专题01 集合的概念与集合间的基本关系回归教材版微专题 讲义——2026届高三数学一轮复习

2026届高三一轮复习回归教材版微专题——集合篇 专题01 集合的概念与集合间的基本关系 回归教材不是简单的重复，而是要注意挖掘教材的典型例题习题的内在价值，开展变式教学，多维度拓展。本专题分两部分：第一部分是回归教材的例题及典型习题，并针对教材习题的开展变式跟踪训练，每道例题、习题配备了至少5到跟踪训练试题，进行多方位的测试；第二部分是针对本部分内容的综合测试卷，该资料对于巩固学生的“四基”、提高学生的“四能”、落实考教衔接，可以起到事半功倍的效果。 回归教材： 考点1：集合的表示 1、人教A版（2019年）必修一P3页例1： 用列举法表示下列集合： （1）小于10的所有自然数组成的集合； （2）方程的所有实数根组成的集合. 方法总结： 列举法表示集合的步骤及注意事项： （1）基本步骤：明确集合元素：先确定所要表示集合中的所有元素，确保不遗漏、不重复。 用大括号包裹元素：将确定好的元素一一列举出来，元素之间用逗号分隔，整体放在大括号 “{}” 内。 （2）注意事项：元素的互异性：集合中的元素必须是互不相同的，若有重复元素，只需写一次。例如，集合 {1,1,2} 应表示为 {1,2}。元素的无序性：列举元素时没有顺序要求，如 {1,2} 和 {2,1} 表示同一个集合。适用范围：通常适用于元素个数较少且可以一一列举的集合。当元素个数较多但有一定规律时，可使用省略号，但要保证规律明确，如 {1,2,3,…,100}。 【变式训练1】与集合相等的集合是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知集合，则的元素个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．0 【变式训练3】已知集合，则集合中所含元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练4】用列举法表示集合为 ． 【变式训练5】用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)既是质数又是偶数的整数组成的集合； (3)一次函数与的图象的交点组成的集合C； (4)中华人民共和国国旗的颜色名称的集合. 2、人教A版（2019年）必修一P4页例2： 试分别用描述法和列举法表示下列集合： （1）方程的所有实数根组成的集合A； （2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合B. 方法总结： 描述法表示集合的步骤及注意事项： （1）基本步骤：确定代表元素：选择一个字母作为集合中元素的代表，通常用 x、y、z 等。 明确元素的共同特征：描述出集合中元素所具有的共同属性或满足的条件。用特定格式表示：将代表元素和元素的共同特征用 “{代表元素 元素的共同特征}” 的形式表示，其中 “” 表示 “满足…… 的条件”。 （2）注意事项 代表元素的明确性：代表元素不同，即使条件相同，所表示的集合也可能不同。例如，表示大于 1 的所有实数组成的集合，而同样表示该集合，但, 则表示横坐标大于1的所有点组成的集合。 特征描述的准确性：要准确清晰地描述元素的特征，避免模糊不清或产生歧义。例如，“是很大的数}” 这种描述是不恰当的，因为 “很大的数” 没有明确的标准。 符号的正确使用：在描述特征时，要正确使用数学符号和语言。例如，表示 “x 是整数” 应写成 “x∈Z”，表示 “x 大于 2 且小于 5” 应写成 “2<x<5”。 适用范围：适用于元素个数较多、无法一一列举但元素具有明显共同特征的集合。 【变式训练1】下列说法正确的是（    ） A．由1，2，3，1，4构成的集合是{1，2，3，1，4} B．满足的构成的集合是 C．全体实数构成的集合是{x|x是实数} D．抛物线上的所有点的坐标构成的集合是 【变式训练2】给出以下集合，其中是相等集合的有（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练3】图中阴影部分（含边界）的点组成的集合用描述法表示为 ． 【变式训练4】不包含， 0， 1的实数集A满足条件：若，则．如果，用列举法表示集合A. 【变式训练5】用适当的方法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)被5除余3的正整数组成的集合； (4)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 考点2：集合的子集及真子集的个数 1、人教A版（2019年）必修一P8页例1： 写出集合的所有子集，并指出哪些是它的真子集. 方法总结：有关结合子集个数的结论及注意事项 (1)结论：含 n 个元素的集合，子集有个，真子集有个（排除自身），非空真子集有 个（排除空集和自身）。 (2)注意事项： 勿忘空集：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 区分子集与真子集：真子集不能包含原集合本身。 元素互异性：列举子集时需保证元素不重复。 特殊集合：空集的子集只有自身。 避免遗漏：可按元素个数从小到大列举子集，确保不重复、不遗漏。 【变式训练1】写出下列集合的子集和真子集，并观察“元素个数”与“子集个数”、“真子集个数”之间存在什么关系？ (1)；(2)；(3) 【变式训练2】设集合，则的真子集的个数是（    ） A．8 B．