专题03 充分条件与必要条件讲义——2026届高三数学一轮复习回归教材版微专题

2026届高三一轮复习回归教材版微专题——常用逻辑用语篇 专题03 充分条件与必要条件 全称量词与存在量词 回归教材不是简单的重复，而是要注意挖掘教材的典型例题习题的内在价值，开展变式教学，多维度拓展。本专题分两部分：第一部分是回归教材的例题及典型习题，并针对教材习题的开展变式跟踪训练，每道例题、习题配备了至少5到跟踪训练试题，进行多方位的测试；第二部分是针对本部分内容的综合测试卷，该资料对于巩固学生的“四基”、提高学生的“四能”、落实考教衔接，可以起到事半功倍的效果。 回归教材： 考点1：充分条件的判断 人教A版（2019年）必修一P18页例1： 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ （1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若四边形为菱形，则这个四边形对角线互相垂直； （4）若，则； （5）若，则； （6）若x，y为无理数，则为无理数. 方法总结： 判断充分条件的注意事项： 定义理解：若，则p是q的充分条件 。要明确是 “p能推出q”，即当p成立时，q一定成立。比如 “若，则”，这个条件满足时，必然成立，所以是的充分条件。 借助集合：从集合角度看，若p对应的集合A是q对应的集合B的子集（），则p是q的充分条件 。例如p：，q：，，所以p是q的充分条件，判断时可借助集合包含关系辅助分析。 【变式训练1】下列命题中，p是q充分条件的是（ ） A. 若，则 B. 若两个角是对顶角，则这两个角相等 C. 若a，b为无理数，则ab为无理数 D. 若四边形一组对边平行，则这个四边形是平行四边形 【变式训练2】（多选）下列命题中，p是q充分条件的有（ ） A. 若四边形是正方形，则四边形是菱形 B. 若，则 C. 若，则且 D. 若三角形三边相等，则三角形是等边三角形 【变式训练3】（多选）以下命题中，p是q充分条件的是（ ） A. 若四边形对角线互相平分，则四边形是平行四边形 B. 若两个三角形两角分别相等，则这两个三角形相似 C. 若x为实数，则x为有理数 D. 若，则 考点2：必要条件的判断 人教A版（2019年）必修一P19页例2： 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ （1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； （4）若，则； （5）若，则； （6）若为无理数，则x，y为无理数. 方法总结： 判断必要条件的注意事项： 定义把握：若，则p是q的必要条件 ，即q成立时p必须成立，p是q成立的 “必要前提”。如 “若，则” 不成立，但 “若，则” 成立，所以是的必要条件，因为成立时一定成立。 集合视角：若q对应的集合B是p对应的集合A的子集（），则p是q的必要条件 。比如p：，q：，，所以p是q的必要条件，利用集合包含关系能更清晰判断。 反向推导：必要条件是从结论推条件，要注意推导方向。比如判断 “x是实数” 是 “x是有理数” 的什么条件，因为 “x是有理数” 能推出 “x是实数”，所以 “x是实数” 是 “x是有理数” 的必要条件，要准确把握这种反向的推出关系。 【变式训练1】下列命题中，q是p必要条件的是（ ） A. 若四边形是矩形，则四边形对角线互相垂直 B. 若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等 C. 若，则 D. 若ab是有理数，则a，b是有理数 【变式训练2】（多选）下列命题中，q是p必要条件的有（ ） A. 若四边形是正方形，则四边形是平行四边形 B. 若两个三角形相似，则这两个三角形的对应角相等 C. 若四边形对角线相等，则四边形是矩形 D. 若，则 【变式训练3】（多选）以下命题中，q是p必要条件的是（ ） A. 若四边形是菱形，则四边形的对角线互相平分 B. 若两个三角形全等，则这两个三角形的三边成比例 C. 若，则 D. 若ab是无理数，则a，b是无理数 考点3：充要条件的判断 人教A版（2019年）必修一P21页例3： 下列各题中，哪些p是q的充要条件？ （1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分； （2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； （3）p：，q：，； （4）p：是一元二次方程的一个根，q：（）. 方法总结： 判断充要条件的注意事项： 等价推导：充要条件要求，即p能推出q且q能推出p ，两者相互等价。例如 “三角形三边相等” 与 “三角形三角相等”，三边相等能推出三角相等，三角相等也能推出三边相等，所以它们互为充要条件，判断时需双向推导验证。 集合等价：从集合看，若p对应的集合A与q对应的集合B相等（），则p是q的充要条件 。比如p：x是偶数且x是质数，q：，对应的集合，，所以p和q互为充要条件，可借助集合相等辅助判断。 严谨验证：不能只验证一个方向就判定为充要条件。比如有人认为 “” 和 “” 是充要条件，但实际上时x可能小于0，即 “” 不能推出 “”，所以不是充要条件，必须双向严格推导。 【变式训练1】下列各题中，p是q充要条件的是（ ） A.p：四边形是矩形，q：四边形对角线相等 B.p：两直线平行，q：同位角相等 C.p：，q： D.p：，q：且 【变式训练2】（多选）下列命题中，p是q充要条件的有（ ） A.p：三角形是等边三角形，q：三角形三边相等 B.p：一元二次方程有两个相等实数根，q：判别式 C.p：，q：且 D.p：四边形是平行四边形，q：四边形两组对边分别平行 【变式训练3】（多选）以下各题中，p是q充要条件的是（ ） A.p：两个角是对顶角，q：两个角相等 B.p：，q： C.p：函数是二次函数，q： D.p：四边形对角线互相垂直，q：四边形是菱形 考点4：充要条件的证明 人教A版（2019年）必修一P22页例4： 已知：的半径为r，圆心O到直线l的距离为d. 求证：是直线l与相切的充要条件. 方法总结： 充要条件证明的基本步骤及策略 充要条件证明需分两步：先找出条件与结论，条件推结论，证明充分性（p⇒q），结论推条件，证明必要性（q⇒p） 常用策略：1. 明确条件与结论，区分 p、q 对应的命题；2. 充分性从 p 出发，用定义、定理推导 q 成立；3. 必要性从 q 逆向推导 p，注意逻辑链完整；4. 可用等价命题转化，如证明 ¬q⇒¬p 代替 p⇒q；5. 