＜0， ∴②错． ③a＞0，﹣b＞0， ∴a﹣b＞0． ∴③错． ④由数轴可知a＞0，b＜0， ∵a的绝对值小于b的绝对值， ∴a+b＜0， ∴④错． ⑤）∵﹣a＜0，﹣b＞0， ∴﹣a＜﹣b． ∴⑤对． ⑥∵a＞0，|b|＞0， ∴a＜|b|， ∴⑥对． ⑦∵a＞0，﹣a＜0，﹣b＞0，b＜0， ∴b＜﹣a＜a＜﹣b， ∴⑦对． 故选：C． 7．若|m|＝2，|n|＝3，且|m+n|＝m+n，则（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解答】解：∵|m|＝2，|n|＝3， ∴m＝±2，n＝±3， ∵|m+n|＝m+n， ∴m＝2，n＝3或m＝﹣2，n＝3， 当m＝2，n＝3时，； 当m＝﹣2，n＝3时，， 故选：C． 8．如图，机器人淘淘和巧巧分别站在边长为15米的正方形道路ABCD的顶点D、B处，他们开始各以每秒1米和每秒1.5米的速度沿正方形道路按顺时针方向匀速行走．当淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处时，经过了多少秒？（　　） A．30秒 B．60秒 C．90秒 D．120秒． 【答案】B 【解答】解：1.5﹣1＝0.5（米/秒），2×15＝30（米）， 30÷0.5＝60（秒） ∴经过60秒，淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处， 故答案为：B． 9．对于有理数x，y，若0，则的值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 【答案】B 【解答】解：∵0， ∴x，y异号． ∴xy＜0， ∴1， 当x＞0时，y＜0，则1，1， ∴原式＝﹣1+（﹣1）+1＝﹣1． 当x＜0时，y＞0，则1，1． ∴原式＝﹣1+1﹣1＝﹣1． 故选：B． 10．取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【解答】解：根据分析，可得 则所有符合条件的m的值为：128、21、20、3． 故选：B． 11．　　 ． 【答案】． 【解答】解： ， 故答案为：． 12．某同学在计算（﹣6）÷a时，误将“÷”看成“+”而算得结果是﹣3，则（﹣6）÷a的正确结果是 　﹣2　 ． 【答案】﹣2． 【解答】解：根据题意得（﹣6）+a＝﹣3， 解得a＝3， 所以（﹣6）÷a＝（﹣6）÷3＝﹣2， 故答案为：﹣2． 13．已知x，y是有理数，且满足|x﹣1|+|y+2|＝0，则　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵|x﹣1|+|y+2|＝0， ∴x﹣1＝0，y+2＝0， ∴x＝1，y＝﹣2， ∴． 故答案为：． 14．已知|a|＝3，|b|＝4，且a＞b，则的值为 　﹣7或　 ． 【答案】﹣7或． 【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝4， ∴a＝±3，b＝±4， ∵a＞b， ∴当a＝3时，b＝﹣4， 原式7， 当a＝﹣3时，b＝﹣4， 原式， 故答案为：﹣7或． 15．下列说法：①若a+b＝0，则；②若a+b＜0，且，则|a+3b|＝﹣a﹣3b；③若|a|＞|b|，则（a+b）（a﹣b）＞0；④若a+b+c＜0，ab＞0，c＞0，则．其中正确的有 　②③④　 ．（填序号） 【答案】②③④． 【解答】解：对于①： 当a＝b＝0时，无意义， 故①错误，不符合题意； 对于②： ∵， ∴ab同号， ∵a+b＜0， ∴a＜0，b＜0， ∴a+3b＜0， ∴|a+3b|＝﹣a﹣3b， 故②正确，符合题意； 对于③： 若|a|＞|b|， 则有四种情况， 1°如数轴所示， 此时a＞b＞0， ∴a+b＞0，a﹣b＞0， ∴（a+b）（a﹣b）＞0； 2°如数轴所示， 此时﹣a＜b＜0＜a， ∴a+b＞0，a﹣b＞0， ∴（a+b）（a﹣b）＞0； 3°如数轴所示， 此时a＜b＜0， ∴a+b＜0，a﹣b＜0， ∴（a+b）（a﹣b）＞0； 4°如数轴所示， 此时a＜0＜b＜﹣a， ∴a+b＜0，a﹣b＜0， ∴（a+b）（a﹣b）＞0； 综上，若|a|＞|b|，则（a+b）（a﹣b）＞0； 故③正确，符合题意； 对于④： ∵a+b+c＜0， ∴a、b、c中至少有一个负数， ∵ab＞0， ∴ab同号， ∵c＞0， ∴a和b均为负数， ∴1+（﹣1）+1＝﹣1， 故④正确，符合题意； 综上，正确的有②③④； 故答案为：②③④． 16．