专题2.4 有理数的运算章节复习【导图+知识卡片+知识梳理+23个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共61题】-2026-2027学年人教版数学七年级上册同步讲义

该初中数学有理数运算章节复习讲义通过思维导图和对比表格系统构建知识体系，梳理了有理数加减乘除、乘方、科学记数法等15个知识点，按运算类型和逻辑关系呈现法则、运算律及方法指引，清晰展现重难点分布与内在联系。 讲义亮点在于23个题型讲练的创新性设计，如快递员送货路程的实际应用、数轴翻折问题、程序流程图计算等，培养运算能力与应用意识。难度分层训练和中考真题演练满足不同层次学生需求，助力教师实施精准教学，提升复习效率。

专题2.4 有理数的运算（章节复习）『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+23个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共61题） 【人教版数学新教材•七年级上册】 思维导图 3 知识梳理 3 知识点一 有理数的加法 3 知识点二 有理数的减法 4 知识点三 有理数的加减混合运算 4 知识点四 有理数的乘法法则 4 知识点五 倒数的概念 4 知识点六 有理数的乘法运算律 5 知识点七 多个有理数相乘 5 知识点八 有理数除法法则 5 知识点九 有理数的乘除混合运算 6 知识点十 有理数的加减乘除混合运算 6 知识点十一 有理数的乘方 6 知识点十二 非负数的性质：偶次方 6 知识点十三 有理数的混合运算 6 知识点十四 近似数和有效数字 7 知识点十五 科学记数法—表示较大的数 7 题型讲练 7 题型一 有理数加法运算 7 题型二 有理数加法在生活中的应用 8 题型三 有理数加法运算律 8 题型四 有理数的减法运算 9 题型五 有理数的加减混合运算 9 题型六 有理数加减中的简便运算 9 题型七 有理数加减混合运算的应用 9 题型八 倒数 10 题型九 有理数乘法运算律 10 题型十 有理数乘除混合运算 11 题型十一 有理数乘除中的简便运算 11 题型十二 有理数四则混合运算 11 题型十三 有理数四则混合运算的实际应用 12 题型十四 根据点在数轴的位置判断式子的正负 13 题型十五 数轴上的翻折 13 题型十六 乘方运算的符号规律 14 题型十七 乘方的应用 14 题型十八 程序流程图与有理数计算 14 题型十九 算"24"点 15 题型二十 含乘方的有理数混合运算 15 题型二十一 科学记数法 16 题型二十二 求近似数的精确度 16 题型二十三 近似数推断取值范围 16 中考真题演练 16 难度分层训练 18 【基础夯实】 18 【培优拔高】 19 知识点一 有理数的加法 （1）有理数加法法则： ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． ③一个数同0相加，仍得这个数． （在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．） （2）相关运算律 交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）． 知识点二 有理数的减法 （1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b） （2）方法指引： ①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）； 【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律． 减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算． 知识点三 有理数的加减混合运算 （1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引： ①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 知识点四 有理数的乘法法则 有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． 知识点五 倒数的概念 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点六 有理数的乘法运算律 乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)； 乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c. 知识点七 多个有理数相乘 多个有理数相乘的法则： ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点八 有理数除法法则 1. 有理数除法法则一：除以一个不等于0 的数，等于乘这个数的倒数. 用字母表示：a÷b=a·(b ≠ 0). 2. 有理数除法法则二 两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0 除以任何一个不等于0 的数，都得0 . 方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 知识点九 有理数的乘除混合运算 有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果. 注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算 知识点十 有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算顺序 在运算时要注意按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果有括号，应先算括号里面的. 在同级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并合理运用运算律，简化运算. 知识点十一 有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 知识点十二 非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点十三 有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 知识点十四 近似数和有效数字 （1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． （2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． （3）规律方法总结： “精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 知识点十五 科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 题型一 有理数加法运算 【典例精讲】（25-26七年级上·浙江温州·期末）数轴上有、两点，点在点的右侧，且．若点表示的数为，则点所表示的数是___________． 【变式训练】（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图，数轴上的一个点，从原点出发沿着数轴先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，到达原点右边个单位长度处，根据图写出的算式是（   ） A． B． C． D． 题型二 有理数加法在生活中的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西西安·期末）快递员某天早晨从配送站出发，沿南北走向的一条笔直道路送货（规定向北为正，向南为负），他这天上午送货时的行驶路程记录如下（单位：千米）： ，，，，，，，，，． (1)该快递员最后到达的地方在配送站的哪个方向？距离配送站有多远？ (2)若快递员送完最后一单货物后返回配送站，求他这天上午行驶的总路程． 【变式训练】（25-26七年级上·福建厦门·期末）下表记录了某公司2025年四个季度的盈亏情况（记盈利为正，单位：百万），根据表的数据，该公司2025年的利润可表示为（   ） 时间 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 盈利 31.5 27.8 A． B． C． D． 题型三 有理数加法运算律 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式训练】（2025七年级上·吉林长春·专题练习）计算： (1)； (2)． 