结合集合关系辅助验证（A=B 则充要）；6. 避免循环论证，确保每步可逆。 【变式训练1】已知：在平面直角坐标系中，⊙C的半径为2，圆心C到直线m的距离为h。求证：是直线m与⊙C相切的充要条件。解析过程 【变式训练2】已知：菱形ABCD的对角线长分别为，（），定义 “菱形的贴近度” 为。求证：是菱形ABCD为正方形的充要条件。 考点5：集合与充分、必要条件的关系 人教A版（2019年）必修一P23页第4题： 已知A={满足条件p},B={满足条件q}, (1)如果,那么p是q的什么条件? (2)如果,那么p是q的什么条件? (3)如果,那么p是q的什么条件? 方法总结： 集合与充分、必要条件的关系：若 p 对应集合 A，q 对应集合 B，若p是q的充分条件，则A⊆B；若p是q的必要条件，则B⊆A； 若p是q的充要条件，则A=B。 解题策略：1. 先将条件转化为集合；2. 利用子集关系判断：小推大（充分），大推小（必要）； 3. 含参数时，结合数轴分析集合边界，注意端点值验证；4. 否定条件可转化为补集关系分析，通过集合直观化条件逻辑，简化推理。 【变式训练1】已知满足条件，满足条件，若（A是B的真子集），则p是q的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【变式训练2】已知满足条件，满足条件，下列说法能推出 “p是q必要条件” 的有（ ） A.  B.  C.   D.  【变式训练3】已知满足条件，满足条件，关于p与q的条件关系，判断正确的有（ ） A. 若，则p是q的充要条件 B. 若，则p是q的必要不充分条件 C. 若，则p是q的充分不必要条件 D. 若A与B无包含关系，则p是q的既不充分也不必要条件 考点6：全称量词命题、存在量词命题真假性的判断 人教A版（2019年）必修一P27页例1： 例1判断下列全称量词命题的真假： （1）所有的素数①都是奇数； （2），； （3）对任意一个无理数x，也是无理数. 人教A版（2019年）必修一28页例2： 判断下列存在量词命题的真假： （1）有一个实数x，使； （2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； （3）有些平行四边形是菱形. 方法总结 判断全称量词、存在量词及其真假的注意事项 量词识别：全称量词如 “所有” “任意” “一切” 等，符号表示为；存在量词如 “存在” “至少有一个” “有些” 等，符号表示为 。在题目中要准确识别这些关键词，判断是全称量词命题还是存在量词命题。比如 “所有正方形都是矩形” 含全称量词，是全称量词命题；“存在一个数是质数且是偶数” 含存在量词，是存在量词命题。 命题真假判断：全称量词命题：要判断是否对给定集合中所有元素都成立 。若能找到一个反例，即存在一个元素不满足命题结论，那么全称量词命题为假。例如 “所有实数的平方都大于0”，因为0的平方是0，存在反例，所以该命题为假。存在量词命题：只要在给定集合中能找到至少一个元素满足命题结论，命题就为真 。比如 “存在实数x，使得”，因为或时满足，所以该命题为真。 【变式训练1】判断下列全称量词命题的真假，假命题是（ ） A. 所有偶数都能被 2 整除 B. ， C. 任意菱形的对角线都互相垂直 D. 对任意无理数x，也是无理数 【变式训练2】下列全称量词命题为真命题的有（ ） A. 所有正三角形的内角都为 B. ， C. 任意梯形的对角线都相等 D. 对任意实数x， 【变式训练3】判断下列存在量词命题的真假，真命题有（ ） A. 不存在实数x，使 B. 平面内存在两条直线，既垂直又相交 C. 有些平行四边形是正方形 D. 存在实数x，使为有理数 考点7：全称量词命题、存在量词命题的否定 人教A版（2019年）必修一P29页例3： 写出下列全称量词命题的否定： （1）所有能被3整除的整数都是奇数； （2）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上； （3）对任意，的个位数字不等于3. 人教A版（2019年）必修一P30页例4： 写出下列存在量词命题的否定： （1），； （2）有的三角形是等边三角形； （3）有一个偶数是素数 人教A版（2019年）必修一P31页例5： 写出下列命题的否定，并判断真假： （1）任意两个等边三角形都相似； （2）， 方法总结： 全称量词、存在量词命题否定的注意事项 量词转换：全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题 ，即与相互转换。例如 “，” 的否定是 “，”；“，x是偶数” 的否定是 “，x不是偶数”。 结论否定：除了量词转换，命题的结论也要否定 。要注意对结论的准确否定，比如 “” 的否定是 “”，“x是正数” 的否定是 “x不是正数（即）” 。例如全称量词命题 “所有学生都及格了”，否定时量词变为 “存在”，结论变为 “有学生没及格”，即 “学生，没及格”。 【变式训练1】命题 “，是奇数” 的否定是（ ） A. ，不是奇数 B. ，是奇数 C. ，不是奇数 D. ，不是奇数 【变式训练2】下列对存在量词命题否定的表述，正确的有（ ） A. 命题 “，” 的否定是 “，” B. 命题 “有的平行四边形是矩形” 的否定是 “所有平行四边形都不是矩形” C. 命题 “，x为偶数” 的否定是 “，x不为偶数” D. 命题 “，” 的否定是 “，” 【变式训练3】已知命题p：，，命题q：，，关于它们否定的说法正确的有（ ） A. 命题p的否定是 “，” B. 命题q的否定是 “，” C. 命题p的否定是假命题 D. 命题q的否定是真命题 综合测试： 03 充分条件与必要条件 全称量词与存在量词测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．下列命题中是存在量词命题的是（   ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．对任意一个无理数x，也是无理数 D．有一个偶数是素数 3．已知命题p：“，”，则命题p的真假及命题p的否定分别为（   ） A．真命题，， B．真命题，， C．假命题，， D．假命题，， 4．下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为无理数，则为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 5．下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形 C．