4.3.3 对数函数的图象与性质-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（湘教版）

数学 必修第一册 XJ 1 4.3 4.3 对数函数 2 4.3 4.3.3 对数函数的图象与性质 刷基础 3 1.给出下列函数：；；； .其中是对数函 数的有( ) A A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型1 对数函数的概念 4 解析 ①不是对数函数，因为自变量在对数的底数的位置； ②不是对数函数,因为对数的真数不是仅有自变量 ； ③不是对数函数,因为对数的底数不是常数； ④是对数函数.故选A. 题型1 对数函数的概念 5 2.已知函数 则 ( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 题型1 对数函数的概念 6 解析 由题意所以 ,故 .故选B. 题型1 对数函数的概念 7 3.［江苏无锡2025高一月考］已知对数函数且的图象过点 ，则 ( ) C A. B. C.2 D.4 题型1 对数函数的概念 8 解析 因为对数函数且的图象过点，所以，即 ，所 以，则 .故选C. 题型1 对数函数的概念 9 4.已知点在函数 的图象上，则下列各点也在该函数图象上的是( ) A A. B. C. D. 题型2 对数函数的图象 10 解析 点在函数的图象上, . 当时,, 点 也在该函数的图象上,故A符合题意； 当时, ,故B不符合题意； 当时, ,故C不符合题意； 当时, ,故D不符合题意.故选A. 题型2 对数函数的图象 11 5.（多选）［四川部分学校2025高一期末联考］函数 的图象可以为( ) ACD A. B. C. D. 题型2 对数函数的图象 12 解析 由题意得函数的定义域为, . ①当时，函数单调递增，且，又 ，故A满足 题意，B不满足题意. ②当时，函数单调递减，且，又 ， 当时， ，故C满足题意； 当时，，故D满足题意.故选 . 题型2 对数函数的图象 13 归纳总结 底数和对数函数且 单调性的关系 （1）当时,对数函数为增函数；（2）当时,对数函数 为减函数. 题型2 对数函数的图象 14 6.［广东茂名2025高一期末］如图，①②③④中不属于函数 , , 对应图象的一个是( ) B A.① B.② C.③ D.④ 题型2 对数函数的图象 15 解析 根据题意函数,,中两个底数 ，函数单调递增，根据增长 规律，“在第一象限内，自左向右底数越来越大”，知③对应，④对应 . 由于函数，则它与的图象关于轴对称，且①与④关于 轴对称.故函 数 对应的图象为①. 则②不属于函数,, 对应图象的一个.故选B. 题型2 对数函数的图象 16 规律方法 对数函数且底数的大小决定了图象相对位置的高低,不论是 还是 ,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数都逐渐变大. 题型2 对数函数的图象 17 7.［湖南师大附中2024高一期中］函数且 的图象恒过定点 .若对任意正数，都有，则 的最小值是( ) D A.2 B. C.1 D. 题型2 对数函数的图象 18 解析 对于函数且 , 令,可得,且,所以,即, . 对任意的正数,都有,即,则 , 所以 ， 当且仅当即 时,等号成立. 所以的最小值是 .故选D. 题型2 对数函数的图象 19 8.［甘肃白银2025高一期中］函数 的定义域为( ) B A. B. C. D. 题型3 对数函数的性质 20 解析 由题意得，解得或，所以函数 的定义域为 .故选B. 题型3 对数函数的性质 21 链接教材 此题目由教材第122页例10改编,求对数型函数的定义域时,需要注意底数大于0且不等于1,且真数 大于0，若有根号、分母还需要注意根号里的数大于或等于0、分母不等于0等. 题型3 对数函数的性质 22 9.［浙江杭州重点中学2024高一期中联考］函数 的值域为( ) C A. B. C. D. 题型3 对数函数的性质 23 解析 , 设,则 , 故函数的值域为 .故选C. 题型3 对数函数的性质 24 10.已知函数，且在区间上的最大值为4，则 的值为( ) D A. B.2 C. D.2或 题型3 对数函数的性质 25 解析 当时,在上单调递增，则,所以 ；当 时,在上单调递减，则,所以 .故选D. 题型3 对数函数的性质 26 11.［甘肃酒泉2025高一期末］函数 的单调递增区间为( ) A A. B. C. D. 题型3 对数函数的性质 27 解析 由对数函数的定义知，解得 ， 因为函数的图象开口向下，对称轴为直线 ， 所以函数在上单调递增，在 上单调递减. 又，则函数 为减函数， 由复合函数单调性知，函数的单调递增区间为 .故选A. 题型3 对数函数的性质 28 归纳总结 利用复合函数的单调性求形如函数且 的单调区间： （1）若,则函数的单调递增（减）区间即为函数 的单调递增（减）区间或 其子集； （2）若,则函数的单调递增（减）区间即为函数 的单调递减（增）区 间或其子集. 注：复合函数的单调性满足“同增异减”,且复合函数的单调区间一定是其定义域的子集. 题型3 对数函数的性质 29 12.［湖南长沙雅礼中学等2025高一期末联考］已知偶函数在单调递减， ， 若，则实数 的取值范围是______. 解析 因为偶函数在单调递减，，所以在 上单调递增， ， 所以等价于，所以 ， 所以，解得.所以实数的取值范围是 . 题型3 对数函数的性质 30 13.（1）若的定义域为，则实数 的取值范围为______； 解析 的义域为即真数恒大于0,则或解得 . （2）若函数的值域为，则实数 的取值范围为______. 解析 的值域为即真数能取遍,故或解得 . 规律方法对于且,定义域为,意味着在 上恒成立；值域为 ,意味着的值域能取到里的所有数,再根据 的图象及性质求解即可. 题型3 对数函数的性质 31 14.［广东深圳南山外国语学校2024高一期中］已知函数,且，若对 , ，都有，则实数 的取值范围为_______________. 题型3 对数函数的性质 32 解析 当时,在 上单调递增, 因为对,,都有,所以,所以 ,所以 ,解得 ； 当时,在 上单调递减, 因为对,,都有,所以,所以 ,所以 ,解得 . 综上,实数的取值范围为 题型3 对数函数的性质 33 15.已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是奇函数，且当 时，，则 ( ) D A. B.4 C. D.5 题型4 对数函数与指数函数互为反函数 34 解析 由于函数的图象与函数的图象关于直线对称,则,所以当 时,,则.又为奇函数,则 .故选D. 题型4 对数函数与指数函数互为反函数 35 名师点拨 同底的指数函数与对数函数互为反函数,互为反函数的两个函数的图象关于直线 对称. 题型4 对数函数与指数函数互为反函数 36 16.［湖北武汉部分学校2025高一联考］函数与的图象关于直线 对称， 则 的单调递增区间是______. 题型4 对数函数与指数函数互为反函数 37 解析 因为与的图象关于直线对称，所以 ， 所以 ， 由可得，即函数的定义域为 ， 令，因为函数在上单调递增，在 上单调递减， 外层函数为减函数，由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为 . 题型4 对数函数与指数函数互为反函数 38 17.［山东日照2025高一联考］已知函数，且的图象过点 ，若 ,的反函数为，则 的值域为______. 解析 函数，且的图象过点 , ,即.又，且 ， ， . ，即 ， . 的反函数为，的值域为 . 题型4 对数函数与指数函数互为反函数 39 18.［浙江绍兴一中2024高一期中］已知函数的反函数为，且有 . 若，，则 的最小值为__. 解析 由题得函数的反函数 . ,,即,则 . 又,,则, , , 当且仅当, 时取等号, 故的最小值为 . 题型4 对数函数与指数函数互为反函数 40 19.若，则实数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 易错点1 忽略对底数的讨论（导致单调性的不同）而致错 41 解析 当时,,解得,所以此时的取值范围为 ; 当时,,解得,所以此时的取值范围为 . 综上,实数的取值范围是 .故选D. 易错点1 忽略对底数的讨论（导致单调性的不同）而致错 42 易错警示 底数的范围不同决定了函数的单调性不同,所以一定要对底数进行讨论. 易错点1 忽略对底数的讨论（导致单调性的不同）而致错 43 20.若函数在区间内单调递增，则实数 的取值范围是 ( ) B A. B. C. D. 易错点2 忽略与对数有关的复合函数中的真数大于0而致错 44 解析 设,因为,,所以在上单调递减,而 在区间内单调递增,故为减函数,故.又在上满足 恒成 立,故,故 ,故选B. 易错点2 忽略与对数有关的复合函数中的真数大于0而致错 45 易错警示 本题考查了复合函数单调性的相关知识,同时也考查了对数函数定义域的要求,而同学们在做题时 常常丢掉定义域的限制条件,属于易错题型.考虑复合函数的单调性需遵循“同增异减”原则,即内 层函数和外层函数单调性相同时,复合函数才会单调递增,作为对数函数的底数,所以有 ,所以 内层函数单调递减,则外层函数需单调递减,还需保证真数在定义域上恒大于0,即保证真数部分最小 值大于0即可. 易错点2 忽略与对数有关的复合函数中的真数大于0而致错 46 21.［天津静海区一中2025高一月考］已知函数在 上单调递减， 则实数 的取值范围为______. 解析 设， . 由函数在 上单调递减， 得函数在上单调递减，且 ， 故解得 . 故的取值范围为 . 易错点2 忽略与对数有关的复合函数中的真数大于0而致错 47 易错警示 求解与对数函数有关的含参数的复合函数问题时,参数不但要结合复合函数单调性的性质列出不等 式求取值范围,还要满足对数的真数在所给的单调区间上大于0这一条件. 易错点2 忽略与对数有关的复合函数中的真数大于0而致错 48 22.已知函数满足时恒有成立，那么实数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 易错点3 忽略分段函数的定义域分界点而致错 49 解析 因为函数满足时恒有 成立,所以函数 在上单调递增,所以 解得 .故选D. 易错点3 忽略分段函数的定义域分界点而致错 50 易错警示 分段函数单调性的一致性,要求端点值的大小关系也是确定的. 易错点3 忽略分段函数的定义域分界点而致错 51 4.3 4.3.3 对数函数的图象与性质 刷提升 52 1.函数 的最小值为( ) B A. B.3 C.4 D. 53 解析 因为 ,所以 ,当且仅 当,即时取等号,故函数 的最小值为3,故选B． 54 2.［甘肃天水2025高一期中］已知，，，则实数,, 的大小关系正确 的是( ) C A. B. C. D. 55 解析 因为，，所以.而， ， 易知函数在 上单调递减， 因为，所以，即.综上可得， .故选C. 56 规律方法 对数式比较大小的常见类型及解决方法 常见类型 解决方法 底数为同一常数（的幂次） 可由对数函数的单调性直接进行比较 底数不同,真数为同一常数 （的幂次） 方法一：可以先用换底公式化为同底后,再进行比较； 方法二：借助对数函数图象高低进行比较 底数与真数都不同 常借助1,0等中间量进行比较 57 3.已知函数，则 ( ) D A. B.0 C.2 D. 58 解析 , , .故选D. 59 4.［福建漳州三中2025高一段考］设函数，则使得 成立的 的取值范围为( ) D A. B. C. D. 60 解析 由题知为偶函数，且在上单调递增，因为 ，所以 ， 即，所以 ， 所以或 .故选D. 61 5.［四川成都2024高一期中］若 ，则( ) D A. B. C. D. 62 解析 ,即 . 设,则函数在 上单调递增, ,即,故 ； ,即,故 . 综上所述, .故选D. 63 6.已知函数,，若对任意的，存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 64 解析 因为对任意的,存在,使得 , 所以 . 因为当时,单调递增,所以 . 又因为当时,单调递减,所以 , 所以,解得 ,故选A. 65 7.（多选）［浙江金华十校2025高一期末联考］已知函数 ，则下 列正确的是( ) ACD A.函数的定义域为 B.函数在 上单调递减 C.将函数的图象向左平移10个单位长度得到函数的图象，则 D.当时， 66 解析 对于A，由函数，得 解得 ，由，得，因此的定义域为 ，A 正确； 对于B，，因为函数在 上单调递增， 函数在上单调递增，所以函数在 上单调递增，B错误； 对于C，依题意， ，则 ，C正确； 对于D，当时，，， ， 因为,都是减函数，所以在 上单调递减， 67 当时，，则 ， ，又 ，因此 ， 则，由的定义域为 ，关于原点对称，且 ， 得函数为上的奇函数，则 ， 即，D正确.故选 . 8.已知且，若函数的值域为，则 的取值范围是______． 解析 若函数的值域为,当时,,所以 即 可得 ． 69 9.［陕西西安部分学校2025高一联考］函数的定义域为，若满足：在 内是单调 函数；②存在使得在上的值域为，那么就称 为“减半函数”.现有 函数是“减半函数”，则 的取值范围是_______ _____. 70 解析 由题意可知函数 在其定义域内为增函数， 若 为“减半函数”， 则在上的值域为 . 所以 即 所以方程 必有两个不同的实数根， 所以，即 . 71 令，则方程 有两个不同的正根， 所以解得，即的取值范围是 . 10.［江西宜春上高二中2024高一月考］已知函数 . （1）写出函数 的定义域并判断其奇偶性； 【解】由函数有意义,得解得 , 所以函数的定义域为 ,关于原点对称. 由 , 所以函数 为定义域上的偶函数. （2）若，求实数 的取值范围; [答案] 由函数 , 可得 , 又,所以解得 . 故实数的取值范围为 . 73 （3）若存在使得不等式成立，求实数 的最大值. [答案] 若存在使得不等式成立,即 . ,其中 . 因为函数在上单调递增,在 上单调递减, 所以函数在上单调递增,在 上单调递减, 可得,所以,即 , 所以实数的最大值为 . 74 11.［2025中国科学技术大学少年班创新班入围考］若关于 的方程 有实数解，则实数 的取值范围是________. 解析 设 , 则 . ,其只有一根 ， 则,即 有解, 解得 . 75 $$