7 C．4 D．3 【变式训练3】已知a为给定实数，那么集合的非空子集的个数为（    ） A．1 B．3 C．4 D．不确定 【变式训练4】已知集合M满足，则这样的集合M有多少个？并求所有M的元素之和． 【变式训练5】若集合，则集合的真子集的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．15 【变式训练6】已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 ． 考点3：已知集合关系求参数的范围 1、人教A版（2019年）必修一P9页习题1.2第5题： （1）设，若，求的值； （2）已知集合，若，求实数a的取值范围. 方法总结： 优先考虑空集特殊性：若 B⊆A，需分 B=∅和 B≠∅讨论，空集是任何集合的子集。 元素互异性验证：求出参数后，检查集合中元素是否重复，避免违反集合基本性质。 端点值的取与舍：子集关系中，端点是否取等号需严格判断，可代入验证是否满足包含关系。 分类讨论完整性：按集合元素个数或参数范围分段讨论，确保不遗漏情况。 借助数轴辅助：处理数集时，用数轴直观表示包含关系，清晰判断参数边界。 【变式训练1】已知集合，且，则（    ） A． B．1 C． D．0 【变式训练2】已知集合，，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练3】已知，，若集合，则的值为 ． 【变式训练4】已知集合，，若，求实数，的值. 【变式训练5】已知集合，非空集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式训练6】已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练7】设集合，，且，则实数的取值集合为（ ） A． B． C． D． 【变式训练8】设集合，，且，则实数的值是（   ） A．－2 B．0 C．1 D．2 【变式训练9】(多选)已知集合，，且，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【变式训练10】已知关于的一元二次方程有实根对应的取值构成集合，集合. (1)求集合； (2)若，求的取值范围. 综合测试： 01 集合的概念与集合间的基本关系测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则用列举法表示（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则集合中元素的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．已知集合，，若，则x的值可以是（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 4．已知集合，，则满足条件且真包含于的集合的个数为（    ） A．16 B．15 C．32 D．31 5．已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若集合，，且，则实数的值可以是（    ）． A．2 B．2， C．2，，0 D．2，，0，1 7．定义集合的运算：已知集合，则．若集合，，则集合的真子集个数的取值集合是（ ） A． B． C． D． 8．已知集合，且⫋，则的值不能是（    ） A．4 B．3 C． D．0 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 10．设集合，若满足，则实数可以是（    ） A．0 B． C． D．3 11．已知集合恰有两个子集，则的值可能为（   ） A． B． C．4 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． ． 13．若集合的子集的个数为2，则的取值集合为 ． 14．已知集合，．若，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．用适当的方法表示下列集合． (1)； (2)； (3)平面直角坐标系中所有第二象限内的点． 16．已知集合且，且 (1)写出集合的子集，真子集； (2)求集合的子集数，非空真子集数． 17．已知集合，，若，求实数的取值范围． 18．已知集合，． (1)若中恰有一个元素，用列举法表示的值构成的集合； (2)若，求的取值范围． 19．已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026届高三一轮复习回归教材版微专题——集合篇 专题01 集合的概念与集合间的基本关系 回归教材不是简单的重复，而是要注意挖掘教材的典型例题习题的内在价值，开展变式教学，多维度拓展。本专题分两部分：第一部分是回归教材的例题及典型习题，并针对教材习题的开展变式跟踪训练，每道例题、习题配备了至少5到跟踪训练试题，进行多方位的测试；第二部分是针对本部分内容的综合测试卷，该资料对于巩固学生的“四基”、提高学生的“四能”、落实考教衔接，可以起到事半功倍的效果。 回归教材： 考点1：集合的表示 1、人教A版（2019年）必修一P3页例1： 用列举法表示下列集合： （1）小于10的所有自然数组成的集合； （2）方程的所有实数根组成的集合. 解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么. （2）设方程所有实数根组成的集合为B，那么. 