江苏省镇江市扬中市2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年江苏省镇江市扬中市九年级(上)期末数学试卷 一、选择题:本题共10小题,每小题3分,共30分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.将一元二次方程化为一般形式,正确的是( ) A. B. C. D. 2.下列关于的一元二次方程有实数根的是( ) A. B. C. D. 3.八年级某同学次数学小测验的成绩分别为:分,分,分,分,分,分,则该同学这次成绩的众数和平均数分别是( ) A. 分,分 B. 分,分 C. 分,分 D. 分,分 4.若的直径为,点到圆心的距离为,那么点与的位置关系是( ) A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 不能确定 5.如图,正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形,任意转动这个转盘一次,当转盘停止转动时,指针落在阴影部分的概率是( ) A. B. C. D. 6.如图,点,,在上,若,则的度数是( ) A. B. C. D. 7.已知一元二次方程的两个解恰好分别是等腰的底边长和腰长,则周长为( ) A. B. 或 C. D. 8.如图,点,,,,均在上,且经过圆心,连接,,,若 ,则弧所对的圆心角的度数为( ) A. B. C. D. 9.某旅社有张床位,若每张床位每晚收费元,床位可全部租出若每张床位每晚收费提高元,则减少张床位租出;若每张床位每晚收费再提高元,则再减少张床位租出,以每次提高元的这种方法变化下去,为了收入多而投资较少,每张床位每晚可提高( ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元或元 10.如图,矩形纸片中,把它分割成正方形纸片和矩形纸片后,分别裁出扇形和半径最大的圆,恰好能作为一个圆锥的侧面和底面,若,,则与的函数关系式为( ) A. B. C. D. 二、填空题:本题共6小题,每小题3分,共18分。 11.的半径为,圆心到直线的距离为,则直线与的位置关系是_. 12.若是一元二次方程的解,则的值是_. 13.在一次跳远训练中,甲、乙两人每人次跳远的平均成绩都是米,方差分别是米,米,则在这次跳远训练中成绩比较稳定的是_. 14.如图,以正六边形的一边为边向外作正方形,则_ 15.如图,、在网格中小正方形的顶点处,每个小方格的边长为,在此网格中找两个格点即小正方形的顶点、,使为的外心,则的长度是_. 16.人工智能给我们的生活、工作带来了很多便利,机器狗可以通过热成像仪和声呐系统协助我们完成搜索和救援工作一次搜索任务中,机器狗从指挥中心先向南偏东方向行驶到达事故现场,再以事故现场为中心,距离的范围内展开搜索若机器狗在指挥中心正东方向时,距离指挥中心最远可以为_ 三、解答题:本题共9小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.本小题分 解下列方程: ; . 18.本小题分 已知关于的一元二次方程. 求证:无论为何值,方程总有两个实数根; 若方程的两根互为相反数,求的值. 19.本小题分 如图,在中,直径与弦相交于点,, 求的大小; 已知,求圆心到的距离. 20.本小题分 为了解九年级男生体能情况,某校随机抽取了九年级名男生进行体能测试,并对测试成绩单位:分进行了统计分析: 【收集数据】 【整理数据】 该校规定:为不合格,为合格,为良好,为优秀成绩用表示 等次 不合格 合格 良好 优秀 合计 频数人数 频率 【分析数据】 此组数据的平均数是,众数是,中位数是; 【解决问题】 填空: _, _, _; 若该校九年级共有名男生,估计体能测试能达到优秀的男生约有多少人? 根据上述统计分析情况,写一条你的看法. 21.本小题分 某校年元旦晚会上,九年级共有名同学参加志愿者的工作,其中男生人,女生人. 若从这人中随机选取一人作为联络员,则选到女生的概率为_; 若某项志愿工作只在甲、乙两人选一人,他们准备以游戏的方式决定由谁参加,游戏规则如下:将张牌面数字分别为、、的扑克牌洗匀后,数字朝下放于桌面,甲从中任取张,记录后放回,乙再从中任取张,若牌面数字之和为偶数,则甲参加,否则乙参加,试问这个游戏公平吗?请用树状图或列表法说明理由. 22.本小题分 年我国经济回暖向好,粮食产量约为万亿斤,中国碗装了史多中国粮根据国家统计局网站信息可知年我国粮食产量约为万亿斤参考数据:, 求这两年粮食产量的平均增长率;结果精确到 以这两年的粮食产量平均增长率,预测年我国粮食产量能否突破万亿斤? 23.本小题分 如图,已知平行四边形的三个顶点、、在以为圆心的半圆上,过点作,分别交、的延长线于点、,交半圆于点,连接. 判断直线与半圆的位置关系,并说明理由; 求证:;若半圆的半径为,求阴影部分的面积. 24.本小题分 关于的一元二次方程经过适当变形可以写成的形式现列表探究的变形: 变形 【观察】表格中的值为_,与满足的等量关系为_,的值随值的增大而_填“增大”或“减小”; 【尝试】若一元二次方程变形为,求、的值; 【拓展】若一元二次方程经过变形可写成,则的最大值为_用含有、的代数式表示. 25.本小题分 请根据所提供的信息,完成探究任务. 制定建设方案 信息 设计部:如图,一个边长为的正方形花坛由块全等的小正方形组成,在小正方形中,点、、分别在、、上,且,在、两个区域上种植不同的花卉,五边形内铺设地砖,并在地砖上以正方形的中心为圆心、半径为的范围内建一个雕塑. 信息 工程部:在、两个区域上种植的花卉每平方米种植成本分别是元、元,铺设地砖的成木每平方米是元,每个雕塑费用为元. 信息 市场部:投标方根据设计部与工程部提供信息自行设计方案,中标价的利润率为;甲、乙、丙三家公司参与投标,他们的投标价分别为元、元、元. 任务 建立数学模型 设长为,用含有的代数式表示大正方形花坛种花卉的总成本为_,铺设地砖的总成本为_,大正方形花坛建设的总成本为_;直接写出的取值范围为_. 任务 确定试试方案 你认为哪一家公司可以中标,并说明这家公司的实施方案即求的长. 答案和解析 1.【答案】 【解析】解:去括号得, 移项得. 故选:. 先去括号,然后把移到方程左边即可. 本题考查了一元二次方程的一般式形式:一般地,任何一个关于的一元二次方程经过整理,都能化成如下形式这种形式叫一元二次方程的一般形式. 2.【答案】 【解析】【分析】 此题考查了根的判别式,熟练掌握根的判别式的性质是解本题的关键. 计算出各项中方程根的判别式的值,找出根的判别式的值大于等于的方程即可. 【解答】 解:、这里,,, , 方程没有实数根,本选项不合题意; B、这里,,, , 方程没有实数根,本选项不合题意; C、这里,,, , 方程没有实数根,本选项不合题意; D、这里,,, , 方程有两个不相等实数根,本选项符合题意; 故选:. 3.【答案】 【解析】解:分出现的次数最多, 该同学这次成绩的众数为分, 该同学这次成绩的众数和平均数为:分. 故选:. 根据众数和平均数的定义计算即可. 本题考查了众数和平均数,解题的关键是掌握众数和中位数的计算方法.一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数. 4.【答案】 【解析】解:的直径为, 的半径为, 点到圆心的距离为, 点在上. 故选:. 先求出的半径,再根据点与圆的位置关系求解即可. 本题考查的是点与圆的位置关系,熟知点与圆的三种位置关系是解题的关键. 5.【答案】 【解析】解:根据题意可知,正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形, 其中阴影部分的面积为个面积相等的三角形, 指针落在阴影部分的概率是. 故选:. 根据题意可知,正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形,其中阴影部分的面积为个面积相等的三角形,根据概率公式可知,指针落在阴影部分的概率等于阴影部分的面积除以正八边形的面积,计算即可. 本题考查的是几何概率,三角形的面积和多边形的对角线,熟练掌握概率的计算是解题的关键. 6.【答案】 【解析】解:连接, , ,, , . 故选:. 连接,先根据三角形内角和定理求出的度数,再由圆周角定理求出的度数,根据三角形内角和定理求出的度数,进而可得出结论. 本题考查的是圆周角定理,三角形内角和定理,圆心角、弧、弦的关系,根据题意作出辅助线,构造出三角形是解题的关键. 7.【答案】 【解析】解:解方程可得或, 当的底为时,则三角形的三边长为、、,满足三角形三边关系,其周长为, 当的底为时,则三角形的三边长为、、,不满足三角形三边关系,舍去, 的周长为. 故答案选:. 先求得方程的两根,再把方程两根分别为底可求得三角形的三边长,即可求得答案. 本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形的性质、解一元二次方程,解题的关键是熟练的掌握以上知识. 8.【答案】 【解析】解:连接、, 四边形为的内接四边形, , , , ,即弧所对的圆心角的度数为, 故选:. 连接、,根据圆内接四边形的性质得到,根据题意求出,再根据圆周角定理解答即可. 本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理,掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键. 9.【答案】 【解析】解:由题意,设每张床提高个元,获得利润为元, . 取整数, 当或时,最大, 又当时,每张床提高元,床位的个数最小, 投资少,为了投资少而获利大,每个床收费应提高元. 故选:. 依据题意,先列出二次函数解析式,再根据二次函数的性质即可求解. 本题主要考查了二次函数的应用,解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键. 10.【答案】 【解析】解:根据题意,得,则, 与的函数关系式为 故选:. 利用圆的周长公式,根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长得到关于和的等式,将表示成的函数即可. 本题考查函数关系式,掌握圆的周长计算公式、圆锥的侧面开展的扇形的弧长等于圆锥的底面周长是解题的关键. 11.【答案】相交 【解析】解:的半径为,圆心到直线的距离为, 又, 直线与的位置关系是:相交. 故答案为:相交. 由的半径为,圆心到直线的距离为,利用直线和圆的位置关系:若,则直线与圆相交;若,则直线于圆相切;若,则直线与圆相离判断即可求得答案. 此题考查了直线与圆的位置关系,注意解决此类问题可通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完成判定. 12.【答案】 【解析】解:把代入方程得:, 解得. 故答案为:. 把代入方程得:,然后通过解方程确定的值. 本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.也考查了一元二次方程的定义. 13.【答案】甲 【解析】解:甲、乙两人每人次跳远的平均成绩都是米,米,米, , 两名男生中成绩较稳定的是甲; 故答案为:甲. 根据方差的意义即方差越小数据越稳定,从而得出答案. 本题考查了方差.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定. 14.【答案】 【解析】根据正多边形的性质、三角形内角和定理以及等腰三角形的性质可求出的度数,同理可求出的度数,再根据即可求出结论. 【解答】 解:六边形为正六边形, , , . 四边形为正方形, ,, , , . 故答案为:. 本题考查了多边形内角与外角、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理,根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求出、的度数是解题的关键. 15.【答案】 【解析】解:如图:连接,以点为圆心,以长为半径作圆,交格点为点,点, 由题意得:, 的长度是, 故答案为:. 根据为的外心,可得,从而以点为圆心,以长为半径作圆,交格点为点,点,然后利用勾股定理进行计算即可解答. 本题考查了三角形的外接圆与外心,勾股定理,准确熟练地进行计算是解题的关键. 16.【答案】 【解析】解:如图,根据题意可知,,,, 在中,,, ,, 在中,,, , . 故答案为: 根据方向角的定义和题意画出相应的图形,再根据直角三角形的边角关系即可求出答案. 本题考查方向角,理解方向角的定义,掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键. 17.【答案】,; ,. 【解析】, , 或, ,; , , , 或, ,. 利用直接开方法求解即可. 利用因式分解法解方程即可. 本题考查了一元二次方程的解法,解一元二次方程常用的方法有:直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法;要根据方程的特点灵活选用合适的方法. 18.【答案】见解析; . 【解析】证明:, ,,, , 该方程总有两个实数根. 该方程的两根互为相反数, , . 根据一元二次方程列出根的判别式,即可做出判断; 根据一元二次方程根与系数关系列式求解即可. 此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系,熟练掌握相关知识并准确计算是解题的关键. 19.【答案】解:, , ; 作于, 则, 又, , 圆心到的距离为. 【解析】先依据三角形的外角的性质求得的度数,然后再根据圆周定理求解即可; 利用三角形中位线的性质得出,即可得出答案. 此题主要考查了圆周角定理以及三角形中位线定理,根据已知得出是解题关键. 20.【答案】,,; 人; 平时应加强体能训练,答案不唯一,只要合理即可. 【解析】, , 将七年级名男生的测试成绩从小到大排列为:, 排在第,位的是,, 中位数. 故答案为:,,; 人, 答:估计七年级名男生中约有人体能测试能达到优秀; 平时应加强体能训练,答案不唯一,只要合理即可. 根据随机抽取了七年级名男生可得的值,减去其他组的频率可得,根据中位数的定义求解可得的值; 总人数乘以样本中体能测试能达到优秀的男生的频率可得; 根据上述统计分析情况写一条看法,只要合理即可. 本题考查了中位数、平均数、众数和样本估计总体,频数分布直方提,读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键. 21.【答案】解: ; 不公平, 根据题意画图如下: 共有种情况,和为偶数的情况有种, 牌面数字之和为偶数的概率是, 甲参加的概率是,乙参加的概率是, 甲参加的概率乙参加的概率, 这个游戏不公平. 【解析】解:共名志愿者,女生人, 选到女生的概率是, 故答案为:; 不公平, 根据题意画图如下: 共有种情况,和为偶数的情况有种, 牌面数字之和为偶数的概率是, 甲参加的概率是,乙参加的概率是, 甲参加的概率乙参加的概率, 这个游戏不公平. 直接利用概率公式求出即可; 利用树状图表示出所有可能,进而利用概率公式求出即可. 此题主要考查了游戏公平性以及概率公式应用,正确画出树状图是解题关键. 22.【答案】这两年粮食产量的平均增长率约为; 预测年我国粮食产量能突破万亿斤. 【解析】设这两年粮食产量的平均增长率为, 由题意得:, 解得:,不符合题意,舍去, 答:这两年粮食产量的平均增长率约为; 万亿斤万亿斤, 答:预测年我国粮食产量能突破万亿斤. 设这两年粮食产量的平均增长率为,根据年和年我国粮食产量,列出一元二次方程,解之取符合题意的值即可; 根据题意列式计算,再比较即可得出结论. 本题考查了一元二次方程的应用以及近似数和有效数字,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键. 23.【答案】解:结论:是的切线. 理由:四边形是平行四边形, 又, 四边形是菱形, , ,都是等边三角形, , , , 是直径,, , 四边形是矩形, , 是的切线; 证明:由可知:,, 是等边三角形, ; 解:在中,,,, ,, . 【解析】根据平行四边形的的性质以及证明即可; 只要证明是等边三角形即可解决问题;求出、,阴影部分的面积即可解决问题. 本题考查切线的判定、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、扇形面积公式,解题的关键是证明三角形是等边三角形以及用计算. 24.【答案】 减小 【解析】解:【观察】由题意,, , , ; 由、、、知, 对于,,; 对于,,; 对于,,; 对于,,. 可以发现的值从逐渐减小到,的值从逐渐增大到, 的值随值的增大而减小. 故答案为:,,减小. 【尝试】由题意,, , , 变形为, ,. 【拓展】由题意,一元二次方程经过变形可写成,即. ,. . , . . 的最大值为. 故答案为:. 【观察】依据题意,由,则,故,可得的值;再结合表格数据即可判断得解; 【尝试】依据题意,由,则,从而,结合变形为,进而可以判断得解; 【拓展】依据题意,由一元二次方程经过变形可写成,即,可得,,故,又,则,可得,最后即可判断得解. 本题主要考查了解一元二次方程因式分解法、解一元二次方程公式法、不等式的性质、函数的表示方法,解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键. 25.【答案】元 , 元 【解析】解:任务, 在中,,的面积,其种植成本为元. 在中,因为大正方形边长为,小正方形边长为,,所以,, 则,其种植成本为元. 那么种花卉的总成本元. 小正方形的面积为的面积为,的面积为,以为圆心、半径为的圆的面积为, 所以五边形的面积铺设地砖的成本为元. 大正方形花坛建设的总成本 元. 因为在上,,即. 故答案为:元,元,元,; 任务: 甲公司:投标价元,元. 乙公司:投标价元,元. 丙公司:投标价元,元. 总成本 是二次函数,开口向上,对称轴为顶点最低. 当时,元, 当是,元, 当时,总成本在元到元之间.甲公司元、乙公司元、丙公司元,均远大于实际最大总成本约元甲公司成本最低,与实际成本的差距最小,更可能满足条件. 甲公司更容易中标. 任务:计算种花卉的总成本, 分析:需分别计算两个三角形和的面积,再结合各自的种植单价,将两者成本相加得到总成本.核心是利用三角形面积公式底高,把面积转化为含变量的表达式,再乘以单价计算成本. 计算铺设地砖的总成本, 分析:地砖铺设区域为五边形,其面积需用小正方形的总面积,减去花卉种植的两个三角形面积和圆形区域面积.得到地砖面积后,乘以地砖单价即为总成本.核心是通过“总面积减非地砖区域面积”确定地砖面积. 计算大正方形花坛建设的总成本, 分析:总成本为花卉种植成本、地砖铺设成本与固定成本元的总和.将前两问得到的成本表达式代入求和,化简后得到含的总成本公式. 确定的取值范围, 分析:表示的长度,而点在上,长为,因此需满足大于且小于,即; 任务:确定中标公司及实施方案, 分析:根据利润率公式成本投标价利润率,先算出各公司对应的总成本,再代入总成本表达式解方程.结合的取值范围,判断哪个公司的方程有符合条件的解,进而确定中标公司及对应的长度即值. 本题结合公司招标,考查三角形的面积,圆的面积和计算能力. 第1页,共1页 学科网(北京)股份有限公司 $$