第19节 等腰与直角三角形-2026年中考数学一轮复习考点梳理

数学中考总复习 第 1 轮 第 19 节 等腰与直角三角形 考点一 等腰三角形的性质与判定 1．(2025·安徽二模)如图，在△ABC 中，∠ACB 为一个钝角，CD⊥BC 交 AB 于点 D，点 E 在 BD 上，且∠DCE＝∠ACD＝12°，AC＋CE＝AB.则下列结论错误的是( ) A．∠BCE＝78° B．∠ACB＝102° C．∠CDE＝56° D．∠ABC＝48° 2．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，若点 P 为直线 BC 上一点，且△ABP 为 等腰三角形，则符合条件的点 P 有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 3．(2025·安徽)如图，E 是线段 AB 上一点，△ADE 和△BCE 是位于直线 AB 同侧的两个等边三 角形，点 P，F 分别是 CD，AB 的中点．若 AB＝4，则下列结论错误的是( ) A．PA＋PB 的最小值为 3 3 B．PE＋PF 的最小值为 2 3 C．△CDE 周长的最小值为 6 D．四边形 ABCD 面积的最小值为 3 3 59/93 数学中考总复习 第 1 轮 4．(2025·安庆二模)如图，在四边形 ABCD 中，AB＝BC，对角线 AC，BD 相交于点 O，∠BAC ＝∠ADB＝60°，点 E 是 BD 上一点，BE＝AD，连接 CE. (1)求证：△DCE 是等边三角形； (2)若点 M 为 AB 边的中点，连接 DM 并延长交 CB 的延长线于点 N，∠N＝∠ACD，BE＝2，MD ＝3，求 MN 的长． 60/93 数学中考总复习 第 1 轮 5．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，分别以点 A 和 B 为圆心，以大于 1 2 AB 的 长为半径作弧，两弧相交于点 M，N，作直线 MN，交 AC 于点 E，连接 BE，若 CE＝3，则 BE 的长为________． 6．(2025·安徽)如图，在 Rt△ABC 中，AC＝BC＝2，点 D 在 AB 的延长线上，且 CD＝AB，则 BD 的长是( ) A. 10 － 2 B． 6 － 2 C．2 2 －2 D．2 2 － 6 7．(2025·合肥三模)如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点 D 是 BC 的中点，将 △ABD 沿 AD 翻折得到△AED，连接 CE，则线段 CE 的长为( ) A． 14 5 B． 10 3 C． 5 2 D．4 61/93 数学中考总复习 第 1 轮 第 19 节 等腰与直角三角形 考点一 等腰三角形的性质与判定 1．(2025·安徽二模)如图，在△ABC 中，∠ACB 为一个钝角，CD⊥BC 交 AB 于点 D，点 E 在 BD 上，且∠DCE＝∠ACD＝12°，AC＋CE＝AB.则下列结论错误的是( ) A．∠BCE＝78° B．∠ACB＝102° C．∠CDE＝56° D．∠ABC＝48° 答案：D 2．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，若点 P 为直线 BC 上一点，且△ABP 为 等腰三角形，则符合条件的点 P 有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 解析：选 D.如图所示，分别以 A，B 为圆心，AB 的长为半径画弧，与直线 BC 的交点 P1，P2， P3 即为所求；作 AB 的垂直平分线，与直线 BC 的交点 P4 即为所求． 综上，符合条件的点 P 有 4 个． 3．(2025·安徽)如图，E 是线段 AB 上一点，△ADE 和△BCE 是位于直线 AB 同侧的两个等边三 角形，点 P，F 分别是 CD，AB 的中点．若 AB＝4，则下列结论错误的是( ) 74/125 数学中考总复习 第 1 轮 A．PA＋PB 的最小值为 3 3 B．PE＋PF 的最小值为 2 3 C．△CDE 周长的最小值为 6 D．四边形 ABCD 面积的最小值为 3 3 答案：A 4．(2025·安庆二模)如图，在四边形 ABCD 中，AB＝BC，对角线 AC，BD 相交于点 O，∠BAC ＝∠ADB＝60°，点 E 是 BD 上一点，BE＝AD，连接 CE. (1)求证：△DCE 是等边三角形； (2)若点 M 为 AB 边的中点，连接 DM 并延长交 CB 的延长线于点 N，∠N＝∠ACD，BE＝2，MD ＝3，求 MN 的长． 解：(1)证明：因为 AB＝BC，∠BAC＝60°，所以△ABC 是等边三角形， 所以 AC＝BC，∠ACB＝60°. 因为∠ADB＝60°，所以∠ACB＝∠ADB＝60°. 因为∠AOD＝∠BOC，∠ADO＝∠BCO＝60°，所以∠DAO＝∠CBO. 在△BEC 和△ADC 中，    BC＝AC， ∠CBE＝∠CAD， BE＝AD， 所以△BEC≌△ADC(SAS)， 所以 CE＝CD，∠BCE＝∠ACD. 因为∠BCE＋∠ECO＝60°，所以∠ECO＋∠ACD＝60°，所以△DCE 是等边三角形． 75/125 数学中考总复习 第 1 轮 (2)如图，作 AG∥NC 交 ND 的延长线于点 G， 所以∠G＝∠N，∠GAM＝∠NBM. 因为点 M 是 AB 的中点，所以 MA＝MB.所以△AMG≌△BMN(AAS)，所以 MG＝MN. 因为△DCE 是等边三角形，所以∠DEC＝∠EBC＋∠ECB＝60°. 因为 AG∥NC，所以∠GAC＝∠GAD＋∠DAC＝∠ACB＝60°， 所以∠GAD＋∠DAC＝∠EBC＋∠ECB. 由(1)知，∠DAC＝∠EBC，∠ECB＝∠ACD，所以∠GAD＝∠ECB＝∠ACD＝∠N. 又因为∠G＝∠N，所以∠GAD＝∠G，所以 DG＝DA＝BE＝2. 因为 MD＝3，所以 MG＝MD＋DG＝3＋2＝5，所以 MN＝MG＝5. 5．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，分别以点 A 和 B 为圆心，以大于 1 2 AB 的 长为半径作弧，两弧相交于点 M，N，作直线 MN，交 AC 于点 E，连接 BE，若 CE＝3，则 BE 的长为________． 答案：5 6．(2025·安徽)如图，在 Rt△ABC 中，AC＝BC＝2，点 D 在 AB 的延长线上，且 CD＝AB，则 BD 的长是( ) 76/125 数学中考总复习 第 1 轮 A. 10 － 2 B． 6 － 2 C．2 2 －2 D．2 2 － 6 答案：B 7．(2025·合肥三模)如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点 D 是 BC 的中点，将 △ABD 沿 AD 翻折得到△AED，连接 CE，则线段 CE 的长为( ) A． 14 5 B． 10 3 C． 5 2 D．4 答案：A 77/125