方法总结： 列举法表示集合的步骤及注意事项： （1）基本步骤：明确集合元素：先确定所要表示集合中的所有元素，确保不遗漏、不重复。 用大括号包裹元素：将确定好的元素一一列举出来，元素之间用逗号分隔，整体放在大括号 “{}” 内。 （2）注意事项：元素的互异性：集合中的元素必须是互不相同的，若有重复元素，只需写一次。例如，集合 {1,1,2} 应表示为 {1,2}。元素的无序性：列举元素时没有顺序要求，如 {1,2} 和 {2,1} 表示同一个集合。适用范围：通常适用于元素个数较少且可以一一列举的集合。当元素个数较多但有一定规律时，可使用省略号，但要保证规律明确，如 {1,2,3,…,100}。 【变式训练1】与集合相等的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合描述法的定义，求出集合中的元素. 【详解】12的所以正因数有，所以.故选：B. 【变式训练2】已知集合，则的元素个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】B 【分析】根据题意求集合，即可判断元素个数. 【详解】由题意可得：，可知有3个元素. 故选：B 【变式训练3】已知集合，则集合中所含元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据集合描述法用列举法求出集合中元素得解. 【详解】因为集合，，所以,故选：D 【变式训练4】用列举法表示集合为 ． 【答案】 【分析】先解方程可得，进而求解即可. 【详解】由，则，即，又，所以， 则.故答案为：. 【变式训练5】用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)既是质数又是偶数的整数组成的集合； (3)一次函数与的图象的交点组成的集合C； (4)中华人民共和国国旗的颜色名称的集合. 【答案】(1)；(2)；(3)；(4){黄色，红色} 【分析】确定出集合中的元素，利用集合的列举法求解即可. 【详解】（1）因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以. （2）既是质数又是偶数的整数只有2，集合为； （3）联立，解得，所以一次函数与的交点为，所以. （4）易知国旗颜色有黄色与红色，所以集合为{黄色，红色}. 2、人教A版（2019年）必修一P4页例2： 试分别用描述法和列举法表示下列集合： （1）方程的所有实数根组成的集合A； （2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合B. 解：（1）设，则x是一个实数，且.因此，用描述法表示为. 方程有两个实数根，，因此，用列举法表示为. （2）设，则x一个整数，即，且.因此，用描述法表示为.大于10且小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为. 方法总结： 描述法表示集合的步骤及注意事项： （1）基本步骤：确定代表元素：选择一个字母作为集合中元素的代表，通常用 x、y、z 等。 明确元素的共同特征：描述出集合中元素所具有的共同属性或满足的条件。用特定格式表示：将代表元素和元素的共同特征用 “{代表元素 元素的共同特征}” 的形式表示，其中 “” 表示 “满足…… 的条件”。 （2）注意事项 代表元素的明确性：代表元素不同，即使条件相同，所表示的集合也可能不同。例如，表示大于 1 的所有实数组成的集合，而同样表示该集合，但, 则表示横坐标大于1的所有点组成的集合。 特征描述的准确性：要准确清晰地描述元素的特征，避免模糊不清或产生歧义。例如，“是很大的数}” 这种描述是不恰当的，因为 “很大的数” 没有明确的标准。 符号的正确使用：在描述特征时，要正确使用数学符号和语言。例如，表示 “x 是整数” 应写成 “x∈Z”，表示 “x 大于 2 且小于 5” 应写成 “2<x<5”。 适用范围：适用于元素个数较多、无法一一列举但元素具有明显共同特征的集合。 【变式训练1】下列说法正确的是（    ） A．由1，2，3，1，4构成的集合是{1，2，3，1，4} B．满足的构成的集合是 C．全体实数构成的集合是{x|x是实数} D．抛物线上的所有点的坐标构成的集合是 【答案】C 【分析】根据集合中元素满足互异性即可求解A，根据集合的描述法表示即可求BC. 【详解】对于A,根据集合中的元素满足互异性，可知构成的集合为{1，2，3, 4},故A错误， 对于B, 满足的构成的集合是，故B错误， 对于C, 全体实数构成的集合是{x|x是实数},C正确， 对于D, 抛物线上的所有点的坐标构成的集合是，故D错误，故选：C 【变式训练2】给出以下集合，其中是相等集合的有（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用相等集合的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，集合中有一个元素，集合中有两个元素，故不是相等集合，故A错误；对于B，集合是空集，集合有一个元素，故不是相等集合，故B错误；对于C，集合都只有一个元素，但元素不相等，故不是相等集合，故C错误； 对于D.，，，所以集合中元素完全相同，故是相等集合，故D正确.故选：D. 【变式训练3】图中阴影部分（含边界）的点组成的集合用描述法表示为 ． 【答案】，且 【分析】根据图形结合描述法即可得到答案. 【详解】设集合中的代表元素是．由题意，，且， 因此所求集合，且．故答案为：，且. 【变式训练4】不包含， 0， 1的实数集A满足条件：若，则．如果，用列举法表示集合A. 【答案】 【分析】利用迭代法，将所得的数依次代入，即可求解. 【详解】因为，所以．因为，所以．因为，所以．因为，所以．开始循环，综上，． 【变式训练5】用适当的方法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)被5除余3的正整数组成的集合； (4)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 【答案】(1)；(2)；(3)，；(4) 【分析】（1）求得方程的解，然后用列举法书写； （2）根据第一、三象限点的特点，用描述法书写； （3）写出满足条件的正整数用描述法书写； （4）直接用描述法书写. 【详解】（1）方程的解集为 （2）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为. （3）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为，. （4）用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为． 考点2：集合的子集及真子集的个数 1、人教A版（2019年）必修一P8页例1： 写出集合的所有子集，并指出哪些是它的真子集. 【答案】子集为，，，.真子集为，，. 【分析】根据子集与真子集的定义枚举判断即可. 【详解】集合的所有子集为,,,.真子集为,,. 方法总结：有关结合子集个数的结论及注意事项 (1)结论：含 n 个元素的集合，子集有个，真子集有个（排除自身），非空真子集有 个（排除空集和自身）。 (2)注意事项： 勿忘空集：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 区分子集与真子集：真子集不能包含原集合本身。 元素互异性：列举子集时需保证元素不重复。 特殊集合：空集的子集只有自身。 避免遗漏：可按元素个数从小到大列举子集，确保不重复、不遗漏。 【变式训练1】写出下列集合的子集和真子集，并观察“元素个数”与“子集个数”、“真子集个数”之间存在什么关系？ (1)；(2)；(3) 【答案】(1)2个；1个.(2)4个；3个.(3)8个；7个. 【分析】（1）根据子集和真子集的概念进行辨析. （2）根据子集和真子集的概念进行辨析. （3）根据子集和真子集的概念进行辨析. 【详解】（1）子集：，共2个；真子集：共1个. （2）子集：，，，共4个；真子集：，，共3个. （3）子集：，，，，，，，共8个； 真子集：，，，，，，共7个. 总结：若元素个数为n，则子集个数为，真子集个数. 【变式训练2】设集合，则的真子集的个数是（    ） A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】D 【分析】写出集合，计算真子集个数. 【详解】，因为集合中有个元素，所以真子集个数为.故选：D. 【变式训练3】已知a为给定实数，那么集合的非空子集的个数为（    ） A．1 B．3 C．4 D．不确定 【答案】B 【分析】根据判别式判断集合中元素个数，进而确定集合非空子集个数. 【详解】由，则集合有2个元素，所以的非空子集个数为个. 【变式训练4】已知集合M满足，则这样的集合M有多少个？并求所有M的元素之和． 【答案】69 【分析】由集合M满足的条件，分析得到集合中元素的可能构成情况，进而求解即得答案. 【详解】因为，一定含有元素但不仅含有元素，还可以含有元素且至多含有五个元素．故满足条件的集合的个数是的真子集个数，共个，集合为，，，，，，．由于所有的中分别出现了4次，所以元素之和为． 【变式训练5】若集合，则集合的真子集的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．15 【答案】D 【分析】分类讨论和时，的可能取值，得出集合，即可求出集合的真子集. 【详解】集合，集合，若，则或；若，则或1， ∴，∴的真子集的个数为.故选：D. 【变式训练6】已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据真子集的个数得，即可求解. 【详解】因为集合有15个真子集，所以集合中包含4个元素，所以，所以，则实数的取值范围为．故答案为： 考点3：已知集合关系求参数的范围 1、人教A版（2019年）必修一P9页习题1.2第5题： （1）设，若，求的值； （2）已知集合，若，求实数a的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）直接根据集合相等得到答案.（2）根据集合的包含关系得到得到答案. 【详解】（1）由于，所以，且，. （2），且，如图所示. 方法总结： 优先考虑空集特殊性：若 B⊆A，需分 B=∅和 B≠∅讨论，空集是任何集合的子集。 元素互异性验证：求出参数后，检查集合中元素是否重复，避免违反集合基本性质。 端点值的取与舍：子集关系中，端点是否取等号需严格判断，可代入验证是否满足包含关系。 分类讨论完整性：按集合元素个数或参数范围分段讨论，确保不遗漏情况。 借助数轴辅助：处理数集时，用数轴直观表示包含关系，清晰判断参数边界。 【变式训练1】已知集合，且，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】根据题意结合集合相等列式求解即可. 