4.3.3 对数函数的图象与性质-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（湘教版）

该高中数学课件聚焦对数函数的图象与性质，涵盖定义、与指数函数的反函数关系、图像特征及定义域、值域、单调性等核心内容。通过关联指数函数反函数知识导入，搭建前后知识支架，帮助学生构建完整的函数认知体系。 其亮点在于结合知识辨析与典例解析，以数学眼光抽象函数本质，用数学思维推理性质应用，如通过表格归纳图像特征、分类讨论复合函数单调性。这能提升学生逻辑推理与问题解决能力，也为教师提供清晰教学思路，提高课堂效率。

4.3.3　对数函数的图象与性质 知识点 1 对数函数与反函数 必备知识 清单破 1.对数运算y=logax(x>0,a>0且a≠1)确定了一个函数,叫作(以a为底的)对数函数. 2.指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数.这时,指数函数的定义域(-∞,+∞) 成了对数函数的值域,指数函数的值域(0,+∞)是对数函数的定义域. 　　一般地,若f(x)和g(x)互为反函数,则它们的图象关于直线y=x轴对称.两者中一个递增另一 个也递增,一个递减另一个也递减,但两者的单调区间一般不相同. 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 对数函数的图象与性质 表达式 y=logax(a>1) y=logax(0<a<1) 图象     定义域 (0,+∞) 值域 R 第1讲　描述运动的基本概念 性质 图象过定点(1,0) 当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0 当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析     1.函数y=3log2x,y=log2(x+1),y=logx5都是对数函数吗? 2.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象位置有何特点? 3.对于对数函数y=logax(a>0,且a≠1),底数与其图象有什么关系? 4.任意一个函数都有反函数吗? 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.都不是.对数函数的解析式的结构特征:①底数a为大于0且不等于1的常数;②真数是自变量 x,且x的系数是1;③logax的系数是1.在y=3log2x中,log2x的系数为3,不是1;在y=log2(x+1)中,真数 位置不是x;在y=logx5中,底数不是常数,真数不是自变量. 2.函数图象在y轴的右侧,且恒过点(1,0). 3.①当0<a<1时,图象“下降”,当a>1时,图象“上升”;②由y=logax的图象与直线y=1相交于 点(a,1)可知,在x轴上方,图象从左到右对应函数的底数由小变大. 4.不一定.只有定义域和值域满足“一一对应”的函数才有反函数. 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 对数型函数的图象及其应用 关键能力 定点破 1.对数型函数图象过定点问题 　　求函数y=m+loga f(x)(a>0,且a≠1)的图象所过定点时,只需令f(x)=1,求出它的解x0,即确定 所过的定点为(x0,m). 2.根据对数函数图象判断底数大小的方法 　　作直线y=1,与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数,根据在第一象限内,自左向右, 图象对应的对数函数的底数逐渐变大,可比较底数的大小. 3.函数图象的变换规律 (1)一般地,函数y=f(x+a)+b(a,b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a| 个单位长度后,再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的. (2)含有绝对值的函数的图象一般可经过对称变换得到. 第1讲　描述运动的基本概念 典例    (1)已知a>0,且a≠1,则函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是 (　    ) (2)设a,b是关于x的方程|lg x|=c的两个不同实数根,且a<b<10,则abc的取值范围是　　　    . B (0,1) 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)解法一:若0<a<1,则函数y=ax在其定义域上单调递减且图象过点(0,1),而函数y=loga (-x)在其定义域上单调递增且图象过点(-1,0),所有选项均不符合这些条件;若a>1,则函数y=ax 在其定义域上单调递增且图象过点(0,1),而函数y=loga(-x)在其定义域上单调递减且图象过点 (-1,0),只有B满足条件. 解法二:曲线y=ax只可能在x轴上方,y=loga(-x)的图象只可能在y轴左侧,从而排除A,C;y=ax与y= loga(-x)的增减性正好相反,故排除D. (2)由题意知,在x∈(0,10)上,函数y=|lg x|的图象和直线y=c有两个交点,作出函数y=|lg x|的图象 与直线y=c,如图所示, 第1讲　描述运动的基本概念 结合图象可知,|lg a|=|lg b|=c,0<c<1, 又a<b<10, ∴-lg a=lg b=c, ∴lg a+lg b=lg ab=0,∴ab=1, ∴abc的取值范围是(0,1). 