专题1.4空间向量及其运算的坐标表示重难点题型讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题1.4空间向量及其运算的坐标表示重难点题型专训 （3个知识点+6大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 空间向量的坐标表示 题型二 空间向量的坐标运算 题型三 空间向量模长的坐标表示 题型四 空间向量平行的坐标表示 题型五 空间向量垂直的坐标表示 题型六 空间向量夹角余弦的坐标表示 拓展训练一 空间向量数量积运算的坐标表示 拓展训练二 根据空间向量的坐标运算求参数 知识点一：空间直角坐标系 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz. ②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．空间一点的坐标 在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 【即时训练】 1．（24-25高二上·广东汕头·期末）已知空间直角坐标系中，O为坐标原点，点，则向量的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标表示得解. 【详解】依题意，. 故选：A 2．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）如图所示，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为 . 【答案】 【分析】根据题目条件确定长度关系标注坐标即可； 【详解】因为的坐标为， 所以 所以,, 故答案为：. 知识点二：空间向量的坐标运算 1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 【即时训练】 1．（22-23高二上·广东茂名·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用空间向量减法运算律计算即可. 【详解】解析： 故选:. 2．（24-25高二下·江苏南京·期末）若空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入投影向量坐标公式，即可求解. 【详解】向量在向量上的投影向量的坐标是. 故选：D 知识点三：用空间向量的坐标运算解决相关的几何问题 1．空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝＝； cos〈a，b〉＝＝ . 2．空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝||＝. 3．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路: (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用空间向量的坐标运算可以求得． 【即时训练】 1．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知 ，且，则（ ） A．-5 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据向量平行得对应坐标成比例可列方程求解. 【详解】因为 ，且， 所以，解得. 故选：D. 2．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知空间向量，，且满足，则 . 【答案】 【分析】由空间向量垂直向量的坐标表示求解即可. 【详解】，，且满足， 则，解得：. 故答案为：. 【经典例题一 空间向量的坐标表示】 【例1】（23-24高二·江苏·课后作业）已知点，若向量，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设，再由向量的坐标，列出方程，即可得到结果. 【详解】设，因为，且， 则，所以，即. 故选：A 【例2】（23-24高二·湖南·课后作业）在正方体中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，分别求，，的坐标． 【答案】见解析. 【分析】利用正方体的几何特征建立空间直角坐标系，求出点的坐标，由此即可求出向量坐标. 【详解】如图所示建立空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，，. 1．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点，则点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据终点坐标减去起点坐标，即为所求向量的坐标，即可得解. 【详解】设， 则， 所以，解得， 所以点坐标为. 故选：B. 2．（22-23高二上·广东·期末）如图，正方体的棱长为2，，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求得. 【详解】依题意，，所以， 所以. 故选：D 3．（22-23高二上·吉林白城·阶段练习）如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标是 【答案】 【分析】根据已知先求坐标，然后结合图形可得坐标，然后可得答案. 【详解】因为，为坐标原点，所以， 又因为为正方体，所以 所以. 故答案为： 4．（22-23高二·全国·课堂例题）已知是单位正交基底，分别写出下列空间向量的坐标： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据给出的空间向量，即可写出空间向量的坐标. 【详解】（1）由题意， 是单位正交基底，， ∴. （2）由题意， 是单位正交基底，， ∴. （3）由题意， 是单位正交基底，， ∴. （4）由题意， 是单位正交基底，， ∴. 