3.2.2函数的奇偶性（3大题型提分练）数学湘教版必修第一册

3.2.2函数的奇偶性 题型一 函数奇偶性的定义和判断 1．是定义域为的奇函数，同时也是严格增函数，则在上是（    ）． A．奇函数且是严格增函数 B．奇函数且是严格减函数 C．偶函数且是严格增函数 D．偶函数且是严格减函数 2．已知函数的定义域为，的图象关于中心对称，是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 3．函数的图像为（    ） A． B． C． D． 4（多选题）．已知奇函数与偶函数的定义域、值域均为R，则（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 5．函数的奇偶性为 ． 6．已知函数，其中，且，则 ． 7．已知定义在上的函数是偶函数，则实数的值为 ． 8．已知函数． (1)试证明函数是偶函数； (2)画出的大致图象． 9．已知函数． (1)若函数为奇函数，求实数的值； (2)当，时，求函数在区间上的最小值． 题型二 由奇偶性求函数解析式 1．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（    ） A．19 B． C．1 D． 2．如果函数是奇函数，那么（ ） A． B． C． D． 3．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4（多选题）．已知是上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B．的递增区间为 C．的递减区间为 D．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为 5．已知函数是奇函数，且，则 . 6．已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则函数在R上的表达式为 ． 7．已知定义在上的奇函数，当时，．写出函数在上的单调区间． 8．回答下面两个题： (1)已知函数，求的解析式； (2)已知为R上的奇函数，当时，.求的解析式； 9．已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有． (1)求函数的解析式；(2)判断的单调性，并证明；(3)解不等式． 题型三 函数奇偶性的应用 1．下列四个命题： ①偶函数的图像一定与轴相交； ②奇函数的图像一定通过原点； ③既是奇函数又是偶函数的函数只能是； ④偶函数的图像关于轴对称． 其中正确的命题是（　　） A．③ B．④ C．②③④ D．①②③ 2（多选题）．已知为定义在上的奇函数，为定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 3．若函数是偶函数，且在上是严格增函数，则、、的大小关系是 ． 4．已知定义在R上的偶函数满足，若，则实数a的取值范围是 ． 5．已知定义在上的函数为奇函数，且函数在区间上单调递增，则的解集为 . 6．若奇函数在区间上是增函数，且满足. (1)画出一个满足条件的函数的图象；(2)求不等式的解集. 7．已知为上的奇函数，当时，． (1)求的值；(2)求的解析式．(3)写出解不等式的解集． 8．已知函数． (1)若函数为偶函数，写出的值，并说明理由； (2)函数为定义在上的奇函数，在（1）的结论下，若当时，，求的表达式，并解不等式． 1．下列命题中正确的是 ．（填序号） ①对于函数，若，则是奇函数； ②若是奇函数，定义域为，则； ③若函数的图像不关于轴对称，则一定不是偶函数． 2．已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（    ） A．1 B．3 C． D． 3．已知奇函数的定义域是，且，当时，.求在区间上的解析式. 4．已知是定义域上的奇函数，且. (1)求的解析式；(2)判断并用定义证明在区间上的单调性； (3)设函数，若对任意的，，求实数的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2.2函数的奇偶性 题型一 函数奇偶性的定义和判断 1．是定义域为的奇函数，同时也是严格增函数，则在上是（    ）． A．奇函数且是严格增函数 B．奇函数且是严格减函数 C．偶函数且是严格增函数 D．偶函数且是严格减函数 【答案】B 【分析】方法一：数形结合，根据函数的图象变换，可得函数的有关性质. 方法二：根据函数奇偶性和单调性的定义进行判断. 【详解】方法一：因为函数与的图象关于轴对称， 且是定义在上的奇函数，同时也是严格增函数， 所以必定是定义在上的奇函数，同时也是严格减函数. 方法二：因为是定义在上的奇函数，所以当时，， 即，所以是定义在上的奇函数； 又因为是定义在的严格增函数，所以当，且时，有， 所以，即当，且时，有， 所以在上严格单调递减. 故选：B 2．已知函数的定义域为，的图象关于中心对称，是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称性定义，再加赋值可解. 【详解】的图象关于中心对称，则（∗）； 是偶函数，则， 则的图象关于轴对称，则（∗∗）； 令代入（∗）得，，解得，代入 （∗∗）得到. 故选：D. 3．函数的图像为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为，且， 函数为奇函数，A选项错误； 当时， ，函数单调递增，故BC选项错误. 故选：D. 4（多选题）．已知奇函数与偶函数的定义域、值域均为R，则（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】BCD 【分析】本题根据奇偶性的定义逐项判断即可得出结果. 【详解】对A，因为，所以不是奇函数，故A错误； 对B，因为，所以是奇函数，故B正确； 对C，因为，所以是奇函数，故C正确； 对D，因为，所以是偶函数，故D正确． 故选：BCD． 5．函数的奇偶性为 ． 【答案】既是奇函数又是偶函数 【分析】先求出函数的定义域，然后对函数化简，再根据奇偶性的定义分析判断. 【详解】由，得，解得，所以函数定义域为，定义域关于原点对称， 所以， 因为，且，所以函数既是奇函数又是偶函数. 故答案为：既是奇函数又是偶函数 6．已知函数，其中，且，则 ． 【答案】 【分析】构造偶函数函数，把问题转化为，结合条件即可求解． 【详解】，得 构造函数，定义域为R． 因为．所以函数是偶函数， 所以，所以，从而， 又，因此. 故答案为：． 7．已知定义在上的函数是偶函数，则实数的值为 ． 【答案】或 【分析】根据偶函数的定义及性质直接可得解. 【详解】由题设，函数的定义域关于原点对称，即，解得或， 故答案为：或. 8．已知函数． (1)试证明函数是偶函数； (2)画出的大致图象． 【答案】(1)证明见解析；(2)作图见解析. 【分析】（1）利用偶函数的定义推理即得. （2）借助二次函数图象及偶函数性质作出的大致图象. 【详解】（1）函数的定义域为，且， 所以函数为偶函数． （2）当时，，且当时，或， 因此当时，函数是对称轴为，顶点坐标为， 且与轴交于点的抛物线在轴及右侧部分，如图， 再作出上述图象关于轴对称的图形即得的大致图象. 9．已知函数． (1)若函数为奇函数，求实数的值； (2)当，时，求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)0；(2)4. 【分析】（1）利用奇函数的定义求出的值. （2）利用基本不等式求出最小值即得. 【详解】（1）函数的定义域为， 由于为奇函数，则对于定义域内任意，都有成立， 即，即恒成立，而当时， 所以. （2）当，时，， 由，得，当且仅当，即时取等号， 所以，当时函数取得最小值为4. 题型二 由奇偶性求函数解析式 1．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（    ） A．19 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】利用奇函数的性质即可求解. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，所以. 故选：D. 2．如果函数是奇函数，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用奇函数定义求解即可. 【详解】当时，，所以， 又因为为奇函数，所以，所以，即， 所以当时，. 故选：A. 3．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由条件可得，再由函数的奇偶性可得时的解析式，然后分情况解出不等式即可. 【详解】因为函数是定义在R上的奇函数， 所以，则，则，即， 即当时，，设，则，则， 则当时，由可得，解得， 当时，由可得，解得，所以不等式得解集为. 故选：A 4（多选题）．已知是上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B．的递增区间为 C．的递减区间为 D．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【分析】求出的值，再由奇函数的性质计算，可判断A选项；求出在上的解析式，由二次函数的性质可求出单调区间，由此可判断BC选项；分析函数的单调性和对称性，可确定实数的取值范围，可判断D选项. 【详解】解：是奇函数，时， ，故A正确. 令则，由于函数为奇函数，故. 所以函数的解析式为. 当时，，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 且在处有意义，所以的递增区间为，的递减区间为，故B不正确，C正确. 当时，的递减区间为，递增区间为， ，所以实数的取值范围为，D正确. 故选：ACD. 5．已知函数是奇函数，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据求出，再根据求出即可求出. 【详解】的定义域为，而为奇函数， 故，而，故，故， 所以，此时，故为奇函数，故， 故答案为： 6．已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则函数在R上的表达式为 ． 【答案】 【分析】由偶函数的性质即可求解. 【详解】当时，，故，故， 所以. 故答案为：. 7．已知定义在上的奇函数，当时，．写出函数在上的单调区间． 【答案】，是的严格减区间；是的严格增区间． 【分析】结合条件，以及奇函数的对称性，画出函数的图象，由图象确定函数的单调区间. 【详解】当时，，对称轴为，根据奇函数关于原点对称，画出函数的图象， 由图象可知，，是的严格减区间； 是的严格增区间． 8．回答下面两个题： (1)已知函数，求的解析式； (2)已知为R上的奇函数，当时，.求的解析式； 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用换元法求函数的解析式； （2）根据函数是奇函数，求函数的解析式. 【详解】（1）设，，，则， 所以； （2）设，， 因为函数是奇函数，所以，当时，， 所以. 9．已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有． (1)求函数的解析式；(2)判断的单调性，并证明；(3)解不等式． 【答案】(1)；(2)在为增函数，证明见解析；(3). 【分析】（1）根据奇函数的性质，即可求出，再由求出，即可求出当时函数解析式，再由奇函数的性质求出时解析式； （2）利用定义法证明函数的单调性即可； （3）结合奇偶性与单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得， 因为，所以，所以， 所以当时，， 当时，，则，综上所述，； （2）函数在上为增函数． 证明：任取，且，则 ， ，，即， 故在上为增函数； （3）因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 又由（2）知在上为增函数，所以，解得， 故原不等式的解集为． 题型三 函数奇偶性的应用 1．下列四个命题： ①偶函数的图像一定与轴相交； ②奇函数的图像一定通过原点； ③既是奇函数又是偶函数的函数只能是； ④偶函数的图像关于轴对称． 其中正确的命题是（　　） A．③ B．④ C．②③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】举反例可以判断①②③，根据偶函数的定义，可以判断④. 【详解】对于①，函数是偶函数，但其图象不与轴相交，故①错误； 对于②，函数是奇函数，但其图象不通过原点，故②错误； 对于③，函数也既是奇函数，又是偶函数，故③错误； 对于④，根据偶函数的定义，偶函数图象关于轴对称，故④正确； 故选：B. 2（多选题）．已知为定义在上的奇函数，为定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据奇偶性的定义依次分析判断即可. 【详解】对A,因为为定义在上的奇函数，为定义在上的偶函数， 所以， 所以，故A正确； 对B,，故B正确； 对C,，即，故C正确； 对D,，故D错误. 故选：ABC. 3．若函数是偶函数，且在上是严格增函数，则、、的大小关系是 ． 【答案】 【分析】利用偶函数性质将所有自变量转换到已知单调区间内即可比较大小. 【详解】因为函数是偶函数，且在上是严格增函数， 所以. 故答案为：. 4．已知定义在R上的偶函数满足，若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，由求解. 【详解】解：因为的图象的对称轴为，且开口向上， 所以在上严格增，且在R上是偶函数， 所以，两边平方得，所以. 故答案为： 5．已知定义在上的函数为奇函数，且函数在区间上单调递增，则的解集为 . 【答案】 【分析】由已知结合函数的对称性及单调性即可求解不等式. 【详解】函数为奇函数，函数关于中心对称，所以， 又在上单调递增，在单调递增， 从而可化为,,即 故答案为 6．若奇函数在区间上是增函数，且满足. (1)画出一个满足条件的函数的图象；(2)求不等式的解集. 【答案】(1)作图见解析；(2). 【分析】（1）利用奇函数的性质结合已知条件画出图象； （2）将原不等式转化为不等式组，然后结合图象求解即可. 【详解】（1）答案不唯一，如图. （2）由，得或， 由图象可得或， 所以不等式的解集为. 7．已知为上的奇函数，当时，． (1)求的值；(2)求的解析式．(3)写出解不等式的解集． 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）利用奇函数的性质可求得的值； （2）设，则，利用奇函数的性质可得出函数在时的解析式，再由设可得出函数的解析式； （3）分、两种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集. 【详解】（1）解：因为函数为上的奇函数，当时，， 则. （2）解：因为函数为上的奇函数， 当时，，则， 又因为满足，故. （3）当时，，可得，解得或，此时，或； 当时，，可得，解得或，此时，. 综上所述，原不等式的解集为. 8．已知函数． (1)若函数为偶函数，写出的值，并说明理由； (2)函数为定义在上的奇函数，在（1）的结论下，若当时，，求的表达式，并解不等式． 【答案】(1)0，理由见解析；(2)，或． 【分析】（1）求出，然后用偶函数的定义证明即可； （2）利用奇函数的性质求解析式，然后分情况解不等式即可. 【详解】（1）， 理由：的定义域为，为偶函数，关于轴对称，∴， ∴，即，∴的值为0． （2）由（1）可得，当时，； 当时，，． 因为为定义在上的奇函数，所以．当时，． 所以的表达式为 当时，令，解得；，符合； 当时，令，解得． 综上，不等式的解集为或． 1．下列命题中正确的是 ．（填序号） ①对于函数，若，则是奇函数； ②若是奇函数，定义域为，则； ③若函数的图像不关于轴对称，则一定不是偶函数． 【答案】②③ 【分析】根据奇偶性的性质直接判断. 【详解】①当时，，即，此时为偶函数，所以①错误； ②若是奇函数，定义域为，则，②正确； ③若函数为偶函数，则函数的图像关于轴对称， 若函数的图像不关于轴对称，则一定不是偶函数，③正确； 故答案为：②③. 2．已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】 利用两函数的奇偶性，根据已知等式，构造另一个等式，联立求出函数解析式，代入自变量的值计算即得. 【详解】因分别是定义在上的偶函数和奇函数，则有：， 由①，将其中的取为，则可化简得：②， 由①②联立可求得：，于是. 故选：D. 3．已知奇函数的定义域是，且，当时，.求在区间上的解析式. 【答案】. 【分析】由当时，，可得当时，，则当时，可得. 【详解】∵当时，，， ∴当时，， ∴当时， 所以， 即在区间上的解析式为. 4．已知是定义域上的奇函数，且. (1)求的解析式；(2)判断并用定义证明在区间上的单调性； (3)设函数，若对任意的，，求实数的最小值. 【答案】(1)；(2)函数在上单调递减，在上单调递增，证明见解析；(3). 【分析】（1）根据奇函数的性质得到，从而得到关于、的方程组，解得即可； （2）按照定义法证明单调性的步骤取值、作差、化简、定号、下结论即可； （3）令换元得，将问题转化为求最值问题，然后由求解可得. 【详解】（1）因为是定义域上的奇函数，且， 所以，所以，解得，即． 经检验，是奇函数，满足题意，所以. （2）函数在上单调递减，在上单调递增， 证明如下：任取，且， 则， 当，且，则，，∴， ∴，即，所以函数在上单调递减． 当，且，则，，∴，∴，即， 所以函数在上单调递增． （3）由题意知， 令，则，由（2）可知函数在上单调递减，∴， 因为函数的对称轴方程为， ∴函数在上单调递增， 当时，取得最小值，； 当时，取得最大值，． 所以，， 又因为对任意的，都有恒成立， ∴， 即，解得， 又∵，所以的取值范围是，则实数的最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$