对任意实数、，“是无理数”是“为无理数”的充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件 6．下列各题中，是的充要条件的是（    ） A． B． C．：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直且平分 D．：两个三角形全等，：两个三角形三边对应相等 7．在下列哪些命题中p是q的充要条件（    ） A．四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直平分 B．两个三角形相似，两个三角形三边成比例 C．为空集，与B之一为空集 D．三角形是等腰三角形，三角形是等边三角形 8．下列命题为真命题的是（     ） A．“点P到圆心O的距离大于圆的半径”是“点P在外”的必要不充分条件 B．“两个三角形的面积相等”是“这两个三角形全等”的充分不必要条件 C．“三角形是等腰三角形”是“三角形是等边三角形”的充要条件 D．“，为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选题）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有（    ） A．， B．所有的正方形都是矩形 C．， D．至少有一个实数，使 10．下列命题正确的是（   ） A．命题“”的否定是“” B．的充要条件是 C． D．是的充分条件 11．下列叙述正确的是（     ） A．， B．命题“，”的否定是“，或” C．命题“，”的否定是真命题 D．设x，，则“且”是“”的必要不充分条件 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设命题，，则 . 13．设，则是复数与复数相等的 条件． 14．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知，． (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16．已知集合，集合． (1)求； (2)已知，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 17．已知集合，． (1)若，求； (2)是否存在实数a，使得“”是“”成立的______，若存在，求实数a的取值范围，若不存在，请说明理由．从①充分不必要条件和②必要不充分条件中任选一个，填在上面横线上，将该问题补充完整，并进行作答．若两个都选，则按第一个作答进行给分． 18．设命题，使得不等式恒成立；命题使得不等式成立. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)①写出命题q的否定；②若命题q为假命题，求实数x的取值范围. 19．已知集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026届高三一轮复习回归教材版微专题——常用逻辑用语篇 专题03 充分条件与必要条件 全称量词与存在量词 回归教材不是简单的重复，而是要注意挖掘教材的典型例题习题的内在价值，开展变式教学，多维度拓展。本专题分两部分：第一部分是回归教材的例题及典型习题，并针对教材习题的开展变式跟踪训练，每道例题、习题配备了至少5到跟踪训练试题，进行多方位的测试；第二部分是针对本部分内容的综合测试卷，该资料对于巩固学生的“四基”、提高学生的“四能”、落实考教衔接，可以起到事半功倍的效果。 回归教材： 考点1：充分条件的判断 人教A版（2019年）必修一P18页例1： 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ （1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若四边形为菱形，则这个四边形对角线互相垂直； （4）若，则； （5）若，则； （6）若x，y为无理数，则为无理数. 解：（1）这是一条平行四边形的判定定理，，所以p是q的充分条件. （2）这是一条相似三角形的判定定理，，所以p是q的充分条件. （3）这是一条菱形的性质定理，，所以p是q的充分条件. （4）由于，但，，所以p不是q的充分条件. （5）由等式的性质知，，所以p是q的充分条件 （6）为无理数，但为有理数，，所以p不是q的充分条件. 方法总结： 判断充分条件的注意事项： 定义理解：若，则p是q的充分条件 。要明确是 “p能推出q”，即当p成立时，q一定成立。比如 “若，则”，这个条件满足时，必然成立，所以是的充分条件。 借助集合：从集合角度看，若p对应的集合A是q对应的集合B的子集（），则p是q的充分条件 。例如p：，q：，，所以p是q的充分条件，判断时可借助集合包含关系辅助分析。 【变式训练1】下列命题中，p是q充分条件的是（ ） A. 若，则 B. 若两个角是对顶角，则这两个角相等 C. 若a，b为无理数，则ab为无理数 D. 若四边形一组对边平行，则这个四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】A 选项：由，可得或 ，即，所以p不是q的充分条件。B 选项：根据对顶角的定义，对顶角一定相等，即，所以p是q的充分条件。C 选项：当，时，a，b是无理数，但是有理数 ，即，所以p不是q的充分条件。D 选项：一组对边平行的四边形可能是梯形，不一定是平行四边形，即，所以p不是q的充分条件。答案：B 【变式训练2】（多选）下列命题中，p是q充分条件的有（ ） A. 若四边形是正方形，则四边形是菱形 B. 若，则 C. 若，则且 D. 若三角形三边相等，则三角形是等边三角形 【答案】ABD 【解析】A 选项：正方形是特殊的菱形（菱形是四边相等的平行四边形，正方形满足四边相等且是平行四边形），所以若四边形是正方形，则一定是菱形，即，p是q的充分条件。B 选项：当时，，即，p是q的充分条件。C 选项：当，时，，但 ，即，p不是q的充分条件。D 选项：三边相等的三角形就是等边三角形，即，p是q的充分条件。答案：ABD 【变式训练3】（多选）以下命题中，p是q充分条件的是（ ） A. 若四边形对角线互相平分，则四边形是平行四边形 B. 若两个三角形两角分别相等，则这两个三角形相似 C. 若x为实数，则x为有理数 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】A 选项：根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，即，p是q的充分条件。