专题02 集合的基本运算讲义——2026届高三数学一轮复习回归教材版微专题

2026届高三一轮复习回归教材版微专题——集合篇 专题02 集合的基本运算 回归教材不是简单的重复，而是要注意挖掘教材的典型例题习题的内在价值，开展变式教学，多维度拓展。本专题分两部分：第一部分是回归教材的例题及典型习题，并针对教材习题的开展变式跟踪训练，每道例题、习题配备了至少5到跟踪训练试题，进行多方位的测试；第二部分是针对本部分内容的综合测试卷，该资料对于巩固学生的“四基”、提高学生的“四能”、落实考教衔接，可以起到事半功倍的效果。 回归教材： 考点1：并集的运算 1、人教A版（2019年）必修一P10页例1：设，，求 解：根据并集的定义可知. 2、人教A版（2019年）必修一P10页例2：设集合，集合，求. 解：如图，在数轴上把集合A、集合B的元素表示出来， 根据并集的定义可知. 方法总结： 并集运算基本步骤及注意事项 1、基本步骤：（1） 明确两个集合元素；（2） 合并所有元素；（3） 去除重复元素，保留唯一元素组成新集合。 2、注意事项：（1） 元素不重复，遵循互异性； （2） 空集与任何集合的并集是该集合本身； （3）用描述法时，准确表述公共属性； （4）可借助数轴（数集）或 Venn 图直观分析； （5） 记准符号 “∪”，区分 “或” 的逻辑关系（元素属于 A 或 B）。 【变式训练1】若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据并集的定义求解即可. 【详解】由，，则.故选：C. 【变式训练2】已知集合,则（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过解不等式化简集合，再求两集合的并集. 【详解】由，得，∴，；由，得，∴，.所以或．故选：A. 【变式训练3】已知集合或，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为，且，所以，解得，即.故选：D 【变式训练4】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，再结合集合的并集即可求解. 【详解】由 又，所以可得集合，则，故C正确.故选：C. 【变式训练5】已知集合，，若，则所有满足条件的实数m组成的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程先确定集合的元素，由，，逐一验证所有可能符合情况即可. 【详解】方程的两根为或，.可能为 (1)    时，，符合；(2)    时，，符合；(3)    时，，符合 综上，实数m组成的集合为，故选：D 考点2：交集的运算 1、人教A版（2019年）必修一P12页练习2：设，，求. 【答案】. 【分析】根据一元二次方程的解法分别求得集合，由并集和交集的定义直接得到结果. 【详解】，， 。 方法总结： 交集运算基本步骤及注意事项 基本步骤：1. 明确参与运算的两个集合 A、B，清晰其元素构成（如数集、点集等）； 2. 筛选同时满足 A 和 B 属性的元素，即 “属于 A 且属于 B” 的元素； 3. 这些元素组成的集合即为 A∩B。 注意事项：1. 强调 “且” 的逻辑，元素需同时符合两集合条件； 2.无公共元素时，； 3.数集用数轴找重叠部分，点集联立方程求公共解； 4.符号为 “∩”，避免与 “∪” 混淆； 5. 牢记 A∩A=A，，若 A⊆B 则 A∩B=A。 【变式训练1】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合集合中元素的性质利用集合交集运算直接求解即可. 【详解】因为集合表示奇数组成的集合，又，所以. 【变式训练2】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的交集运算可求解. 【详解】因为集合，所以.故选：A 【变式训练3】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出集合，，由交集的定义求解即可 【详解】由题可得：，，所以，故选：C 【变式训练4】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定集合，再由交集得到结论. 【详解】由可得，所以，则． 【变式训练5】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求解集合和集合，再根据交集的定义即可求出. 【详解】由题意得，可解得， ，，可解得，又，，.故选：A． 考点3：补集的运算 1、人教A版（2019年）必修一P13页例5： 设是小于9的正整数，，，求，. 解：根据题意可知，，所以，. 方法总结： 补集运算基本步骤及注意事项 基本步骤：1. 明确全集 U（前提，含研究对象所有元素）； 3. 确定子集 A（A⊆U）； 3. 找出 U 中所有不属于 A 的元素，组成。 注意事项：1. 补集依赖全集，同一集合在不同全集中补集不同； 2.与 A 无公共元素，且并集为 U； 3.全集的补集是空集，空集的补集是全集； 4. 符号 “” 中 U 可省略（默认已知），勿与交集、并集符号混淆。 【变式训练1】已知全集，若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由补集的概念即可求解. 【详解】由题意，若集合，则.故选：C. 【变式训练2】设全集，集合，若，则 ． 【答案】4 【分析】根据补集定义求出集合A，然后由韦达定理可得. 【详解】因为，，所以，所以和是方程的两根，故，经检验满足题意. 【变式训练3】已知全集，集合，则（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】利用补集的运算进行求解. 【详解】因为，集合，则集合或.故选：A. 【变式训练4】设全集，集合A满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全集及补集写出集合A即可. 【详解】由题知，由，得．故选：C 【变式训练5】已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据集合补集的运算结果和集合元素的互异性，可求参数. 【详解】因为，所以，解得或2．当时，，不满足互异性，舍去； 当时，集合，此时，符合题意，故．故选：B 考点4：交集、并集、补集的混合运算 1、人教A版（2019年）必修一P14页习题1.3第4题：已知集合，，求，，，. 【详解】因为，， 所以,所以； 因为，， 所以,所以； 因为，， 所以，所以； 因为，， 所以，所以. 2、人教A版（2019年）必修一P14页习题1.3第6题： 已知全集，试求集合B. 【答案】 【解析】计算，根据计算得到答案. 【详解】，， .故. 方法总结： 集合混合运算注意事项： 运算顺序：先括号内，再补集，最后交、并（补集优先于交并）。 明确全集：补集依赖全集，需先确定或推断全集范围，避免混淆。 逻辑对应：交集为 “且”，并集为 “或”，补集为 “非”，转换需准确。 工具辅助：数集用数轴找区间，抽象集用 Venn 图，直观避错。 特殊集合：关注∅和全集运算（如 A∩∅=∅，∁UU=∅），及子集关系简化运算。 验证结果：检查是否满足互异性、补集与原集并集为全集等。 【变式训练1】（多选）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用集合的交并补运算逐一判断即可得结果. 【详解】对于选项A：由，得4，所以，则，故A错误；对于选项B：，故B正确；对于选项C：由于，故，故C正确；对于选项D：由于， 故，故D错误，故选：BC。 【变式训练2】（多选）已知全集，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用集合中交集、并集和补集的知识点进行运算，即可解答. 【详解】因为，，所以，A项错误；因为，，所以，B项正确；又，所以，C项正确；因为，所以，D项正确.故选：BCD. 【变式训练3】（多选）已知全集，集合，集合，则（   ） A． B．的子集个数为8 C． D． 【答案】BC 【分析】利用集合的并补运算判断C、D，并判断集合的包含关系及子集个数判断A、B. 【详解】由题设且子集有个，B对，又，则，A、D错；由，则，C对；故选：BC 【变式训练4】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的交并补运算逐一验证即可. 【详解】由题意有，， 所以，故A错误；，故B错误；又或，则，故C正确；又，，故D错误.故选：C. 【变式训练5】已知全集为不大于20的质数}，是的两个子集，且满足，求集合和． 【答案】 【分析】方法一：由题意分析集合和集合中元素，对于不能确定的元素分情况讨论即可得解；方法二：画韦恩图，把能确定的元素表示出来，逐步分析即可. 【详解】（方法一）由题意得，由得，且， 由得，且，由得，且．下面讨论11和13． 情形一：，但，与矛盾． 情形二：，但，与矛盾． 情形三：，且，与矛盾． 情形四：，且，经检验符合题意． 同理可得，且． 综上可得． （方法二）结合韦恩图（如图）， 将条件，所涉及的元素填入，得． 考点5：集合运算中的分类讨论思想 1、人教A版（2019年）必修一P14页习题1.3第5题： 设集合，，求，． 【详解】因为，所以，又因为， 当时，所以， 当时，所以， 当时，所以， 当且且时，所以，. 方法总结： 集合问题中分类讨论思想的应用及注意事项 应用场景：1. 含参数集合运算（如方程、不等式解集），按参数取值（如系数为 0、符号正负）分类，避免漏解；2. 包含关系（A⊆B），分 A=∅与 A≠∅两类，非空时再按元素特征细化；3. 元素互异性验证，对可能相等的元素分情况讨论，排除重复。 注意事项：1. 分类标准唯一，确保不重复、不遗漏；2. 优先处理空集、单元素集等特殊情况；3. 每类结果需代入验证，满足集合确定性、互异性及题设条件；4. 同类解合并，矛盾解舍去，保证逻辑闭环。 【变式训练1】（多选）设，，若，则实数a的值可以是（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】ABC 【分析】解方程，写出集合A的所有元素，根据集合A和集合B的关系，分析集合B中的元素的可能情况，解出相应的. 【详解】∵，又∵，∴所以当时，此时；当时，此时；当时，此时；时，此时不存在；综上可得：实数a的值可以是， 故选：ABC. 【变式训练2】已知集合，，且满足，则实数的取值范围为（   ）. A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】先由得到，再分类讨论，利用根与系数的关系进行求解. 【详解】，， 当时，，即； 当时，利用韦达定理得到，解得； 当时，利用韦达定理得到，无解； 当时， 根据韦达定理得到 ，解得 ； 综上，实数a的取值范围是. 故选：A. 【变式训练3】（多选）设，下列选项正确的是（   ） A．集合的子集个数为4 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】根据集合元素个数求子集个数判断A，根据交集运算结果求出参数范围判断BC，分类讨论判断D. 【详解】因为，所以集合的子集个数为，故A正确； 当时，，即，故B正确；当时，，即，故C错误； 对D，当时，，满足，当时，，当时，，即， 当时，，当时，，即，综上，，故D错误.故选：AB 【变式训练4】设集合. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或；(2) 【分析】（1）求出集合A，由给定交集的结果，求出a并验证得解. （2）由给定条件，可得，再利用集合的包含关系讨论求解即得. 【详解】（1）依题意，， 由，得，则，解得或， 当时，则，满足； 当时，则，满足，所以或. （2）由（1）可知，，， 若，则，解得； 若，则，无解；若，由（1）知； 若，则，无解，所以实数的取值范围是. 【变式训练5】已知集合，． (1)当时，求，； (2)若时，存在集合，使，求出所有的集合； (3)集合能否满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，；(2)，，，，， (3)能，。 【分析】（1）先求出集合，再根据并集，补集的定义求解即可； （2）由题设可得是非空集合，且是的真子集，进而求解即可； （3）由题设可得，进而分和讨论求解即可. 【详解】（1）当时，，， 所以，． （2）当时，，又因为，所以， 因为（是非空集合，且是的真子集），， 所以这样的集合共有6个：，，，，，． （3）能，由，可得， 若，此时由，可得； 若，由（1）知， ① 当时，，即， 此时，不是的一个子集，舍去； ② 当时，，即， 此时，此时是的一个子集； ③ 当时，，即， 此时，此时是的一个子集． 综上可得，当或时，满足， 此时实数的取值范围为． 考点5：集合运算中的数形结合思想 1、人教A版（2019年）必修一P10页例2：设集合，集合，求. 解：如图，在数轴上把集合A、集合B的元素表示出来， 根据并集的定义可知. 2、人教A版（2019年）必修一P13页练习第3题： 图中U是全集，A，B是U的两个子集，用阴影表示： （1）； （2）. 【答案】（1）图象见解析；（2）图象见解析. 【解析】根据补集、交集和并集的定义，利用图表示出来即可. 【详解】如下图阴影部分所示. 方法总结 集合问题中数形结合思想的应用及注意事项 应用范围：1. 数集运算（如不等式解集）用数轴表示，直观呈现交、并、补集的区间关系；2. 抽象集合或有限集用 Venn 图，清晰展示子集、交集、并集的包含关系；3. 点集问题（如坐标平面内的点）借助坐标系，将集合关系转化为几何图形位置关系。 注意事项：1. 数轴标注需准确（端点实心 / 空心区分）；2. Venn 图需明确区域对应关系，避免符号混淆；3. 图形仅辅助分析，最终结果需用集合语言规范表述；4. 复杂集合需结合图形特征提炼数量关系，防止直观代替逻辑证明。 【变式训练1】（多选）下图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】结合韦恩图，利用交并补的定义表述即得. 【详解】由图形可知，阴影部分用集合符号可以表示为或者.故选：AD. 【变式训练2】（多选）设全集，集合，若，则（    ） A． B． C．的真子集个数为32 D． 【答案】AD 【分析】由题意知，作出Venn图，如图，依次判断选项即可. 【详解】由题意知，作出Venn图，如图． 由图可知，故A正确，B错误；集合的真子集个数为，C错误； ，故，D正确.故选：AD 【变式训练3】（多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，利用集合的运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论. 【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为，所以选项AD正确，选项BC不正确.故选：AD. 【变式训练4】已知集合，集合，若全集，且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据补集运算得到，利用数轴法表示集合间的包含关系，可直接得出结果. 【详解】由题意，，如图所示， 因为，所以. 【变式训练5】设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）根据条件得到，再利用集合的运算即可求出结果； （2）由（1）知或，根据条件，借助数轴，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以，又，所以或， 所以，． （2）由（1）知或，又中只有一个整数，由图知，，且， 解得，所以实数m的取值范围是． 综合测试： 01 集合的概念与集合间的基本关系测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合交集、补集的概念求解即可. 【详解】因为全集，，所以，又，所以， 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式求出集合，由交集定义即可求解. 【详解】由，得，解得或，由，得，由此解得，所以，又，故． 3、已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图验证B，C，D选项，再解出集合，利用交集补集定义判断A选项. 【详解】由图可知阴影部分所表示的集合为，故C正确，B，D错误； 因为，，所以，故A错.故选：C. 4、已知集合，，，则下列选项中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到中的元素为2的倍数，中的元素为3的倍数，中的元素为6的倍数，确定集合，，之间的包含关系，分别求出各选项中等号左边的结果，即可进行判断. 【详解】根据题意得到中的元素为2的倍数，中的元素为3的倍数，中的元素为6的倍数，所以，，，所以，，所以；，，故选项A，C，D正确；，例如，但，故选项B错误.故选：B. 5．已知集合，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 【答案】A 【分析】由补集运算直接求解即可. 【详解】由，且，可知，且，解得：，符合集合元素特性，故选：A 6．已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，则集合（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件结合关系，求出，由此可求. 【详解】因为，又，，所以，又，所以，故选：D. 7．平面内直线，可能有三种位置关系，即相交于一点､平行或重合，设平面内直线，上的点的集合分别为，下列表述错误的是（    ）. A．直线，相交于一点可表示为 B．直线，重合可表示为 C．直线，平行可表示为； D．直线，相交于一点可表示为 【答案】D 【分析】根据直线间的位置关系和集合的运算法则，逐一判断选项即可求得结果. 【详解】平面内直线，上的点的集合分别为，由集合间的运算法则可知：直线，相交于一点可表示为，即A正确，若直线，重合，则可知，所以可表示为，即B正确；若直线，平行，则两直线没有交点，可表示为，即C正确；选项D中，的结果需表示成集合的形式，所以D错误.故选：D 8．已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先算出集合A中的整数，再分中的两个整数是2，3和中的两个整数是0，1两种情况讨论，分别得到不等式组，计算可得． 【详解】由题意，集合A中的整数为0，1，2，3．因为，所以集合中至少有3个整数，所以集合中的两个整数只能为0，1或2，3．若集合中的两个整数是2，3，则解得；若集合中的两个整数是0，1，则解得． 综上可得，或，即的取值范围是．故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知集合，，，，下列选项正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据集合中元素的特点可排除AC；分析两直线的位置关系可判断B的真假；根据集合元素的关系可判断D的真假. 【详解】因为集合中的元素都是有序实数对（点），所以，的运算结果均为点的集合，所以，都是错误的，即AC错误；对B：因为方程组无解，所以正确，即B正确；对D：因为，又，所以，故正确，即D正确.故选：BD 10．已知集合，，则下列说法正确的是（   ） A．有2个子集 B．中任意两个元素差的最小值为 C． D．或 【答案】ABD 【分析】根据集合的交并补运算及子集的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，，所以有2个子集，故A正确； 对于B，，则中任意两个元素差的最小值为，故B正确；对于C，或，所以，故C错误；对于D，且，所以或，故D正确.故选：ABD. 11．如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.已知全集，集合，，是偶数，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据给定的韦恩图理解新定义，再利用集合的交集、并集、补集及对称差集进行求解. 【详解】对于，，故A正确；对于B，因为， 是偶数，所以，故B正确；对于C，，，故正确；对于D，，，则，故D错误.故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．集合，，集合，若，则以下的取值满足题意的是 ． 【答案】 【分析】根据集合运算求出，再依据列式求解. 【详解】，，，则，又，，解得. 13．已知集合，，若，则实数的值为 ． 【答案】或. 【分析】由条件可得，，列方程，不等式求. 【详解】因为的解集为，所以，又，所以，，所以，，所以，，解得或. 14．已知集合，，只有一个元素，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题可得方程在上只有1个解，据此可得答案. 【详解】因只有一个元素，则在上只有1个解. .若判别式等于0，则或. 当时，易得方程解为，不满足题意； 当时，方程解为，满足题意. 若判别式大于0，得或. 由韦达定理，两根之积为2，两根之和为，要使方程在上只有1个解， 则满足题意，且. 综上实数m的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．设集合，. (1)当时，求，； (2)记，若集合的真子集有7个，求：所有实数的取值所构成的集合. 【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）由题意求出集合中方程的解，由中的元素根据交集、并集运算即可求解； （2）由题意得中的元素只有3个，由中的元素即可得到的取值. 【详解】（1）当时，， ，即，解得或，，，. （2）若集合的真子集有7个，则，可得，即中的元素只有3个， 而，解得或，则，由（1）知， 则当时，，故所有实数的取值所构成的集合为. 16．设全集，集合． (1)若时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) (3)． 【分析】（1）由集合的交并补运算即可求解； （2）由题意得，进一步列不等式即可求解； （3）由题意得，对是否是空集进行分类讨论即可求解. 【详解】（1）因为，所以，又，所以． 方法一  因为或，或，所以或． 方法二  或． （2） 因为，所以，又， 所以解得，所以的取值范围是． （3）因为，所以（，分为与两种情况讨论）． 若，则，可得，满足； 若，要使，则不等式组无解． 综上，的取值范围是． 17．，，，已知，，求a的值及m的取值范围． 【答案】或；或． 【分析】先求出集合，化简集合，根据得到,，对集合B和集合进行分类讨论，即可得到实数a，m的取值结果. 【详解】由解得或，所以， ∵，∴ 由，得．所以或，所以或，所以或． 又由得，，所以可能为，，， 当时，只需，解得； 当为单元集时，只需，解得. 时，不符合题意；时，不符合题意； 当时，则，解得；所以或 综上得：或；或． 18．已知集合，. (1)在①，②，③三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答. 问题：当集合A，B满足________时，求的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)选①②③，答案均为；(2) 【分析】（1）选①，根据，得到，分和两种情况，得到不等式，求出不等式解集；选②，根据并集结果得到，分和两种情况，得到不等式，求出不等式解集；选③，根据交集结果得到，分和两种情况，得到不等式，求出不等式解集； （2）根据得到和两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】（1）若选①，，则， 当时，，解得， 当时，，解得， 故的取值范围是； 若选②，，则， 当时，，解得， 当时，，解得， 故的取值范围是； 若选③，，则， 当时，，解得， 当时，，解得， 故的取值范围是； （2）， 若，则，解得， 若，则或，解得 综上， 19．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题． 设集合_______，集合． (1)若集合B的子集有2个，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，集合B元素个数为1，再根据二次函数判别式为0计算即可； （2）选①②③，都是由题意，再求解，对集合B讨论，分二次方程的判别式小于、等于和大于0的情况求解即可. 【详解】（1）因为集合B的子集有2个，所以集合B元素个数为1. 则，即，解得. （2）选①：集合， 因为，所以， 对集合B讨论： 当时，即时，，满足条件； 当时，即，此时，满足条件； 当时，要满足条件，必有， 由根与系数的关系有：，此方程组无解，不满足条件舍去. 综上所述，实数的取值范围是. 选②：集合， 因为，所以， 对集合B讨论： 当时，即时，，满足条件； 当时，即，此时，满足条件； 当时，要满足条件，必有 ， 由根与系数的关系有：，此方程组无解，不满足条件舍去. 综上所述，实数的取值范围是. 选③：集合， 因为，所以， 对集合B讨论： 当时，即时，，满足条件； 当时，即，此时，满足条件； 当时，要满足条件，必有， 由根与系数的关系有：，此方程组无解，不满足条件舍去. 综上所述，实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026届高三一轮复习回归教材版微专题——集合篇 专题02 集合的基本运算 回归教材不是简单的重复，而是要注意挖掘教材的典型例题习题的内在价值，开展变式教学，多维度拓展。本专题分两部分：第一部分是回归教材的例题及典型习题，并针对教材习题的开展变式跟踪训练，每道例题、习题配备了至少5到跟踪训练试题，进行多方位的测试；第二部分是针对本部分内容的综合测试卷，该资料对于巩固学生的“四基”、提高学生的“四能”、落实考教衔接，可以起到事半功倍的效果。 