题型四 有理数的减法运算 【典例精讲】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）已知数轴上有A、B两点，如图，A为数轴上表示2的点，若点B到点A的距离是3，则B点表示的数为__________． 【变式训练】（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）数轴上表示数的点与表示数的点的距离为 _____． 题型五 有理数的加减混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）一个点从数轴上表示的点开始，先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，则此时这个点表示的数是______． 【变式训练】（25-26七年级上·福建泉州·期末）计算：． 题型六 有理数加减中的简便运算 【典例精讲】（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）计算：． 【变式训练】（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）计算：的值为（  ） A． B． C． D． 题型七 有理数加减混合运算的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西汉中·期末）某玩具厂计划一天生产300个马年玩偶，但由于各种原因，实际每天生产马年玩偶的数量与计划每天生产马年玩偶的数量相比有出入．下表是某一周的生产情况（超过计划数量的部分记作正数，不足计划数量的部分记作负数，单位：个） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录可知这一周生产马年玩偶最多的一天是星期______，比生产马年玩偶最少的一天多生产______个； (2)该玩具厂这一周前三天共生产了多少个马年玩偶？ (3)求该玩具厂这一周平均每天生产马年玩偶的数量． 【变式训练】（25-26七年级上·广东惠州·阶段检测）出租车司机李师傅某日上午一直在某市区一条东西方向的公路上营运，共连续运载八批乘客．若规定向东为正，向西为负，李师傅营运八批乘客里程如下：（单位：千米），，，，，，， (1)将最后一批乘客送到目的地时，李师傅位于第一批乘客出发地的什么方向？距离多少千米？ (2)这时间段李师傅一共开了多少千米？ 题型八 倒数 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的倒数是（  ） A． B． C．2026 D． 【变式训练】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）的相反数是__________；的绝对值是__________；的倒数__________． 题型九 有理数乘法运算律 【典例精讲】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）计算：________． 【变式训练】（25-26七年级上·四川乐山·阶段检测）计算：． 题型十 有理数乘除混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·河南·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·广东广州·期末）计算：__________． 题型十一 有理数乘除中的简便运算 【典例精讲】（25-26七年级上·重庆·阶段检测）计算 【变式训练】（25-26七年级上·四川广元·阶段检测）计算： (1)； (2)． 题型十二 有理数四则混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·宁夏吴忠·期中）阅读下面解题过程： 计算： 解： ① ② ③ 回答： (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第 步，错因是 ，第二处是 ，错因是 ． (2)请写出正确的解题过程． 【变式训练】（25-26七年级上·广东广州·期末）计算：． 题型十三 有理数四则混合运算的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级上·河北邢台·期末）为积极响应国家推广节能减排的政策，王老师购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后，连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● (1)“■”处的数为_____，“●”处的数为_____； (2)求这辆新能源汽车这7天行驶的总路程； (3)该汽车行驶完这7天后，求行车电脑上显示的剩余电量的百分比． 【变式训练】（25-26七年级上·河北衡水·期末）浆水苹果是河北省邢台市邢台县浆水镇特产．某电商把浆水苹果放到了网上售卖，原计划每天卖，但实际每天的销量与计划相比有出入，下表是某一周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 销售情况 (1)根据表中的数据可知实际最接近原计划一天的销售量的是星期 ，这天的销售量为 ； (2)根据表中数据，销量最多的一天比销量最少的一天多销售多少千克？ (3)若电商以5.5元的价格购进浆水苹果，又按8元的价格出售，且电商需为买家按0.5元的价格支付运费，求电商这一周一共赚了多少钱． 题型十四 根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典例精讲】实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·云南普洱·期末）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 题型十五 数轴上的翻折 【典例精讲】（23-24七年级上·陕西西安·阶段检测）在一条可以折叠的数轴上，点A和点B表示的数分别是和5，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A落在点B的右侧，且，则C点表示的数是_______． 【变式训练】（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图，数轴上、两点表示的数分别为8、，在、之间取一点，将数轴沿点向左对折，点的对应点落在射线上，该对应点与点的距离是4，则点表示的数为_____． 题型十六 乘方运算的符号规律 【典例精讲】（25-26七年级上·四川德阳·期中）当n为正整数时，的值是（ ） A．0 B．2 C． D．2或 【变式训练】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）已知是一个正整数，那么__________． 题型十七 乘方的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·河北衡水·期末）人教版生物教材提到，细菌是靠分裂进行生殖的，分裂完的细菌长大以后又能进行分裂．某种细菌在培养过程中每半小时分裂一次（由1个分裂为2个），经过4小时，1个这种细菌可分裂成的细菌个数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·期末）我们知道，3的正整数次幂：，，，，，，，，…，观察归纳，可得的个位数字是_______． 题型十八 程序流程图与有理数计算 【典例精讲】（25-26七年级上·湖北咸宁·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序计算，第一次输出的结果为，第二次输出的结果为……这样下去第次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图是一个计算程序图，若输入x的值为4，则输出的结果是________． 题型十九 算"24"点 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，每个数必须且只用一次，可以添加括号，使其运算结果等于24．现有3，，5，9，列出一个求“24点”的算式是__．（写出一个即可） 【变式训练】（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使运算结果为24或，其中红色（红桃、方块）扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代表正数，J，Q，K，A分别代表11，12，13，1，小明抽到了黑桃7，黑桃3，梅花3，梅花7，他运用下面的方法凑成了24：．如果抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3，请写出凑成24或的其中一种方法：____________________ ． 