专题9相似三角形的 几何模型练习2024—2025学年北师大版数学九年级上册

专题9相似三角形的经典几何模型 类型一　A字型 1.如图，在锐角三角形ABC中，边BC＝120 cm，高AD＝80 cm，矩形EFGH的顶点E，H分别在AB，AC上，F，G在BC上，AD与EH交于点N. （1）试说明：△AEH∽△ABC； （2）若矩形EFGH是正方形，求EH的长； （3）当EH为何值时，矩形EFGH的面积最大？最大值是多少？ 2.【问题背景】（1）如图1，在四边形ABDC中，点F，E，G分别在AB，AD，AC上，EF∥BD，EG∥CD，求证：＝； 【尝试应用】（2）如图2，AM是△ABC的中线，点E在AM上，直线BE交AC于点G，直线CE交AB于点F，若＝，求的值； 【迁移拓展】（3）如图3，在等边△ABC中，点D在BC上，点E在AD上，若BD＝mDC，∠BEC＝120°，直接写出的值.（用含m的式子表示） 类型二　“8”字形 3.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，M为AD上一点，且DM＝2MA，连接CM交BD于点N，且ON＝1. （1）求BD的长； （2）若△DMN的面积为4，求四边形ABNM的面积. 4.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，交BD于点G. （1）求证：AD＝CF. （2）若AB⊥AF，且AB＝8，BC＝5. ①小明说：“此时AC也垂直于BD.”请判断他的说法是否正确，并说明理由. ②求线段AG的长. 类型三　子母型 5.如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且＝，∠BAD＝∠ECA. （1）求证：∠DAC＝∠B； （2）若AD是△ABC的中线，AC＝4，求DC的长. 6.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且AC2＝CE·CB. （1）求证：AE⊥CD； （2）连接BF，如果点E是BC中点，求证：∠EBF＝∠EAB. 类型四　双垂直型 7.操作与研究：如图1，△ABC被平行于CD的光线照射，CD⊥AB于点D，AB在投影面上. （1）指出图中线段AC的投影是　　　　，线段BC的投影是　　　　； （2）问题情景：如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC2＝AD·AB，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理； （3）拓展运用：如图3，正方形ABCD的边长为15，点O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF. ①试利用射影定理证明△BOF∽△BED； ②若DE＝CE，求OF的长. 8.综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学活动. 【操作判断】（1）如图1，正方形纸片ABCD，在边BC上任意取一点E，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，与边CD交于点F.根据以上操作，请直接写出图1中线段AE与线段BF的关系； 【迁移探究】（2）小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下：如图2，在矩形纸片ABCD中，AB∶AD＝m∶n，在边BC上任意取一点E连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，与边CD交于点F，请求出线段AE与BF的关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，已知正方形纸片ABCD的边长为2，动点E由点A向终点D做匀速运动，动点F由点D向终点C做匀速运动，动点E，F同时开始运动，且速度相同，连接AF，BE，交于点G，连接GD，则线段GD长度的最小值为　　　　，点G的运动轨迹的长为　　　　. 答案： 1.解：（1）在矩形EFGH中，EH∥FG，∴EH∥BC， ∴△AEH∽△ABC. （2）设EH＝x cm，由△AEH∽△ABC得＝， 即＝，∴EF＝80－x. ∵矩形EFGH是正方形，∴EF＝EH，∴x＝80－x， 解得x＝48，即EH＝48 cm. （3）S矩形EFGH＝EF·EH＝x＝－（x－60）2＋2 400， 即当EH＝60 cm时，矩形EFGH的面积最大，最大值是2 400 cm2. 2.（1）证明：∵EF∥BD，EG∥CD，∴△AEF∽△ADB，△AEG∽△ADC， ∴＝，＝，∴＝. （2）解：如图1，延长AM至点H，使EM＝MH，连接BH，CH， ∵AM是△ABC的中线，∴BM＝CM. 又∵EM＝MH，∴四边形EBHC是平行四边形， ∴BE＝CH，EC＝BH，BE∥CH，CE∥BH， ∴△AEF∽△AHB，△AEG∽AHC， ∴＝，＝， ∴＝，∴＝＝.∵＝，∴＝； 　　 （3）解：如图2，过点E作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N， 则∠AMN＝∠ABC＝60°，∠ANM＝∠ACB＝60°， ∴△AMN是等边三角形， ∴AM＝AN，∴BM＝CN. ∵MN∥BC，∴＝＝，∴＝. ∵BD＝mDC，∴ME＝mEN，∴设EN＝a，则ME＝ma. ∵∠BEC＝120°，∴∠BEM＋∠CEN＝60°. ∵∠ANE＝∠ACE＋∠CEN＝60°， ∠AME＝∠ABE＋∠BEM， ∴∠BEM＝∠ACE，∠CEN＝∠ABE， ∴△BEM∽△ECN，∴＝＝，∴BM2＝EN·ME， ∴BM＝a，∴＝＝. 3.解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD，∴＝. ∵MD＝AD，∴＝， ∴＝，∴＝，∴＝. ∵ON＝1，∴OD＝5，∴BD＝2OD＝10. （2）∵MD∥BC，∴△DMN∽△BCN， ∵＝，∴＝（）2. ∵S△BNC＝9，＝， ∴S△DCN＝9×＝6，∴S△BCD＝15＝S△ABD， ∴S四边形ABNM＝S△ABD－S△DMN＝15－4＝11. 4.（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BF， ∴∠DAE＝∠F. 在△ADE和△FCE中， ∴△ADE≌△FCE（AAS）， ∴AD＝CF. （2）解：①小明的判断不正确，理由如下： ∵AD＝CF，AD＝BC，∴BC＝CF. ∵AB⊥AF， ∴AC＝BC＝CF， 只有当AB＝BC时，平行四边形ABCD为菱形，此时才有AC⊥BD，而已知条件中AB＝8，BC＝5，故AC垂直BD的说法是错误的. ②在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AD∥BF，且（1）中AD＝CF， ∴△ADG∽△FBG，AD＝BF， ∴＝＝，∴AG＝AF. ∵AB＝8，BC＝5，∠BAF＝90°，BF＝2BC＝10， ∴AF＝＝＝＝6， ∴AG＝×6＝2. 5.（1）证明：∵＝，∠BAD＝∠ECA， ∴△ABD∽△CAE，∴∠DAC＝∠B. （2）解：由（1）得∠DAC＝∠B， ∵∠BCA＝∠ACD，∴△ABC∽△DAC， ∴＝，即AC2＝BC·CD. ∵AD是△ABC的中线，∴BC＝2DC. ∵AC＝4，∴42＝2DC·DC，解得DC＝2. 6.证明：（1）∵AC2＝CE·CB， ∴＝. 又∵∠ACB＝∠ECA＝90°， ∴△ACB∽△ECA， ∴∠ABC＝∠EAC. ∵点D是AB的中点， ∴CD＝AD，∴∠ACD＝∠CAD. ∵∠CAD＋∠ABC＝90°，∴∠ACD＋∠EAC＝90°， ∴∠AFC＝90°，∴AE⊥CD. （2）∵AE⊥CD，∴∠EFC＝90°， ∴∠ACE＝∠EFC. 又∵∠AEC＝∠CEF，∴△ECF∽△EAC，∴＝. ∵点E是BC的中点， ∴CE＝BE，∴＝. ∵∠BEF＝∠AEB，∴△BEF∽△AEB， ∴∠EBF＝∠EAB. 7.（1）解：根据题意，图中线段AC的投影是AD，线段BC的投影是BD. （2）证明：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°， ∴∠ADC＝∠ACB＝90°， 而∠CAD＝∠BAC，∴Rt△ACD∽Rt△ABC， ∴AC∶AB＝AD∶AC，∴AC2＝AD·AB； （3）①证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴OC⊥BO，∠BCD＝90°，∴BC2＝BO·BD. ∵CF⊥BE，∴BC2＝BF·BE， ∴BO·BD＝BF·BE，即＝， 而∠OBF＝∠EBD，∴△BOF∽△BED； ②解：∵BC＝CD＝15，而DE＝CE，∴DE＝CE＝， 在Rt△BCE中，BE＝＝＝， 在Rt△OBC中，OB＝BC＝，∵△BOF∽△BED，∴＝，即＝，∴OF＝. 8.解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC， 又AE⊥BF，∴∠AGB＝90°， ∴∠BAE＋∠ABG＝∠ABG＋∠FBC＝90°， ∴∠BAE＝∠FBC. 在△ABE和△BCF中，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∠ABE＝∠BCF， ∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE＝BF； （2）＝.理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠BCF＝90°，AD＝BC. 又AE⊥BF，∴∠AGB＝90°， ∴∠BAE＋∠ABG＝∠ABG＋∠FBC＝90°， ∴∠BAE＝∠FBC，∴△ABE∽△BCF，∴＝. ∵＝＝，∴＝； （3）如图，取AB的中点M，连接DM，GM， 由题意知，AE＝DF， 由（1）可得Rt△ABE≌Rt△DAF， 同理可得∠AGB＝90°， ∵点M是AB的中点，AB＝2， ∴AM＝MB＝MG＝1， 在Rt△ADM中，MD＝＝；在△MGD中， ∵GD≥MD－MG＝－1，∴GD的最小值是－1. ∵∠AGB＝90°，∴A，G，B三点共圆， ∴点G在以点M为圆心，在以半径为1的圆上运动， ∴点G的运动轨迹的长为：2π÷4＝.故答案为：－1；. 学科网（北京）股份有限公司 $$