B 选项：两角分别相等的两个三角形相似，这是相似三角形的判定定理，即，p是q的充分条件。C选项：实数包括有理数和无理数，当x是无理数时，x是实数但不是有理数，即，p不是q的充分条件。D 选项：若，那么它们的绝对值必然相等，即，p是q的充分条件。答案：ABD。 考点2：必要条件的判断 人教A版（2019年）必修一P19页例2： 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ （1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； （4）若，则； （5）若，则； （6）若为无理数，则x，y为无理数. 解：（1）这是平行四边形的一条性质定理，，所以，q是p的必要条件. （2）这是三角形相似的一条性质定理，，所以，q是p的必要条件. （3）如图1.4-1，四边形的对角线互相垂直，但它不是菱形，，所以，q不是p的必要条件. （4）显然，，所以，q是p必要条件. （5）由于，但，，所以，q不是p的必要条件. （6）由于为无理数，但1，不全是无理数，，所以，q不是p的必要条件. 方法总结： 判断必要条件的注意事项： 定义把握：若，则p是q的必要条件 ，即q成立时p必须成立，p是q成立的 “必要前提”。如 “若，则” 不成立，但 “若，则” 成立，所以是的必要条件，因为成立时一定成立。 集合视角：若q对应的集合B是p对应的集合A的子集（），则p是q的必要条件 。比如p：，q：，，所以p是q的必要条件，利用集合包含关系能更清晰判断。 反向推导：必要条件是从结论推条件，要注意推导方向。比如判断 “x是实数” 是 “x是有理数” 的什么条件，因为 “x是有理数” 能推出 “x是实数”，所以 “x是实数” 是 “x是有理数” 的必要条件，要准确把握这种反向的推出关系。 【变式训练1】下列命题中，q是p必要条件的是（ ） A. 若四边形是矩形，则四边形对角线互相垂直 B. 若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等 C. 若，则 D. 若ab是有理数，则a，b是有理数 【答案】B 【解析】A 选项：矩形对角线相等但不一定垂直，即，q不是p的必要条件。B 选项：全等三角形面积一定相等（全等三角形对应边、对应高相等，面积公式推导得面积相等 ），，q是p的必要条件。C 选项：时，即，q不是p的必要条件。D 选项：如，，是有理数，但a，b是无理数，即，q不是p的必要条件。答案：B 【变式训练2】（多选）下列命题中，q是p必要条件的有（ ） A. 若四边形是正方形，则四边形是平行四边形 B. 若两个三角形相似，则这两个三角形的对应角相等 C. 若四边形对角线相等，则四边形是矩形 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】A 选项：正方形是特殊的平行四边形，若四边形是正方形（p），则一定是平行四边形（q），，q是p的必要条件。B 选项：相似三角形对应角相等（相似三角形性质），若两个三角形相似（p），则对应角相等（q），，q是p的必要条件。C 选项：对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形对角线相等但不是矩形 ），即，q不是p的必要条件。D 选项：当时，，，q是p的必要条件。答案：ABD 【变式训练3】（多选）以下命题中，q是p必要条件的是（ ） A. 若四边形是菱形，则四边形的对角线互相平分 B. 若两个三角形全等，则这两个三角形的三边成比例 C. 若，则 D. 若ab是无理数，则a，b是无理数 【答案】B 【解析】A 选项：菱形是平行四边形，平行四边形对角线互相平分，所以若四边形是菱形（p），则对角线互相平分（q），，q是p的必要条件。B 选项：全等三角形三边一定成比例（比例为 ），若两个三角形全等（p），则三边成比例（q），，q是p的必要条件。C 选项：若，则成立，，q是p的必要条件。D 选项：如（有理数），（无理数），是无理数，但a是有理数，即，q不是p的必要条件。答案：ABC 考点3：充要条件的判断 人教A版（2019年）必修一P21页例3： 下列各题中，哪些p是q的充要条件？ （1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分； （2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； （3）p：，q：，； （4）p：是一元二次方程的一个根，q：（）. 解：（1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形（为什么），所以，所以p不是q的充要条件. （2）因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即，所以p是q的充要条件. （3）因为时，，不一定成立（为什么），所以，所以p不是q的充要条件. （4）因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即，所以p是q的充要条件. 方法总结： 判断充要条件的注意事项： 等价推导：充要条件要求，即p能推出q且q能推出p ，两者相互等价。例如 “三角形三边相等” 与 “三角形三角相等”，三边相等能推出三角相等，三角相等也能推出三边相等，所以它们互为充要条件，判断时需双向推导验证。 集合等价：从集合看，若p对应的集合A与q对应的集合B相等（），则p是q的充要条件 。比如p：x是偶数且x是质数，q：，对应的集合，，所以p和q互为充要条件，可借助集合相等辅助判断。 严谨验证：不能只验证一个方向就判定为充要条件。比如有人认为 “” 和 “” 是充要条件，但实际上时x可能小于0，即 “” 不能推出 “”，所以不是充要条件，必须双向严格推导。 【变式训练1】下列各题中，p是q充要条件的是（ ） A.p：四边形是矩形，q：四边形对角线相等 B.p：两直线平行，q：同位角相等 C.p：，q： D.p：，q：且 【答案】B 【解析】A 选项：对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形对角线相等），，不是充要条件；B 选项：两直线平行⇨同位角相等（平行线性质），同位角相等⇨两直线平行（平行线判定），，是充要条件；C 选项：时，，不是充要条件；D 选项：时，a、b可能同为负，，不是充要条件。