第4章 幂函数、指数函数和对数函数 素养检测-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（湘教版）

数学 必修第一册 XJ 1 4 第4章素养检测 刷速度 2 1.［吉林长春八中2025高一期中］函数 的定义域为( ) D A. B. C. D. 3 解析 由题意得解得且，则函数的定义域为 .故选D. 4 2.［河北邢台部分学校2024高一联考］设,, ，则( ) B A. B. C. D. 5 解析 因为在上单调递增,且,所以,即 . 因为在上单调递减,且,所以,即 . 因为在上单调递减,且,所以,即 , 所以 .故选B. 6 3.函数 的零点个数为( ) C A.2 B.3 C.4 D.5 7 解析 本题转化为求函数和函数 图象的交点个数,作出两个函数的图象,如图 所示. 根据图象可得,两个函数图象交点的个数为4,所以函数 的零点个数为4.故选C. 8 4.［甘肃天水2025高一联考］酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家 有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车， 及以上认定为 醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到 .如果在停 止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时 的速度减少，那么他能驾驶至少要经过的小时数 为（参考数据：， ）( ) C A.1 B.3 C.5 D.7 9 解析 设经过小时才能驾驶,则,即 . 又函数在定义域上单调递减,, 他至少要经 过5小时才能驾驶.故选C. 10 5.［江苏苏州十中2025高一段考］函数 的图象大致为( ) A A. B. C. D. 11 解析 因为，所以的定义域为 ，关于原点对称， 又因为 ， 所以函数 是奇函数， 所以 的图象关于原点对称，故B错误； 当时，因为,，所以 ，故C错误； 因为， ， 又，所以，则 ， 所以，即，所以在 上并不单调递增， 故D错误； 由于排除了选项，而且选项A中的图象满足上述 的性质，故A正确.故选A. 12 名师点拨 判断函数图象的口诀：一定二奇偶三单调四特值. 13 6.［黑龙江省实验中学2024月考］已知函数是幂函数，对任意的 , 且，满足.若,,且，则 的值( ) B A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断 14 解析 由题可知,函数是幂函数,则,解得 或 . 对任意的,且,满足,所以函数在 上单调递增,故 . 所以 . 又,所以为 上单调递增的奇函数. 由,得,所以,则 .故选B. 15 7.若 ，则( ) B A. B. C. D. 16 思路导引 观察题中不等式,不等号两侧的底数对应相同,但是指数参数不相同,可以尝试移项得 ,则可构造函数,利用函数的单调性判断, 之间 的关系. 17 解析 ,.设 ,则原不等 式等价于.函数在上单调递增,则, ,故选B. 18 8.［福建福州一中2025高一段考］设函数和，若两函数在区间 上的单调 性相同，则把区间叫作的“稳定区间”，已知区间为函数 的 “稳定区间”，则实数 的取值范围为( ) C A. B. C. D. 19 解析 函数在上单调递减，函数在 上单调递增, 若区间为函数 的“稳定区间”， 则函数与函数在区间 上同增或者同减， ①若两函数在区间上单调递增，则在区间 上恒成立， 可得解得 ； ②若两函数在区间上单调递减，则在区间 上恒成立， 20 即 不等式组无解； 综上所述, . 故选C. 9.已知正数，，满足 ，则( ) ABD A. B. C. D. 22 解析 设,,则,, , 所以 ,A正确. 因为,所以 . 因为,所以,所以 ,B正确. 因为,所以 ,D正确. 因为,所以,所以,C错误.故选 . 23 10.［甘肃平凉2025月考］已知函数若 ， 且 ，则下列结论正确的是( ) BCD A. B. C. D. 24 解析 由函数解析式可作出 的大致图象如图所示： 由图知 ，A错误； 由知，即 ， ，B正确； ，而当时，有，即 或2， ，在 上单调递减， 可得 ， 即 ，C正确； ，，D正确.故选 . 25 11.［河北邯郸部分学校2024高一联考］已知函数， 为自然 对数的底数 ，则( ) ABC A.函数 至多有2个零点 B.当时，，总有 成立 C.函数 至少有1个零点 D.当时，方程 有3个不同实数根 26 解析 对于A选项,令,可得,令,得,可得 , 故当时,函数有2个零点,所以函数 至多有2个零点,A正确. 对于B选项,当时,函数在 上单调递增, 函数在上单调递增,且 , 所以当时,函数在 上为增函数, 故当时,,不妨设,则,则 ,B正确. 对于C选项,当时,函数在上无零点,在上有唯一零点 ； 当时,函数 有两个零点； 当时,函数在上有唯一零点,在 上无零点. 综上所述,函数 至少有一个零点,C正确. 27 对于D选项,当时, 令,则方程为 . 当时,由可得,解得 ； 当时,由可得,解得 . 当时,由可得,即,解得 , 由可得,即,解得 ； 当时,由可得,即 ,该方程无解, 由可得,解得 . 综上所述,方程的解集为,,, , 所以当时,方程有4个不同实数根,D不正确.故选 . 12.［河南二十名校2025高一联考］已知函数，且 的图象恒过点 ，则函数 的单调递减区间为__________. 解析 当时， ， 所以的图象过定点 ， 即, ， 所以 ， 令，解得或 ， 函数在上单调递减，在 上单调递增， 又 在 上单调递增， 所以在 上单调递减， 即的单调递减区间为 . 29 13.［四川南充高级中学2024高一月考］已知函数，任意给定一个非零常数 ， 均有，试写出一个满足条件的解析式 _ ________________. （答案不唯一） 解析 设,则,所以 为奇函数, 即 . 所以由,得 , 所以,所以 应为一个奇函数, 故 ,且答案不唯一. 30 14.如图，矩形的三个顶点，，分别在函数， ， 的图象上， 且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点的纵坐标为2，则点 的坐标为_ _____. 31 解析 由题中图象可知,点在函数的图象上,所以,即 . 因为点在函数 的图象上, 所以 . 因为点在函数的图象上,所以 . 又因为,,所以点的坐标为 . 32 15.（本小题满分13分）［湖南株洲二中2025高一期中］ （1）计算： ； 【解】 . 33 （2）已知，，求 的值. [答案] 因为， ， 所以 . 34 16.（本小题满分15分）已知指数函数且的图象经过点 . （1）求及 的值； 【解】 指数函数且的图象经过点 , ,, . . （2）若，求 的取值范围. [答案] 函数在上单调递减, 不等式等价于,解得,即 的取值范围 为 . 35 17.（本小题满分15分）［江苏南京六校2025高一联考］某校为了鼓励学生利用业余时间阅读名 著，预备制定一个每日阅读考核评分制度，建立一个每日得分（单位：分）与当日阅读时间 （单位：分钟）的函数关系.要求如下： （ⅰ）函数的部分图象接近图示； （ⅱ）每日阅读时间为0分钟时，当日得分为0分； （ⅲ）每日阅读时间为30分钟时，当日得分为3分； （ⅳ）每日阅读最多得分不超过6分. 36 现有以下三个函数模型供选择: ； ； . 37 （1）请你根据函数图象性质，从中选择一个合适的函数模型，不需要说明理由. 【解】根据题意可得应选择增长速度为先快后慢的增长模型， 所以选对数函数模型，故选 . 38 （2）根据你对（1）的判断以及所给信息，写出合适函数模型的解析式. [答案] 由题意及（1）可知，在 的图象上， 所以解得， ， 所以 ， 令，可得，解得 ， 所以函数模型的解析式为 39 （3）若该校要求每日的得分不少于5分，问每日至少阅读名著多少分钟？（结果精确到整数） 注： . [答案] 令，可得 ， 即，解得 ， 所以每日的得分不少于5分，至少需要阅读66分钟. 40 18.（本小题满分17分）已知幂函数且 . （1）求函数 的解析式. 【解】因为且是幂函数,所以,解得 或 （舍去）,所以 . 41 （2）若函数，，则是否存在实数使得 的最小值为 ?若存在，求出实数 的值. 42 [答案] 假设存在实数使得的最小值为,即 ,由（1）得 .令,因为 ,所以 ,则,即,所以 可化为 ,此时,即 . 的图象开口向上,对称轴为直线,当,即时,在 上单调递增,故 ,所以由得,即 ,不满足题意,舍去； 当,即时,易知,由 得 或（舍去）,故 ； 当,即时,在上单调递减,故 ,由 得 ,不满足题意,舍去. 综上,存在使得的最小值为 . 19.（本小题满分17分）［重庆南开中学2025高一期末］对于函数，若 存在两个不同零 点,满足，则称函数 为“零点相近函数”. （1）判断函数 是否为“零点相近函数”. 【解】不是“零点相近函数”，理由如下：由题知在 上单调递增，且有唯一零点 ， 所以只需判断在上是否有零点，由于在 上单调递增， , , 所以在上没有零点，故 不是“零点相近函数”. 44 （2）设 . （ⅰ）已知，求证：函数 为“零点相近函数”； 【证明】函数的零点即方程的根，令 ， 得 ， 令 , 由对勾函数的性质可知在上单调递减，在 上单调递增，则 ,当时， ,当 时， . 因为，所以方程必有两个不同根,（设，即 有 两个不同根,，即有两个零点，设为, , 则,,则 ， 因为,，所以 , 则由得,则 ，故函数 为“零点相近函数”. 45 （ⅱ）若函数为“零点相近函数”，求 的取值范围. 【解】令 ， 设，则原式化为，即 . 易知为偶函数，且在上单调递增，， . 则要使得原函数为“零点相近函数”，有以下两种可能： 情形式在上有根，则在 上有根， 从而另一个零点在 上，满足“零点相近函数”定义， 此时,得 ； 情形式在上无根，在上有根，若只有一个 ，此时对应 46 的的根大于 ，从而两根之差超过1，所以要成为“零点相近函数”，只有两 个不同值在轴同侧与 产生的交点横坐标之差不超过1. 所以式必须在上有两个不同根，设为,，令 ， 有解得 . 令,，有 ， 由（ⅰ）可知，欲使，只需 ， 即 . 设，若，则，则 . 而，所以 ， 从而由知 ，矛盾. 所以不成立.即恒成立，则 . 综上，的取值范围为 . $$