专题13求锐角三角函数值的常见方法练习2024—2025学年北师大版数学九年级下册

专题13求锐角三角函数值的常见方法 类型一　运用定义求锐角三角函数值 1.将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形ABCD，连接AC，则tan∠CAB＝　　　　. 2.如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F，若AB＝6，BC＝8，求cos∠ABF的值. 3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC.D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E.延长ED至点F，使得DF＝DE，连接AE，AF，CF. （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若＝，求tan ∠BCF的值. 类型二　利用等角转换求锐角三角函数值 4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，连接CD.若BC＝4，CD＝3，则sin ∠ACD的值为（　　） A.　　B.　　C.　　D. 5. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE＝3，求sin ∠BFD的值. 6.如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，求∠α的正弦值. 类型三　利用构造（直角三角形）法求锐角三角函数值 7.（2024秋·福田区校级期中）如图，已知∠B的一边在x轴上，另一边经过点A（2，4），顶点的坐标为B（－1，0），则sin B的值是（　　） A.　　B.　　C.　　D. 第7题图 8. 如图，已知AD为等腰△ABC底边上的高，且tan B＝，AC上有一点E，满足AE∶EC＝2∶3.那么tan∠ADE＝（　　） A.　　B.　　C.　　D.　　　　 第8题图 9. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DB平分∠ADC.若AD＝1，CD＝3，则sin∠ABD＝　　　　. 第9题图 10.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算tan 15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan 15°＝＝＝＝2－.类比这种方法，计算tan 22.5°的值为　　　 第10题图　　　　 类型四　利用特殊角求锐角三角函数值 11. 如图，在等边△ABC中，D是BC边上的一点，延长AD至点E，使AE＝AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O，则tan∠AEO＝　　　　. 第11题图 12.如图，在等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的点，AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，求sin∠AFG的值. 第12题图 答案： 1. 2.解：由折叠可得∠DBC＝∠DBF. ∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC，∴∠DBF＝∠ADB， ∴BF＝DF，∴AF＝AD－DF＝8－BF. 在Rt△ABF中，AB2＋AF2＝BF2， ∴62＋（8－BF）2＝BF2，解得BF＝， ∴cos∠ABF＝＝. 3.（1）证明：∵D是AC的中点，∴AD＝CD， ∵DF＝DE，∴四边形AECF是平行四边形. 又∵DE⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形. （2）解：∵＝，∴CE＝4BE，设BE＝a，则CE＝4a， 由（1）可知，四边形AECF是菱形，∴AE＝CE＝4a，AE∥CF，∴∠BEA＝∠BCF. ∵∠ABC＝90°，∴AB＝＝＝a， ∴tan ∠BCF＝tan ∠BEA＝＝＝. 4.A 5.解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4， ∴∠A＝∠B， 由折叠的性质得到△AEF≌△DEF， ∴∠EDF＝∠A，∴∠EDF＝∠B， ∴∠CDE＋∠BDF＋∠EDF＝∠BFD＋∠BDF＋∠B＝180°，∴∠CDE＝∠BFD. 又∵AE＝DE＝3，∴CE＝4－3＝1， ∴在Rt△ECD中，sin ∠CDE＝＝，∴sin∠BFD＝. 6.解：如图，过点D作EF⊥l1，交l1于点E，交l4于点F， ∵EF⊥l1，l1∥l2∥l3∥l4，∴EF和l2，l3，l4的夹角都是90°， 即EF与l2，l3，l4都垂直，∴DE＝1，DF＝2. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝90°，AD＝CD， ∴∠ADE＋∠CDF＝90°. 又∵∠ADE＋∠α＝90°，∴∠α＝∠CDF. ∵AD＝CD，∠AED＝∠DFC＝90°， ∴△ADE≌△DCF，∴DE＝CF＝1. ∴在Rt△CDF中，CD＝＝， ∴sin α＝sin ∠CDF＝＝＝. 7.D　8.C　9.　10.－1　11. 12.解：∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB，∠B＝∠CAD＝60°， 在△ADC和△BEA中， ∴△ADC≌△BEA， ∴∠CDA＝∠AEB，∴∠CEA＝∠CDB， ∴∠CFE＝∠B＝60°，∴∠AFG＝60°，∴sin ∠AFG＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$