答案：B 【变式训练2】（多选）下列命题中，p是q充要条件的有（ ） A.p：三角形是等边三角形，q：三角形三边相等 B.p：一元二次方程有两个相等实数根，q：判别式 C.p：，q：且 D.p：四边形是平行四边形，q：四边形两组对边分别平行 【答案】ABD 【解析】A 选项：等边三角形定义为三边相等的三角形，三边相等的三角形是等边三角形，，是充要条件；B 选项：一元二次方程，有两个相等实数根，，是充要条件；C 选项：时，可能，（不满足q），，不是充要条件；D 选项：平行四边形定义为两组对边分别平行的四边形，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，，是充要条件。答案：ABD 【变式训练3】（多选）以下各题中，p是q充要条件的是（ ） A.p：两个角是对顶角，q：两个角相等 B.p：，q： C.p：函数是二次函数，q： D.p：四边形对角线互相垂直，q：四边形是菱形 【答案】BC 【解析】A 选项：对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角（如两直线平行，同位角相等），，不是充要条件；B 选项：，，是充要条件；C 选项：二次函数定义要求，时函数是二次函数，，是充要条件；D 选项：菱形对角线互相垂直，但对角线互相垂直的四边形不一定是菱形（如筝形），，不是充要条件。答案：BC 考点4：充要条件的证明 人教A版（2019年）必修一P22页例4： 已知：的半径为r，圆心O到直线l的距离为d. 求证：是直线l与相切的充要条件. 证明：设p：，q：直线l与相切. （1）充分性（）：如图1.4-2，作于点P，则.若，则点P在上.在直线l上任取一点Q（异于点P），连接.在中，.所以，除点P外直线l上的点都在的外部，即直线l与仅有一个公共点P.所以直线l与相切. （2）必要性（）：若直线l与相切，不妨设切点为P，则.因此，. 由（1）（2）可得，是直线l与相切的充要条件. 方法总结： 充要条件证明的基本步骤及策略 充要条件证明需分两步：先找出条件与结论，条件推结论，证明充分性（p⇒q），结论推条件，证明必要性（q⇒p） 常用策略：1. 明确条件与结论，区分 p、q 对应的命题；2. 充分性从 p 出发，用定义、定理推导 q 成立；3. 必要性从 q 逆向推导 p，注意逻辑链完整；4. 可用等价命题转化，如证明 ¬q⇒¬p 代替 p⇒q；5. 结合集合关系辅助验证（A=B 则充要）；6. 避免循环论证，确保每步可逆。 【变式训练1】已知：在平面直角坐标系中，⊙C的半径为2，圆心C到直线m的距离为h。求证：是直线m与⊙C相切的充要条件。解析过程 证明：设p：，q：直线m与⊙C相切。需分别证明充分性（）和必要性（）。 充分性（）：作直线m于点D，则。若（⊙C半径为2），则点D在⊙C上。 在直线m上任取一点E（异于D），连接CE。在中，，即点E在⊙C外。 因此，直线m与⊙C仅有一个公共点D，直线m与⊙C相切。 必要性（）：若直线m与⊙C相切，设切点为D，则直线m（切线性质）。 此时CD为圆心C到直线m的距离h，且CD等于⊙C半径2，即。综上，是直线m与⊙C相切的充要条件。 【变式训练2】已知：菱形ABCD的对角线长分别为，（），定义 “菱形的贴近度” 为。求证：是菱形ABCD为正方形的充要条件。 证明：设p：，q：菱形ABCD为正方形。需证明充分性（）和必要性（）。 充分性（）：若，则。因为，所以，因此，即。 菱形对角线，，当时，对角线相等。菱形对角线相等时，菱形为正方形，故菱形ABCD为正方形。 必要性（）：若菱形ABCD为正方形，则其对角线相等，即。因为，， 所以，即。代入 “贴近度” 公式：。 综上，是菱形ABCD为正方形的充要条件。 考点5：集合与充分、必要条件的关系 人教A版（2019年）必修一P23页第4题： 已知A={满足条件p},B={满足条件q}, (1)如果,那么p是q的什么条件? (2)如果,那么p是q的什么条件? (3)如果,那么p是q的什么条件? 【答案】(1)充分条件;(2)必要条件;(3)充要条件. 【分析】(1) 根据集合间的基本关系判断和的包含关系再即可. (2) 根据集合间的基本关系判断和的包含关系再即可. (3) 根据集合间的基本关系判断和的包含关系再即可. 【详解】(1)如果,则满足条件p也满足条件q.故p是q的充分条件. (2)如果,则满足条件q也满足条件p.故p是q的必要条件. (3)如果,则满足条件p满足条件q,且满足条件q也满足条件p.故p是q的充要条件. 方法总结： 集合与充分、必要条件的关系：若 p 对应集合 A，q 对应集合 B，若p是q的充分条件，则A⊆B；若p是q的必要条件，则B⊆A； 若p是q的充要条件，则A=B。 解题策略：1. 先将条件转化为集合；2. 利用子集关系判断：小推大（充分），大推小（必要）； 3. 含参数时，结合数轴分析集合边界，注意端点值验证；4. 否定条件可转化为补集关系分析，通过集合直观化条件逻辑，简化推理。 【变式训练1】已知满足条件，满足条件，若（A是B的真子集），则p是q的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】由，说明满足p的元素一定满足q（），但满足q的元素不一定满足p（）。符合 “充分不必要条件” 的定义（充分条件：；不必要： ）。答案：A 【变式训练2】已知满足条件，满足条件，下列说法能推出 “p是q必要条件” 的有（ ） A.  B.  C.   D.  【答案】ABD 【解析】必要条件定义：，对应集合关系为（满足q的元素都在A中，即满足q则满足p ）。A 选项：等价于，符合；B 选项：，直接符合；C选项：对应p是q的充分不必要条件，不符合。D选项：时，且，包含的情况，符合；答案：ABD 【变式训练3】已知满足条件，满足条件，关于p与q的条件关系，判断正确的有（ ） A. 若，则p是q的充要条件 B. 若，则p是q的必要不充分条件 C. 若，则p是q的充分不必要条件 D. 若A与B无包含关系，则p是q的既不充分也不必要条件 【答案】AD 【解析】A 选项：时，（互相推导），充要条件，正确；B 选项：时，但，充分不必要，错误；C 选项：时，但，必要不充分，错误；D 选项：无包含关系时，p无法推出q，q也无法推出p，既不充分也不必要，正确。答案：AD 考点6：全称量词命题、存在量词命题真假性的判断 人教A版（2019年）必修一P27页例1： 例1判断下列全称量词命题的真假： （1）所有的素数①都是奇数； （2），； （3）对任意一个无理数x，也是无理数. 解：（1）2是素数，但2不是奇数.