专题10图形的相似练习2025—2026学年北师大版数学九年级上册

专题10图形的相似（动点型） 类型一　动点定值问题 1.如图，在直角坐标系中，点A坐标为（1，0），点B坐标为（0，1），E，F是线段AB上的两个动点，且∠EOF＝45°，过点E，F分别作x轴和y轴的垂线CE，DF相交于点P，垂足分别为C，D，设P点的坐标为（x，y），令xy＝k. （1）求证：△AOF∽△BEO； （2）当OC＝OD时，求k的值； （3）在点E，F运动过程中，点P也随之运动，探索：k是否为定值？请证明你的结论. 2.已知△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝8，将△ABC绕点A顺时针旋转α，得到△ADE，连接BD. （1）如图1，当α＝60°时，连接CD，求∠ADC的度数； （2）如图2，连接CE，问BD∶CE的值是否为定值？若是，请说明理由并求出此值； （3）在旋转过程中，当以B，C，A，E为顶点的四边形是平行四边形时，求BD的长. 3.在正方形ABCD中，点G是边AB上的一个动点，点F，E在边BC上，BF＝FE＝AG，且AG≤AB，GF，DE的延长线相交于点P. （1）如图1，当点E与点C重合时，求∠P的度数； （2）如图2，当点E与点C不重合时，问：（1）中∠P的度数是否发生变化，若有改变，请求出∠P的度数，若不变，请说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，作DN⊥GP于点N，连接CN，BP，取BP的中点M，连接MN，在点G的运动过程中，求证：为定值. 类型二　动点最值问题 4.如图，在矩形ABCD中，点E为AB上一点，过点D作DP⊥CE于点P，连接DE交AP于点F，点P恰好为CE的中点. （1）请找出图中与△CEB相似的三角形　　　　　　　　（只写答案，不需要写过程）； （2）若＝，求的值； （3）在（2）的条件下，点G，Q分别为DP，DE上的动点，若CP＝2.5，请求出GF＋GQ的最小值. 5.如图1，在正方形ABCD中，点E是边AD上一动点，把△ABE沿BE折叠得到△FBE，连接AF并延长，交CD于点G，过点C作CH⊥AF于点H. （1）求证：∠BFH＝∠BCH； （2）如图2，若点E是AD的中点，连接DF，CF，DH，求证：四边形DFCH是平行四边形； （3）点E在运动过程中，是否存在最大值？如果存在，请把它求出来；如果不存在，请说明理由. 6.如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A，C，E在一条直线上，可以证明△ACD≌△BCE，则AD＝BE. （1）将图1中的△CDE绕点C旋转到图2的位置，猜想此时线段AD与BE的数量关系，并证明你的结论； （2）如图2，连接BD，若AC＝2 cm，CE＝1 cm，现将△CDE绕点C继续旋转，则在旋转过程中，△BDE的面积是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由； （3）如图3，在△ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DE∥AB，将△DCE绕点C按顺时针方向旋转得到△CD'E'（使∠ACD'＜180°），连接BE'，AD'，设AD'分别交BC，BE'于点O，F，若△ABC满足∠ACB＝60°，BC＝，AC＝，求的值及∠BFA的度数. 类型三　动点存在性问题 7.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C、点D，AB与CD相交于点E，线段OA，OC的长是一元二次方程x2－18x＋72＝0的两根（OA＞OC），BE＝5，OB＝OA. （1）求点A、点C的坐标； （2）在x轴上是否存在点P，使点C、点E、点P为顶点的三角形与△DCO相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 8.