第4章 4.2.2 第1课时 指数函数的图象与性质(一)（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件聚焦指数函数的图象与性质，通过口答指数函数定义及解析式特征导入，以y=2^x和y=(1/2)^x为例，通过列表描点连线构建从具体函数到一般性质的学习支架，衔接函数定义与图象性质的关系。 其亮点在于通过对比不同底数函数图象（如y=2^x与y=(1/2)^x的对称性）、分类讨论底数范围培养数学思维的推理能力和几何直观，例题结合数形结合（如作x=1比较底数）和规范解题步骤，帮助学生用数学语言表达，提升学生抽象能力和应用意识，也为教师提供系统的教学资源和练习设计。

第4章　 4.2.2　指数函数的图象与性质 <<< 第1课时 指数函数的图象与性质(一) 1.掌握指数函数的图象和性质. 2.学会利用指数函数的图象和性质解决简单的函数定义域、值域的问题. 学习目标 请同学们口答指数函数的定义和指数函数的解析式的特征.一般来说,函数的图象与性质紧密联系,图象可反映函数的性质,所以我们今天学习指数函数的图象和性质. 导 语 一、指数函数的图象与性质 二、与指数函数有关的定义域(值域)问题 课时对点练 三、指数函数图象的应用 内容索引 一 指数函数的图象与性质 用列表、描点、连线的画图步骤,先完成下列表格,再画出指数函数y＝2x与y＝的图象. 问题1 x －3 －2 －1 0 1 2 3 y＝2x               y＝               1 2 4 8 8 4 2 1 提示　y＝2x与y＝的图象如图所示　 通过图象,分析y＝2x与y＝的性质并完成下列表格. 问题2 函数 y＝2x y＝ 定义域     值域     单调性     最值     奇偶性     特殊点     y的变化情况 当x<0时,　 　 ；  当x>0时,　   当x<0时,　　　；  当x>0时,　　　   x∈R x∈R (0,＋∞) (0,＋∞) 减函数 无最值 无最值 非奇非偶函数 (0,1) (0,1) 增函数 非奇非偶函数 0<y<1 y>1 y>1 0<y<1 比一比y＝2x与y＝的图象有哪些相同点？有哪些不同点？ 问题3 提示　相同点：定义域、值域、最值的情况、奇偶性、经过一个共同点；不同点：单调性、函数值的变化.我们还发现y＝2x与y＝这两个底数互为倒数的函数图象关于y轴对称. 再选取底数a＝3,a＝4,a＝a＝在同一个坐标系中画出相应的指数函数的图象,观察这些图象的位置和变化趋势,它们有哪些共性？ 问题4 提示　画出函数图象,如图所示. 观察图象知,y＝ax与y＝的图象关于y轴对称. 指数函数的图象和性质   y＝ax(a>0,且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象     性 质 定义域 R 值域 ___________ (0,＋∞) 知识梳理   y＝ax(a>0,且a≠1) 性 质 最值 ________ 过定点 函数图象过定点　　　,即a0＝1 函数值的变化 当x<0时, 　　　　； 当x>0时,______ 当x>0时, 　　　； 当x<0时,_____ 单调性 在R上是________ 在R上是_______ 奇偶性 ______________ 对称性 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 无最值 (0,1) 0<y<1 y>1 0<y<1 y>1 增函数 减函数 非奇非偶函数 (1)函数图象只出现在x轴上方. (2)当x＝0时,有a0＝1,故过定点(0,1). (3)当0<a<1时,底数越小,图象越靠近y轴. (4)当a>1时,底数越大,图象越靠近y轴. (5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称. 注 意 点 <<< 　如图是指数函数①y＝ax,②y＝bx,③y＝cx,④y＝dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是 A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c 例 1 √ 作直线x＝1(图略),由下到上分别与②,①,④,③相交,所以b<a<1<d<c. 解析 14 解决指数函数图象问题的注意点 (1)熟记当底数a>1和0<a<1时,图象的大体形状. (2)在y轴右侧,指数函数的图象“底大图高”. 反 思 感 悟 15 　　　　　 已知0<m<n<1,则指数函数①y＝mx,②y＝nx的图象为 跟踪训练 1 由于0<m<n<1,故排除A,B； 作直线x＝1与两个曲线相交(图略),交点在下面的是函数y＝mx的图象. 解析 √ 16 二 与指数函数有关的定义域(值域)问题 　　　求下列函数的定义域、值域： (1)y＝32x＋1； 例 2 函数的定义域为R, ∵x∈R,∴2x＋1∈R, ∴函数y＝32x＋1的值域为(0,＋∞). 解 18 (2)y＝23－x； 函数的定义域为R, ∵x∈R,∴3－x∈R, ∴函数y＝23－x的值域为(0,＋∞). 解 19 (3)y＝. 由x－1≠0得x≠1, ∴函数的定义域为(－∞,1)∪(1,＋∞), ∴≠0≠1, ∴函数的值域为(0,1)∪(1,＋∞). 解 20 定义域：形如y＝af(x)的函数的定义域是使得f(x)有意义的x取值的集合. 注意：(1)通过建立不等关系求定义域时,要注意解集为各不等关系解集的交集. (2)当指数型函数的底数含字母时,在求定义域时要注意分类讨论. 反 思 感 悟 21 　　　　　 求函数y＝的定义域、值域. 跟踪训练 2 22 函数的定义域为R. ∵y＝＝1－ 又∵3x>0,∴1＋3x>1, ∴0<<1, ∴－1<－<0, ∴0<1－<1, ∴函数的值域为(0,1). 