计算 （1）； （2）． （3）； （4）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）﹣1÷（）﹣3÷（） ＝﹣1×（﹣8）﹣3×（﹣2） ＝8+6 ＝14； （2）﹣81（） ＝﹣81×3（﹣9） ＝﹣243+3 ＝﹣240； （3）﹣1+5÷（）×（﹣6） ＝﹣1+5×（﹣6）×（﹣6） ＝﹣1+180 ＝179； （4）（）÷1 10 ． 17．列式计算求值： （1）﹣3的相反数与0.3的倒数的差； （2）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为3，求m2﹣（﹣1）的值． 【答案】（1）0； （2）9． 【解答】解：（1）﹣（﹣3） ＝0； （2）∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为3， ∴a+b＝0，cd＝1，m2＝9， ∴m2﹣（﹣1） ＝9+1﹣1 ＝9． 18．阅读下列材料： 计算：（）． 解法一：原式3412． 解法二：原式（）6． 解法三：原式的倒数＝（）（）×24242424＝4． 所以，原式． （1）上述得到的结果不同，你认为解法　一　 是错误的； （2）请你选择合适的解法计算：（）÷（）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）上述得到的结果不同，我认为解法一是错误的； 故答案为：一； （2）原式的倒数为：（）÷（）＝（）×（﹣42）＝﹣7+9﹣28+12＝﹣35+21＝﹣14， 则原式． 19．数论是纯数学的分支之一，主要研究整数的性质．现在我们来研究整数的一种特殊现象． 定义：对于一个非0自然数N，如果这个自然数N分别除以自然数a、b（a、b为互质数）有相同余数（余数不为0），那么自然数N叫做a、b的“公平数”． 例如：13÷3＝4……1，13÷4＝3……1，所以13是3和4的“公平数”：72÷5＝14……2，72÷7＝10……2，所以72是5和7的“公平数”． （1）判断：60、35是否为7和8的“公平数”，请说明理由； （2）求100以内3和8的所有“公平数”． 【答案】（1）见解析；（2）25，26，49，50，97，98． 【解答】解：（1）60÷7＝8……4，60÷8＝7……4，有相同的余数，故为“公平数”； 35÷7＝5……0，35÷8＝4……3，余数不相同，故不是“公平数”． （2）3和8的公倍数在100内有24、48、72、96． ①当3和8的公倍数为24时： 当余数为1时的“公平数”：3×8+1＝25； 当余数为2时的“公平数”：3×8+2＝26； ②当3和8的公倍数为48时： 当余数为1时的“公平数”：2×3×8+1＝49； 当余数为2时的“公平数”：2×3×8+2＝50； ③当3和8的公倍数为72时： 当余数为1时的“公平数”：3×3×8+1＝73； 当余数为2时的“公平数”：3×3×8+2＝74； ④当3和8的公倍数为96时： 当余数为1时的“公平数”：2×2×3×8+1＝97； 当余数为2时的“公平数”：2×2×3×8+2＝98； 故100以内3和8的所有“公平数”为：25，26，49，50，97，98． 20．如图，整数m，n，t在数轴上分别对应点M，N，T． （1）若m与n互为相反数，则t＝　﹣1　 ； （2）①若t＝﹣3，求m+n的值； ②当原点在点M的左侧时，试说明：整数m，n，t的和除以3所得的余数一定是2． 【答案】（1）﹣1；（2）3（m+2）+2 除以3余数是2． 【解答】解：（1）因为m与n互为相反数， 所以m+n＝0， 所以t＝0﹣1＝﹣1． 故答案为：﹣1． （2）①∵t＝﹣3， ∴m＝t﹣2＝﹣3﹣2＝﹣5， ∴n＝t+4＝﹣3+4＝1， ∴m+n＝﹣5+1＝﹣4； ②当原点在点M的左侧时，m，n，t均为正整数， ∵t＝m+2，n＝m+6， ∴m+t+n ＝m+（m+2）+（m+6） ＝3m+8 ＝3（m+2）+2， ∵m+2为整数， ∴3（m+2）+2 除以3余数是2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 有理数的除法 教学目标 1. 掌握有数的倒数的求法，能够熟练的求出一个有理数的倒数。 2. 掌握有理数的除法运算法则能够熟练的进行运算。 3. 掌握有理数的乘除以及加减乘除混合运算法则，并能够对有理数混合运算熟练的进行计算。 教学重难点 1. 重点 （1）有理数的倒数； （2）有理数的除法运算； （3）有理数的混合运算。 2. 难点 （1）倒数及其性质的应用； （2）数轴及其有理数的混合运算。 知识点01 有理数的倒数 1. 倒数的定义： 乘积为 的两个数互为倒数（或分子分母刚好相反的两个数互为倒数）。若，则与互为 或是的 或是的 。一个数不能说是倒数。 2. 求倒数： 符号不变，交换其分子分母即可求得一个数的倒数。 正数的倒数是 ，负数的倒数是 ， 没有倒数，倒数等于它本身的数有 。 求带分数的倒数时，先把带分数化成 ，求小数的倒数时，把小数化成 。 【即学即练1】 1．求下列各数的倒数： （1）； （2）1.2； （3）； （4）﹣0.08． 【即学即练2】 2．已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，|m|＝3． 根据已知条件请回答： （1）ab＝　 　 ，c+d＝　 ，m＝　 ，　 ． （2）求：ab的值． 知识点02 有理数的除法 1. 除法运算法则： 说法一：除以一个数，等于乘以这个数的 。即 。 说法二：两数相除，同号得 ，异号得 ，再把 相除。0除以任何一个不为0的数都得 。若两数相除的结果为1时，这两个数 ，若两数相除的结果为﹣1时，这两个数 。 【即学即练1】 3．计算： （1）0.9； （2）（）÷5； （3）﹣18÷（）； （4）（﹣8）； （5）（）； （6）2（）． 【即学即练2】 4．化简下列分数： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 知识点03 有理数的乘除混合运算 1. 运算法则： 有理数的乘法和除法属于同级运算，按照除法运算法则，把有理数的除法变换成乘法之后从左至右算起即可。注意有括号的先算括号。 【即学即练1】 5．计算： （1）（﹣8）（﹣7）； （2）（）； （3）（﹣1）÷（﹣5）×（）； （4）（）（）； （5）（﹣1155）÷[（﹣11）×（+3）×（﹣5）]； （6）﹣5×（）+13×（）﹣3×（）． 知识点04 有理数的加减乘除混合运算 1. 有理数的加减乘除混合运算法则： ①先 ，后 ，有 的要先算 。先算 ，再算 ，最后算 。 ②同级运算中，按照 的顺序计算。 能使用简便运算的使用简便运算。 【即学即练1】 6．计算： （1）[（）]×（）； （2）﹣0.25÷（）×（）； （3）﹣25×（）+13×（）﹣3×（）； （4）[（）+（﹣0.4）÷（）]． 题型01 有理数的倒数及其性质的应用 【典例1】的倒数是（　　） A．﹣6 B．6 C． D． 【变式1】|﹣3|的倒数是（　　） A．3 B． C．﹣3 D． 【变式2】如果ab＝﹣1，则称a、b互为“负倒数”．那么﹣3的“负倒数”等于　 ． 【变式3】已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，2（a+b）+cd的值． 【变式4】已知：有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位，a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数． 求：2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m的值． 题型02 有理数的除法及其混合运算 【典例1】计算：①（﹣16.8）÷（﹣3）； ②； ③； ④； ⑤﹣18÷（+3.25）． 【变式1】计算： （1）﹣8+（﹣15）÷（﹣5） （2）（） （3）5 （4）（﹣24）． 【变式2】计算： （1）0÷（）； （2）； （3）； （4）． 【变式3】计算： （1）375÷（）÷（）； （2）3×（﹣4）+（﹣28）÷7； （2）42×（）+（）÷（﹣0.25）； （4）（﹣1155）÷[（﹣11）×（+3）×（﹣5）]． 题型03 繁分数的化简 【典例1】下列化简：①3；②7；③1；④；⑤．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】化简下列分数： （1）． （2）． （3）． 【变式2】化简下列分数： （1）； （2）； （3）． 题型04 数轴与有理数的混合运算 【典例1】已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（　　） A．a（a+b）＜0 B．a﹣b＜0 C． D．|a|＞|b| 【变式1】若a，b为有理数，它们在数轴上的位置如图所示，以下计算正确的是（　　） A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C．ab＞0 D．a÷b＞0 【变式2】如图，已知有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列关系中，正确的是（　　） A．a+c＞0 B．abc＜0 C．a﹣b＞0 D． 【变式3】有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列四个结论：①b﹣a＞0；②|a|＜|b|；③a+b＞0；④，⑤|b+a|＝|b|﹣|a|．其中正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式4】已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的共有（　　） ①， ②ab＞0， ③a﹣b＞0， ④a+b＞0， ⑤﹣a＜﹣b， ⑥a＜|b| A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1．的倒数的相反数是（　　） A． B． C． D． 2．将式子（﹣1）×（﹣1）中的除法转化为乘法运算，正确的是（　　） A．（﹣1）×（） B．（﹣1）×（） C．（﹣1）×（） D．（﹣1）×（） 3．已知ab＝1，若a＝5，则b的值为（　　） A．5 B．﹣5 C． D． 4．若a+b＜0，，则有（　　） A．a＞0，b＞0 B．a、b异号，且正数的绝对值较大 C．a＜0，b＜0 D．a、b异号，且负数的绝对值较大 5．在﹣2，﹣3，0，4这四个数中，任意选两个数相除，所得的商最小是（　　） A． B．﹣2 C． D．﹣4 6．已知a、b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的共有（　　） ①0，②ab＞0，③a﹣b＜0，④a+b＞0，⑤﹣a＜﹣b；⑥a＜|b|；⑦b＜﹣a＜a＜﹣b． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．若|m|＝2，|n|＝3，且|m+n|＝m+n，则（　　） A． B． C．或 D．或 8．如图，机器人淘淘和巧巧分别站在边长为15米的正方形道路ABCD的顶点D、B处，他们开始各以每秒1米和每秒1.5米的速度沿正方形道路按顺时针方向匀速行走．当淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处时，经过了多少秒？（　　） A．30秒 B．60秒 C．90秒 D．120秒． 9．对于有理数x，y，若0，则的值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 10．取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 11． 　 ． 12．某同学在计算（﹣6）÷a时，误将“÷”看成“+”而算得结果是﹣3，则（﹣6）÷a的正确结果是 　 　 ． 13．已知x，y是有理数，且满足|x﹣1|+|y+2|＝0，则　 ． 14．已知|a|＝3，|b|＝4，且a＞b，则的值为 　 ． 15．下列说法：①若a+b＝0，则；②若a+b＜0，且，则|a+3b|＝﹣a﹣3b；③若|a|＞|b|，则（a+b）（a﹣b）＞0；④若a+b+c＜0，ab＞0，c＞0，则．其中正确的有 　 　 ．（填序号） 16．计算 （1）； （2）． （3）； （4）． 17．列式计算求值： （1）﹣3的相反数与0.3的倒数的差； （2）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为3，求m2﹣（﹣1）的值． 18．阅读下列材料： 计算：（）． 解法一：原式3412． 解法二：原式（）6． 解法三：原式的倒数＝（）（）×24242424＝4． 所以，原式． （1）上述得到的结果不同，你认为解法　 　 是错误的； （2）请你选择合适的解法计算：（）÷（）． 19．数论是纯数学的分支之一，主要研究整数的性质．现在我们来研究整数的一种特殊现象． 定义：对于一个非0自然数N，如果这个自然数N分别除以自然数a、b（a、b为互质数）有相同余数（余数不为0），那么自然数N叫做a、b的“公平数”． 例如：13÷3＝4……1，13÷4＝3……1，所以13是3和4的“公平数”：72÷5＝14……2，72÷7＝10……2，所以72是5和7的“公平数”． （1）判断：60、35是否为7和8的“公平数”，请说明理由； （2）求100以内3和8的所有“公平数”． 20．如图，整数m，n，t在数轴上分别对应点M，N，T． （1）若m与n互为相反数，则t＝　 　 ； （2）①若t＝﹣3，求m+n的值； ②当原点在点M的左侧时，试说明：整数m，n，t的和除以3所得的余数一定是2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$