第18节 三角形与全等三角形-2026年中考数学一轮复习考点梳理

数学中考总复习 第 1 轮 第 18 节 三角形与全等三角形 考点一 三角形三边关系 1．(2025·滁州一模)如图，在△ABC 中，AB＝AC，AC 的垂直平分线交 AC 于点 F，交 AB 于点 E，连接 EC，AB＝10，△BEC 的周长为 18.若点 P 在直线 EF 上，连接 PA，PB，则|PA－PB| 的最大值为( ) A．5 B．8 C．10 D．13 2．已知三角形两边的长分别为 1，5，第三边长为整数，则第三边的长为________． 3．(2025·合肥一模)如图，在△ABC 中，∠B＋∠C＝110°，AM 平分∠BAC，交 BC 于点 M，MN∥AB， 交 AC 于点 N，则∠AMN 的大小是( ) A．30° B．35° C．40° D．55° 4．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AD 是 BC 边上的高，BE 是 AC 边上的中线，CF 是∠ACB 的平分线，CF 交 AD 于点 G，交 BE 于点 H，下面说法正确的是( ) ①△ABE 的面积＝△BCE 的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH. A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③ 54/93 数学中考总复习 第 1 轮 5．下列描述的图形中，两个三角形全等的是( ) A．含有 45°角的两个直角三角形 B．腰相等的两个等腰三角形 C．边长相等的两个等边三角形 D．一个钝角对应相等的两个等腰三角形 6．(2025·安徽模拟)如图，在△ABD 中，AB＝3，∠BAD＝60°，延长 BD 至点 C，使得 BC＝2BD， 连接 AC，在 AC 上截取 AE＝AB，若 AD＝CE，则线段 BC 的长度为________． 7．(2025·南充)如图，在△ABC 中，点 D 为 BC 边的中点，过点 B 作 BE∥AC 交 AD 的延长线于 点 E. (1)求证：△BDE≌△CDA； (2)若 AD⊥BC，求证：BA＝BE. 55/93 数学中考总复习 第 1 轮 8．(2025·亳州三模)如图 1，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝90°，点 E 是边 BC 的中点，点 F 在 边 AC 上，连接 FE 并延长到点 G，使 EG＝EF，连接 BG. 图1 图2 (1)求证：BG⊥AB； (2)如图 2，点 M 是边 AB 的中点，连接 EM，FM，EN 平分∠MEC 交 FM 于点 N，若 BE＝BM ＋BG，求证：MN＝FN. 56/93 数学中考总复习 第 1 轮 9．(2025·安徽)在凸五边形 ABCDE 中，AB＝AE，BC＝DE，点 F 是 CD 的中点．下列条件中， 不能推出 AF 与 CD 一定垂直的是( ) A．∠ABC＝∠AED B．∠BAF＝∠EAF C．∠BCF＝∠EDF D．∠ABD＝∠AEC 10．(2025·合肥一模)如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠BCD＝90°，连接 AC，AC⊥AB，且 AC＝AB，∠ABC 的平分线分别交 AC，DC 于点 O，E，则①OC＝CE；②AB＝ 2 CE；③ DE AO ＝ 2 2 ；④ OE BE ＝1－ 2 2 .上述结论正确的有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 11．如图，在△ABC 中，AC，AB 两边上的中线 BE，CD 相交于点 O，则 S△DOE S△EOC ＝ ( ) A． 2 3 B． 1 4 C． 1 3 D． 1 2 12．如图，在△ABC 中，D，E，F 分别是边 AB，BC，CA 的中点，若△DEF 的周长为 10，则 △ABC 的周长为________． 57/93 数学中考总复习 第 1 轮 13．(2025·安徽模拟)如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点 D 是斜边 AB 的中点，点 E 是边 AC 上一动点，连接 DE，过点 D 作 DF⊥DE，交线段 BC 于点 F. 图 1 图 2 图 3 (1)求 DE DF 的值； (2)如图 2，若 AE＝DE，求 BF 的长； (3)如图 3，当 CE＝CF 时，求 CE 的长． 58/93 数学中考总复习 第 1 轮 第 18 节 三角形与全等三角形 考点一 三角形三边关系 1．(2025·滁州一模)如图，在△ABC 中，AB＝AC，AC 的垂直平分线交 AC 于点 F，交 AB 于点 E，连接 EC，AB＝10，△BEC 的周长为 18.若点 P 在直线 EF 上，连接 PA，PB，则|PA－PB| 的最大值为( ) A．5 B．8 C．10 D．13 答案：B 2．已知三角形两边的长分别为 1，5，第三边长为整数，则第三边的长为________． 答案：5 3．(2025·合肥一模)如图，在△ABC 中，∠B＋∠C＝110°，AM 平分∠BAC，交 BC 于点 M，MN∥AB， 交 AC 于点 N，则∠AMN 的大小是( ) A．