第1讲　描述运动的基本概念 1.求对数型函数定义域的注意点 (1)求对数型函数的定义域,要注意真数大于0,即在y=loga f(x)(a>0,且a≠1)中应首先保证f(x)> 0. (2)若底数中也含有参数,则参数应使底数大于0且不等于1. 2.求对数型函数值域的常用方法 (1)直接法:根据函数解析式的特征,从函数自变量的范围出发,结合函数的性质,直接得出函数 的值域. (2)配方法:当所给的函数可化为二次函数形式(形如y=m[f(logax)]2+nf(logax)+c(m≠0,a>0,且a ≠1))时,可以用配方法求函数的值域. (3)根据所给函数在其定义域(或定义域的某个子集)上的单调性,求出函数的值域. 定点 2 与对数型函数有关的定义域、值域问题 第1讲　描述运动的基本概念 (4)换元法:求形如y=loga f(x)(a>0,且a≠1)的函数值域的步骤:①换元,令u=f(x),利用函数的图 象和性质求出u的范围;②利用y=logau的图象和性质求出y的取值范围,即函数的值域. 第1讲　描述运动的基本概念 典例    (1)求函数y= 的定义域; (2)求函数y=log0.4(-x2+3x+4)的值域. 解析    (1)由题意得  解得x<-1- 或-1- <x<-3或x≥2, 所以函数的定义域为(-∞,-1- )∪(-1- ,-3)∪[2,+∞). (2)由题意得-x2+3x+4>0,即x2-3x-4<0,解得-1<x<4,所以函数的定义域为(-1,4). 设f(x)=-x2+3x+4=- + ,x∈(-1,4),则当x∈ 时, f(x)单调递增;当x∈ 时,f(x)单 调递减,所以当x= 时,f(x)有最大值,为 , 又f(-1)=f(4)=0,所以0<f(x)≤ . 第1讲　描述运动的基本概念 因为对数函数y=log0.4x在定义域内为减函数,所以y≥log0.4 =-2,所以函数y=log0.4(-x2+3x+4)的 值域为[-2,+∞). 易错警示 解题时要注意函数定义域对解题的影响,避免因忽视定义域导致解题错误. 第1讲　描述运动的基本概念 定点 3 与对数函数有关的复合函数的单调性 求复合函数的单调性的两个要点 (1)单调区间是定义域的子集. (2)若a>1,则y=loga f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同;若0<a<1,则y=loga f(x)的单调性与y=f (x)的单调性相反. 第1讲　描述运动的基本概念 典例　函数y=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是 (　    ) A.(-∞,-2)　    B.(-∞,1) C.(1,+∞)　    D.(4,+∞) D 解析    由x2-2x-8>0得x<-2或x>4,即x∈(-∞,-2)∪(4,+∞), 令t=x2-2x-8,x∈(-∞,-2)∪(4,+∞),则y=ln t(t>0), 又y=ln t是其定义域上的增函数, t=x2-2x-8在(4,+∞)上单调递增,在(-∞,-2)上单调递减, ∴函数y=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(4,+∞). 名师指导 解决与对数函数有关的复合函数问题时,首先要确定函数的定义域,再根据“同增异减”原 则判断函数的单调性. 第1讲　描述运动的基本概念 比较对数值大小常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性比较. (2)同真数的利用对数函数的图象比较或用换底公式转化后再比较. (3)底数和真数都不同的,找中间量. (4)若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论. 定点 4 比较对数值的大小 第1讲　描述运动的基本概念 典例    (1)若a=log23,b=log32,c=log46,则 (　    ) A.b<a<c　    B.a<b<c C.c<b<a　    D.b<c<a (2)(多选)下列各式中正确的是 (　     ) A.ln 0.83>ln 0.73　    B.lg 1.6>lg 1.4　     C.log0.50.4>log0.50.6　    D.log23>log0.50.2 D ABC 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为函数y=log4x在(0,+∞)上是增函数,所以a=log23=log49>log46>1, 又log32<1,所以b<c<a. (2)因为y=x3是R上的增函数,0.8>0.7, 所以0.83>0.73, 又y=ln x在(0,+∞)上是增函数, 所以ln 0.83>ln 0.73,故A正确; 因为y=lg x是(0,+∞)上的增函数,1.6>1.4,所以lg 1.6>lg 1.4,故B正确; 因为y=log0.5x是(0,+∞)上的减函数,0.4<0.6,所以log0.50.4>log0.50.6,故C正确; 因为1<log23<2,log0.50.2>log0.50.25=2,所以log23<log0.50.2,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 $