第十五章 轴对称（基础卷）单元过关测试 2025-2026学年人教版数学八年级上册

答案与解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B D A A C C D C 一．选择题（共10小题） 1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意； B、图形不是轴对称图形，不符合题意； C、图形不是轴对称图形，不符合题意； D、图形是轴对称图形，符合题意， 故选：D． 2．已知等腰三角形的两边长分别为4cm、8cm，则该等腰三角形的周长是（　　） A．12cm B．16cm C．16cm或20cm D．20cm 【解答】解：当腰长为4cm时，4+4＝8cm，不符合三角形三边关系，故舍去； 当腰长为8cm时，符合三边关系，其周长为8+8+4＝20cm． 故该三角形的周长为20cm． 故选：D． 3．在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则m+n＝（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5 【解答】解：∵点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称， ∴m＝﹣3，n＝2， ∴m+n＝﹣3+2＝﹣1． 故选：B． 4．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点（P不与AA′共线），下列结论中错误的是（　　） A．△AA′P是等腰三角形 B．MN垂直平分AA′，CC′ C．△ABC与△A′B′C′面积相等 D．直线AB、A′B′的交点不一定在MN上 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点， ∴△AA′P是等腰三角形，MN垂直平分AA′，CC′，这两个三角形的面积相等，A、B、C选项正确； 直线AB，A′B′关于直线MN对称，因此交点一定在MN上．D错误； 故选：D． 5．等腰三角形的两边长分别为4厘米和9厘米，则这个三角形的周长为（　　） A．22厘米 B．17厘米 C．13厘米 D．17厘米或22厘米 【解答】解：（1）若4厘米为腰长，9厘米为底边长， 由于4+4＜9，则三角形不存在； （2）若9厘米为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为9+9+4＝22（厘米）． 故选：A． 6．如图，△ABC中，AB＝AC，过点A作DA⊥AC交BC于点D．若∠B＝2∠BAD，则∠BAD的度数为（　　） A．18° B．20° C．30° D．36° 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DA⊥AC， ∴∠DAC＝90°， ∴∠ADC＝90°﹣∠C＝90°﹣∠B＝∠BAD+∠B， ∵∠B＝2∠BAD， ∴4∠BAD＝90°﹣∠BAD， ∴∠BAD＝18°， 故选：A． 7．如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠BEC的大小为（　　） A．40° B．50° C．80° D．100° 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴EA＝EB， ∴∠EBA＝∠A＝40°， ∴∠BEC＝∠EBA+∠A＝80°， 故选：C． 8．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是（　　） A．70° B．110° C．70°或110° D．20°或160° 【解答】解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部． 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°＝110°； 当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部， 故顶角是90°﹣20°＝70°． 故选：C． 9．如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM＝NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且NM＝ND，若∠A＝α，则∠C＝（　　） A． B． C．120°﹣α D．2α﹣90° 【解答】解：∵AM＝NM，BM⊥AC，∠A＝α， ∴∠ABM＝∠NBM＝90°﹣α， ∵NM＝ND，BM⊥AC，ND⊥BC， ∴BN平分∠NDM， ∴∠ABM＝∠DBN＝∠NBM＝90°﹣α， ∴∠ABC＝∠ABM+∠DBN+∠NBM＝270°﹣3α， ∴∠C＝2α﹣90°， 故选：D． 10．如图，在等边三角形ABC中，BC＝2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（　　） A．1 B． C． D． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝2， ∵DF⊥AC，FE⊥BC， ∴∠AFD＝∠CEF＝90°， ∴∠ADF＝∠CFE＝30°， ∴AFAD，CECF， ∵点D是AB的中点， ∴AD＝1， ∴AF，CF，CE， ∴BE＝BC﹣CE＝2， 故选：C． 二．填空题（共8小题） 11．一个等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角的度数是　50°或80°　 ． 【解答】解：（1）当50°角为顶角，顶角度数即为50°； （2）当50°为底角时，顶角＝180°﹣2×50°＝80°． 故填50°或80°． 12．如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为 　12　 米． 【解答】解：如图， ∵∠BAC＝30°，∠BCA＝90°， ∴AB＝2CB， 而BC＝4米， ∴AB＝8米， ∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC＝12米． 故答案为：12． 13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，D是AB的中点，则∠ADC＝　50°　 ． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴CD＝BD， ∴∠DCB＝∠B， ∵∠B＝25°， ∴∠DCB＝25°， ∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝50°， 故答案为：50°． 14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD⊥AC于D，则∠DBC＝　20　 度． 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40° ∴∠ABC＝∠ACB＝70° ∵BD⊥AC ∴∠DBC＝90°﹣70°＝20°． 15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的中垂线，分别交AB、BC于点D、E，若∠B＝30°，BC＝10，则CE＝　　 ． 【解答】解：连接AE， ∵△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝60°， ∵DE是AB的中垂线， ∴∠B＝∠BAE＝30°，AE＝BE， ∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝60°﹣30°＝30°， ∵∠C＝90°， ∴△AEC是直角三角形， ∴CEAE， ∴CEBE， ∴CEBC． 16．已知点A（3x﹣6，4y+15），点B（5y，x）关于x轴对称，则x+y的值是　﹣6　 ． 【解答】解：根据题意，得， 解得：． ∴x+y＝﹣6． 17．如图所示是由三个等边三角形随意摆放的图形，则∠1+∠2+∠3的度数为 　180°．　 ． 【解答】解：∵图中是三个等边三角形， ∴∠1＝180°﹣60°﹣∠ABC＝120°﹣∠ABC，∠2＝180°﹣60°﹣∠ACB＝120°﹣∠ACB， ∠3＝180°﹣60°﹣∠BAC＝120°﹣∠BAC， ∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣180°＝180°， 故答案为：180°． 18．如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠BAD＝ 　58°　 ． 【解答】解：设∠ABD＝α，∠BAD＝β ∵AD⊥BD ∴∠ABD+∠BAD＝90°， 即α+β＝90° ∵BD是∠ABC得角平分线， ∴∠ABC＝2∠ABD＝2α， ∵∠ABC+∠BAC+∠C＝180 ∴2α+β+38°+20°＝180°， ∴联立可得解得： ∴∠BAD＝58° 法二，延长AD交BC于E， ∵∠DAC＝20°，∠C＝38°， ∴∠AEB＝20°+38°＝58°， ∵BD⊥AD， ∴∠BDA＝90°， ∵BD是∠ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠DBE， ∴∠BEA＝∠BAD＝58°， 故答案为：58° 三．解答题（共6小题） 19．已知：如图，已知△ABC中，其中A（0，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）． （1）画出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1； （2）写出△A1B1C1各顶点坐标； （3）求△ABC的面积． 【解答】解：（1）所作图形如图所示； （2）A1（0，﹣2），B1（﹣2，﹣4），C1（﹣4，﹣1）； （3）S△ABC＝3×42×34×12×2＝12﹣3﹣2﹣2＝5． 20．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 【解答】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求． （2）∵DF垂直平分线段AB， ∴DB＝DA， ∴∠DAB＝∠B＝30°， ∵∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°， ∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°， ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAE∠DAC＝40°． 21．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F． （1）求∠F的度数； （2）若CD＝2，求DF的长． 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°． ∵DE∥AB， ∴∠B＝∠EDC＝60°，∠A＝∠CED＝60°， ∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°， ∵EF⊥ED， ∴∠DEF＝90°， ∴∠F＝30°； （2）∵∠F+∠FEC＝∠ECD＝60°， ∴∠F＝∠FEC＝30°， ∴CE＝CF． ∵∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°， ∴CE＝DC＝2． ∴CF＝2． ∴DF＝DC+CF＝2+2＝4． 22．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上． （1）求证：BE＝CE； （2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC＝45°，原题设其它条件不变．求证：AE＝BC． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，点D是BC的中点， ∴AD垂直平分BC， ∴BE＝CE； （2）证明：∵BF⊥AC，∠BAC＝45°， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∴AF＝BF， ∵AB＝AC，点D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠EAF+∠C＝90°， ∵BF⊥AC， ∴∠CBF+∠C＝90°， ∴∠EAF＝∠CBF， 在△AEF和△BCF中， ， ∴△AEF≌△BCF（ASA）， ∴AE＝BC． 23．如图：在△ABC中，AB＝BC＝AC，AE＝CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q． 求证：①△ADC≌△BEA； ②BP＝2PQ． 【解答】证明：（1）∵AB＝BC＝AC， ∴△ABC是等边三角形． ∴∠BAC＝∠C＝60°． ∵AB＝AC，AE＝CD， ∴△ADC≌△BEA． （2）∵△ADC≌△BEA， ∴∠ABE＝∠CAD． ∵∠CAD+∠BAD＝60°， ∴∠ABE+∠BAD＝60°． ∴∠BPQ＝60°． ∵BQ⊥AD， ∴∠PBQ＝30°． ∴BP＝2PQ． 24．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC， ∴OC＝DC， ∵∠OCD＝60°， ∴△OCD是等边三角形． 解： （2）△AOD是直角三角形． 理由如下： ∵△OCD是等边三角形， ∴∠ODC＝60°， ∵△BOC≌△ADC，α＝150°， ∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°， ∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°， ∴△AOD是直角三角形． （3）∵△OCD是等边三角形， ∴∠COD＝∠ODC＝60°． ∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α， ∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α， ∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°， ∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°． ①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°， ∴α＝125°． ②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°， ∴α＝140°． ③当∠ADO＝∠OAD时， α﹣60°＝50°， ∴α＝110°． 综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/8/10 9:01:53；用户：殷伟榕；邮箱：13372093358；学号：49327560 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十五章 轴对称（基础卷）单元过关测试 时间：100分钟 满分：100分 试卷得分： 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A．B． C．D． 2．已知等腰三角形的两边长分别为4cm、8cm，则该等腰三角形的周长是（　　） A．12cm B．16cm C．16cm或20cm D．20cm 3．在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则m+n＝（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5 4．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点（P不与AA′共线），下列结论中错误的是（　　） A．△AA′P是等腰三角形 B．MN垂直平分AA′，CC′ C．△ABC与△A′B′C′面积相等 D．直线AB、A′B′的交点不一定在MN上 5．等腰三角形的两边长分别为4厘米和9厘米，则这个三角形的周长为（　　） A．22厘米 B．17厘米 C．13厘米 D．17厘米或22厘米 6．如图，△ABC中，AB＝AC，过点A作DA⊥AC交BC于点D．若∠B＝2∠BAD，则∠BAD的度数为（　　） A．18° B．20° C．30° D．36° 7．如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠BEC的大小为（　　） A．40° B．50° C．80° D．100° 8．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是（　　） A．70° B．110° C．70°或110° D．20°或160° 9．如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM＝NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且NM＝ND，若∠A＝α，则∠C＝（　　） A． B． C．120°﹣α D．2α﹣90° 10．如图，在等边三角形ABC中，BC＝2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（　　） A．1 B． C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．一个等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角的度数是　 　 ． 12．如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为 　 　 米． 13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，D是AB的中点，则∠ADC＝　 　 ． 14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD⊥AC于D，则∠DBC＝　 　 度． 15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的中垂线，分别交AB、BC于点D、E，若∠B＝30°，BC＝10，则CE＝　 　 ． 16．已知点A（3x﹣6，4y+15），点B（5y，x）关于x轴对称，则x+y的值是　 　 ． 17．如图所示是由三个等边三角形随意摆放的图形，则∠1+∠2+∠3的度数为 　 　 ． 18．如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠BAD＝ 　 　 ． 三、解答题：本题共6小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19．本小题分已知：如图，已知△ABC中，其中A（0，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）． （1）画出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1； （2）写出△A1B1C1各顶点坐标； （3）求△ABC的面积． 20．本小题分如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 21．本小题分如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F． （1）求∠F的度数； （2）若CD＝2，求DF的长． 22．本小题分如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上． （1）求证：BE＝CE； （2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC＝45°，原题设其它条件不变．求证：AE＝BC． 23．本小题分如图：在△ABC中，AB＝BC＝AC，AE＝CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q． 求证：①△ADC≌△BEA； ②BP＝2PQ． 24．本小题分如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页（共 6页） 第十五章 轴对称（基础卷）单元过关测试 时间：100 分钟 满分：100 分 试卷得分： 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称 图形的是（ ） A． B． C． D． 2．已知等腰三角形的两边长分别为 4cm、8cm，则该等腰三角形的周长是（ ） A．12cm B．16cm C．16cm或 20cm D．20cm 3．在平面直角坐标系中，点 A（m，2）与点 B（3，n）关于 y轴对称，则 m+n＝（ ） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5 4．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线 MN对称，P为 MN上任一点（P不与 AA′共线），下列结论中 错误的是（ ） A．△AA′P是等腰三角形 B．MN垂直平分 AA′，CC′ C．△ABC与△A′B′C′面积相等 D．直线 AB、A′B′的交点不一定在 MN上 5．等腰三角形的两边长分别为 4厘米和 9厘米，则这个三角形的周长为（ ） A．22厘米 B．17厘米 C．13厘米 D．17厘米或 22厘米 6．如图，△ABC中，AB＝AC，过点 A作 DA⊥AC交 BC于点 D．若∠B＝2∠BAD，则∠BAD的度数为（ ） 第 2页（共 6页） A．18° B．20° C．30° D．36° 7．如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交 AB，AC于点 D，E，连接 BE，则∠BEC的大 小为（ ） A．40° B．50° C．80° D．100° 8．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为 20°，则顶角的度数是（ ） A．70° B．110° C．70°或 110° D．20°或 160° 9．如图，在△ABC中，点 M，N为 AC边上的两点，AM＝NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点 D，且 NM＝ND， 若∠A＝α，则∠C＝（ ） A． 3 2 � B．90° − 12� C．120°﹣α D．2α﹣90° 10．如图，在等边三角形 ABC中，BC＝2，D是 AB的中点，过点 D作 DF⊥AC于点 F，过点 F作 EF⊥ BC于点 E，则 BE的长为（ ） A．1 B． 3 2 C． 5 4 D． 4 3 第 3页（共 6页） 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。 11．一个等腰三角形的一个角为 50°，则它的顶角的度数是 ． 12．如图，一棵树在一次强台风中于离地面 4米处折断倒下，倒下部分与地面成 30°夹角，这棵树在折断 前的高度为 米． 13．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，D是 AB的中点，则∠ADC＝ ． 14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD⊥AC于 D，则∠DBC＝ 度． 15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是 AB的中垂线，分别交 AB、BC于点 D、E，若∠B＝30°， BC＝10，则 CE＝ ． 16．已知点 A（3x﹣6，4y+15），点 B（5y，x）关于 x轴对称，则 x+y的值是 ． 17．如图所示是由三个等边三角形随意摆放的图形，则∠1+∠2+∠3的度数为 ． 第 4页（共 6页） 18．如图，BD 是∠ABC 的角平分线，AD⊥BD，垂足为 D，∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠BAD ＝ ． 三、解答题：本题共 6 小题，共 56 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19．(本小题 8分)已知：如图，已知△ABC中，其中 A（0，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）． （1）画出与△ABC关于 y轴对称的图形△A1B1C1； （2）写出△A1B1C1各顶点坐标； （3）求△ABC的面积． 20．(本小题 8分)如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边 AB的垂直平分线交 BC于点 D； ②连接 AD，作∠CAD的平分线交 BC于点 E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 第 5页（共 6页） 21．(本小题 8 分)如图，在等边三角形 ABC中，点 D，E分别在边 BC，AC上，且 DE∥AB，过点 E作 EF⊥DE，交 BC的延长线于点 F． （1）求∠F的度数； （2）若 CD＝2，求 DF的长． 22．(本小题 10分)如图 1，在△ABC中，AB＝AC，点 D是 BC的中点，点 E在 AD上． （1）求证：BE＝CE； （2）如图 2，若 BE的延长线交 AC于点 F，且 BF⊥AC，垂足为 F，∠BAC＝45°，原题设其它条件 不变．求证：AE＝BC． 23．(本小题 10分)如图：在△ABC中，AB＝BC＝AC，AE＝CD，AD与 BE相交于点 P，BQ⊥AD于 Q． 求证：①△ADC≌△BEA； ②BP＝2PQ． 第 6页（共 6页） 24．(本小题 12分)如图，点 O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α， △BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接 OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．