所以，全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题. （2），总有，因而.所以，全称量词命题“，”是真命题. （3）是无理数，但是有理数.所以，全称量词命题“对每一个无理数x，也是无理数”是假命题. 人教A版（2019年）必修一28页例2： 判断下列存在量词命题的真假： （1）有一个实数x，使； （2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； （3）有些平行四边形是菱形. 解：（1）由于，因此一元二次方程无实根.所以，存在量词命题“有一个实数x，使”是假命题 （2）由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线.所以，存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题. （3）由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题. 方法总结 判断全称量词、存在量词及其真假的注意事项 量词识别：全称量词如 “所有” “任意” “一切” 等，符号表示为；存在量词如 “存在” “至少有一个” “有些” 等，符号表示为 。在题目中要准确识别这些关键词，判断是全称量词命题还是存在量词命题。比如 “所有正方形都是矩形” 含全称量词，是全称量词命题；“存在一个数是质数且是偶数” 含存在量词，是存在量词命题。 命题真假判断：全称量词命题：要判断是否对给定集合中所有元素都成立 。若能找到一个反例，即存在一个元素不满足命题结论，那么全称量词命题为假。例如 “所有实数的平方都大于0”，因为0的平方是0，存在反例，所以该命题为假。存在量词命题：只要在给定集合中能找到至少一个元素满足命题结论，命题就为真 。比如 “存在实数x，使得”，因为或时满足，所以该命题为真。 【变式训练1】判断下列全称量词命题的真假，假命题是（ ） A. 所有偶数都能被 2 整除 B. ， C. 任意菱形的对角线都互相垂直 D. 对任意无理数x，也是无理数 【答案】D 【解析】A 选项：偶数定义为能被 2 整除的整数，所有偶数都能被 2 整除，是真命题。B 选项：因为，所以，对任意实数x都成立，是真命题。C 选项：菱形的性质定理 “菱形的对角线互相垂直”，任意菱形都满足，是真命题。D 选项：取无理数，则是有理数，存在反例，是假命题。答案：D 【变式训练2】下列全称量词命题为真命题的有（ ） A. 所有正三角形的内角都为 B. ， C. 任意梯形的对角线都相等 D. 对任意实数x， 【答案】ABD 【解析】A 选项：正三角形的性质是三个内角均为，所有正三角形都满足，是真命题。B 选项：整数的平方是非负的，即，恒成立，是真命题。C 选项：梯形中，只有等腰梯形的对角线相等，一般梯形（非等腰）对角线不相等，存在反例，是假命题。D 选项：因为，所以，对任意实数x都成立，是真命题。答案：ABD 【变式训练3】判断下列存在量词命题的真假，真命题有（ ） A. 不存在实数x，使 B. 平面内存在两条直线，既垂直又相交 C. 有些平行四边形是正方形 D. 存在实数x，使为有理数 【答案】BCD 【解析】A 选项：方程可化为，解得，存在这样的实数，是假命题。B 选项：平面内，两条互相垂直的直线（如直角坐标系的x轴与y轴）既垂直又相交，存在这样的直线，是真命题。C 选项：正方形是特殊的平行四边形（邻边相等且有一个直角的平行四边形），存在这样的平行四边形（如正方形），是真命题。D 选项：取，是有理数；或取，是有理数，存在这样的实数，是真命题。答案：BCD 考点7：全称量词命题、存在量词命题的否定 人教A版（2019年）必修一P29页例3： 写出下列全称量词命题的否定： （1）所有能被3整除的整数都是奇数； （2）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上； （3）对任意，的个位数字不等于3. 解：（1）该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数. （2）该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上. （3）该命题的否定：，的个位数字等于3. 人教A版（2019年）必修一P30页例4： 写出下列存在量词命题的否定： （1），； （2）有的三角形是等边三角形； （3）有一个偶数是素数 解： （1）该命题的否定：，. （2）该命题否定：所有的三角形都不是等边三角形. （3）该命题的否定：任意一个偶数都不是素数. 人教A版（2019年）必修一P31页例5： 写出下列命题的否定，并判断真假： （1）任意两个等边三角形都相似； （2）， 解：（1）该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似.因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似.因此这是一个假命题. （2）该命题的否定：，.因为对任意，， 所以这是一个真命题. 方法总结： 全称量词、存在量词命题否定的注意事项 量词转换：全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题 ，即与相互转换。例如 “，” 的否定是 “，”；“，x是偶数” 的否定是 “，x不是偶数”。 结论否定：除了量词转换，命题的结论也要否定 。要注意对结论的准确否定，比如 “” 的否定是 “”，“x是正数” 的否定是 “x不是正数（即）” 。例如全称量词命题 “所有学生都及格了”，否定时量词变为 “存在”，结论变为 “有学生没及格”，即 “学生，没及格”。 【变式训练1】命题 “，是奇数” 的否定是（ ） A. ，不是奇数 B. ，是奇数 C. ，不是奇数 D. ，不是奇数 【答案】C 【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题，原命题 “，是奇数” 的否定为 “，不是奇数”，所以选 C。 【变式训练2】下列对存在量词命题否定的表述，正确的有（ ） A. 命题 “，” 的否定是 “，” B. 命题 “有的平行四边形是矩形” 的否定是 “所有平行四边形都不是矩形” C. 命题 “，x为偶数” 的否定是 “，x不为偶数” D. 