解 23 指数函数图象的应用 三 　　　 (1)若函数f(x)＝2ax＋m－n(a>0,且a≠1)的图象恒过点(－1,4),则m＋n等于 A.3 B.1 C.－1 D.－2 例 3 √ 由题意得 解得∴m＋n＝－1. 解析 25 (2)要使g(x)＝3x＋1＋t的图象不经过第二象限,则t的取值范围为 A.t≤－1 B.t<－1 C.t≤－3 D.t≥－3 √ 函数g(x)＝3x＋1＋t的图象过点(0,3＋t),且g(x)为增函数,要使g(x)的图象不经过第二象限,则3＋t≤0,解得t≤－3. 解析 26 与指数函数相关的图象问题 (1)定点问题：令函数解析式中的指数为0,即可求出横坐标,再求纵坐标即可. (2)平移问题：对于横坐标x满足“左加右减”. 反 思 感 悟 27 　　　　　 (1)函数f(x)＝2ax＋1－3(a>0,且a≠1)的图象恒过的定点是 　 　　　.  跟踪训练 3 因为y＝ax的图象过定点(0,1), 所以令x＋1＝0,即x＝－1, 则f(－1)＝－1, 故f(x)＝2ax＋1－3的图象恒过定点(－1,－1). 解析 (－1,－1) 28 (2)已知直线y＝2a与函数y＝|2x－2|的图象有两个公共点,求实数a的取值范围. 函数y＝|2x－2|的图象如图所示.要使直线y＝2a与该图象有两个公共点,则有0<2a<2,即0<a<1,故实数a的取值范围为(0,1). 解 29 1.知识清单： (1)指数函数的图象. (2)指数函数的性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性及过定点. (3)指数函数图象的应用. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：形如函数y＝af(x)(a>0且a≠1)过定点的问题,要使f(x)＝0. 课堂小结 课时对点练 四 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A B C A C ABC (1,3) 题号 8 11 12 13 14 15 答案 0(答案不唯一, k≥－1即可) B D 2 B 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y＝＋2＝3－(x＋1)＋2.作函数y＝3x关于y轴对称的图象,得函数y＝3－x的图象,再向左平移1个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)的图象,最后再向上平移2个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)＋2＝＋2的图象,如图所示. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)因为函数f(x)＝ax(x≥0)的图象经过点所以a2＝得a＝(负值舍去). (2)由(1)得f(x)＝(x≥0),函数为减函数,当x＝0时,函数取最大值为1, 故f(x)的值域为(0,1], 所以函数y＝f(x)＋1＝＋1(x≥0)的值域为(1,2]. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由图①知f(x)的图象过点(2,0),(0,－2), 所以 又因为a>0,且a≠1,所以a＝b＝－3. (2)由图②知f(x)单调递减,所以0<a<1, 又f(0)<0,即a0＋b<0, 所以b<－1. 故a的取值范围为(0,1),b的取值范围为(－∞,－1). 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)由(1)知f(x)＝()x－3,则画出|f(x)|＝|()x－3|的图象如图所示,要使|f(x)|＝m有且仅有一个实数根, 则m＝0或m≥3. 故m的取值范围为{0}∪[3,＋∞). 基础巩固 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.函数y＝2x＋1的图象是 √ 当x＝0时,y＝2,且函数单调递增. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若指数函数f(x)的图象过点(4,81),则f(x)的解析式为 A.f(x)＝x3 B.f(x)＝3x C.f(x)＝ D.f(x)＝ √ 设f(x)＝ax(a>0,且a≠1), 由题意得a4＝81,解得a＝3,∴f(x)＝3x. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.函数y＝－1的定义域是 A.R B.{x|x≠1} C.{x|x≠0} D.{x|x≠0且x≠1} √ 要使y＝－1有意义, 只需有意义,即x≠0. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.当x∈[－2,2)时,y＝3－x－1的值域是 A. B. C. D. √ y＝3－x－1在[－2,2)上单调递减, ∴3－2－1<y≤32－1,即－<y≤8. 解析 5.设函数f(x)＝则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是 A.(－∞,0) B.(0,＋∞) C.(－∞,1) D.(0,1) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 函数f(x)＝的图象如图, 显然函数f(x)在R上单调递减, ∵f(x＋1)<f(2x), ∴x＋1>2x, 解得x<1. 解析 6.(多选)若a>1,－1<b<0,则函数y＝ax＋b的图象一定过 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ ∵a>1,且－1<b<0, ∴函数的图象如图所示. 故图象过第一、二、三象限. 解析 7.函数f(x)＝2·ax－1＋1的图象恒过定点　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令x－1＝0,得x＝1,又f(1)＝2×1＋1＝3, 所以f(x)的图象恒过定点(1,3). 解析 (1,3) 8.函数f(x)＝2x＋k的值域为M,能使M⊆[－1,＋∞)成立的一个k值为 　 　　 　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0(答案不唯一,k≥－1即可) 函数f(x)＝2x＋k的值域为M＝(k,＋∞),因为M⊆[－1,＋∞),所以k≥－1. 解析 9.已知函数y＝3x的图象,怎样变换得到y＝＋2的图象？并画出相应图象. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y＝＋2＝3－(x＋1)＋2.作函数y＝3x关于y轴对称的图象,得函数y＝3－x的图象,再向左平移1个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)的图象,最后再向上平移2个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)＋2＝＋2的图象,如图所示. 解 10.已知函数f(x)＝ax(x≥0)的图象经过点其中a>0且a≠1. (1)求a的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为函数f(x)＝ax(x≥0)的图象经过点所以a2＝得a＝(负值舍去). 解 (2)求函数y＝f(x)＋1(x≥0)的值域. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)得f(x)＝(x≥0),函数为减函数,当x＝0时,函数取最大值为1, 故f(x)的值域为(0,1], 所以函数y＝f(x)＋1＝＋1(x≥0)的值域为(1,2]. 解 11.函数f(x)＝的图象大致为 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f(x)＝ 由指数函数的图象知B正确. 解析 12.若函数f(x)＝＋m－1的图象与x轴有公共点,则实数m的取值范围为 A.m<1 B.m≤1 C.0<m<1 D.0≤m<1 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 函数f(x)＝＋m－1的图象与x轴有公共点,即m－1＝－有实数解, 由于－1≤－<0, 故－1≤m－1<0,解得0≤m<1. 解析 13.函数y＝9x＋3x＋1－2,x∈[0,1]的值域是　　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可得,y＝9x＋3x＋1－2＝＋3×3x－2＝ 因为当x∈时,3x∈ 根据二次函数的单调性知, 当x＝0时,y取得最小值为1＋3－2＝2；当x＝1时,y取得最大值为9＋9－2＝16, 所以函数y的值域是. 解析 14.已知实数a,b满足等式给出下列五个关系式：①0<b<a； ②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中不可能成立的有　　　个.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 作y＝与y＝的图象(图略). 当a＝b＝0时＝1； 当a<b<0时,可以使； 当a>b>0时,也可以使. 故①,②,⑤都可能成立,不可能成立的关系式是③,④. 解析 15.已知函数f(x)＝若存在x1,x2,x3(x1<x2<x3),使f(x1)＝f(x2)＝f(x3),则f(x1＋x2＋x3)的取值范围是 A.(0,1] B.[0,1] C.(－∞,1] D.(－∞,1) 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 作出f(x)的大致图象如图,交点横坐标为x1,x2,x3,自左向右依次排列, 由图可知,x1,x2关于x＝－1对称,x3>0,即x1＋x2＝－2, 则x1＋x2＋x3>－2. 由图象知,当x>－2时,f(x)∈[0,1], 所以f(x1＋x2＋x3)∈[0,1]. 解析 56 16.已知函数f(x)＝ax＋b(a>0,且a≠1). (1)若f(x)的图象如图①所示,求a,b的值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由图①知f(x)的图象过点(2,0),(0,－2), 所以 又因为a>0,且a≠1,所以a＝b＝－3. 解 (2)若f(x)的图象如图②所示,求a,b的取值范围； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由图②知f(x)单调递减,所以0<a<1, 又f(0)<0,即a0＋b<0, 所以b<－1. 故a的取值范围为(0,1), b的取值范围为(－∞,－1). 解 (3)在(1)中,若|f(x)|＝m有且仅有一个实数根,求m的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)知f(x)＝()x－3,则画出|f(x)|＝|()x－3|的图象如图所示,要使|f(x)|＝m有且仅有一个实数根, 则m＝0或m≥3. 故m的取值范围为{0}∪[3,＋∞). 解 第4章　 4.2.2　指数函数的图象与性质 <<< $