第13节 二次函数的图象与性质-2026年中考数学一轮复习考点梳理

数学中考总复习 第 1 轮 第 13 节 二次函数的图象与性质 考点一 二次函数的图象与性质 1．(2025·安徽)下列函数中，y 的值随 x 值的增大而减小的是( ) A．y＝x2＋1 B．y＝－x2＋1 C．y＝2x＋1 D．y＝－2x＋1 答案：D 2．(2025·合肥一模)已知反比例函数 y＝ k x (k≠0)在第二象限内的图象与一次函数 y＝mx＋n(m≠0) 的图象如图所示，则函数 y＝mx2＋nx－k＋1 的图象可能为( ) A． B． C． D． 答案：A 3．将抛物线 C1：y＝(x－3)2＋2 向左平移 3 个单位长度，得到抛物线 C2，抛物线 C2 与抛物线 C3 关于 x 轴对称，则抛物线 C3 的解析式为( ) A．y＝x2－2 B．y＝－x2＋2 C．y＝x2＋2 D．y＝－x2－2 答案：D 4．(2025·合肥一模)在平面直角坐标系 xOy 中，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线 y＝a(x－h)2＋k(a ＜0)上任意两点． (1)若对于 x1＝1，x2＝5，有 y1＝y2，则 h＝________； (2)若对于 0＜x1＜1，4＜x2＜5，都有 y1＞y2，则 h 的取值范围是________． 答案：(1)3 (2)h≤2 38/125 数学中考总复习 第 1 轮 5．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，有下列 5 个结论：①abc>0；②a＋c<b；③b2 －4ac<0；④2c<3b；⑤M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点(x1<x2)，若 x1＋x2>2，则 y1>y2.其 中正确的结论有________．(填序号) 答案：②④⑤ 解析：①由图象可知 a<0，c>0，对称轴为直线 x＝－ b 2a ＝1，所以 b＝－2a 且 b>0，所以 abc<0， 故①不正确； ②由图象可知当 x＝－1 时，y<0，所以 a－b＋c<0，所以 a＋c<b，故②正确； ③由图象可知抛物线与 x 轴有两个交点，所以 b2－4ac>0，故③不正确； ④因为 b＝－2a，a＋c<b，所以 b>－ 1 2 b＋c，所以 2c<3b，故④正确； ⑤因为 M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点(x1<x2)，若 x1＋x2>2，则 x1＋x2 2 >1. 因为函数图象的对称轴是直线 x＝1， 所以 M(x1，y1)到对称轴的距离小于 N(x2，y2)到对称轴的距离，所以 y1>y2，故⑤正确． 考点二 确定二次函数的解析式 6．已知抛物线 y＝a(x－h)2＋k 的顶点位于直线 y＝2x 上，当该抛物线的顶点是原点时，则该 抛物线经过点(－2，2). (1)当 h＝－2 时，求二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的解析式； (2)当二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象与 x 轴无交点时，求 h 的取值范围； (3)二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象与直线 x＝4 交于点 P，求点 P 到 x 轴距离的最小值． 39/125 数学中考总复习 第 1 轮 解：因为抛物线的解析式为 y＝a(x－h)2＋k， 所以抛物线的对称轴为直线 x＝h，顶点为(h，k). 当该抛物线的顶点是原点时，则 h＝0，k＝0， 则抛物线的解析式为 y＝ax2. 把点(－2，2)代入 y＝ax2，得 a＝ 1 2 . 因为顶点位于直线 y＝2x 上，将(h，k)代入，得 k＝2h. (1)当 h＝－2 时，k＝－4，所以抛物线的解析式为 y＝ 1 2 (x＋2)2－4. (2)因为二次函数 y＝ 1 2 (x－h)2＋k 的图象与 x 轴无交点，所以最小值 y>0. 因为 y＝ 1 2 (x－h)2＋k 的最小值为 2h，所以 2h>0. 即 h 的取值范围是 h>0. (3)把 x＝4 代入 y＝ 1 2 (x－h)2＋k 中，得 y＝ 1 2 (4－h)2＋2h＝ 1 2 h2－2h＋8＝ 1 2 (h－2)2＋6. 当 h＝2 时，y 最小＝6，所以点 P 到 x 轴距离的最小值为 6. 7．(2025·安徽押题卷)已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴交于 A(－1，0)，B(4，0)两点，经 过点 D(－2，－3)，与 y 轴交于点 C. (1)求抛物线的函数解析式； (2)若点 M 是 x 轴上位于点 A 与点 B 之间的一个动点(含点 A 与点 B)，过点 M 作 x 轴的垂线分 别交抛物线和直线 BC 于点 E、点 F，求线段 EF 的最大值． 解：(1)因为抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴交于 A(－1，0)，B(4，0)两点， 所以可设抛物线的函数解析式为 y＝a(x－4)(x＋1). 因为抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点 D(－2，－3)，则 6a＝－3，解得 a＝－ 1 2 . 所以抛物线的函数解析式为 y＝－ 1 2 (x－4)(x＋1)＝－ 1 2 x2＋ 3 2 x＋2. (2)当 x＝0 时，y＝2，所以 C(0，2). 设直线 BC 的解析式为 y＝kx＋2，把 B(4，0)代入，得 4k＋2＝0，解得 k＝－ 1 2 ， 所以直线 BC 的解析式为 y＝－ 1 2 x＋2. 40/125 数学中考总复习 第 1 轮 设 M(m，0)，－1≤m≤4，则 E       m，－ 1 2 m2＋ 3 2 m＋2 ，F       m，－ 1 2 m＋2 ， 所以 EF＝|－ 1 2 m2＋ 3 2 m＋2－      － 1 2 m＋2 |＝      － 1 2 m2＋2m ＝      － 1 2 （m－2）2＋2 . 当 0≤m≤4 时，EF＝－ 1 2 (m－2)2＋2，所以当 m＝2 时，EF 有最大值 2； 当－1≤m＜0 时，EF＝ 1 2 (m－2)2－2， 当 m＝－1 时，EF 有最大值 5 2 . 综上所述，EF 的最大值为 5 2 . 考点三 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系 8．(2025·安徽)已知抛物线 y＝－x2＋bx(b 为常数)的顶点横坐标比抛物线 y＝－x2＋2x 的顶点横 坐标大 1. (1)求 b 的值． (2)点 A(x1，y1)在抛物线 y＝－x2＋2x 上，点 B(x1＋t，y1＋h)在抛物线 y＝－x2＋bx 上． ①若 h＝3t，且 x1≥0，t＞0，求 h 的值； ②若 x1＝t－1，求 h 的最大值． 解：(1)y＝－x2＋2x＝－(x2－2x＋1)＋1＝－(x－1)2＋1， 所以抛物线 y＝－x2＋2x 的顶点坐标为(1，1). 因为抛物线 y＝－x2＋bx(b 为常数)的顶点横坐标比抛物线 y＝－x2＋2x 的顶点横坐标大 1， 所以抛物线 y＝－x2＋bx(b 为常数)的顶点横坐标为 2，所以－ b 2×（－1） ＝2，所以 b＝4. (2)由(1)，得 y＝－x2＋bx＝－x2＋4x. 因为点 A(x1，y1)在抛物线 y＝－x2＋2x 上，点 B(x1＋t，y1＋h)在抛物线 y＝－x2＋4x 上， 所以 y1＝－x21 ＋2x1，y1＋h＝－(x1＋t)2＋4(x1＋t)， 整理，得 h＝－t2－2x1t＋2x1＋4t. 41/125 数学中考总复习 第 1 轮 ①因为 h＝3t，所以 3t＝－t2－2x1t＋2x1＋4t，整理，得 t(t＋2x1)＝t＋2x1. 因为 x1≥0，t＞0，所以 t＝1，所以 h＝3. ②将 x1＝t－1 代入 h＝－t2－2x1t＋2x1＋4t， 整理，得 h＝－3t2＋8t－2＝－3·       t－ 4 3 2 ＋ 10 3 . 因为－3＜0，所以当 t＝ 4 3 ，即 x1＝ 1 3 时，h 取得最大值为 10 3 . 42/125 数学中考总复习 第 1 轮 第 13 节 二次函数的图象与性质 考点一 二次函数的图象与性质 1．(2025·安徽)下列函数中，y 的值随 x 值的增大而减小的是( ) A．y＝x2＋1 B．y＝－x2＋1 C．y＝2x＋1 D．y＝－2x＋1 2．(2025·合肥一模)已知反比例函数 y＝ k x (k≠0)在第二象限内的图象与一次函数 y＝mx＋n(m≠0) 的图象如图所示，则函数 y＝mx2＋nx－k＋1 的图象可能为( ) A． B． C． D． 3．将抛物线 C1：y＝(x－3)2＋2 向左平移 3 个单位长度，得到抛物线 C2，抛物线 C2 与抛物线 C3 关于 x 轴对称，则抛物线 C3 的解析式为( ) A．y＝x2－2 B．y＝－x2＋2 C．y＝x2＋2 D．y＝－x2－2 4．(2025·合肥一模)在平面直角坐标系 xOy 中，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线 y＝a(x－h)2＋k(a ＜0)上任意两点． (1)若对于 x1＝1，x2＝5，有 y1＝y2，则 h＝________； (2)若对于 0＜x1＜1，4＜x2＜5，都有 y1＞y2，则 h 的取值范围是________． 33/93 数学中考总复习 第 1 轮 5．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，有下列 5 个结论：①abc>0；②a＋c<b；③b2 －4ac<0；④2c<3b；⑤M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点(x1<x2)，若 x1＋x2>2，则 y1>y2.其 中正确的结论有________．(填序号) 考点二 确定二次函数的解析式 6．已知抛物线 y＝a(x－h)2＋k 的顶点位于直线 y＝2x 上，当该抛物线的顶点是原点时，则该 抛物线经过点(－2，2). (1)当 h＝－2 时，求二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的解析式； (2)当二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象与 x 轴无交点时，求 h 的取值范围； (3)二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象与直线 x＝4 交于点 P，求点 P 到 x 轴距离的最小值． 34/93 数学中考总复习 第 1 轮 7．(2025·安徽押题卷)已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴交于 A(－1，0)，B(4，0)两点，经 过点 D(－2，－3)，与 y 轴交于点 C. (1)求抛物线的函数解析式； (2)若点 M 是 x 轴上位于点 A 与点 B 之间的一个动点(含点 A 与点 B)，过点 M 作 x 轴的垂线分 别交抛物线和直线 BC 于点 E、点 F，求线段 EF 的最大值． 35/93 数学中考总复习 第 1 轮 考点三 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系 8．(2025·安徽)已知抛物线 y＝－x2＋bx(b 为常数)的顶点横坐标比抛物线 y＝－x2＋2x 的顶点横 坐标大 1. (1)求 b 的值． (2)点 A(x1，y1)在抛物线 y＝－x2＋2x 上，点 B(x1＋t，y1＋h)在抛物线 y＝－x2＋bx 上． ①若 h＝3t，且 x1≥0，t＞0，求 h 的值； ②若 x1＝t－1，求 h 的最大值． 36/93