30° B．35° C．40° D．55° 答案：B 4．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AD 是 BC 边上的高，BE 是 AC 边上的中线，CF 是∠ACB 的平分线，CF 交 AD 于点 G，交 BE 于点 H，下面说法正确的是( ) 66/125 数学中考总复习 第 1 轮 ①△ABE 的面积＝△BCE 的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH. A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③ 解析：选 D.因为 BE 是 AC 边上的中线，所以 AE＝CE. 又因为△ABE 的面积＝ 1 2 AE·AB，△BCE 的面积＝ 1 2 CE·AB， 所以△ABE 的面积＝△BCE 的面积，故①正确； 因为 AD 是 BC 边上的高，所以∠ADC＝90°，所以∠DAC＋∠ACB＝90°. 因为∠BAC＝90°，所以∠FAG＋∠DAC＝90°，所以∠FAG＝∠ACB. 因为 CF 是∠ACB 的平分线，所以∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB， 所以∠FAG＝2∠FCB，故②错误； 因为在△ACF 和△DGC 中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB， 所以∠AFG＝180°－∠BAC－∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°－∠ADC－∠FCB， 所以∠AFG＝∠AGF，所以 AF＝AG，故③正确； 根据已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出 BH＝CH，故④错误．即说法正确的是①③. 5．下列描述的图形中，两个三角形全等的是( ) A．含有 45°角的两个直角三角形 B．腰相等的两个等腰三角形 C．边长相等的两个等边三角形 D．一个钝角对应相等的两个等腰三角形 答案：C 67/125 数学中考总复习 第 1 轮 6．(2025·安徽模拟)如图，在△ABD 中，AB＝3，∠BAD＝60°，延长 BD 至点 C，使得 BC＝2BD， 连接 AC，在 AC 上截取 AE＝AB，若 AD＝CE，则线段 BC 的长度为________． 答案：2 13 7．(2025·南充)如图，在△ABC 中，点 D 为 BC 边的中点，过点 B 作 BE∥AC 交 AD 的延长线于 点 E. (1)求证：△BDE≌△CDA； (2)若 AD⊥BC，求证：BA＝BE. 证明：(1)因为点 D 为 BC 边的中点，所以 BD＝CD. 因为 BE∥AC，所以∠E＝∠DAC，∠DBE＝∠C. 在△BDE 和△CDA 中，    ∠E＝∠DAC， ∠DBE＝∠C， BD＝CD， 所以△BDE≌△CDA(AAS). (2)因为△BDE≌△CDA，所以 ED＝AD. 因为 AD⊥BC，所以 BD 垂直平分 AE，所以 BA＝BE. 8．(2025·亳州三模)如图 1，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝90°，点 E 是边 BC 的中点，点 F 在 边 AC 上，连接 FE 并延长到点 G，使 EG＝EF，连接 BG. 68/125 数学中考总复习 第 1 轮 图1 图2 (1)求证：BG⊥AB； (2)如图 2，点 M 是边 AB 的中点，连接 EM，FM，EN 平分∠MEC 交 FM 于点 N，若 BE＝BM ＋BG，求证：MN＝FN. 证明：(1)因为 AB＝AC，∠A＝90°，所以∠ABC＝∠ACB＝45°. 因为点 E 是边 BC 的中点，所以 BE＝CE， 又因为∠BEG＝∠CEF，EG＝EF，所以△BEG≌△CEF(SAS)， 所以∠EBG＝∠ECF＝45°，所以∠ABG＝∠ABC＋∠EBG＝90°，即 BG⊥AB. (2)如图，延长 EN 交 AC 于点 H. 因为点 M 是 AB 的中点，点 E 是 BC 的中点，所以 EM∥AC，所以∠MEN＝∠CHE. 因为 EN 平分∠MEC，所以∠MEN＝∠CEH，所以∠CHE＝∠CEH，所以 CE＝CH， 所以 BE＝CE＝CH. 又因为 BE＝BM＋BG，CH＝FH＋CF，所以 BM＋BG＝FH＋CF. 由(1)知△BEG≌△CEF，所以 BG＝CF，所以 BM＝FH. 因为 AB＝AC，EM∥AC，所以∠MBC＝∠C＝∠MEB，BM＝EM，EM＝FH， 又因为∠MNE＝∠FNH，∠MEN＝∠FHE， 所以△MNE≌△FNH(AAS)，所以 MN＝FN. 69/125 数学中考总复习 第 1 轮 9．(2025·安徽)在凸五边形 ABCDE 中，AB＝AE，BC＝DE，点 F 是 CD 的中点．下列条件中， 不能推出 AF 与 CD 一定垂直的是( ) A．∠ABC＝∠AED B．∠BAF＝∠EAF C．∠BCF＝∠EDF D．∠ABD＝∠AEC 解析：选 D.A.如图，连接 AC，AD. 因为∠ABC＝∠AED，AB＝AE，BC＝DE，所以△ACB≌△ADE(SAS)，所以 AC＝AD. 