3.2.2 函数的奇偶性-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（湘教版）

数学 必修第一册 XJ 1 3.2 3.2 函数的基本性质 2 3.2 3.2.2 函数的奇偶性 刷基础 3 1.（多选）下列说法正确的是( ) AB A.图象关于坐标原点对称的函数是奇函数 B.图象关于 轴对称的函数是偶函数 C.奇函数的图象一定过坐标原点 D.偶函数的图象一定与 轴相交 题型1 函数奇偶性概念的理解 4 解析 由奇函数、偶函数的性质,知A,B说法正确； 对于C,如, ,它是奇函数,但它的图象不过原点,所以C说法错误； 对于D,如,,它是偶函数,但它的图象不与 轴相交,所以D说法错误. 故选 . 题型1 函数奇偶性概念的理解 5 名师点拨 关于函数奇偶性的一些结论 （1）具有奇偶性的函数的定义域一定关于原点对称； （2）在原点处有意义的奇函数,必有 . 题型1 函数奇偶性概念的理解 6 2.若函数 为奇函数，则必有( ) B A. B. C. D. 题型1 函数奇偶性概念的理解 7 解析 为奇函数, . 又, .故选B. 题型1 函数奇偶性概念的理解 8 3.［甘肃武威2025高一月考］下列函数中，既是奇函数，又在 上单调递增的是( ) D A. B. C. D. 题型2 函数奇偶性的判断 9 解析 对于A,由，得定义域为，不关于原点对称，所以 不是奇函数， 故A错误； 对于C，的定义域为,且 ， 所以 是偶函数，故C错误； 对于B，，定义域为 ， 且，所以为奇函数，当时， ， 且在 上单调递减，故B错误； 对于D，，定义域为，且，所以 为奇函数， 且在定义域上为增函数，故D正确，故选D. 题型2 函数奇偶性的判断 10 4.［陕西汉中2024高一期中联考］给定四个函数：； ； ，； ，其中奇函数的个数为( ) A A.0 B.1 C.2 D.3 题型2 函数奇偶性的判断 11 解析 ①函数是 上的偶函数,不是奇函数； ②函数的定义域为 ,定义域不关于原点对称,不是奇函数； ③函数, ,定义域不关于原点对称,不是奇函数； ④函数的定义域是,而 ,不是奇函数. 所以奇函数的个数为0.故选A. 题型2 函数奇偶性的判断 12 链接教材 本题由教材第84页例4衍变而来,判断函数奇偶性的第一步是先判断定义域是否关于原点对称. 题型2 函数奇偶性的判断 13 5.［重庆育才中学2025高一期中］已知为上的奇函数，当时， ，则 当时， 的解析式为( ) C A. B. C. D. 题型3 函数奇偶性的应用 14 解析 因为为上的奇函数，当时， ， 所以设，则，则 . 故选C. 题型3 函数奇偶性的应用 15 归纳总结 利用函数的奇偶性求函数解析式的基本步骤 （1）设属于所求区间,可得出 属于已知区间； （2）求出 的表达式； （3）利用函数奇偶性的定义可得出（偶函数）或 （奇函数）； （4）得出函数 的解析式. 题型3 函数奇偶性的应用 16 6.（多选）已知定义在区间上的一个偶函数，它在 上的图象如图，则下列说法正确的 是( ) BC A.这个函数有两个单调递增区间 B.这个函数有三个单调递减区间 C.这个函数在其定义域内有最大值7 D.这个函数在其定义域内有最小值 题型3 函数奇偶性的应用 17 解析 由题意作出该函数在 上的图象,如图所示. 由图象可知该函数有三个单调递增区间,三个单调递减区间,在其定义域内 最大值为7,最小值不为,故选 . 题型3 函数奇偶性的应用 规律方法 若为奇函数,则其图象关于原点对称；若为偶函数,则其图象关于 轴对称. 题型3 函数奇偶性的应用 19 7.［湖北襄阳四中2025高一期中］已知函数是定义在上的偶函数，在 上单调 递增.若，则实数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 题型3 函数奇偶性的应用 20 解析 因为为偶函数，所以，即 ， 因为在上单调递增且为偶函数，所以在 上单调递减. 而，即 ， 故，解得或 ，故选C. 题型3 函数奇偶性的应用 21 8.［福建三明四校2025高一期中联考］已知函数且 ，则 的值为_____. 题型3 函数奇偶性的应用 22 解析 令，则的定义域为 ，关于原点对称. 因为，所以 为奇函数， 所以 ， 所以 ， 将代入上式，可得 . 题型3 函数奇偶性的应用 23 9.关于函数与 的奇偶性，下列说法正确的是 ( ) D A.两函数均为偶函数 B.两函数都既是奇函数又是偶函数 C.函数是偶函数， 是非奇非偶函数 D.函数既是奇函数又是偶函数， 是非奇非偶函数 易错点1 忽略函数的定义域而致错 24 解析 函数的定义域满足即,因此函数 的定义域 为,,关于原点对称.此时,满足,,所以函数 既是奇 函数又是偶函数.函数的定义域为,不关于原点对称,所以函数 是非 奇非偶函数. 易错点1 忽略函数的定义域而致错 25 易错警示 根据函数的解析式,判断函数的奇偶性首先应确定函数的定义域,只有在函数的定义域关于原点对 称的情况下,才能根据解析式是否满足, 判断函数的奇偶性. 若函数的定义域不关于原点对称,则可以直接说明函数是非奇非偶函数.本题中的两个函数,虽然化 简后都为0,但是由于定义域不同,因此函数既是奇函数又是偶函数, 是非奇非偶函数. 易错点1 忽略函数的定义域而致错 26 10.［甘肃平凉2025高一月考］已知奇函数的定义域为，满足对任意 , ，且，都有，且，则不等式 的解集为 ( ) B A. B. C. D. 易错点2 未综合考虑奇（偶）函数图象的对称性而致错 27 解析 因为为奇函数，所以 . 设，定义域关于原点对称，则 ， 所以 为偶函数. 对于,，且，有 ， 设，则，得，即 ， 所以在上单调递增，所以在 上单调递减， 且， . 当时，由，得，解得 ； 当时，由，得，解得 . 综上，不等式的解集为 .故选B. 易错点2 未综合考虑奇（偶）函数图象的对称性而致错 28 易错警示 求解与奇、偶函数有关的不等式问题要考虑奇、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间的单 调性,本题的易错之处是只考虑在上的性质,而忽视在 上的性质.为避免此 类问题出现错误,可根据函数的奇偶性、单调性作出函数的大致图象,根据图象解不等式. 易错点2 未综合考虑奇（偶）函数图象的对称性而致错 29 3.2 3.2.2 函数的奇偶性 刷提升 30 1.［江苏常熟2024高一期中］已知函数 ，则下列函数为奇函数的是( ) D A. B. C. D. 31 解析 由题得 . 对于A选项,,定义域为 ,不关于原点对称，为非奇 非偶函数； 对于B选项,,定义域为 ,不关于原点对称，为非奇非 偶函数； 对于C选项, ,为非奇非偶函数； 对于D选项,,定义域为 ,为奇函数. 故选D. 32 多种解法 ,故此函数图象的对称中心为 ,由函数图象的平移 变换可知的图象是将函数 的图象向左平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度 得到的,则函数图象的对称中心也会从变为,故 为奇函数. 33 2.［河北石家庄二中2025高一期中］函数 的大致图象是( ) D A. B. C. D. 34 解析 因为，且其定义域为，所以函数 为奇函数， 图象关于原点对称，所以排除A，B；又 ，所以排除C.故选D. 35 3.（多选）［重庆八中2025高一段考］已知是定义在上的偶函数，是定义在 上的奇函 数，且，在 上单调递减，则下列说法正确的是( ) ABC A. B. C. D. 36 解析 因为是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且两函数在 上单调 递减， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且 . 对于A，由在上单调递减，得，故 ，故A正确； 对于B，，因为在上单调递增，所以，又 在 上单调递减，所以 ，故B正确； 对于C，因为在上单调递减，所以，又在 上单调递 减，所以 ，故C正确； 对于D，在上单调递增，故，但不确定, 的大小关系，则无 法比较,的大小，故D错误.故选 . 37 4.（多选）［四川成都石室中学2025高一月考］定义在上的函数 满足 ，当时， ，则下列说法正确的是( ) ABD A. B.若，则 C.函数在 上单调递增 D.不等式的解集为 38 解析 对于A，令，则，则 ， 令，则，则 ，A正确； 对于B，若，则， ， ， 故 ，B正确； 对于C，由于函数的定义域为，关于原点对称，取 ， 则，即 为偶函数， 任取,，且，则 ， 39 因为，所以，则，则 ， 故函数在 上单调递减，C错误； 对于D，由C的分析可知函数为偶函数且在上单调递减，则在 上单调递增， 故由结合，可得，且 ， 解得，且，即的解集为，D正确，故选 . 40 5.（多选）某通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如 ， 其中，.已知定义在上不恒为0的函数，对任意, ， 有且满足 ，则( ) AD A. B. C.是偶函数 D. 是奇函数 41 解析 根据定义可得, , . 令,则 ,A正确； 令,则,得,令,则 , 得 ,B错误； 令,,则 , 即,又定义域为,所以是奇函数,故C错误,D正确.故选 . 42 名师点拨 对于抽象函数,赋值法是很好的处理方法,常令,0, 等探究抽象函数的单调性和奇偶性. 43 6.［山东潍坊2024高一期中联考］已知，分别是定义在 上的奇函数和偶函数，且 ，则 ____. 44 解析 由题可得 , 与相加得 , 故, , 故 . 45 多种解法 由题得,,又为奇函数, 为偶函数,所以 ,所以,同理得.所以 . 46 7.［福建福州十校2025高一期中］已知定义在上的函数为常数 .若 ，则 ________. 2 023 解析 设,则,且定义域为 , 是奇函数,,与相加得 , . 47 8.已知函数 . （1）证明： 是奇函数； 【证明】令,则,所以 . 的定义域为,关于原点对称, ,所 以 是奇函数. 48 【解】因为不等式,且 是奇函数,所以 . 作出 的图象,如图所示. ①当,即时,则有,解得 ,所以 ； ②当,即或时,则有 ,解得 ,所以 ； ③当,即或 时,不成立. 综上,实数的取值范围是 . （2）若不等式成立，求实数 的取值范围. 49 规律方法 判断函数奇偶性常用的方法 （1）定义法； （2）图象法. 要结合具体函数选择合适的方法求解. 50 9.［上海交通大学2022强基计划］偶函数满足，则 ___. 0 解析 令,得 , 又是偶函数,所以 , 所以,所以 , 故 是以4为周期的函数, 所以 . 51 $$