第20节 图形的相似-2026年中考数学一轮复习考点梳理

数学中考总复习 第 1 轮 第 20 节 图形的相似 考点一 比例性质 1．(2025·阜阳一模)已知 a b ＝ 4 3 ，则 a－b b ＝________． 答案： 1 3 2．(2025·亳州模拟)如图，点 P 把线段 AB 分成两部分，且 BP 为 AP 与 AB 的比例中项．如果 AB＝2，那么 AP＝________． 答案：3－ 5 考点二 相似三角形的性质与判定 3．(2025·安徽冲刺卷)如图，已知在矩形 ABCD 中，M 是 AD 边的中点，BM 与 AC 垂直，交直 线 AC 于点 N，连接 DN，则下列四个结论：①CN＝2AN；②DN＝DC；③tan ∠CAD＝ 2 ； ④△AMN∽△CAB.其中正确的有( ) A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 答案：C 4．(2025·合肥二模)如图，正方形 ABCD 的边长为 4，△EBC 的边 EB，EC 分别与 AD 边相交 于点 F，G，若△EBG 的面积为 6，则 FG 与 BC 的长度比为( ) 78/125 数学中考总复习 第 1 轮 A．3∶4 B．3∶5 C．3∶7 D．3∶8 答案：C 5．(2025·合肥一模)如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝90°，AC 平分∠BAD，连接 BD 交 AC 于点 E. 图 1 图 2 (1)如图 1，求证： BE DE ＝ AB AD . (2)如图 2，AC2＝AB·AD，且 BF⊥AD，BF 与 AC 交于点 G，连接 DG，CF. ①若 F 是 AD 的中点，求证：△BCF∽△GCD； ②若 AB AD ＝ 5 6 ，求 sin ∠GDC 的值． 解：(1)证明：如图，过点 E 作 EM⊥AB 于点 M，EN⊥AD 于点 N，过点 A 作 AH⊥BD 于点 H. 因为 AC 平分∠BAD，EM⊥AB，EN⊥AD，所以 EM＝EN. 79/125 数学中考总复习 第 1 轮 因为 S△ABE S△ADE ＝ 1 2 AB·EM 1 2 AD·EN ＝ AB AD ，又 S△ABE S△ADE ＝ 1 2 BE·AH 1 2 DE·AH ＝ BE DE ，所以 BE DE ＝ AB AD . (2)①证明：因为 AC2＝AB·AD，所以 AC AB ＝ AD AC . 因为 AC 平分∠BAD，所以∠CAD＝∠BAC，所以△DAC∽△CAB，所以∠ACD＝∠ABC＝90°. 因为 BF⊥AD，所以∠GFD＝90°，所以 G，F，D，C 四点共圆，所以∠GFC＝∠GDC. 因为 F 是 AD 的中点，∠ACD＝90°，所以 FA＝FC，所以∠FAC＝∠FCA＝∠BAC. 因为∠BAC＋∠BCA＝90°，所以∠FCA＋∠BCA＝90°，即∠BCF＝90°，所以∠BCF＝∠GCD. 又因为∠BFC＝∠GDC，所以△BCF∽△GCD. ②因为 AB AD ＝ 5 6 ，所以设 AB＝5x，AD＝6x，则 AC2＝AB·AD＝30x2，所以 AC＝ 30 x. 在 Rt△ABC 中，BC＝ AC2－AB2 ＝ 5 x. 如图，作 BH⊥AC 于点 H， 则 BH＝ AB·BC AC ＝ 5x· 5x 30x ＝ 5 6 6 x. 在 Rt△BHC 中，HC＝ BC2－BH2 ＝ 30 6 x. 因为∠BGC＝∠AGF＝90°－∠CAD，∠ACB＝90°－∠BAC，∠BAC＝∠CAD， 所以∠BGC＝∠ACB，所以 BG＝BC＝ 5 x，GC＝2HC＝ 30 3 x，所以 AG＝AC－GC＝ 2 30 3 x. 因为∠GAF＝∠DAC，∠AFG＝∠ACD＝90°， 所以△AGF∽△ADC，所以 AG AD ＝ AF AC ，所以 AF＝ AG·AC AD ＝ 2 30 3 x· 30x 6x ＝ 10 3 x， 所以 DF＝AD－AF＝ 8 3 x. 80/125 数学中考总复习 第 1 轮 在 Rt△AGF 中，GF＝ AG2－AF2 ＝ 2 5 3 x. 在 Rt△GFD 中，DG＝ GF2＋DF2 ＝ 2 21 3 x， 所以 sin ∠GDC＝ GC DG ＝ 30 3 x 2 21 3 x ＝ 70 14 . 6．(2025·安徽)在 Rt△ABC 中，M 是斜边 AB 的中点，将线段 MA 绕点 M 旋转至 MD 位置，点 D 在直线 AB 外，连接 AD，BD. 图 1 图 2 图 3 (1)如图 1，求∠ADB 的大小． (2)已知点 D 和边 AC 上的点 E 满足 ME⊥AD，DE∥AB. ①如图 2，连接 CD，求证：BD＝CD； ②如图 3，连接 BE，若 AC＝8，BC＝6，求 tan ∠ABE 的值． 解：(1)由题意知 MA＝MD＝MB，所以∠MAD＝∠MDA，∠MBD＝∠MDB. 在△ABD 中，∠MAD＋∠MDA＋∠MBD＋∠MDB＝180°，所以∠ADB＝∠ADM＋∠BDM＝ 180° 2 ＝ 90°. (2)①证明：如图，延长 BD，AC，交于点 F， 则∠BCF＝90°. 因为 ME⊥AD，∠ADB＝90°，所以 EM∥BD. 又因为 DE∥AB，所以四边形 BDEM 是平行四边形，所以 DE＝BM. 因为 M 是 AB 的中点，所以 AM＝BM，所以 DE＝AM，所以四边形 AMDE 是平行四边形． 81/125 数学中考总复习 第 1 轮 因为 ME⊥AD，所以四边形 AMDE 是菱形，所以 AE＝AM. 因为 EM∥BD，所以 AE AF ＝ AM AB ，所以 AB＝AF. 因为∠ADB＝90°，即 AD⊥BF，所以 BD＝DF， 即点 D 是 Rt△BCF 斜边的中点，所以 BD＝CD. ②如图，过点 E 作 EH⊥AB 于点 H. 因为 AC＝8，BC＝6，所以 AB＝ AC2＋BC2 ＝10，则 AE＝AM＝ 1 2 AB＝5. 因为∠EAH＝∠BAC，∠AHE＝∠ACB＝90°，所以△AHE∽△ACB，所以 EH BC ＝ AH AC ＝ AE AB ＝ 5 10 ， 所以 EH＝3，AH＝4，所以 BH＝AB－AH＝10－4＝6，所以 tan ∠ABE＝ EH BH ＝ 3 6 ＝ 1 2 . 考点四 位似 7．(2025·合肥一模)△ABO 三个顶点的坐标分别为 A(2，4)，B(6，0)，O(0，0)，以原点 O 为位 似中心，把这个三角形缩小为原来的 1 2 ，可以得到△A′B′O，则点 A′的坐标是( ) A．(1，2) B．(1，2)或(－1，－2) C．(2，1)或(－2，－1) D．(－2，－1) 答案：B 8．(2025·安徽一模)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为 A(1，2)，B(5，1)， C(4，3). 82/125 数学中考总复习 第 1 轮 (1)将△ABC向左平移5个单位长度，再向上平移 2个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； (2)在给定的网格中以点 O 为位似中心，将△ABC 放大为原来的 2 倍，得到△A2B2C2，请画出 △A2B2C2，并写出点 B2的坐标． 解：(1)如图，△A1B1C1即为所求作． (2)如图，△A2B2C2 即为所求作．点 B2 的坐标为(－10，－2). 83/125 数学中考总复习 第 1 轮 第 20 节 图形的相似 考点一 比例性质 1．(2025·阜阳一模)已知 a b ＝ 4 3 ，则 a－b b ＝________． 2．(2025·亳州模拟)如图，点 P 把线段 AB 分成两部分，且 BP 为 AP 与 AB 的比例中项．如果 AB＝2，那么 AP＝________． 考点二 相似三角形的性质与判定 3．(2025·安徽冲刺卷)如图，已知在矩形 ABCD 中，M 是 AD 边的中点，BM 与 AC 垂直，交直 线 AC 于点 N，连接 DN，则下列四个结论：①CN＝2AN；②DN＝DC；③tan ∠CAD＝ 2 ； ④△AMN∽△CAB.其中正确的有( ) A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 4．(2025·合肥二模)如图，正方形 ABCD 的边长为 4，△EBC 的边 EB，EC 分别与 AD 边相交 于点 F，G，若△EBG 的面积为 6，则 FG 与 BC 的长度比为( ) A．3∶4 B．3∶5 C．3∶7 D．3∶8 62/93 数学中考总复习 第 1 轮 5．(2025·合肥一模)如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝90°，AC 平分∠BAD，连接 BD 交 AC 于点 E. (1)如图 1，求证： BE DE ＝ AB AD . (2)如图 2，AC2＝AB·AD，且 BF⊥AD，BF 与 AC 交于点 G，连接 DG，CF. ①若 F 是 AD 的中点，求证：△BCF∽△GCD； ②若 AB AD ＝ 5 6 ，求 sin ∠GDC 的值． 图 1 图 2 63/93 数学中考总复习 第 1 轮 6．(2025·安徽)在 Rt△ABC 中，M 是斜边 AB 的中点，将线段 MA 绕点 M 旋转至 MD 位置，点 D 在直线 AB 外，连接 AD，BD. (1)如图 1，求∠ADB 的大小． (2)已知点 D 和边 AC 上的点 E 满足 ME⊥AD，DE∥AB. ①如图 2，连接 CD，求证：BD＝CD； ②如图 3，连接 BE，若 AC＝8，BC＝6，求 tan ∠ABE 的值． 图 1 图 2 图 3 64/93 数学中考总复习 第 1 轮 考点四 位似 7．(2025·合肥一模)△ABO 三个顶点的坐标分别为 A(2，4)，B(6，0)，O(0，0)，以原点 O 为位 似中心，把这个三角形缩小为原来的 1 2 ，可以得到△A′B′O，则点 A′的坐标是( ) A．(1，2) B．(1，2)或(－1，－2) C．(2，1)或(－2，－1) D．(－2，－1) 8．(2025·安徽一模)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为 A(1，2)，B(5，1)， C(4，3). (1)将△ABC向左平移5个单位长度，再向上平移 2个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； (2)在给定的网格中以点 O 为位似中心，将△ABC 放大为原来的 2 倍，得到△A2B2C2，请画出 △A2B2C2，并写出点 B2的坐标． 65/93