题型二十 含乘方的有理数混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）计算： (1) (2) 【变式训练】（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）计算： (1) (2) 题型二十一 科学记数法 【典例精讲】（2025·山东济南·一模）是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了．将用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·吉林长春·期末）历史战争题材影片《南京照相馆》自上映以来引发观影热潮，截至2025年12月10日，该片累计已突破3017000000元，其中数据3017000000用科学记数法表示为_________． 题型二十二 求近似数的精确度 【典例精讲】（25-26七年级上·福建泉州·期末）近似数表示精确到（    ） A．千位 B．万位 C．十分位 D．百分位 【变式训练】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）近似数精确到_____ 位． 题型二十三 近似数推断取值范围 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）近似数所表示的准确数a的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·浙江温州·期中）最近，浙江省篮球联赛组委会公布了调整后的2025浙城市篮球争霸赛各参赛队大名单，其中温州苍南队调整为24名球员，该篮球队所有球员中身高最高的一位约为，近似数表示实际身高（单位：）的范围是_____． 【真题演练1】（2025·广东揭阳·中考真题）如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序，第一次计算输出的结果是，第二次计算输出的结果是，…，这样下去，第次计算输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【真题演练2】（2025·广东广州·中考真题）下列说法中，不正确的是（    ） A．若，则；若，则 B．若是有理数，则不可能是负数 C．若（），则 D．已知，，均为非零有理数，若，则的值为4或 【真题演练3】（2025·吉林长春·中考真题）用符号“f”定义一种新运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，…；（2），，，，…．利用以上规律计算：______． 【真题演练4】（2025·四川成都·中考真题）我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有如：，，，下列说法中正确的有______． ①； ②； ③； ④若，且，则或； ⑤方程的解为 【真题演练5】（2025·陕西西安·中考真题）有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，解答下列问题： (1)化简：； (2)求的值． 【基础夯实】 1．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）下列说法：①最大的负整数是；②相反数是本身的数是正数；③有理数分为正有理数和负有理数；④数轴上表示的点一定在原点的左边；⑤几个有理数相乘，负因数的个数是奇数个时，积为负数，其中错误的个数是（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）已知a，b，c三个数在数轴上对应的点的位置如图所示：有下列各式：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（25-26七年级上·浙江金华·期末）现有一笔闲置资金可用于投资，期限一年（按365天计），现有两种投资方式可供选择： 方案一：每天回报88元． 方案二：第一天回报0.5元，以后每天比前一天多回报0.5元， 请问你会选择方案___________． 4．（25-26七年级上·河北沧州·期末）计算：_____． 5．（25-26七年级上·江苏南京·期末）计算： (1)； (2)． 【培优拔高】 1．（25-26七年级上·北京海淀·期末）对于一个正整数A，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作，如果在某一次计算之后得到1，就称最初的正整数A为“快乐数”、例如：7→49→97→130→10→1，所以7是“快乐数”．关于“快乐数”，有以下结论： ①2026是“快乐数”； ②将一个“快乐数”的各位数字任意重新排序，所得新数（最高位不是0）仍是“快乐数”； ③若一个正整数的各位数字的平方和是“快乐数”，则这个正整数也是“快乐数” 所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）某公司办公大楼共5层，公司要召开会议．如果从1层到5层参会人数分别为20、16、10、10、12，在确定会议室所在楼层时，考虑到使所有参会人员到会议地点爬楼的距离之和最短．现要在某个楼层新增10名参会人员，且必须保证原来的最优会议室楼层保持不变，则这10人应该加到（   ） A．1层 B．2层 C．1层或2层 D．2层或3层 3．（25-26七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）爱动脑筋的小明设计了一种“幻圆”游戏，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，若他已经将1，，，7这四个数填入了圆圈，则图中的值为______． 4．（25-26七年级上·四川达州·期中）如果，则的最大值等于 ______． 5．（25-26七年级上·贵州铜仁·期末）【阅读理解】我国数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如：表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【学以致用】 （1）_____． （2）若，则__________． 【迁移拓展】 （3），则_____． （4）若，所有符合条件的整数的和为_____． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull 专题2.4 有理数的运算（章节复习）『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+23个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共61题） 【人教版数学新教材•七年级上册】 思维导图 3 知识梳理 3 知识点一 有理数的加法 3 知识点二 有理数的减法 4 知识点三 有理数的加减混合运算 4 知识点四 有理数的乘法法则 4 知识点五 倒数的概念 4 知识点六 有理数的乘法运算律 5 知识点七 多个有理数相乘 5 知识点八 有理数除法法则 5 知识点九 有理数的乘除混合运算 6 知识点十 有理数的加减乘除混合运算 6 知识点十一 有理数的乘方 6 知识点十二 非负数的性质：偶次方 6 知识点十三 有理数的混合运算 6 知识点十四 近似数和有效数字 7 知识点十五 科学记数法—表示较大的数 7 题型讲练 7 题型一 有理数加法运算 7 题型二 有理数加法在生活中的应用 8 题型三 有理数加法运算律 9 题型四 有理数的减法运算 10 题型五 有理数的加减混合运算 11 题型六 有理数加减中的简便运算 11 题型七 有理数加减混合运算的应用 12 题型八 倒数 13 题型九 有理数乘法运算律 14 题型十 有理数乘除混合运算 14 题型十一 有理数乘除中的简便运算 15 题型十二 有理数四则混合运算 17 题型十三 有理数四则混合运算的实际应用 18 题型十四 根据点在数轴的位置判断式子的正负 20 题型十五 数轴上的翻折 21 题型十六 乘方运算的符号规律 22 题型十七 乘方的应用 23 题型十八 程序流程图与有理数计算 24 题型十九 算"24"点 25 题型二十 含乘方的有理数混合运算 26 题型二十一 科学记数法 27 题型二十二 求近似数的精确度 27 题型二十三 近似数推断取值范围 28 中考真题演练 28 难度分层训练 32 【基础夯实】 32 【培优拔高】 34 知识点一 有理数的加法 （1）有理数加法法则： ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． ③一个数同0相加，仍得这个数． （在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．） （2）相关运算律 交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）． 知识点二 有理数的减法 （1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b） （2）方法指引： ①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）； 【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律． 减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算． 知识点三 有理数的加减混合运算 （1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引： ①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 知识点四 有理数的乘法法则 有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． 知识点五 倒数的概念 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点六 有理数的乘法运算律 乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)； 乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c. 知识点七 多个有理数相乘 多个有理数相乘的法则： ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点八 有理数除法法则 1. 有理数除法法则一：除以一个不等于0 的数，等于乘这个数的倒数. 用字母表示：a÷b=a·(b ≠ 0). 2. 有理数除法法则二 两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0 除以任何一个不等于0 的数，都得0 . 方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 知识点九 有理数的乘除混合运算 有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果. 注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算 知识点十 有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算顺序 在运算时要注意按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果有括号，应先算括号里面的. 在同级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并合理运用运算律，简化运算. 知识点十一 有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 知识点十二 非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点十三 有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 知识点十四 近似数和有效数字 （1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． （2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． （3）规律方法总结： “精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 知识点十五 科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 题型一 有理数加法运算 【典例精讲】（25-26七年级上·浙江温州·期末）数轴上有、两点，点在点的右侧，且．若点表示的数为，则点所表示的数是___________． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，有理数的加法．点在点的右侧，因此点所表示的数等于点所表示的数加上的距离 【详解】解：，即点所表示的数是 故答案为：． 【变式训练】（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图，数轴上的一个点，从原点出发沿着数轴先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，到达原点右边个单位长度处，根据图写出的算式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，数轴，解题的关键是理解一对具有相反意义的量可以用正负数表示．根据数轴列出算式即可． 【详解】解：根据题意得：． 故选：B． 题型二 有理数加法在生活中的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西西安·期末）快递员某天早晨从配送站出发，沿南北走向的一条笔直道路送货（规定向北为正，向南为负），他这天上午送货时的行驶路程记录如下（单位：千米）： ，，，，，，，，，． (1)该快递员最后到达的地方在配送站的哪个方向？距离配送站有多远？ (2)若快递员送完最后一单货物后返回配送站，求他这天上午行驶的总路程． 【答案】(1)该快递员最后到达的地方在配送站的南面，距离配送站有1千米 (2)他这天上午行驶的总路程为42千米 【分析】本题主要考查了有理数的加法的实际应用． （1）把所有的数据相加即可； （2）把所有数据的绝对值相加求出送货路程，再加上从最后位置返回配送站的路程即可． 【详解】（1）解：（千米）． 所以该快递员最后到达的地方在配送站的南面，距离配送站有1千米． （2）解：（千米）， 所以他这天上午行驶的总路程为42千米． 【变式训练】（25-26七年级上·福建厦门·期末）下表记录了某公司2025年四个季度的盈亏情况（记盈利为正，单位：百万），根据表的数据，该公司2025年的利润可表示为（   ） 时间 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 盈利 31.5 27.8 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正负数的实际应用．将四个季度的盈亏数值相加得到全年利润，利用正负数的加法法则化简即可． 【详解】解：∵盈利记为正，亏损记为负，全年利润为四个季度盈亏情况的总和， ∴全年利润， 故选：C． 题型三 有理数加法运算律 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握有理数的加法法则和交换律\结合律是解题的关键． （1）根据有理数加法的交换律和结合律等计算即可； （2）根据有理数加法的交换律和结合律等计算即可． 【详解】（1）解∶原式 ； （2）解∶原式 ． 【变式训练】（2025七年级上·吉林长春·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，能利用有理数加法的交换律和结合律简化运算是解题的关键． （1）利用有理数加法运算法则及加法运算律求解即可； （2）利用有理数加法运算法则及加法运算律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型四 有理数的减法运算 【典例精讲】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）已知数轴上有A、B两点，如图，A为数轴上表示2的点，若点B到点A的距离是3，则B点表示的数为__________． 【答案】5 或 【分析】分点B在点A的左边和右边两种情况，列出算式，即可求解． 【详解】解：点B在点A的左边时，点B表示的数为：， 点B在点A的右边时，点B表示的数为： 【变式训练】（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）数轴上表示数的点与表示数的点的距离为 _____． 【答案】8 【分析】数轴上两点间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值． 【详解】解：． 即数轴上表示数的点与表示数的点的距离为8． 题型五 有理数的加减混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）一个点从数轴上表示的点开始，先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，则此时这个点表示的数是______． 【答案】 【分析】本题考查数轴的概念，有理数的加减法，明确移动方向与运算的关系是解题关键． 根据数轴上点的移动规律，向右移动为正方向，增加数值；向左移动为负方向，减少数值，结合题意计算即可． 