回归教材： 考点1：并集的运算 1、人教A版（2019年）必修一P10页例1：设，，求 2、人教A版（2019年）必修一P10页例2：设集合，集合，求. 方法总结： 并集运算基本步骤及注意事项 1、基本步骤：（1） 明确两个集合元素；（2） 合并所有元素；（3） 去除重复元素，保留唯一元素组成新集合。 2、注意事项：（1） 元素不重复，遵循互异性； （2） 空集与任何集合的并集是该集合本身； （3）用描述法时，准确表述公共属性； （4）可借助数轴（数集）或 Venn 图直观分析； （5） 记准符号 “∪”，区分 “或” 的逻辑关系（元素属于 A 或 B）。 【变式训练1】若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知集合,则（   ） A．或 B． C． D． 【变式训练3】已知集合或，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练5】已知集合，，若，则所有满足条件的实数m组成的集合为（   ） A． B． C． D． 考点2：交集的运算 1、人教A版（2019年）必修一P12页练习2：设，，求. 方法总结： 交集运算基本步骤及注意事项 基本步骤：1. 明确参与运算的两个集合 A、B，清晰其元素构成（如数集、点集等）； 2. 筛选同时满足 A 和 B 属性的元素，即 “属于 A 且属于 B” 的元素； 3. 这些元素组成的集合即为 A∩B。 注意事项：1. 强调 “且” 的逻辑，元素需同时符合两集合条件； 2.无公共元素时，； 3.数集用数轴找重叠部分，点集联立方程求公共解； 4.符号为 “∩”，避免与 “∪” 混淆； 5. 牢记 A∩A=A，，若 A⊆B 则 A∩B=A。 【变式训练1】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练4】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练5】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 考点3：补集的运算 1、人教A版（2019年）必修一P13页例5： 设是小于9的正整数，，，求，. 方法总结： 补集运算基本步骤及注意事项 基本步骤：1. 明确全集 U（前提，含研究对象所有元素）； 3. 确定子集 A（A⊆U）； 3. 找出 U 中所有不属于 A 的元素，组成。 注意事项：1. 补集依赖全集，同一集合在不同全集中补集不同； 2.与 A 无公共元素，且并集为 U； 3.全集的补集是空集，空集的补集是全集； 4. 符号 “” 中 U 可省略（默认已知），勿与交集、并集符号混淆。 【变式训练1】已知全集，若集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】设全集，集合，若，则 ． 【变式训练3】已知全集，集合，则（   ） A．或 B．或 C． D． 【变式训练4】设全集，集合A满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练5】已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点4：交集、并集、补集的混合运算 1、人教A版（2019年）必修一P14页习题1.3第4题：已知集合，，求，，，. 2、人教A版（2019年）必修一P14页习题1.3第6题： 已知全集，试求集合B. 方法总结： 集合混合运算注意事项： 运算顺序：先括号内，再补集，最后交、并（补集优先于交并）。 明确全集：补集依赖全集，需先确定或推断全集范围，避免混淆。 逻辑对应：交集为 “且”，并集为 “或”，补集为 “非”，转换需准确。 工具辅助：数集用数轴找区间，抽象集用 Venn 图，直观避错。 特殊集合：关注∅和全集运算（如 A∩∅=∅，∁UU=∅），及子集关系简化运算。 验证结果：检查是否满足互异性、补集与原集并集为全集等。 【变式训练1】（多选）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（多选）已知全集，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】（多选）已知全集，集合，集合，则（   ） A． B．的子集个数为8 C． D． 【变式训练4】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练5】已知全集为不大于20的质数}，是的两个子集，且满足，求集合和． 考点5：集合运算中的分类讨论思想 1、人教A版（2019年）必修一P14页习题1.3第5题： 设集合，，求，． 方法总结： 集合问题中分类讨论思想的应用及注意事项 应用场景：1. 含参数集合运算（如方程、不等式解集），按参数取值（如系数为 0、符号正负）分类，避免漏解；2. 包含关系（A⊆B），分 A=∅与 A≠∅两类，非空时再按元素特征细化；3. 元素互异性验证，对可能相等的元素分情况讨论，排除重复。 注意事项：1. 分类标准唯一，确保不重复、不遗漏；2. 优先处理空集、单元素集等特殊情况；3. 每类结果需代入验证，满足集合确定性、互异性及题设条件；4. 同类解合并，矛盾解舍去，保证逻辑闭环。 【变式训练1】（多选）设，，若，则实数a的值可以是（    ） A．0 B． C． D．3 【变式训练2】已知集合，，且满足，则实数的取值范围为（   ）. A．或 B． C．或 D． 【变式训练3】（多选）设，下列选项正确的是（   ） A．集合的子集个数为4 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练4】设集合. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【变式训练5】已知集合，． (1)当时，求，； (2)若时，存在集合，使，求出所有的集合； (3)集合能否满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由． 考点5：集合运算中的数形结合思想 1、人教A版（2019年）必修一P10页例2：设集合，集合，求. 2、人教A版（2019年）必修一P13页练习第3题： 图中U是全集，A，B是U的两个子集，用阴影表示： （1）； （2）. 方法总结 集合问题中数形结合思想的应用及注意事项 应用范围：1. 数集运算（如不等式解集）用数轴表示，直观呈现交、并、补集的区间关系；2. 抽象集合或有限集用 Venn 图，清晰展示子集、交集、并集的包含关系；3. 点集问题（如坐标平面内的点）借助坐标系，将集合关系转化为几何图形位置关系。 注意事项：1. 数轴标注需准确（端点实心 / 空心区分）；2. Venn 图需明确区域对应关系，避免符号混淆；3. 图形仅辅助分析，最终结果需用集合语言规范表述；4. 复杂集合需结合图形特征提炼数量关系，防止直观代替逻辑证明。 【变式训练1】（多选）下图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（多选）设全集，集合，若，则（    ） A． B． C．的真子集个数为32 D． 【变式训练3】（多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为（   ） A． B． C． D． 【变式训练4】已知集合，集合，若全集，且，则的取值范围为 . 【变式训练5】设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 综合测试： 01 集合的概念与集合间的基本关系测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3.已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 4.已知集合，，，则下列选项中不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 6．已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，则集合（ ） A． B． C． D． 7．平面内直线，可能有三种位置关系，即相交于一点､平行或重合，设平面内直线，上的点的集合分别为，下列表述错误的是（    ）. A．直线，相交于一点可表示为 B．直线，重合可表示为 C．直线，平行可表示为； D．直线，相交于一点可表示为 8．已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知集合，，，，下列选项正确的有（   ） A． B． C． D． 10．已知集合，，则下列说法正确的是（   ） A．有2个子集 B．中任意两个元素差的最小值为 C． D．或 11．如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.已知全集，集合，，是偶数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．集合，，集合，若，则以下的取值满足题意的是 ． 13．已知集合，，若，则实数的值为 ． 14．已知集合，，只有一个元素，则实数m的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．设集合，. (1)当时，求，； (2)记，若集合的真子集有7个，求：所有实数的取值所构成的集合. 16．设全集，集合． (1)若时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 17．已知集合，，，若，，求a的值及m的取值范围． 18．已知集合，. (1)在①，②，③三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答. 问题：当集合A，B满足_______时，求的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. (2)若，求的取值范围. 19．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题． 设集合_______，集合． (1)若集合B的子集有2个，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$