命题 “，” 的否定是 “，” 【答案】BCD 【解析】A 选项：存在量词命题否定遵循 “变，结论否定”，原命题否定后为 “，”，形式错误；B 选项：“有的平行四边形是矩形” 是存在量词命题，否定后为全称量词命题 “所有平行四边形都不是矩形”，符合规则；C 选项：“，x为偶数” 否定后为 “，x不为偶数”，符合存在量词命题否定要求；D 选项：“，” 否定后为 “，”，正确。故 BCD 都对。 【变式训练3】已知命题p：，，命题q：，，关于它们否定的说法正确的有（ ） A. 命题p的否定是 “，” B. 命题q的否定是 “，” C. 命题p的否定是假命题 D. 命题q的否定是真命题 【答案】ACD 【解析】A 选项：全称量词命题p的否定为 “，”，符合 “变，结论否定”，形式正确；B 选项：存在量词命题q的否定为 “，”，不符合 “变，结论否定”，形式错误；C 选项：因为，任何实数的平方大于等于0，所以恒成立，即命题p的否定为假命题；D 选项：可变形为，而，任何实数的平方大于等于0，所以恒成立，即命题q的否定为真命题。故 ACD 都对。 综合测试： 03 充分条件与必要条件 全称量词与存在量词测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，但菱形的对角线一定垂直. 【详解】“四边形的对角线互相垂直”无法推出“四边形是菱形”，反之，“四边形是菱形”可以推出“四边形的对角线互相垂直”，所以“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要不充分条件．故选：B． 2．下列命题中是存在量词命题的是（   ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．对任意一个无理数x，也是无理数 D．有一个偶数是素数 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的概念即可判断. 【详解】对于A中含有“所有的”，该命题是全称量词命题；对于B中含有“”，该命题是全称量词命题；对于C中含有“任意一个”，该命题是全称量词命题；对于D中含有“有一个”，该命题是存在量词命题. 3．已知命题p：“，”，则命题p的真假及命题p的否定分别为（   ） A．真命题，， B．真命题，， C．假命题，， D．假命题，， 【答案】B 【分析】求出的解，即可得出命题p的真假，进而写出命题p的否定. 【详解】由题意，在命题p：“，”中，因为，所以或，故命题p为真命题，C，D错误；命题p的否定为“，”，A错误，B正确． 故选：B. 4．下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为无理数，则为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 【答案】A 【分析】根据充分条件的定义依次判断每个选项即可. 【详解】对选项A：若则，故是的必要条件，故A正确；对选项B：若，时，不能得到，故B错误；对选项C：取，满足为无理数，为有理数，故C错误； 对选项D：四边形的对角线互相垂直，则这个四边形不一定是菱形，故D错误；故选：A 5．下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形 C．对任意实数、，“是无理数”是“为无理数”的充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件 【答案】D 【详解】对于A，由不能推出，例：，但，充分性不成立，故A错误；对于B，因为平行四边形不一定是矩形，四边形是平行四边形不能推出其是矩形，四边形是平行四边形不是它是矩形的充分条件，故B错误；对于C，对任意实数，是无理数不能推出为无理数，例如：，是无理数，但是有理数，充分性不成立，故C错误；对于D， 若，则，充分性成立，由不能推出，例如：，满足，但，必要性不成立，是的充分不必要条件，故D正确；故选：D 6．下列各题中，是的充要条件的是（    ） A． B． C．：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直且平分 D．：两个三角形全等，：两个三角形三边对应相等 【答案】D 【分析】根据充要条件的概念判断. 【详解】对于A，当时，满足，所以充分性不成立，反之，当时，可得，所以必要性成立，所以是的必要不充分条件，不符合题意；对于B，当时，可得，即充分性成立，反之，当时，可得，即必要性不成立，所以是的充分不必要条件，不符合题意； 对于C，若四边形是正方形，可得四边形的对角线互相垂直且平分，即充分性成立；反之，若四边形的对角线互相垂直且平分，但四边形不一定是正方形，即必要性不成立，所以是的充分不必要条件，不符合题意；对于D，若两个三角形全等，可得两个三角形三边对应相等，即充分性成立；反之，若两个三角形三边对应相等，可得两个三角形全等，即必要性成立，所以是的充分必要条件，符合题意．选：D． 7．在下列哪些命题中p是q的充要条件（    ） A．四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直平分 B．两个三角形相似，两个三角形三边成比例 C．为空集，与B之一为空集 D．三角形是等腰三角形，三角形是等边三角形 【答案】B 【详解】A：菱形的对角线互相平分，但是当菱形的邻角不相等时，此时四边形不是正方形，所以此命题：p不是q的充要条件，因此本选项不符合题意；B：当两个三角形相似，这两个三角形三边成比例，当两个三角形三边成比例，这两个三角形相似，所以此命题：p是q的充要条件，因此本选项符合题意；C：当时，显然为空集，但是与B都不为空集，所以此命题：p不是q的充要条件，因此本选项不符合题意；D：因为等边三角形是特殊的等腰三角形，所以此命题：p不是q的充要条件，因此本选项不符合题意，故选：B 8．下列命题为真命题的是（     ） A．“点P到圆心O的距离大于圆的半径”是“点P在外”的必要不充分条件 B．“两个三角形的面积相等”是“这两个三角形全等”的充分不必要条件 C．“三角形是等腰三角形”是“三角形是等边三角形”的充要条件 D．“，为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】A. “点P到圆心O的距离大于圆的半径”是“点P在外”的充要条件，选项A错误.B. 若两个直角三角形直角边长分别为和，则两个三角形的面积相等，但不能得到这两个三角形全等，由“两个三角形全等”可得“这两个三角形的面积相等”，故“两个三角形的面积相等”是“这两个三角形全等”的必要不充分条件，选项B错误.C.由“等腰三角形不一定是等边三角形，等边三角形一定是等腰三角形”可得“三角形是等腰三角形”是“三角形是等边三角形”的必要不充分条件，选项C错误.D.若，则，为无理数，但是有理数，若为无理数，则，的值可能分别为，不满足，为无理数，故“，为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件，选项D正确.故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选题）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有（    ） A．， B．所有的正方形都是矩形 C．， D．至少有一个实数，使 【答案】AC 【详解】由题意可知，原命题应为存在量词命题且为假命题，所以首先排除B选项和D选项，对于A，因为，，所以，是假命题，对于C，因为，，所以，是假命题，即A选项和C选项均为存在量词命题且为假命题．故选：AC. 10．下列命题正确的是（   ） A．命题“”的否定是“” B．的充要条件是 C． D．是的充分条件 【答案】AD 【详解】命题“”的否定是“”，A对；当时，但不存在，所以不是的充分条件，B错；当时，，C错；由可得，所以是的充分条件，D对.故选：AD. 11．下列叙述正确的是（     ） A．， B．命题“，”的否定是“，或” C．命题“，”的否定是真命题 D．设x，，则“且”是“”的必要不充分条件 【答案】BC 【详解】对于A：因为，故A不正确；对于B：命题“，”的否定是“，或”，故B正确；对C：命题“，”的否定为：“，”，显然，则命题“，”为真命题，故C正确；对于D：由“且”，得“且”，可以推得出“”，故“且”是“”的充分条件，故D错误；故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设命题，，则 . 【答案】，或， 【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题可得答案. 【详解】由全称量词命题的否定为存在量词命题，可得，，或写成，. 13．设，则是复数与复数相等的 条件． 【答案】必要不充分 【详解】由复数与复数相等有，所以复数与复数相等，反之，复数与复数相等，所以是复数与复数相等必要不充分条件，故答案为：必要不充分. 14．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】不等式，即，因此解集为，若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，有（等号不同时成立），解得，经验证，符合题意. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知，． (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)必要不充分条件（必要条件也正确）；(2) 【分析】（1）根据集合关系判断是的必要不充分条件； （2）根据是的必要不充分条件，得是的真子集，然后根据集合关系列不等式组求解即可. 【详解】（1）当时，，显然是的真子集， 所以是的必要不充分条件（注：必要条件也正确）． （2）若是的必要不充分条件，则是的真子集， 则有或解得，故实数的取值范围为． 16．已知集合，集合． (1)求； (2)已知，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简集合A与B，根据并集的定义求解即可. （2）根据是的充分不必要条件，得B是C的真子集，由此得出实数a的取值范围． 【详解】（1）集合， ，所以. （2），由是的充分不必要条件，得集合B是C的真子集，又，所以，解得，所以实数a的取值范围是. 17．已知集合，． (1)若，求； (2)是否存在实数a，使得“”是“”成立的______，若存在，求实数a的取值范围，若不存在，请说明理由．从①充分不必要条件和②必要不充分条件中任选一个，填在上面横线上，将该问题补充完整，并进行作答．若两个都选，则按第一个作答进行给分． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】(1)将代入集合，分别求出集合与集合，根据集合运算法则即可求出； (2)先求出集合，再分别分析，若“”是“”成立得充分不必要条件，则则A是B的真子集，“”是“”成立的必要不充分条件，则B是A的真子集，再根据集合之间的关系可求； 【详解】（1）若，则，， 所以，所以； （2）， 选①，“”是“”成立的充分不必要条件，则A是B的真子集． 所以．所以存在实数a，实数a的取值范围是； 选②，“”是“”成立的必要不充分条件，则B是A的真子集． 所以，解集为空集，所以不存在实数a，使得“”是“”成立的必要不充分条件. 18．设命题，使得不等式恒成立；命题使得不等式成立. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)①写出命题q的否定；②若命题q为假命题，求实数x的取值范围. 【答案】(1) (2)①，不等式成立；② 【分析】（1）将问题转换为，即可. （2）①由命题的否定的定义即可得解；②将问题转换为，即可. 【详解】（1）若p为真命题，即，使得不等式成立，则对于，即可.由于函数在区间上单调递增，所以时，，则. （2）①q的否定为：，不等式成立 ②若q为假命题，则“，不等式成立”为真命题，那么对于，即可.由于，， ∴，解得。 19．已知集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得是的真子集，然后根据真子集关系列不等式组求解即可. （2）由已知条件得集合的关系，然后按照和分类讨论，根据子集关系列不等式组求解即可. （3）方法一：由题意，然后根据集合关系列不等式组求解即可． 方法二：由题意，先求时的取值范围，求解时按照和分类讨论，根据集合关系列不等式组求解，最后利用补集思想求解即可. 【详解】（1）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得，所以实数的取值范围为． （2）若命题“，都有”是真命题，则是的子集． 当时，满足，此时，得； 当时，若，则，不等式组无解．综上，实数的取值范围为． （3）方法一：“，”是真命题，则，所以，所以． 所以，解得，所以实数的取值范围为． 方法二：“，”是真命题，则．当时，若，则； 若，则或，解得． 综上，当时，．所以当时，，即实数的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $$