第21节 解直角三角形-2026年中考数学一轮复习考点梳理

数学中考总复习 第 1 轮 第 21 节 解直角三角形 考点一 求三角函数值 1．(2025·马鞍山二模)如图，点 P 在等腰 Rt△ABC 内，∠ACB＝90°，∠APB＝135°，则 PC PA 的最 小值为( ) A． 2 B． 2 2 C． 2－1 2 D． 1 2 答案：D 2．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，⊙O 是△ABC 的外接圆，点 A，B， O 在网格线的交点上，则 sin ∠ACB 的值是________． 解析：如图，连接 AO 并延长交⊙O 于点 D. 由圆周角定理，得∠ACB＝∠ADB，由勾股定理，得 AD＝ 42＋22 ＝2 5 ， 所以 sin ∠ACB＝sin ∠ADB＝ AB AD ＝ 4 2 5 ＝ 2 5 5 . 答案： 2 5 5 84/125 数学中考总复习 第 1 轮 3．(2025·合肥一模)如图，在△ABC 中，∠B＝45°，∠C＝60°，BC＝6，点 P 为 AC 边上一动点， PE⊥AB 于点 E，PF⊥BC 于点 F，连接 EF，则 EF 的最小值为( ) A．3 6 B． 3 2 5 C． 3 2 6 D． 3 2 答案：C 4．(2025·安徽模拟)如图，在△ABC 和△ADE 中，AB＝AC＝5，AD＝AE＝6，且∠BAC＝∠DAE， sin ∠BAD＝0.8. 图 1 图 2 (1)如图 1，当∠BAC＝60°时，连接 DC，并延长 DC 交 AE 于点 F，则 DF＝________； (2)如图 2，当∠BAC＝90°时，求出 CD 的长． 解：(1)如图，过点 B 作 BH⊥AD 于点 H. 因为 sin ∠BAD＝0.8，所以 BH AB ＝0.8. 因为 AB＝5，所以 BH＝0.8×5＝4，所以 AH＝ AB2－BH2 ＝ 52－42 ＝3， 85/125 数学中考总复习 第 1 轮 因为 AD＝6，所以 DH＝AD－AH＝6－3＝3，所以 BD＝ BH2＋DH2 ＝ 42＋32 ＝5， 所以 BD＝AB＝AC. 因为∠BAC＝∠DAE，所以∠BAD＝∠CAE. 在△BAD 和△CAE 中，    AB＝AC， ∠BAD＝∠CAE， AD＝AE， 所以△BAD≌△CAE(SAS)， 所以 CE＝BD＝5，所以 CE＝AC＝5. 因为∠DAE＝∠BAC＝60°，AD＝AE，所以△ADE 为等边三角形，所以 DA＝DE. 因为 CE＝AC，DA＝DE，所以 DF 为 AE 的垂直平分线，所以 AF＝ 1 2 AE＝3，∠AFD＝90°， 所以 DF＝ AD2－AF2 ＝ 62－32 ＝3 3 .故答案为：3 3 (2)如图，过点 D 作 DM⊥AC 于点 M，过点 B 作 BH⊥AD 于点 H，则∠AHB＝∠DMA＝90°. 由(1)得 BH＝4，AH＝3，所以 sin ∠ABH＝ AH AB ＝ 3 5 ，sin ∠BAH＝ BH AB ＝ 4 5 . 因为∠BAC＝90°，所以∠BAD＋∠DAM＝90°. 因为∠DMA＝90°，所以∠ADM＋∠DAM＝90°，所以∠ADM＝∠BAD，所以∠DAM＝∠ABH. 因为 sin ∠DAM＝sin ∠ABH＝ DM AD ＝ 3 5 ，所以 DM＝ 3 5 AD＝ 3 5 ×6＝ 18 5 . 因为 sin ∠ADM＝sin ∠BAH＝ AM AD ＝ 4 5 ，所以 AM＝ 4 5 AD＝ 4 5 ×6＝ 24 5 ， 所以 CM＝AC－AM＝5－ 24 5 ＝ 1 5 ，所以 CD＝ DM2＋CM2 ＝      18 5 2 ＋      1 5 2 ＝ 13 . 考点三 解直角三角形在实际问题中的应用 86/125 数学中考总复习 第 1 轮 5．如图，山顶上有一个信号塔 AC，已知信号塔高 AC＝15 米，在山脚下 B 处测得塔底 C 的仰 角∠CBD＝36.9°，塔顶 A 的仰角∠ABD＝42.0°，求山高 CD(点 A，C，D 在同一条竖直线上).(参 考数据：tan 36.9°≈0.75，sin 36.9°≈0.60，tan 42.0°≈0.90) 解：在 Rt△ABD 中，tan ∠ABD＝ AD BD ，所以 tan 42.0°＝ AD BD ≈0.90，所以 AD≈0.90BD. 在 Rt△BCD 中，tan ∠CBD＝ CD BD ，所以 tan 36.9°＝ CD BD ≈0.75，所以 CD≈0.75BD. 因为 AC＝AD－CD，所以 15≈0.15BD，所以 BD≈100 米，所以 CD≈0.75BD＝75(米). 答：山高 CD 约为 75 米． 6．(2025·安徽冲刺卷)如图 1 是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形 ABCD 表示该车的后备厢， 在打开后备厢的过程中，箱盖 ADE 可以绕点 A 逆时针方向旋转，当后备厢从关闭到完全打开 时，箱盖 ADE 落在 AD′E′的位置(如图 2).此时，∠D′AD＝70°，已知 AD＝100 cm，点 D 到地面 距离为 110 cm，DE 长为 40 cm，求此时点 E′离地面的高度．(精确到 1 cm，参考数据：sin 70°≈0.94， cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75) 图 1 图 2 解：如图，过点 D′作 D′M⊥AD，垂足为 M，过点 E′作 E′P⊥D′M，垂足为 P，过点 E′作 E′N⊥AD， 87/125 数学中考总复习 第 1 轮 垂足为 N， 所以∠AMD′＝90°. 由题意得 AD＝AD′＝100 cm，DE＝D′E′＝40 cm，PM＝E′N，∠ADE＝∠AD′E′＝90°，∠DAD′＝ 70°， 所以∠AD′M＝90°－∠DAD′＝20°， 所以∠E′D′P＝∠AD′E′－∠AD′M＝90°－20°＝70°. 在 Rt△AD′M 中，D′M＝AD′·sin 70°≈100×0.94＝94(cm)， 在 Rt△E′PD′中，D′P＝D′E′·cos 70°≈40×0.34＝13.6(cm)， 所以 PM＝D′M－D′P＝94－13.6＝80.4(cm)， 所以 E′N＝PM＝80.4 cm. 因为点 D 到地面的距离是 110 cm， 所以点 E′到地面的距离＝110＋80.4＝190.4(cm)≈190(cm). 答：此时点 E′离地面的高度约为 190 cm. 7．(2025·安徽)科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点 B 处发出， 经水面点 E 折射到池底点 A 处．已知 BE 与水平线的夹角 α＝36.9°，点 B 到水面的距离 BC＝ 1.20 m，点 A 处水深为 1.20 m，到池壁的水平距离 AD＝2.50 m，点 B，C，D 在同一条竖直线 上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为 β，折射角为 γ，求 sin β sin γ 的值(精确到 0.1，参考 数据：sin 36.9°≈0.60，cos 36.9°≈0.80，tan 36.9°≈0.75.) 88/125 数学中考总复习 第 1 轮 解：如图，过点 E 作 EF⊥AD 于点 F，则∠AFE＝90°，DF＝CE. 由题意可得，∠BEC＝∠α＝36.9°，∠CBE＝∠β，BC＝EF＝1.20 m. 在 Rt△BCE 中，CE＝ BC tan α ≈ 1.20 0.75 ＝1.60(m)，BE＝ BC sin α ≈ 1.20 0.60 ＝2.00(m)， 所以 sin β＝ CE BE ＝ 1.60 2.00 ＝0.80，DF＝1.60 m， 所以 AF＝AD－DF＝2.50－1.60＝0.90(m). 在 Rt△AFE 中，AE＝ EF2＋AF2 ＝ 1.202＋0.902 ＝1.50(m)， 所以 sin γ＝ AF AE ＝ 0.90 1.50 ＝0.60，所以 sin β sin γ ＝ 0.80 0.60 ≈1.3. 8．(2025·合肥二模)如图，无人机在点 A 处测得大楼顶端 D 的俯角为 24°，垂直上升 8 米到达 点 B 处，测得大楼底端 C 的俯角为 64°，已知 BC＝50 m，求大楼 CD 的高度． 参考数据：sin 24°≈0.41，cos 24°≈0.91，tan 24°≈0.45，sin 64°≈0.90，cos 64°≈0.44，tan 64°≈2.05. 解：如图，过点 A，B 作 CD 的垂线，分别与 CD 的延长线交于点 E，F，则四边形 ABFE 是矩 形． 在 Rt△BCF 中，∠CBF＝64°，BC＝50 m，sin ∠CBF＝ CF BC ， 89/125 数学中考总复习 第 1 轮 所以 CF＝BC·sin ∠CBF≈50×0.90＝45(m). 又因为 cos ∠CBF＝ BF BC ，所以 BF＝BC·cos ∠CBF≈50×0.44＝22(m). 在 Rt△ADE 中，AE＝BF＝22 m，∠DAE＝24°，tan ∠DAE＝ DE AE ， 所以 DE＝AE·tan ∠DAE≈22×0.45＝9.9(m). 又因为 EF＝AB＝8 m，所以 CD＝CF－DE－EF＝27.1(m)， 即大楼 CD 的高度约为 27.1 m. 9．(2025·广安)风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在 某地安装了一批风力发电机，如图 1，某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进 行了测量，图 2 为测量示意图(点 A，B，C，D 均在同一平面内，AB⊥BC).已知斜坡 CD 长为 20 m，斜坡 CD 的坡角为 60°，在斜坡顶部 D 处测得风力发电机塔杆顶端 A 点的仰角为 20°， 坡底与塔杆底的距离 BC＝30 m，求该风力发电机塔杆 AB 的高度．(结果精确到个位；参考数 据：sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36， 3 ≈1.73) 图 1 图 2 解：如图，过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，作 DH⊥BE 于点 H. 由题意得 CD＝20 m，∠DCH＝60°. 在 Rt△DCH 中，cos 60°＝ CH CD ，sin 60°＝ DH CD ， 所以 CH＝CD·cos 60°＝10(m)，DH＝CD·sin 60°＝10 3 ≈17.3(m). 90/125 数学中考总复习 第 1 轮 因为∠DFB＝∠B＝∠DHB＝90°，所以四边形 DFBH 为矩形，所以 BH＝FD，BF＝DH. 因为 BH＝BC＋CH＝30＋10＝40(m)，所以 FD＝40 m.在 Rt△AFD 中，tan 20°＝ AF FD ， 所以 AF＝FD·tan 20°≈40×0.36＝14.4(m)，所以 AB＝AF＋BF≈14.4＋17.3≈32(m). 答：该风力发电机塔杆 AB 的高度约为 32 m． 91/125 数学中考总复习 第 1 轮 第 21 节 解直角三角形 考点一 求三角函数值 1．(2025·马鞍山二模)如图，点 P 在等腰 Rt△ABC 内，∠ACB＝90°，∠APB＝135°，则 PC PA 的最 小值为( ) A． 2 B． 2 2 C． 2－1 2 D． 1 2 2．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，⊙O 是△ABC 的外接圆，点 A，B， O 在网格线的交点上，则 sin ∠ACB 的值是________． 3．(2025·合肥一模)如图，在△ABC 中，∠B＝45°，∠C＝60°，BC＝6，点 P 为 AC 边上一动点， PE⊥AB 于点 E，PF⊥BC 于点 F，连接 EF，则 EF 的最小值为( ) A．3 6 B． 3 2 5 C． 3 2 6 D． 3 2 66/93 数学中考总复习 第 1 轮 4．(2025·安徽模拟)如图，在△ABC 和△ADE 中，AB＝AC＝5，AD＝AE＝6，且∠BAC＝∠DAE， sin ∠BAD＝0.8. (1)如图 1，当∠BAC＝60°时，连接 DC，并延长 DC 交 AE 于点 F，则 DF＝________； (2)如图 2，当∠BAC＝90°时，求出 CD 的长． 图 1 图 2 考点三 解直角三角形在实际问题中的应用 5．如图，山顶上有一个信号塔 AC，已知信号塔高 AC＝15 米，在山脚下 B 处测得塔底 C 的仰 角∠CBD＝36.9°，塔顶 A 的仰角∠ABD＝42.0°，求山高 CD(点 A，C，D 在同一条竖直线上).(参 考数据：tan 36.9°≈0.75，sin 36.9°≈0.60，tan 42.0°≈0.90) 67/93 数学中考总复习 第 1 轮 6．(2025·安徽冲刺卷)如图 1 是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形 ABCD 表示该车的后备厢， 在打开后备厢的过程中，箱盖 ADE 可以绕点 A 逆时针方向旋转，当后备厢从关闭到完全打开 时，箱盖 ADE 落在 AD′E′的位置(如图 2).此时，∠D′AD＝70°，已知 AD＝100 cm，点 D 到地面 距离为 110 cm，DE 长为 40 cm，求此时点 E′离地面的高度．(精确到 1 cm，参考数据：sin 70°≈0.94， cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75) 图 1 图 2 7．(2025·安徽)科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点 B 处发出， 经水面点 E 折射到池底点 A 处．已知 BE 与水平线的夹角 α＝36.9°，点 B 到水面的距离 BC＝ 1.20 m，点 A 处水深为 1.20 m，到池壁的水平距离 AD＝2.50 m，点 B，C，D 在同一条竖直线 上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为 β，折射角为 γ，求 sin β sin γ 的值(精确到 0.1，参考 数据：sin 36.9°≈0.60，cos 36.9°≈0.80，tan 36.9°≈0.75.) 68/93 数学中考总复习 第 1 轮 8．(2025·合肥二模)如图，无人机在点 A 处测得大楼顶端 D 的俯角为 24°，垂直上升 8 米到达 点 B 处，测得大楼底端 C 的俯角为 64°，已知 BC＝50 m，求大楼 CD 的高度． 参考数据：sin 24°≈0.41，cos 24°≈0.91，tan 24°≈0.45，sin 64°≈0.90，cos 64°≈0.44，tan 64°≈2.05. 9．(2025·广安)风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在 某地安装了一批风力发电机，如图 1，某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进 行了测量，图 2 为测量示意图(点 A，B，C，D 均在同一平面内，AB⊥BC).已知斜坡 CD 长为 20 m，斜坡 CD 的坡角为 60°，在斜坡顶部 D 处测得风力发电机塔杆顶端 A 点的仰角为 20°， 坡底与塔杆底的距离 BC＝30 m，求该风力发电机塔杆 AB 的高度．(结果精确到个位；参考数 据：sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36， 3 ≈1.73) 图 1 图 2 69/93