【详解】因为集合，且，则，解得.故选：A. 【变式训练2】已知集合，，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据集合相等列方程求解即可. 【详解】因为，，，所以，解得.故选：C 【变式训练3】已知，，若集合，则的值为 ． 【答案】 【分析】由两集合相等及分式的分母不为0可求出n，再利用集合相等和互异性求m，代入计算即可. 【详解】因为，，所以，故，所以解得或． 当时，不满足集合元素的互异性，当时，集合为，符合条件. 所以．故答案为： 【变式训练4】已知集合，，若，求实数，的值. 【答案】或； 【解析】根据相等集合的概念可得或，解之，结合集合元素的性质即可求解； 【详解】（1）由已知，得或. 当时，解得或；当时，解得或. 又由集合中元素的互异性，得或. 【变式训练5】已知集合，非空集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合关系列出不等式组求解即可. 【详解】因为集合，非空集合，且， 所以，解得：．故选：C． 【变式训练6】已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的包含关系，对集合是否是空集分类讨论即可求解． 【详解】当时，，当时，则，解得，综上所述，实数的取值范围是． 故选：C 【变式训练7】设集合，，且，则实数的取值集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的包含关系，判断集合中元素的关系，对参数分类讨论，求出参数可能的取值. 【详解】由题意得.当时，，；当时，，由，可得或.综上，实数的取值集合为.故选：D. 【变式训练8】设集合，，且，则实数的值是（   ） A．－2 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据集合的包含关系，分情况建立方程，利用集合元素的互异性验根，可得答案. 【详解】由题意知可知；令，可得，则，不符合题意；令，分解因式可得，解得或，当时，，符合题意.故选：D. 【变式训练9】(多选)已知集合，，且，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】分情况讨论当和时，列方程解方程即可. 【详解】当时，满足，此时；当时，，此时，因为，所以或，即；或综上所述，或或，故选：BCD. 【变式训练10】已知关于的一元二次方程有实根对应的取值构成集合，集合. (1)求集合； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)或 【分析】（1）根据判别式求解出结果； （2）分类讨论和，列出不等式组求解出的取值范围. 【详解】（1）因为有实根，所以，解得， 所以. （2）因为，当时，满足，此时，解得； 当时，因为，所以，解得， 综上所述，的取值范围是或. 综合测试： 01 集合的概念与集合间的基本关系测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则用列举法表示（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，结合得的值即可求解. 【详解】由得，，即，又，∴故.故选：C. 2．已知集合，则集合中元素的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】分别讨论当时的取值，进而可得元素个数. 【详解】当时，可能取值为，当时，可能取值为，当时，可能取值为. 故可能取值为，共6个.故选：A 3．已知集合，，若，则x的值可以是（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】依次由、和排除ACD，接着令检验是否符合题意即可得解. 【详解】由题意得，排除C；由，得，排除A；由，得，排除D； 令，可得，，符合，故B正确.故选：B． 4．已知集合，，则满足条件且真包含于的集合的个数为（    ） A．16 B．15 C．32 D．31 【答案】D 【分析】利用列举法求出集合，再利用包含、真包含关系求出集合的个数. 【详解】集合，则，当集合中不含其他元素时，；当集合中含有其他元素时，集合中除元素1，2外，还含有3或4或5或6或7，但不能同时全部含有，集合的个数即为集合的真子集的个数，即． 故选：D 5．已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分集合是否是空集进行讨论即可求解. 【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则或解得.综上，，即m的取值范围是.   ，故选：C. 6．若集合，，且，则实数的值可以是（    ）． A．2 B．2， C．2，，0 D．2，，0，1 【答案】C 【分析】因为，所以．逐一令解方程，注意检验元素的互异性即可. 【详解】因为，所以．当时，集合不满足集合元素的互异性；当时，或（舍去），即，此时，，满足；当时，或，当时，，，满足，当时，，，满足．所以或或．故选：C． 7．定义集合的运算：已知集合，则．若集合，，则集合的真子集个数的取值集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题中定义和元素的性质，结合集合真子集个数公式进行求解即可． 【详解】由集合中元素的互异性可得且．当时，，所以， 此时集合的真子集个数为．因为集合A中有个元素，则集合A有个子集，有个真子集，当且时，，此时集合的真子集个数为． 8．已知集合，且⫋，则的值不能是（    ） A．4 B．3 C． D．0 【答案】4 【分析】根据题意，分或或，三种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解. 【详解】因为⫋，则或或，当时，可得且，解得，则；当时，可得且，解得，则；当时，可得，解得，则， 综上可得，的值可以是或或.故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 【答案】ACD 【分析】根据描述法的特点逐项分析即可. 【详解】对A，奇数集可以表示为，故A正确；对B，“小于10的整数”构成的集合可以表示为，故B错误；对C，表示大于2的全体实数，故C正确； 对D，不等式的解集表示为，故D正确.故选：ACD. 10．设集合，若满足，则实数可以是（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】ABC 【分析】求出，分，和三种情况，得到实数a的值. 【详解】，因为，当时，，满足要求， 当时，，当时，，综上，或或.故选：ABC 11．已知集合恰有两个子集，则的值可能为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】AC 【分析】集合恰有两个子集，则集合有1个元素，问题转化为方程组有一个的实数解即可. 【详解】由，可得由题可知中只有一个元素. 当时，解得，此时，符合题意； 当时，即，则或是方程的解. 当是方程的解时，解得，此时，符合题意； 当是方程的解时，无解.故或4.故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． ． 【答案】 【分析】根据描述法表示集合的意义，即可求解. 【详解】因为，，所以，得， 则. 13．若集合的子集的个数为2，则的取值集合为 ． 【答案】 【分析】由子集个数知，解方程求参数，即可得. 【详解】由题设，集合有且仅有1个元素，所以，可得或1，故的取值集合为. 14．已知集合，．若，则 ． 【答案】0 【分析】根据集合的互异性求出和即可. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或，若，解得，此时，不满足集合的互异性；若，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．用适当的方法表示下列集合． (1)； (2)； (3)平面直角坐标系中所有第二象限内的点． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）可以用列举法表示集合；（2）可以用列举法表示集合； （3）可以用描述法表示给出的集合. 【详解】（1），，，或或，． （2）且，．，即．． （3）平面直角坐标系中所有第二象限内的点构成的集合可以表示为：。 16．已知集合且，且 (1)写出集合的子集，真子集； (2)求集合的子集数，非空真子集数． 【答案】(1)答案见解析；(2)16，14 【分析】（1）根据集合的子集和真子集的概念即可求解； （2）利用集合的子集和非空真子集个数的求解公式，即可得出其相应的个数． 【详解】（1），的子集有：，，，，，，，； 的真子集有：，，，，，，． （2），有4个元素，的子集数为个，的非空真子集数为个． 17．已知集合，，若，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】先将集合化简，再分与讨论，即可得到结果. 【详解】由解得，所以，且， 当时，符合，则，解得， 当时，即时，要使，则，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 18．已知集合，． (1)若中恰有一个元素，用列举法表示的值构成的集合； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）分与两种情况讨论，当时，即可求出参数的值； （2）首先解方程求出集合，再分、、三种情况讨论，分别求出参数的范围（值），即可得解. 【详解】（1）若，即，则，符合题意． 若，即，则由中恰有一个元素，得，解得或． 综上所述，的值构成的集合为． （2）由，解得或，则． 若，符合，则解得或． 若，则，解得，则，符合． 若，则，解得，则，不符合． 综上所述，的取值范围为． 19．已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）根据，可得，再分和两种情况讨论即可； （2）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可； （3）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为，所以，当时，则，与题意矛盾，当时，则，解得，综上所述，实数的取值集合为； （2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素，当时，则，符合题意， 当时，则，解得，综上所述，实数的取值集合为； （3）因为，所以，解得，所以， 当时，，当时，，因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为. 学科网（北京）股份有限公司 $$