【详解】解：起点为，先向右移动个单位长度，得；再向左移动个单位长度，得． 故答案为：． 【变式训练】（25-26七年级上·福建泉州·期末）计算：． 【答案】19 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，绝对值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先求绝对值，再根据有理数的加减混合运算计算即可． 【详解】解： ． 题型六 有理数加减中的简便运算 【典例精讲】（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，关键是运用加法交换律和结合律，将同分母的数结合凑整，简化计算流程．首先根据去括号法则去掉原式中的括号，再将同分母的带分数与分数分组结合，最后分别计算各组结果并求和． 【详解】解：原式 ． 【变式训练】（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）计算：的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法．观察每个分母为两个连续整数的乘积，利用裂项法将每个分数拆分为两个分数的差，然后求和时中间项相互抵消，从而简化计算. 【详解】解：∵，，，，， ∴原式. 故选：C． 题型七 有理数加减混合运算的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西汉中·期末）某玩具厂计划一天生产300个马年玩偶，但由于各种原因，实际每天生产马年玩偶的数量与计划每天生产马年玩偶的数量相比有出入．下表是某一周的生产情况（超过计划数量的部分记作正数，不足计划数量的部分记作负数，单位：个） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录可知这一周生产马年玩偶最多的一天是星期______，比生产马年玩偶最少的一天多生产______个； (2)该玩具厂这一周前三天共生产了多少个马年玩偶？ (3)求该玩具厂这一周平均每天生产马年玩偶的数量． 【答案】(1)六，19 (2)910个 (3)301个 【分析】（1）根据表格中每天生产玩偶与计划数量的差值，找出最多和最少的一天，再计算差值； （2）先求出前三天生产玩偶与计划数量的差值总和，再加上前三天计划生产的数量； （3）先求出着一周生产玩偶与计划数量的差值总和，再计算平均每天的生产数量． 【详解】（1）解：根据题意可知，周六那天生产的玩偶最多，比计划多生产12个，生产最少的一天比计划少生产7个， 则周六那天比生产马年玩偶最少的一天多生产个． （2）解：（个）， 答：该玩具厂这一周前三天共生产了910个马年玩偶． （3）解：（个）． 答：该玩具厂这一周平均每天生产301个马年玩偶． 【变式训练】（25-26七年级上·广东惠州·阶段检测）出租车司机李师傅某日上午一直在某市区一条东西方向的公路上营运，共连续运载八批乘客．若规定向东为正，向西为负，李师傅营运八批乘客里程如下：（单位：千米），，，，，，， (1)将最后一批乘客送到目的地时，李师傅位于第一批乘客出发地的什么方向？距离多少千米？ (2)这时间段李师傅一共开了多少千米？ 【答案】(1)在出发地东方，距离6千米 (2)这时间段李师傅一共开了40千米 【分析】此题考查了正负数的应用，绝对值的应用，有理数混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）把记录的数字相加即可得到结果； （2）把记录数字绝对值之和即可得到结果． 【详解】（1）解：千米， 答：在出发地东方，距离6千米； （2）解：千米， 答：这时间段李师傅一共开了40千米． 题型八 倒数 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的倒数是（  ） A． B． C．2026 D． 【答案】B 【分析】根据倒数的定义计算即可得到结果． 【详解】解：根据倒数的定义， ∵ ， ∴ 的倒数是． 【变式训练】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）的相反数是__________；的绝对值是__________；的倒数__________． 【答案】 // / 【分析】根据相反数、绝对值、倒数的定义，分别对三个数进行计算求解即可． 【详解】解：根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，可得的相反数是； 根据绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数，可得； 将化为分数得，根据倒数的定义：乘积为的两个数互为倒数， 可得，即的倒数是． 题型九 有理数乘法运算律 【典例精讲】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）计算：________． 【答案】58 【详解】解： ． 【变式训练】（25-26七年级上·四川乐山·阶段检测）计算：． 【答案】 【分析】利用有理数乘法分配律进行计算即可，注意不要漏乘，不要弄错符号． 【详解】解：原式 ． 题型十 有理数乘除混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·河南·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的加、减、乘、除运算，需依据有理数运算法则，逐一判断各选项计算的正确性即可． 【详解】解：A．，故A计算错误； B．，故B计算正确； C．乘除为同级运算，需从左到右依次计算，，故C计算错误； D．有括号先算括号内，，且除法无分配律，不能拆分计算，故D计算错误． 故选：B． 【变式训练】（25-26七年级上·广东广州·期末）计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据有理数的乘除运算法则，运算顺序从左到右，先将除法转化为乘法，再计算乘法． 【详解】解： ． 故答案为：． 题型十一 有理数乘除中的简便运算 【典例精讲】（25-26七年级上·重庆·阶段检测）计算 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，包括乘法、加法和除法．将除法转换成乘法，根据乘法分配律和逆用乘法分配律计算即可． 【详解】解： ． 【变式训练】（25-26七年级上·四川广元·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数乘除混合运算和利用运算律简便计算，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）先把除法统一成乘法，再按有理数乘法法则计算即可； （2）先把改写成，再按乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型十二 有理数四则混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·宁夏吴忠·期中）阅读下面解题过程： 计算： 解： ① ② ③ 回答： (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第 步，错因是 ，第二处是 ，错因是 ． (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)②，同级运算应从左到右依次计算，此处错误改变运算顺序；③，结果符号错误，异号相除结果为负，遗漏负号 (2)见解析 【分析】（1）有理数的乘除法应按照顺序从左到右依次计算，且异号相除得负数，据此即可求解； （2）先计算括号内的运算，然后从左到右进行计算即可． 【详解】（1）解：计算括号内的式子得：，因此步骤①计算正确； 乘除属于同级运算，应按照从左到右的顺序依次计算，步骤②先计算了，改变了正确的运算顺序，因此第一处错误是第②步； 原式中，正数除以负数应得负值，而结果为正数，结果符号错误，遗漏负号，因此第二处错误是第③步； 故答案为：②，同级运算应从左到右依次计算，此处错误改变运算顺序；③，结果符号错误，异号相除结果为负，遗漏负号． （2）解： ． 【变式训练】（25-26七年级上·广东广州·期末）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，按照先乘除后加减的运算顺序计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 题型十三 有理数四则混合运算的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级上·河北邢台·期末）为积极响应国家推广节能减排的政策，王老师购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后，连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● (1)“■”处的数为_____，“●”处的数为_____； (2)求这辆新能源汽车这7天行驶的总路程； (3)该汽车行驶完这7天后，求行车电脑上显示的剩余电量的百分比． 【答案】(1)，； (2)这辆新能源汽车这7天行驶的总路程为； (3)行车电脑上显示的剩余电量的百分比为． 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数四则混合运算的实际应用，解题关键是准确计算． （1）根据第三天行驶了，第六天行驶了列式求解即可； （2）根据表格中的数据列式求解即可； （3）用350减去7天行驶总路程，然后除以350即可求解． 【详解】（1）解：∵该汽车第三天行驶了，第六天行驶了 ∴，， ∴“■”处的数为，“●”处的数为； （2）解：， 答：这辆新能源汽车这7天行驶的总路程为； （3）解： ∴行车电脑上显示的剩余电量的百分比为． 【变式训练】（25-26七年级上·河北衡水·期末）浆水苹果是河北省邢台市邢台县浆水镇特产．某电商把浆水苹果放到了网上售卖，原计划每天卖，但实际每天的销量与计划相比有出入，下表是某一周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 销售情况 (1)根据表中的数据可知实际最接近原计划一天的销售量的是星期 ，这天的销售量为 ； (2)根据表中数据，销量最多的一天比销量最少的一天多销售多少千克？ (3)若电商以5.5元的价格购进浆水苹果，又按8元的价格出售，且电商需为买家按0.5元的价格支付运费，求电商这一周一共赚了多少钱． 【答案】(1)二，102； (2)； (3)电商这一周一共赚了1428元． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是理解题意列出算式． （1）先求出表格中每天记录的数据的绝对值，再比较绝对值的大小，从而判断并解答即可； （2）观察表格，找出销量最多的一天和销量最少的一天，然后列出算式进行计算即可； （3）先求出这一周销售的总克数和每千克的纯利润，然后根据利润千克数每千克的纯利润，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，，，，， ∵， ∴实际最接近原计划一天的销售量的是星期二，这天的销售量为： ， 故答案为：二，102； （2）解：由表格可知：销量最多的一天是星期六，销量最少的一天是星期日， ∴销量最多的一天比销量最少的一天多销售的千克数为： ； （3）解：这一周的实际销售总量比计划总量多的千克数为： ， （元）， ∴ （元）， 答：电商这一周一共赚了1428元． 题型十四 根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典例精讲】实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用数轴的特征，及正负数在数轴上的表示求解并判断，即可解题． 【详解】解：由数轴可知，， A.∵，故选项错误,符合题意； B.∵，则，故选项正确，不符合题意； C.∵，，∴，，故选项正确，不符合题意； D.∵，，∴，故选项正确，不符合题意； 故选：A． 【变式训练】（25-26七年级上·云南普洱·期末）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数a，b在数轴上的对应点的位置，可得两数的取值范围，由此逐选项分析即可求解． 【详解】解：由图可得：， 所以， 可得，，， 所以A不正确，B、C、D正确． 题型十五 数轴上的翻折 【典例精讲】（23-24七年级上·陕西西安·阶段检测）在一条可以折叠的数轴上，点A和点B表示的数分别是和5，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A落在点B的右侧，且，则C点表示的数是_______． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，折叠的性质，先求出折叠前，再结合折叠后得出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由条件可得，折叠前， ∵折叠后， ∴， ∴点表示的数是， 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图，数轴上、两点表示的数分别为8、，在、之间取一点，将数轴沿点向左对折，点的对应点落在射线上，该对应点与点的距离是4，则点表示的数为_____． 【答案】或3/3或 【分析】本题考查数轴对折问题，设点A的对应点为，分点在点B左侧与右侧两种情况，先求出点表示的数，再根据中点公式求出点表示的数． 【详解】解：设点A的对应点为，分两种情况： 当点在点B左侧时，点表示的数为：， 点A表示的数为8， 点表示的数为：； 当点在点B右侧时，点表示的数为：， 点A表示的数为8， 点表示的数为：； 综上可知，点表示的数为或3， 故答案为：或3． 题型十六 乘方运算的符号规律 【典例精讲】（25-26七年级上·四川德阳·期中）当n为正整数时，的值是（ ） A．0 B．2 C． D．2或 【答案】C 【分析】本题考查的是有理数的乘方，乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．利用的幂次性质：偶次幂为1，奇次幂为． 【详解】解：∵ n为正整数， ∴为偶数，为奇数， ∴ ，， ∴ ． 故选：C． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）已知是一个正整数，那么__________． 【答案】 【分析】本题考查了乘方运算，先结合是一个正整数，得出是一个奇数，根据负数的奇数次幂是负数，则，即可作答． 【详解】解：∵是一个正整数， ∴是一个偶数，是一个奇数， ∵负数的奇数次幂是负数， 即， 故答案为： 题型十七 乘方的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·河北衡水·期末）人教版生物教材提到，细菌是靠分裂进行生殖的，分裂完的细菌长大以后又能进行分裂．某种细菌在培养过程中每半小时分裂一次（由1个分裂为2个），经过4小时，1个这种细菌可分裂成的细菌个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方，根据题意得到细菌每分裂一次后所得细菌，列出关系式，是解答此题的关键． 由题意可知细菌分裂一次时有个细菌，分裂2次时变为个细菌，分裂3次时变为个细菌，故当分裂次时变为个细菌，据此即可解答． 【详解】解：细菌分裂一次时有个细菌， 分裂2次时变为个细菌， 分裂3次时变为个细菌， 当分裂次时变为个细菌， 细菌每半小时分裂一次， 经过4小时，细菌分裂8次． 故1个这种细菌可分裂成的细菌个数为个． 故选：D． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·期末）我们知道，3的正整数次幂：，，，，，，，，…，观察归纳，可得的个位数字是_______． 【答案】3 【分析】本题考查了根据乘方运算求解．观察3的正整数次幂的个位数字，发现其以3、9、7、1四个数字为一个循环周期．2025除以4的余数为1，故的个位数字与的个位数字相同，据此即可求解． 【详解】解：由题意得的个位数字按3、9、7、1顺序循环， ， 因此个位数字为3． 故答案为：3． 题型十八 程序流程图与有理数计算 【典例精讲】（25-26七年级上·湖北咸宁·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序计算，第一次输出的结果为，第二次输出的结果为……这样下去第次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据程序框图计算出前个数，从而得出这列数除前个数外，每个数为一个周期，据此求解可得． 【详解】解：当时，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， 第九次输出的结果为， 第十次输出的结果为，…… 由上可知，从第五次开始，输出结果三次一循环，分别为：， ∵， ∴第次计算输出的结果是， 故选：D． 【变式训练】（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图是一个计算程序图，若输入x的值为4，则输出的结果是________． 【答案】36 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，程序流程图与有理数计算，观察题干的计算程序图，再结合输入的值为4，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故答案为：36． 题型十九 算"24"点 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，每个数必须且只用一次，可以添加括号，使其运算结果等于24．