又因为点 F 为 CD 的中点，所以 AF⊥CD，故不符合题意． B．如图，连接 BF，EF. 因为 AB＝AE，∠BAF＝∠EAF，AF＝AF，所以△ABF≌△AEF(SAS)， 所以 BF＝EF，∠AFB＝∠AFE. 因为点 F 为 CD 的中点，所以 CF＝DF， 又因为 BC＝DE，所以△CBF≌△DEF(SSS)，所以∠CFB＝∠DFE， 所以∠CFB＋∠AFB＝∠DFE＋∠AFE＝90°，所以 AF⊥CD，故不符合题意． C．如图，连接 BF，EF. 因为点 F 为 CD 的中点，所以 CF＝DF. 70/125 数学中考总复习 第 1 轮 又因为∠BCF＝∠EDF，BC＝DE，所以△CBF≌△DEF(SAS)，所以 BF＝EF，∠CFB＝∠DFE. 又因为 AB＝AE，AF＝AF，所以△ABF≌△AEF(SSS)，所以∠AFB＝∠AFE， 所以∠CFB＋∠AFB＝∠DFE＋∠AFE＝90°，所以 AF⊥CD，故不符合题意． D．无法通过∠ABD＝∠AEC 推出 AF 与 CD 垂直，符合题意．故选 D. 10．(2025·合肥一模)如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠BCD＝90°，连接 AC，AC⊥AB，且 AC＝AB，∠ABC 的平分线分别交 AC，DC 于点 O，E，则①OC＝CE；②AB＝ 2 CE；③ DE AO ＝ 2 2 ；④ OE BE ＝1－ 2 2 .上述结论正确的有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 答案：B 11．如图，在△ABC 中，AC，AB 两边上的中线 BE，CD 相交于点 O，则 S△DOE S△EOC ＝ ( ) A． 2 3 B． 1 4 C． 1 3 D． 1 2 解析：选 D.因为 BE，CD 是△ABC 中的两条中线，所以 DE 是△ABC 的中位线， 所以 DE∥BC，DE＝ 1 2 BC，所以 OD OC ＝ DE BC ＝ 1 2 ，所以 S△DOE S△EOC ＝ OD OC ＝ 1 2 .故选 D. 12．如图，在△ABC 中，D，E，F 分别是边 AB，BC，CA 的中点，若△DEF 的周长为 10，则 △ABC 的周长为________． 71/125 数学中考总复习 第 1 轮 答案：20 13．(2025·安徽模拟)如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点 D 是斜边 AB 的中点，点 E 是边 AC 上一动点，连接 DE，过点 D 作 DF⊥DE，交线段 BC 于点 F. 图 1 图 2 图 3 (1)求 DE DF 的值； (2)如图 2，若 AE＝DE，求 BF 的长； (3)如图 3，当 CE＝CF 时，求 CE 的长． 解：(1)如图，过点 D 作 DG⊥AC 于点 G，作 DH⊥BC 于点 H， 所以∠DGE＝∠DGC＝∠DHF＝90°. 又因为∠ACB＝90°，所以四边形 DGCH 为矩形，所以 DG∥BC，DH∥AC，∠GDH＝90°， 即∠FDH＋∠GDF＝90°. 因为点 D 是斜边 AB 的中点，所以 DG＝ 1 2 BC＝4，DH＝ 1 2 AC＝3. 因为 DF⊥DE，所以∠EDF＝90°，即∠EDG＋∠GDF＝90°，所以∠EDG＝∠FDH， 所以△EDG∽△FDH，所以 DE DF ＝ DG DH ＝ 4 3 . (2)如图，过点 F 作 FM⊥AB 于点 M. 72/125 数学中考总复习 第 1 轮 在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，所以 AB＝ AC2＋BC2 ＝ 62＋82 ＝10. 因为点 D 是斜边 AB 的中点，所以 BD＝5. 因为∠ACB＝90°，∠EDF＝90°，所以∠A＋∠B＝90°，∠ADE＋∠BDF＝90°. 因为 AE＝DE，所以∠A＝∠ADE，所以∠B＝∠BDF，所以 BF＝DF. 因为 FM⊥AB，所以 BM＝DM＝ 1 2 BD＝ 5 2 . 在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，所以 cos B＝ BC AB ＝ 8 10 ＝ 4 5 . 在 Rt△BMF 中，∠BMF＝90°，所以 BF＝ BM cos B ＝ 5 2 4 5 ＝ 25 8 . (3)如图，延长 ED 至点 N，使 DN＝DE，连接 EF，NF 和 BN. 设 CE＝x，由已知可得 CF＝x，AE＝6－x，BF＝8－x. 在 Rt△CEF 中，∠C＝90°，所以 EF＝ CE2＋CF2 ＝ x2＋x2 ＝ 2 x. 因为点 D 是斜边 AB 的中点，所以 AD＝BD. 因为 DE＝DN，∠ADE＝∠BDN，所以△ADE≌△BDN， 所以 BN＝AE＝6－x，∠A＝∠DBN，所以 AC∥NB，所以∠FBN＝90°. 因为 DF⊥DE，所以 DF 垂直平分 EN，所以 FN＝EF＝ 2 x. 在 Rt△FBN 中，∠FBN＝90°，所以 BF2＋BN2＝FN2，所以(8－x)2＋(6－x)2＝( 2 x)2， 解得 x＝ 25 7 ，即 CE＝ 25 7 . 73/125