【经典例题二 空间向量的坐标运算】 【例1】（24-25高二上·北京·期中）空间直角坐标系中，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的坐标运算法则计算可得结果. 【详解】由可得. 故选：C 【例2】（23-24高二·湖南·课后作业）已知，，求，，． 【答案】，， 【分析】直接根据向量的加减数乘的坐标运算即可得解. 【详解】， ， ． 1．（24-25高二下·江苏南京·期末）若空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入投影向量坐标公式，即可求解. 【详解】向量在向量上的投影向量的坐标是. 故选：D 2．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在直三棱柱中，，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．为与的交点，点为空间中一点，且满足，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接由，所以，化成方程组且求解即可. 【详解】由题意知：，设点， 则，，，， 因为，，所以， 且，则 解得：， 所以点． 故选：C. 3．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知，向量，若，则 . 【答案】 【分析】根据空间向量数量积的坐标表示，建立方程，可得答案. 【详解】由得，， 解得，所以. 故答案为：. 4．（23-24高二上·海南·期中）如图，在长方体中，，分别为，的中点，是线段上一点，满足，若，则 ． 【答案】/. 【分析】建立合适空间直角坐标系，分别表示出的坐标，由此得到关于的方程组，解出方程组则结果可知. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设， 因为，分别为，的中点，所以，所以， 又因为，所以，所以， 又因为，， 所以，所以，解得，所以， 故答案为：##. 【经典例题三 空间向量模长的坐标表示】 【例1】（24-25高二下·甘肃酒泉·期末）已知点A的坐标是，则（ ） A．5 B．6 C． D．5 【答案】C 【分析】根据空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】根据题意. 故选：C. 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）已知点、、，求向量、的长度. 【答案】，. 【分析】求出两个向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果. 【详解】解：由已知可得，， 因此，，. 1．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知空间向量，则（ ） A． B． C．2 D．14 【答案】B 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】, 故选：B 2．（24-25高二上·陕西榆林·期中）某公司利用无人机进行餐点即时的送，利用空间坐标表示无人机的位置，开始时无人机在点处起飞，6秒后到达点处，15秒后到达点处，若，则（ ） A． B．120 C．150 D．210 【答案】C 【分析】利用向量加法的坐标运算求得，可求. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：C. 3．（24-25高二上·湖南益阳·期末）已知两个向量，则 . 【答案】 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】, 故答案为： 4．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，正方体的棱长为1，动点M在线段上，动点P在平面上，且平面． (1)当点M与点C重合时，求线段AP的长度； (2)求线段AP长度的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，再由向量模长的坐标公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由向量模长的坐标公式，代入计算，即可求解. 【详解】（1）如图，以D为坐标原点，DA、DC、所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标 系，则，，． 设，，则，，．因为平面， 所以得 当点M与点C重合时，，，此时， 则AP的长度为. （2）， 即线段AP长度的最小值为. 【经典例题四 空间向量平行的坐标表示】 【例1】（24-25高二下·江苏南京·期中）设向量则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量共线得，解出即可求解. 【详解】 故选：D. 【例2】（23-24高二·全国·课堂例题）若，则对吗？ 【答案】答案见解析 【详解】不一定正确，因为可能为0，只有，时才有成立． 1．（24-25高二下·福建宁德·期末）已知向量，，若与共线，则实数值为（ ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【分析】利用空间向量共线列式求出即可. 【详解】由向量，共线，得，解得， 所以. 故选：B 2．（24-25高二下·江苏盐城·期末）向量，，若，则实数m的值为（ ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】利用向量共线列式求解. 【详解】向量，，由，得， 所以. 故选：D 3．（24-25高二上·广西玉林·期末）已知，，且，则 . 【答案】6 【分析】根据列出比例式，求解即可. 【详解】因为，所以，，解得. 故答案为：6. 4．