现有3，，5，9，列出一个求“24点”的算式是__．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题中“24点”的游戏规则，熟练掌握有理数运算法则是解题的关键．根据“24点”的游戏规则组合成结果为24的算式即可解答． 【详解】解：通过观察数字，发现，，则， 因此可列算式． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练】（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使运算结果为24或，其中红色（红桃、方块）扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代表正数，J，Q，K，A分别代表11，12，13，1，小明抽到了黑桃7，黑桃3，梅花3，梅花7，他运用下面的方法凑成了24：．如果抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3，请写出凑成24或的其中一种方法：____________________ ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了“24点”． 先求出抽到的数据，再根据“24点”计算即可． 【详解】解：∵红色（红桃、方块）扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代表正数，A代表1，抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3， ∴抽到的数据是1，，2，3， 则一种方法为：． 故答案为：． 题型二十 含乘方的有理数混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2)2 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1)3 (2)3 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型二十一 科学记数法 【典例精讲】（2025·山东济南·一模）是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了．将用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 【变式训练】（25-26七年级上·吉林长春·期末）历史战争题材影片《南京照相馆》自上映以来引发观影热潮，截至2025年12月10日，该片累计已突破3017000000元，其中数据3017000000用科学记数法表示为_________． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可求解． 【详解】解：． 题型二十二 求近似数的精确度 【典例精讲】（25-26七年级上·福建泉州·期末）近似数表示精确到（    ） A．千位 B．万位 C．十分位 D．百分位 【答案】A 【分析】对于用科学记数法表示的近似数，判断精确到哪一位时，需要先将其还原为原数，再看有效数字的末位在原数中的数位即可. 【详解】解：∵ ， ∴ 原数中近似数的末位数字5位于千位， ∴ 近似数精确到千位. 【变式训练】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）近似数精确到_____ 位． 【答案】万 【分析】本题考查了近似数与有效数字，“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式．根据近似数的精确度求解即可． 【详解】解：， ∴近似数精确到万位， 故答案为：万． 题型二十三 近似数推断取值范围 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）近似数所表示的准确数a的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用四舍五入取近似数的规则，近似数精确到百分位，需根据千分位的四舍五入确定准确数的范围． 【详解】解：∵近似数是精确到百分位，对千分位数字四舍五入得到的， ∴当千分位满5进1得到时，准确数最小为，即． 当千分位舍去得到时，则． 综上，准确数a的范围是． 【变式训练】（25-26七年级上·浙江温州·期中）最近，浙江省篮球联赛组委会公布了调整后的2025浙城市篮球争霸赛各参赛队大名单，其中温州苍南队调整为24名球员，该篮球队所有球员中身高最高的一位约为，近似数表示实际身高（单位：）的范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了近似数；近似数表示四舍五入到百分位，因此实际身高x的范围需满足大于或等于且小于． 【详解】解：近似数精确到百分位，根据四舍五入法则，实际身高需满足． 故答案为． 【真题演练1】（2025·广东揭阳·中考真题）如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序，第一次计算输出的结果是，第二次计算输出的结果是，…，这样下去，第次计算输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字的变化规律，通过计算探索出输出结果的循环规律是解题的关键； 通过计算发现，每次输出的结果循环出现，则可知第次计算输出的结果与第次计算输出的结果相同，由此求解即可． 【详解】解：第一次计算输出的结果是， 第二次计算输出的结果是， 第三次计算输出的结果是， 第四次计算输出的结果是， 第五次计算输出的结果是， 第六次计算输出的结果是， 第七次计算输出的结果是， 第八次计算输出的结果是， 第九次计算输出的结果是， 第十次计算输出的结果是，…， ∴从第二次开始，每次输出的结果循环出现， ， ∴第次计算输出的结果是， 故选：A． 【真题演练2】（2025·广东广州·中考真题）下列说法中，不正确的是（    ） A．若，则；若，则 B．若是有理数，则不可能是负数 C．若（），则 D．已知，，均为非零有理数，若，则的值为4或 【答案】D 【分析】本题考查绝对值与有理数的性质．根据绝对值的性质，结合已知条件，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵对于A：，；同理，，，故A正确． 对于B：，当时为，当时为，故不可能为负数，B正确． 对于C：由且，得，，，故C正确． 对于D：设 （每个值为），（值为）． 当时： 若两正一负，则，，； 若一正两负，则，，； 若三负，则，，． 该式子的值可能为或，故D不正确，符合题意． 故选：D． 【真题演练3】（2025·吉林长春·中考真题）用符号“f”定义一种新运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，…；（2），，，，…．利用以上规律计算：______． 【答案】0 【分析】本题主要考查了新定义运算中的规律探究，熟练掌握从已知运算中总结对应规律并代入计算是解题的关键．先从已知运算结果中总结出正整数和分数对应的运算规律，再代入计算和，最后求差值． 【详解】解： 对于正整数，， ∴ ． ∵ 对于的整数，有” ∴ ． ∴ ． 故答案为：． 【真题演练4】（2025·四川成都·中考真题）我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有如：，，，下列说法中正确的有______． ①； ②； ③； ④若，且，则或； ⑤方程的解为 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，绝对值和有理数的加减计算，根据新定义即可判断①②③；当时，，则；当时，，则，据此可判断④；由方程及可解得，这意味小数部分为的数均为方程的解，解不唯一，故原说法错误． 本题考查新定义，有理数的运算，方程的解．熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解：根据整数部分和小数部分的定义逐项分析判断如下： ①有理数的整数部分是不超过的最大整数，即，正确，符合题意； ②有理数的整数部分是不超过的最大整数，即，错误，不符合题意； ③有理数的小数部分为，正确，符合题意； ④当且时，若x为正数，如，则，符合；若x为负数，如，则，，符合，正确，符合题意； ⑤∵， ∴， 即， ∴， ∴方程的解为所有小数部分为的数，解不唯一，原说法错误； 故答案为：①③④． 【真题演练5】（2025·陕西西安·中考真题）有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，解答下列问题： (1)化简：； (2)求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式加减等，根据数轴上的点所在的位置，准确判断各个代数式的符号是解题的关键． （1）根据数轴得到，从而得出，，，然后化简绝对值即可； （2）根据，得出，，，，然后化简绝对值即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴，，， ∴ ； （2）解：∵， ∴，，，， ∴ ． 【基础夯实】 1．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）下列说法：①最大的负整数是；②相反数是本身的数是正数；③有理数分为正有理数和负有理数；④数轴上表示的点一定在原点的左边；⑤几个有理数相乘，负因数的个数是奇数个时，积为负数，其中错误的个数是（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【详解】解：对于①：最大的负整数是，故①正确； 对于②：相反数是本身的数是，不是正数，故②错误； 对于③：有理数分为正有理数、负有理数和零，故③错误； 对于④：当时，在原点的右边，故④错误； 对于⑤：若因数中包含零，则乘积为零，不是负数，故⑤错误； ∴一共有4个错误结论． 2．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）已知a，b，c三个数在数轴上对应的点的位置如图所示：有下列各式：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】先根据数轴判断数的大小关系，再判断式子的符号即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴，，， ∴； 综上，只有④正确，共1个． 3．（25-26七年级上·浙江金华·期末）现有一笔闲置资金可用于投资，期限一年（按365天计），现有两种投资方式可供选择： 方案一：每天回报88元． 方案二：第一天回报0.5元，以后每天比前一天多回报0.5元， 请问你会选择方案___________． 【答案】二 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用．根据方案分别算出两种回报的总钱数，再进行比较即可． 【详解】解：方案一的总回报：（元）； 方案二最后一天的回报：（元）， 总回报：（元）， ， 故答案为：二． 4．（25-26七年级上·河北沧州·期末）计算：_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、乘法分配律的应用以及分数的通分与计算，熟练掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键．先利用乘法分配律展开计算，或先计算括号内的加减运算，再与括号外的数相乘，最后根据有理数乘法法则得出结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·江苏南京·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【培优拔高】 1．（25-26七年级上·北京海淀·期末）对于一个正整数A，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作，如果在某一次计算之后得到1，就称最初的正整数A为“快乐数”、例如：7→49→97→130→10→1，所以7是“快乐数”．关于“快乐数”，有以下结论： ①2026是“快乐数”； ②将一个“快乐数”的各位数字任意重新排序，所得新数（最高位不是0）仍是“快乐数”； ③若一个正整数的各位数字的平方和是“快乐数”，则这个正整数也是“快乐数” 所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方运算以及新定义，能够读懂定义是解题关键；根据“快乐数”的定义逐一对每个选项进行判断即可． 【详解】解：①∵，， ，，， ∴2026是“快乐数”，故①正确； ②设A是“快乐数”，B是A的数字重排序（最高位非0）， ∴中各个位数的平方和与中各个位数的平方和相等， ∴对于一个正整数，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作时，对和进行计算，得到的第一个新数相同，故后面所有重复操作得到结果都一样， 若A是“快乐数”，则重复操作最后计算结果为1，同理重复操作最后计算结果也为1， ∴也是“快乐数”，故②正确； ③设正整数为，各位数字的平方和为， 对于一个正整数，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作， ∴相当于是正整数在判断是否为“快乐数”的第一步，若为“快乐数”，则还原可得到也为“快乐数”． ∴①②③正确． 故选：D． 2．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）某公司办公大楼共5层，公司要召开会议．如果从1层到5层参会人数分别为20、16、10、10、12，在确定会议室所在楼层时，考虑到使所有参会人员到会议地点爬楼的距离之和最短．现要在某个楼层新增10名参会人员，且必须保证原来的最优会议室楼层保持不变，则这10人应该加到（   ） A．1层 B．2层 C．1层或2层 D．2层或3层 【答案】C 【分析】本题考查了爬楼问题． 原最优会议室楼层为2层，添加10人后需保证2层仍为最优．通过计算添加至各楼层后总爬楼距离的变化，仅添加至1层或2层时，2层总距离仍最小． 【详解】解：设所有参会人员到会议地点爬楼的距离之和为，则n为楼层 原各层人数：1层20人、2层16人、3层10人、4层10人、5层12人． 计算会议室在各楼层的总爬楼距离： ， ， ， ， ， ，可知最优楼层为第2层． 添加10人至楼层k后， 设所有参会人员到会议地点爬楼的距离之和为，则k为楼层 时，，，，，，在第2层； 时，，，，，，在第2层； 时，，，，不满足； 或5时，同样，不满足； ∴仅或2时，2层仍最优． 故选：C． 3．（25-26七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）爱动脑筋的小明设计了一种“幻圆”游戏，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，若他已经将1，，，7这四个数填入了圆圈，则图中的值为______． 【答案】7 【分析】本题考查有理数的加减，能够正确求得横、竖以及内外两圈上的4个数字之和为是解答本题的关键． 求得横、竖以及内外两圈上的4个数字之和为，求得的值，即可得到的值，代入求解即可． 【详解】解：由题意可得，横、竖以及内外两圈上的4个数字之和为 ， ，， 和的值为和或和， 当，时，， 当，时，， 故图中的值为 故答案为：． 4．（25-26七年级上·四川达州·期中）如果，则的最大值等于 ______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质、几何意义，利用绝对值的几何意义得，，又，从而确定和的取值范围，进而求的最大值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵表示数轴上点到点和点的距离之和， ∴， ∵表示点到点和点的距离之和， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最大值等于， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·贵州铜仁·期末）【阅读理解】我国数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如：表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【学以致用】 （1）_____． （2）若，则__________． 【迁移拓展】 （3），则_____． （4）若，所有符合条件的整数的和为_____． 【答案】（1）7；（2）或；（3）；（4） 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，数轴上两点的距离，有理数的加法运算， （1）根据两点间的距离即可得出结论； （2）结合数轴可找出数轴上离表示的点距离为2的数即可求解； （3）表示数轴上到点1和距离相等的点． （4）表示数轴上到点2和的距离和为7，由此可得出在和2之间（包括端点），进而即可得出的值，然后求和即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：7； （2）表示数轴上离表示的点距离为2的数 ∴或； 故答案为：或； （3）表示数轴上到点1和距离相等的点． ； 故答案为：； （4）表示数轴上到点2和的距离和为7， 在和2之间（包括端点）， 是整数， 的值为：，，，，，，， 它们的和为：． 故答案为：． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $