3.2.2 函数的奇偶性（第一课时）课件-2022-2023学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

3.2.2 函数的奇偶性 第一课时 函数的奇偶性(一) 1 1.理解奇函数、偶函数的定义,会判断函数的奇偶性. 2.掌握奇函数、偶函数的图象特征. 课标要求 素养要求 由图象抽象出函数性质,提升学生的数学抽象和逻辑推理素养. 2 课前预习 课堂互动 分层训练 内容索引 3 课前预习 知识探究 1 4 1.奇函数、偶函数的图象特征 (1)如果F(x)的图象是以_为对称轴的轴对称图形,就称F(x)是偶函数. (2)如果F(x)的图象是以_为中心的中心对称图形,就称F(x)是奇函数. y轴 原点 5 2.奇函数、偶函数的数学符号描述 (1)如果对一切使F(x)有定义的x,_也有定义,并且_成立,则称F(x)为偶函数,偶函数就是满足条件F(-x)=F(x)的函数. (2)如果对一切使F(x)有定义的x,F(-x)也有定义,并且_成立,则称F(x)为奇函数,奇函数就是满足条件F(-x)=-F(x)的函数. F(-x) F(-x)=F(x) F(-x)=-F(x) 6 点睛 (1)一看定义域.定义域D具有对称性,即∀x∈D,-x∈D,也就是说奇、偶函数的定义域要关于原点对称,定义域不关于原点对称时,f(x)是非奇非偶函数. 如f(x)=x2,x∈R是偶函数,但f(x)=x2,x∈[-1,2]是非奇非偶函数. (2)二看等式.当f(x)的定义域关于原点对称时,要看f(x)与f(-x)的关系: ①f(-x)=f(x)⇔f(x)是偶函数; ②f(-x)=-f(x)⇔f(x)是奇函数; ③f(-x)≠±f(x)⇔f(x)是非奇非偶函数; ④f(-x)=±f(x)⇔f(x)既是奇函数又是偶函数.这样的函数只有一类,即f(x)=0,x∈D,且D关于原点对称. 由以上两点不难得到利用定义法判断函数奇偶性的步骤. 7 1.思考辨析,判断正误 (1)f(x)是定义在R上的函数,若f(-1)=f(1),则f(x)一定是偶函数.( ) 提示 偶函数需对一切x∈R,都有f(-x)=f(x). (2)若函数的定义域为R,则该函数不是奇函数就是偶函数.( ) 提示 只有符合定义才能判断是奇函数或偶函数,也有可能非奇非偶. (3)对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数.( ) 提示 反例:f(x)=x2,存在x=0,f(-0)=-f(0)=0,但函数f(x)=x2不是奇函数. (4)不存在既是奇函数,又是偶函数的函数.( ) 提示 存在f(x)=0,x∈R既是奇函数,又是偶函数. × × × × 8 2.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( ) B 解析 选项A中的图象关于原点或y轴均不对称,故排除;选项C,D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除;选项B中的图象关于y轴对称,其表示的函数是偶函数.故选B. 9 3.已知函数f(x)=|x3+1|+|x3-1|,则下列坐标表示的点一定在函数f(x)的图象上的是( ) A.(-a,-f(a)) B.(a,f(-a)) C.(a,-f(a)) D.(-a,-f(-a)) 解析 ∵f(-x)=|-x3+1|+|-x3-1|=|x3-1|+|x3+1|=f(x),且f(x)的定义域为R, ∴f(x)为偶函数. ∵点(a,f(a))一定在函数f(x)的图象上,又f(a)=f(-a), ∴点(a,f(-a))也一定在函数f(x)的图象上. B 10 3 4.若f(x)为R上的偶函数,且f(2)=3,则f(-2)=_. 解析 f(x)为偶函数,故f(-2)=f(2)=3. 11 课堂互动 题型剖析 2 12 题型一 判断函数的奇偶性 解 函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,又f(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x), 所以f(x)为偶函数. (2)函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f(x)=0,又f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x), 所以f(x)既是奇函数又是偶函数. 13 解 (3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1},不关于原点对称, 所以f(x)是非奇非偶函数. (4)f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 当x>0时,-x<0,f(-x)=1-(-x)=1+x=f(x); 当x<0时,-x>0,f(-x)=1+(-x)=1-x=f(x). 综上可知,对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f(-x)=f(x),f(x)为偶函数. 14 判断函数的奇偶性,一般有以下几种方法: (1)定义法:若函数定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数;若函数定义域关于原点对称,则应进一步判断f(-x)是否等于±f(x),或判断f(-x)±f(x)是否等于0,从而确定奇偶性. (2)图象法:若函数图象关于原