（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）已知向量，，. (1)求； (2)若，求实数，的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据空间向量运算的坐标表示即可求解； （2）根据空间共线向量的坐标表示计算即可求解. 【详解】（1），， ； （2），， 若，则，解得，， 经检验，符合题意，所以，. 【经典例题五 空间向量垂直的坐标表示】 【例1】（24-25高一下·黑龙江·期末）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据向量垂直的性质，两个垂直向量的数量积为，由此可列出关于的方程，进而求解的值. 【详解】已知， 所以 解得： 故选：B. 【例2】（24-25高二·全国·课后作业）已知，且与互相垂直，求k的值． 【答案】 【分析】利用空间向量垂直的数量积公式，即可求解. 【详解】因为，所以，，因为与互相垂直， 所以，解得：. 1．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知，且，则实数的值为（ ） A． B．0 C．1 D．5 【答案】C 【分析】利用向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】因为，，所以，解得. 故选：C. 2．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）已知向量，且，则（ ） A．5 B．11 C．-5 D．-11 【答案】C 【分析】根据两个向量垂直其数量积为及向量数量积的坐标运算即可得解. 【详解】因为，且， 所以，得. 故选：C. 3．（24-25高二下·江苏泰州·期末）若向量与垂直，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据空间向量互相垂直则数量积为零列式计算即可. 【详解】向量与垂直， 所以，解得. 故答案为： 4．（22-23高二·全国·课堂例题）（1）已知，且，求x，y，z所要满足的关系式； （2）已知，求一个非零空间向量，使得且． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据平行即可得出x，y，z所要满足的关系式； （2）由两向量垂直得出向量的含字母表达式，即可得出一个非零空间向量. 【详解】（1）由题意， ∵的每一个坐标分量均不为零， ∴． （2）由题意 设，则 且 将z看成已知数，求解方程组可得． ∴． 取， 可得满足条件的一个非零空间向量． 【经典例题六 空间向量夹角余弦的坐标表示】 【例1】（24-25高二上·湖南邵阳·期中）已知空间向量，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量数量积的坐标表示可得，进而求解. 【详解】由题意知，， 所以，则. 故选：A 【例2】（23-24高二上·上海·课后作业）求向量与的夹角. 【答案】 【分析】利用向量夹角的坐标表示来求解. 【详解】因为，， 所以， 因为，所以. 1．（2024高三·全国·专题练习）已知，则（ ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】利用向量夹角公式的坐标运算，即可求解. 【详解】， 故选：B. 2．（24-25高二上·广西·期中）已知点，，向量，求向量与夹角的余弦值（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量夹角的坐标公式计算即可. 【详解】由题可知点， 所以. 故选：B. 3．（上海市宝山区2024-2025学年高二下学期期末教学质量监测数学试卷）向量与的夹角是 . 【答案】 【分析】根据空间向量夹角余弦值的坐标表示即可得到答案. 【详解】，因为 则其夹角为. 故答案为：. 4．（23-24高二·湖南·课后作业）已知，，三点，求的值． 【答案】 【分析】根据空间向量的数量积的坐标表示计算． 【详解】由已知， 所以． 【拓展训练一 空间向量数量积运算的坐标表示】 【例1】（24-25高二下·江苏南京·期中）已知，则（ ） A．11 B． C．45 D．3 【答案】A 【分析】先根据空间向量的线性运算得出，再应用数量积公式计算求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选： 【例2】（23-24高二上·新疆·阶段练习）已知，，. (1)求的值； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据向量的坐标运算以及数量积的坐标运算即可求解. 【详解】（1）由，可得，. ，故 （2），，可得，，故 1．（24-25高二上·广东江门·阶段练习）已知O为坐标原点，向量，点Q在直线上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由空间向量共线设求出点坐标，进而表示出，，再利用向量的数量积和二次函数知识解答即可； 【详解】因点Q在直线上运动，则，有，于是有， 因此，，， 于是得， 则当时，，此时，点Q， 所以当取得最小值时，点Q的坐标为， 故选：D. 2．（23-24高二上·北京·期中）已知空间直角坐标系中，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，即，然后计算出，由二次函数性质得最小值，从而得出值，即得点坐标． 【详解】设，即， ， 时，取得最小值，此时点坐标为． 故选：C． 3．（24-25高二上·天津·期末）已知向量，，且，夹角为钝角，则的取值范围 【答案】 【分析】利用向量数量积的坐标表示结合向量共线求解即可. 【详解】因为，夹角为钝角，所以，且，不共线， 所以，解得且， 即的取值范围为， 故答案为： 4．（24-25高二·全国·课后作业）已知，求. 【答案】，，，， 【分析】利用空间向量线性运算与数量积的坐标表示即可得解. 【详解】由题意， ， ， ， ， . 【拓展训练二 根据空间向量的坐标运算求参数】 【例1】（24-25高二下·甘肃甘南·期末）已知向量，，，若共面，则x等于（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用空间共面向量定理求解作答. 【详解】因为向量，，，且共面， 则存在实数，使得 ， 即， 所以，解得. 所以，即 故选：C 【例2】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知. (1)求； (2)当时，求实数k的值. 【答案】(1)2 (2)－1 【分析】（1）由向量数量积的坐标表示即可求解； （2）由平行得到，构造等式求解即可. 【详解】（1）， 所以 （2）因为， 若，则存在，使得 即， 所以，解得， 所以实数k的值为－1. 1．（24-25高二上·福建福州·期中），若三向量共面，则实数等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用共面向量基本定理结合空间向量的坐标运算列方程组求出结果即可． 【详解】由于，，，若三向量共面， 故，整理得， 故，解得． 故选：B． 2．（24-25高二上·广东清远·期中）已知空间向量，若共面，则（ ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】运用空间向量共面的定理，结合坐标运算即可. 【详解】因为若共面，则，即， 故，解得 故选:B. 3．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知向量，若共面，则 ． 【答案】7 【分析】由空间向量共面，列出等式求解即可； 【详解】因为共面， 所以， 即，解得： 故答案为：7 4．（23-24高二上·海南三亚·期中）若. （1）若，求实数k的值； （2）若，求实数k的值； 【答案】（1）； （2）. 【分析】（1）根据    和，写出和的坐标，利用向量平行的坐标运算，可求出. （2）根据向量垂直的坐标运算，可求出. 【详解】∵， ∴， （1）∵ ∴，解得 （2）∵ ∴， 得， 解得 【点睛】本题考查向量的平行和垂直的坐标运算，属于基础题. 1．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由投影向量的定义可求得结果. 【详解】向量在坐标平面上的投影向量是. 故选：C. 2．（24-25高二下·云南昆明·开学考试）若向量，则（ ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【分析】利用空间向量的坐标运算求解即得. 【详解】由，， 得，而， 所以. 故选：D 3．（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知，，则的值为（ ） A．4 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】由题意知，. 故选：C 4．（24-25高二下·江苏南通·期末）已知向量，，且，则（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用空间向量共线的坐标公式列式求解. 【详解】因为向量，，且，所以，解得. 故选：A 5．（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知向量，，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由空间向量平行的坐标表示求解. 【详解】向量，，由，得， 解得，，所以. 故选：D. 6．（多选题）（24-25高二下·甘肃白银·期中）已知向量，点，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据向量模长的坐标表示即可判断AB；根据向量垂直和平行的坐标表示即可判断CD. 【详解】因为，所以，故A错误，B正确； 若，则，得，故C正确； 若，则，得，故D正确． 故选：BCD. 7．（多选题）（24-25高二上·吉林四平·期中）已知空间向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示可判断A选项；利用空间向量共线的坐标表示可判断B选项；利用空间向量的模长公式可判断CD选项. 【详解】对于A选项，， 则，所以，，A对； 对于B选项，，， 因为，所以，与不共线，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D对. 故选：ACD. 8．（多选题）（25-26高二上·全国·单元测试）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．是直线的一个方向向量 C． D．若点是点在平面内的射影，则 【答案】BC 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可判断A；根据共线向量的坐标表示即可判断B；根据向量夹角的坐标表示计算即可判断C；根据向量的模的坐标表示计算即可判断D. 【详解】列表解析： 选项 正误 原因 A × ，，因为， 所以，解得. B √ ，， 则是直线AB的一个方向向量. C √ ， 则. D × 易知点在Oyz平面内的射影为， 可知，即可得. 故选：BC. 9．（多选题）（24-25高二上·重庆·期中）已知空间向量，，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】BC 【分析】对于A，利用空间向量垂直的性质判断；对于B，利用空间向量平行的性质即可判断；对于C，根据空间向量坐标运算计算出，利用模长公式计算，从而得以判断；对于D，利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可判断. 【详解】对A，因为，，即，解得，故A错误； 对B，因为，所以存在实数，使得， 则，即， 解得，，故B正确； 对C，当时，，， ，故C正确； 对D，当时，， ，故D不正确. 故选：BC. 10．（多选题）（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）若，，与的夹角为120°，则的值为（   ） A．17 B． C． D．1 【答案】AC 【分析】根据空间向量夹角公式得到方程，求出或. 【详解】由题意得，即， 化简得，解得或 故选：AC 11．（24-25高二下·福建莆田·期末）下图是一个机器人手臂的示意图，该手臂分为三段，分别可用向量，，代表，用向量代表整条手臂，则 . 【答案】 【分析】根据向量的模的坐标公式即可求出结果. 【详解】由题意可知，. 所以. 故答案为：. 12．（24-25高二下·福建龙岩·期末）已知，，，若，则的值为 . 【答案】 【分析】先求出，再根据可得，利用空间向量垂直的坐标运算列式可求的值. 【详解】因为，，所以， 由得，又， 所以，解得. 故答案为： 13．（24-25高二下·上海·阶段练习）向量 且 ，则实数 . 【答案】/ 【分析】利用向量的坐标运算，再结合向量平行列式计算，即可求解. 【详解】，， 因为，所以， 即， 有， 故实数 . 故答案为： 14．（24-25高二下·甘肃天水·阶段练习）已知向量，，若，，三点共线，则 【答案】 【分析】由条件可得，共线，结合向量共线关系列方程求，，由此可得结论. 【详解】因为，，三点共线， 所以，共线，即，又， 故存在实数t使得，又，， 所以，，， 所以，， 所以， 故答案为：. 15．（24-25高二上·广西来宾·期末）已知，，且，则 . 【答案】 【分析】由向量平行的坐标表示求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为： 16．（23-24高二上·山东聊城·阶段练习）已知，在棱长为2的正四面体中，以的中心为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示，为的中点，求的坐标. 【答案】. 【分析】利用空间坐标系中向量坐标求法，结合向量的运算进行求解. 【详解】易知的中线长为，则， ， 设分别是轴正方向上的单位向量，轴与的交点为， 则， . .    17．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知向量. (1)求； (2)求； (3)求向量与的夹角． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算及向量模的坐标表示求解； （2）根据空间向量的数量积的坐标运算求解； （3）根据空间向量垂直的坐标表示计算即可得解. 【详解】（1）∵， ， . （2）， ， 则. （3）， ， ， 则， 所以向量与的夹角为. 18．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）已知空间中三点、、，设，. (1)若向量与互相垂直，求的值； (2)若，且与共线，求向量. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出向量、的坐标，进而求出向量的坐标，由题意可得出，结合空间向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，解之即可； （2）设，其中，求出的值，利用向量模的性质求出的值，即可得出向量的坐标. 【详解】（1）由题意可得，， 所以，， 因为向量与互相垂直，则，解得. （2）由题意可得，则， 因为与共线，设，其中，则，解得， 当时，；当时，. 综上所述，或. 19．（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）对于空间任意两个非零向量，定义新运算：. (1)若向量.求； (2)若两个单位向量满足，求向量夹角的余弦值. 【答案】(1)0； (2)； 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算求出，再利用给定定义求解即得. （2）利用数量积的运算律及给定的定义，列式求出向量夹角的余弦值. 【详解】（1）由，得，则， 所以. （2）由是单位向量，得， 设的夹角为，则， ，而， 因此，解得， 所以夹角的余弦值为. 20．（24-25高二上·吉林四平·期中）已知向量. (1)若，求的值； (2)求的最小值. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由空间向量垂直的坐标运算得到方程，即可求解； （2）计算出，利用模长公式得到，求出最小值. 【详解】（1）因为，所以， 即，解得； （2）因为向量，所以， 所以， 所以当时，取得最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4空间向量及其运算的坐标表示重难点题型专训 （3个知识点+6大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 空间向量的坐标表示 题型二 空间向量的坐标运算 题型三 空间向量模长的坐标表示 题型四 空间向量平行的坐标表示 题型五 空间向量垂直的坐标表示 题型六 空间向量夹角余弦的坐标表示 拓展训练一 空间向量数量积运算的坐标表示 拓展训练二 根据空间向量的坐标运算求参数 知识点一：空间直角坐标系 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz. ②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．空间一点的坐标 在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 【即时训练】 1．（24-25高二上·广东汕头·期末）已知空间直角坐标系中，O为坐标原点，点，则向量的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）如图所示，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为 . 知识点二：空间向量的坐标运算 1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 【即时训练】 1．（22-23高二上·广东茂名·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏南京·期末）若空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 知识点三：用空间向量的坐标运算解决相关的几何问题 1．空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝＝； cos〈a，b〉＝＝ . 2．空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝||＝. 3．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路: (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用空间向量的坐标运算可以求得． 【即时训练】 1．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知 ，且，则（ ） A．-5 B． C．4 D． 2．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知空间向量，，且满足，则 . 【经典例题一 空间向量的坐标表示】 【例1】（23-24高二·江苏·课后作业）已知点，若向量，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二·湖南·课后作业）在正方体中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，分别求，，的坐标． 1．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点，则点坐标为（ ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·广东·期末）如图，正方体的棱长为2，，且，则（ ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·吉林白城·阶段练习）如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标是 4．（22-23高二·全国·课堂例题）已知是单位正交基底，分别写出下列空间向量的坐标： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题二 空间向量的坐标运算】 【例1】（24-25高二上·北京·期中）空间直角坐标系中，，则（ ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二·湖南·课后作业）已知，，求，，． 1．（24-25高二下·江苏南京·期末）若空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在直三棱柱中，，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．为与的交点，点为空间中一点，且满足，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知，向量，若，则 . 4．（23-24高二上·海南·期中）如图，在长方体中，，分别为，的中点，是线段上一点，满足，若，则 ． 【经典例题三 空间向量模长的坐标表示】 【例1】（24-25高二下·甘肃酒泉·期末）已知点A的坐标是，则（ ） A．5 B．6 C． D．5 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）已知点、、，求向量、的长度. 1．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知空间向量，则（ ） A． B． C．2 D．14 2．（24-25高二上·陕西榆林·期中）某公司利用无人机进行餐点即时的送，利用空间坐标表示无人机的位置，开始时无人机在点处起飞，6秒后到达点处，15秒后到达点处，若，则（ ） A． B．120 C．150 D．210 3．（24-25高二上·湖南益阳·期末）已知两个向量，则 . 4．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，正方体的棱长为1，动点M在线段上，动点P在平面上，且平面． (1)当点M与点C重合时，求线段AP的长度； (2)求线段AP长度的最小值． 【经典例题四 空间向量平行的坐标表示】 【例1】（24-25高二下·江苏南京·期中）设向量则（ ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二·全国·课堂例题）若，则对吗？ 1．（24-25高二下·福建宁德·期末）已知向量，，若与共线，则实数值为（ ） A． B．6 C．3 D． 2．（24-25高二下·江苏盐城·期末）向量，，若，则实数m的值为（ ） A． B．1 C．2 D． 3．（24-25高二上·广西玉林·期末）已知，，且，则 . 4．（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）已知向量，，. (1)求； (2)若，求实数，的值. 【经典例题五 空间向量垂直的坐标表示】 【例1】（24-25高一下·黑龙江·期末）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ） A． B．1 C．2 D．4 【例2】（24-25高二·全国·课后作业）已知，且与互相垂直，求k的值． 1．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知，且，则实数的值为（ ） A． B．0 C．1 D．5 2．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）已知向量，且，则（ ） A．5 B．11 C．-5 D．-11 3．（24-25高二下·江苏泰州·期末）若向量与垂直，则实数的值为 ． 4．（22-23高二·全国·课堂例题）（1）已知，且，求x，y，z所要满足的关系式； （2）已知，求一个非零空间向量，使得且． 【经典例题六 空间向量夹角余弦的坐标表示】 【例1】（24-25高二上·湖南邵阳·期中）已知空间向量，，则（ ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·上海·课后作业）求向量与的夹角. 1．（2024高三·全国·专题练习）已知，则（ ） A． B． C．0 D．1 2．（24-25高二上·广西·期中）已知点，，向量，求向量与夹角的余弦值（ ） A． B． C． D． 3．（上海市宝山区2024-2025学年高二下学期期末教学质量监测数学试卷）向量与的夹角是 . 4．（23-24高二·湖南·课后作业）已知，，三点，求的值． 【拓展训练一 空间向量数量积运算的坐标表示】 【例1】（24-25高二下·江苏南京·期中）已知，则（ ） A．11 B． C．45 D．3 【例2】（23-24高二上·新疆·阶段练习）已知，，. (1)求的值； (2). 1．（24-25高二上·广东江门·阶段练习）已知O为坐标原点，向量，点Q在直线上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·北京·期中）已知空间直角坐标系中，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·天津·期末）已知向量，，且，夹角为钝角，则的取值范围 4．（24-25高二·全国·课后作业）已知，求. 【拓展训练二 根据空间向量的坐标运算求参数】 【例1】（24-25高二下·甘肃甘南·期末）已知向量，，，若共面，则x等于（ ） A． B．1 C． D． 【例2】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知. (1)求； (2)当时，求实数k的值. 1．（24-25高二上·福建福州·期中），若三向量共面，则实数等于（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东清远·期中）已知空间向量，若共面，则（ ） A．-1 B．0 C．1 D．2 3．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知向量，若共面，则 ． 4．（23-24高二上·海南三亚·期中）若. （1）若，求实数k的值； （2）若，求实数k的值； 1．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·云南昆明·开学考试）若向量，则（ ） A．5 B．7 C．8 D．10 3．（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知，，则的值为（ ） A．4 B．0 C． D． 4．（24-25高二下·江苏南通·期末）已知向量，，且，则（ ） A． B． C．1 D．2 5．（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知向量，，若，则（ ） A． B． C． D． 6．（多选题）（24-25高二下·甘肃白银·期中）已知向量，点，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 7．（多选题）（24-25高二上·吉林四平·期中）已知空间向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）（25-26高二上·全国·单元测试）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．是直线的一个方向向量 C． D．若点是点在平面内的射影，则 9．（多选题）（24-25高二上·重庆·期中）已知空间向量，，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 10．（多选题）（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）若，，与的夹角为120°，则的值为（   ） A．17 B． C． D．1 11．（24-25高二下·福建莆田·期末）下图是一个机器人手臂的示意图，该手臂分为三段，分别可用向量，，代表，用向量代表整条手臂，则 . 12．（24-25高二下·福建龙岩·期末）已知，，，若，则的值为 . 13．（24-25高二下·上海·阶段练习）向量 且 ，则实数 . 14．（24-25高二下·甘肃天水·阶段练习）已知向量，，若，，三点共线，则 15．（24-25高二上·广西来宾·期末）已知，，且，则 . 16．（23-24高二上·山东聊城·阶段练习）已知，在棱长为2的正四面体中，以的中心为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示，为的中点，求的坐标. 17．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知向量. (1)求； (2)求； (3)求向量与的夹角． 18．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）已知空间中三点、、，设，. (1)若向量与互相垂直，求的值； (2)若，且与共线，求向量. 19．（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）对于空间任意两个非零向量，定义新运算：. (1)若向量.求； (2)若两个单位向量满足，求向量夹角的余弦值. 20．（24-25高二上·吉林四平·期中）已知向量. (1)若，求的值； (2)求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$