如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3 cm，AC＝4 cm，动点E从点A出发沿AC方向运动，动点F从点C出发沿CB方向运动，点E，F同时出发，且速度均为1 cm/s，设运动时间为t s（0＜t＜4）.过E作线段EP∥BC，且EP＝BC，连接EF，PF，解答下列问题： （1）当点F运动到BC的中点时，求CE的长； （2）连接PC，当△PFC的面积为1 cm2时，求t的值； （3）是否存在某一时刻t，使△EFP为直角三角形，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由. 答案： 1.（1）证明：由题意得OA＝OB，∠AOB＝90°， ∴∠OAF＝∠OBE＝45°. 又∵∠AOF＝∠AOE＋∠EOF，∠BEO＝∠OAF＋∠AOE，∠EOF＝∠OAF＝45°， ∴∠AOF＝∠BEO，∴△AOF∽△BEO. （2）解：如图，作OM⊥AB于M，则OM＝AB＝. ∵OC＝OD，OA＝OB＝1，∴CE＝DF. 又∵∠OCE＝∠ODF， ∴△OCE≌△ODF，∴OF＝OE， ∴∠EOM＝∠EOF＝22.5°. 又∠COE＝∠AOM－∠EOM＝45°－22.5°＝22.5°＝∠EOM， ∴PC＝PD＝OC＝，∴k＝PC×PD＝. （3）解：如图，作FK⊥OA于点K，EH⊥OB于点H， ∵△AOF∽△BEO， ∴＝， ∴AF×BE＝OA×OB＝1. ∵BE＝HE，AF＝FK， ∴HE×FK＝1，即HE×FK＝， ∴PC×PD＝EH×FK＝，∴k的值为定值. 2.解：（1）∵AB＝AD，∠BAD＝α＝60°，∴△ABD是等边三角形， ∴AD＝BD，∠ADB＝60°. ∵CB＝CA，CD＝CD，∴△BCD≌△ACD（SSS）， ∴∠ADC＝∠BDC＝30°； ∴∠ADC的度数为30°. （2）BD∶CE的值是定值，定值为；理由如下： ∵AB＝AD＝8，AC＝AE＝5，∴＝＝. ∵∠BAD＝∠CAE＝α，∴△BAD∽△CAE， ∴＝＝， ∴BD∶CE的值是定值，这个定值为. （3）①如图1， ∵BC＝AC＝AE，AE∥BC， ∴四边形ABCE是平行四边形， ∴CE＝AB＝8，由（2）可知：＝，∴＝， 解得BD＝； 图1 图2 ②如图2，若AE∥BC，连接BE，如图， ∵BC＝AE＝AC，AE∥BC，∴四边形AEBC是菱形， ∴OA＝OB，OC＝OE. ∵AB＝8，∴OA＝OB＝4. ∵AC＝5，∴OC＝＝＝3，∴CE＝6， 由（2）可知：＝，∴＝，∴BD＝. 综上所述，当B，C，A，E四点构成平行四边形时，BD的长是或. 3.解：（1）∵EF＝BF＝AG，点E与点C重合，∴BF＝CF＝BG＝AG，∴∠BGF＝45°. ∵AB∥CD，∴∠P＝∠BGF＝45°. （2）不变.理由如下：如图1所示，连接BD，取BD的中点O，连接OG，OF，OC. 在正方形ABCD中，有OC＝OB，∠OCF＝∠OBG＝45°， 又∵AG＝BF，∴BG＝CF，∴△OCF≌△OBG（SAS）. ∴OG＝OF，∠COF＝∠BOG，∴∠GOF＝∠BOC＝90°， ∴△GOF为等腰直角三角形. 又∵点O，F分别是BD，BE的中点，∴OF∥DE， ∴∠P＝∠OFG＝45°. 图1 图2 （3）如图2所示，取DP中点Q，连接NQ，BD，MQ， 由题意可得，△DNP为等腰直角三角形， ∵点Q为DP中点，∴NQ⊥DP. 设∠CDP＝α，则∠NDC＝45°＋α，∠BDP＝45°－α， ∵点M，Q分别是BP，DP的中点，∴MQ∥BD， ∴∠MQP＝∠BDP＝45°－α， ∴∠NQM＝90°－（45°－α）＝45°＋α， ∴∠NQM＝∠NDC. ∵＝，＝，∴＝. 又∵△NQD为等腰直角三角形， ∴＝，∴＝＝， ∴△NQM∽△NDC.∴＝＝.∴为定值. 4.解：（1）△DEP和△DCP，理由如下：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，∠B＝∠BCD＝90°，∴∠BEC＝∠DCE. ∵DP⊥CE，点P为CE的中点，∴CD＝DE，∠DPE＝90°， ∴∠DCE＝∠DEP，∴∠DPE＝∠B，∠DEP＝∠BEC， ∴△DEP∽△CEB； ∵DP⊥CE且点P是CE的中点，∴∠DPE＝∠DPC＝90°，PE＝PC， ∴△DPE≌△DPC（SAS），∴△DCP∽△CEB； （2）如图1，延长AP交DC的延长线于点H， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，∴∠H＝∠PAE. ∵点P为CE的中点， ∴PC＝PE， ∴△PCH≌△PEA（AAS）， ∴CH＝AE，PH＝PA. ∵＝，设BE＝3k（k＞0），则BC＝AD＝4k，∠B＝90°，∴EC＝5k， ∴PE＝PC＝EC＝k. ∵△DEP∽△CEB，∴DE∶EC＝DP∶BC＝PE∶BE， 即DE∶5k＝DP∶4k＝k∶3k， ∴DE＝k，DP＝k，由（1）知：CD＝DE， ∴CD＝AB＝k，∴AE＝CH＝AB－BE＝k－3k＝k， ∴DH＝CD＋CH＝k＋k＝k. ∵AB∥DH，∴△AEF∽△HDF， ∴EF∶DF＝AE∶DH＝k∶k＝； （3）∵DP是线段CE的垂直平分线， ∴直线DP是△DCE的对称轴， 作点Q关于DP的对称点Q'，点Q'在DC上，且DQ'＝DQ，连接GQ，GQ'，GF， 当F，G，Q'三点在同一条直线上，且FQ'⊥CD时， GF＋GQ＝GF＋GQ'＝FQ'最小， 由（2）知：PE＝PC＝k， ∵CP＝2.5，∴k＝，解得k＝1， ∴DE＝k＝，AE＝k＝，AD＝4k＝4. ∵EF∶DF＝7∶32，∴DF＝DE＝×＝. ∵FQ'⊥CD，∴∠DQ'F＝90°. ∵∠ADC＝90°，∴∠ADC＋∠DQ'F＝180°， ∴FQ'∥AD，∴△FDQ'∽△DEA， ∴FQ'∶AD＝DF∶DE， 即FQ'∶4＝∶，∴FQ'＝， ∴GF＋GQ的最小值为. 5.（1）证明：由折叠知，BA＝BF，∴∠BAF＝∠BFA. ∵∠ABC＝∠CHA＝90°，∴∠BAH＋∠BCH＝180°. ∵∠BFA＋∠BFH＝180°，∴∠BFH＝∠BCH. （2）证明：如图1， 由折叠知，AE＝EF，AB＝BF，∴BE为AF的垂直平分线，∴∠1＋∠2＝90°. ∵∠1＋∠3＝90°，∴∠2＝∠3. ∵AB＝AD，∠BAE＝∠ADG＝90°， ∴△BAE≌△ADG（ASA），∴AE＝DG， ∵AE＝AD＝CD，∴DG＝CD， ∴DG＝CG＝CD. ∵AE＝EF，AE＝DE，∴AE＝EF＝DE， ∴∠3＝∠4，∠5＝∠6. ∵∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝180°， ∴∠4＋∠5＝90°，∴∠DFG＝90°＝∠CHG. ∵∠DGF＝∠CGH，DG＝CG，∴△DGF≌△CGH（AAS）， ∴CG＝DG，GF＝GH，∴四边形DFCH为平行四边形； 　　 （3）解：存在.如图2，作HN⊥CD于点N， 则∠HNG＝∠ADG＝90°. 又∵∠DGA＝∠NGH， ∴△ADG∽△HNG，∴＝. 又∵＝＝1＋＝1＋， ∴当取最大值时，最大， 又∵正方形AD边长一定，∴当NH取最大值时，最大，设正方形边长为2a， 连接AC，BD交于点O，连接OH，∵∠ADC＝∠AHC＝90°，OA＝OC＝OD＝OB， ∴OH＝AC＝OA＝OC＝OB＝OD，∴A，B，C，D，H都在以O为圆心，OA长为半径的圆上，则当点H为的中点时，HN最长，当点H为的中点时，则点N为CD的中点， ∴ON＝CN＝DN＝CD＝a. 又∵OC＝OA，AD2＝OC2＋OA2＝4a2， ∴OC＝OA＝OH＝a， ∴NH＝（－1）a，∴＝，又1＋＝， ∴的最大值为. 6.解：（1）猜想：AD＝BE. 证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝60°， ∴∠ACB＋∠BCD＝∠ECD＋∠BCD， 即∠ACD＝∠BCE， ∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE； （2）如图所示，当△CDE旋转到该位置时，△BDE的面积最大， 此时，DE边上的高为2＋， ∴△BDE面积的最大值为×1×＝（cm）2； （3）∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴＝. ∵△CD'E'由△CDE绕C点旋转得到，∴CE'＝CE，CD'＝CD，∠DCE＝∠D'CE'＝60°， ∴＝，∴＝. 又∵∠DCE＋∠BCD'＝∠D'CE'＋∠BCD'，即∠ACD'＝∠BCE'，∴△ACD'∽△BCE'， ∴＝＝＝， 由△ACD'∽△BCE'得∠CBE'＝∠CAF， ∴∠BFA＝180°－（∠BAF＋∠ABF）＝180°－（∠BAF＋∠ABC＋∠FAC）＝180°－120°＝60°. 7.解：（1）x2－18x＋72＝0即（x－12）（x－6）＝0， 则x－12＝0，x－6＝0，解得x＝12或x＝6. 又∵OA＞OC，∴OA＝12，OC＝6， ∴点A的坐标是（12，0），点C的坐标是（－6，0）. （2）存在.∵OB＝OA，∴OB＝OA＝16， 则点B的坐标是（0，16）， ∴AB＝＝＝20. 如图，作EF⊥x轴于点F， 则△AEF∽△ABO， ∴＝＝＝＝， ∴＝＝， ∴AF＝9，EF＝12， 则OF＝12－9＝3，则点E的坐标是（3，12）. ∴CF＝3＋6＝9.又EF＝12， ∴CE＝＝15. 设直线CD的表达式是y＝kx＋b，则 解得则直线CD的表达式是y＝x＋8. 当x＝0时，y＝x＋8＝8，即OD＝8， ∴CD＝＝＝10. 设P的坐标是（p，0），则PC＝p＋6. 当△COD∽△CEP时，＝， 即＝，解得p＝19， 则点P的坐标是（19，0）. 当△COD∽△CPE时，＝，则＝， 解得p＝3，则点P的坐标是（3，0）. 综上，点P的坐标是（19，0）和（3，0）. 8.解：（1）∵AB＝3 cm，AC＝4 cm， ∴BC＝＝＝5（cm）. ∵点F为BC的中点，∴CF＝BC＝cm， ∴AE＝cm. ∵AC＝4 cm，∴CE＝AC－AE＝4－＝（cm）. （2）如图1，过点E作EM⊥CB于点M， ∵∠EMC＝∠A＝90°，∠ECM＝∠ACB， ∴△EMC∽△BAC， ∴＝，∴＝，∴EM＝（cm）. 过点P作PG⊥CF，交BC的延长线于点G， ∵EP∥BC，EM⊥BC， ∴四边形EMGP是矩形，∴EM＝PG＝（cm）. ∵S△PFC＝CF·PG＝1，∴t·＝1， 解得t＝， ∴当t＝时，△PFC的面积为1 cm2. （3）存在. 分两种情况：①如图2，当∠FEP＝90°时， ∵EP∥BC，∴EF⊥BC. ∵∠EFC＝∠A，∠ECF＝∠ACB，∴△EFC∽△BAC， ∴＝，∴＝，解得t＝； ②如图3，当∠EFP＝90°时，过点E作EM⊥BC于点M，过点P作PG⊥BC，交BC的延长线于点G， 由（2）可知EM＝（cm），＝，∴CM＝（cm）， ∴MF＝CM－CF＝－t＝（cm）. ∵EP＝MG＝5 cm， ∴FG＝5－MF＝5－＝（cm）. ∵∠EFM＋∠PFG＝90°，∠PFG＋∠FPG＝90°， ∴∠EFM＝∠FPG， 又∵∠EMF＝∠PGF，∴△EMF∽△FGP，∴＝， ∴EM2＝FG·MF，∴＝×， ∴2t2－3t＝0， 解得t＝或t＝0（舍去）. 综上所述，t＝或t＝时，△EFP为直角三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $$