3.2.1 函数的单调性与最值-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦函数的单调性与最值，从单调性定义的理解切入，通过具体例题衔接函数基本概念与后续复杂性质，构建从定义辨析到单调区间确定再到最值应用的学习支架，帮助学生逐步深化对函数性质的认识。 其亮点在于以多样化题型和详细解析为载体，通过定义辨析题培养学生的抽象能力，借助含参数函数单调性讨论发展推理意识，结合图像分析和分类讨论等方法，助力学生形成数学思维。学生能在练习中巩固知识，教师可利用易错点提示和规律总结提升教学效果。

数学 必修第一册 XJ 1 3.2.1 3.2.1 函数的单调性与最值 2 3.2.1 课时1 函数的单调性 刷基础 3 1.［江苏苏州2025高一月考］下列说法正确的是( ) C A.所有的函数在其定义域上都具有单调性 B.若函数在区间上单调递减，则函数的单调递减区间是 C.若函数为上的减函数，则 D.若函数在定义域上有，则函数 是增函数 题型1 单调性定义的理解 4 解析 对于A,函数在其定义域 上不具有单调性，故A错误； 对于B,函数在区间上单调递减，但的单调递减区间是 ，故B错误； 对于C，函数为上的减函数，因为，所以 ，故C正确； 对于D，函数， , ，满足，但在上单调递增，在 上单调递减， 所以在其定义域 上不是增函数，故D错误.故选C. 题型1 单调性定义的理解 5 2.（多选）［黑龙江牡丹江2025高一期末］函数是上的减函数，且 ， 则下列选项正确的是( ) ABC A. B. C. D. 题型1 单调性定义的理解 6 解析 A,B选项,是上的减函数,且,故 ,则 ,A,B正确； C,D选项,因为,,所以 , ,C正确,D错误. 故选 . 题型1 单调性定义的理解 7 3.［北京人大附中2024高一期中］“函数在区间 上不是增函数”的一个充要条件是 ( ) B A.“存在，，使得且 ” B.“存在，，使得且 ” C.“存在，使得 ” D.“存在，使得 ” 题型1 单调性定义的理解 8 解析 若函数在区间上是增函数,即任意,,使得且 ,则若函数 在区间上不是增函数,即存在,,使得且 .故选B. 题型1 单调性定义的理解 9 4.如图是函数的图象，其定义域为，则函数 的单调递减区间 是( ) C A. B. C., D. 题型2 确定函数的单调区间及单调性 10 解析 若函数单调递减,则对应图象呈下降趋势,则由题图知,的单调递减区间为 , ,故选C. 题型2 确定函数的单调区间及单调性 11 特别注意 解题时需注意单调区间不能用“ ”连接. 题型2 确定函数的单调区间及单调性 12 5.（多选）［陕西咸阳高新一中2024高一质量检测］下列函数中，在区间 上单调递增的是 ( ) ABC A. B. C. D. 题型2 确定函数的单调区间及单调性 13 解析 作出,,,的图象如图所示,则由函数的图象知, , 在上单调递增,在上单调递减.故选 . 题型2 确定函数的单调区间及单调性 6.［福建福州2025高一月考］函数 的单调递减区间为( ) B A. B. C. D. 题型2 确定函数的单调区间及单调性 15 解析 作出函数 的大致图象，如图所示，由图可 知函数的单调递减区间为 .故选B. 题型2 确定函数的单调区间及单调性 7.［辽宁省实验中学2025高一期中］设函数为 上的增函数，则下列结论正确的是( ) D A.在上为增函数 B.在 上为减函数 C.在上为增函数 D.在 上为减函数 题型2 确定函数的单调区间及单调性 17 解析 由题设，满足要求，则为常数函数且定义域不是 ，故排除B； ，在上不是单调函数，且函数 的定义域不是 ，故排除 A,C； 若函数在上为增函数，则在 上为减函数，D正确.故选D. 题型2 确定函数的单调区间及单调性 18 8.函数 的单调递减区间是_ _____________. , 解析 当或时,,图象的对称轴方程为 , 当时,,图象的对称轴方程为 , 作出 的图象如图所示, 由图可知,的单调递减区间为 ,1, . 题型2 确定函数的单调区间及单调性 19 9.［甘肃张掖2025高一月考］已知函数且经过, 两点. （1）求函数 的解析式； 【解】将点,的坐标代入解析式得 解得故 . 题型2 确定函数的单调区间及单调性 20 （2）利用单调性的定义证明：在 上单调递增. 【证明】任取,,且 ， 则 ， 题型2 确定函数的单调区间及单调性 21 因为,,，所以, ， 故 ， 故，所以在 上单调递增. 题型2 确定函数的单调区间及单调性 22 链接教材 此题改编自教材第81页例1,利用定义判断函数单调性的步骤： （1）在定义域内任取 . （2）计算 并化简整理. （3）判断 的正负. （4）得出结论,若,则单调递增；若,则 单调递减. 题型2 确定函数的单调区间及单调性 23 10.［广东广州华南师大附中2025高一期中］函数 的大致图象是( ) B A. B. C. D. 题型3 函数单调性的应用 24 解析 函数的定义域为，且 当时，因为函数，在上都单调递减，所以函数 在 上单调递减. 当时，由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，在 上单调 递增，故符合函数 的图象为B选项中的图象.故选B. 题型3 函数单调性的应用 25 规律方法 根据函数解析式判断函数图象的一般方法 （1）验证定义域； （2）验证特殊值； （3）验证单调性； （4）验证奇偶性（后续会学习）. 题型3 函数单调性的应用 26 11.［宁夏银川一中2025高一期中］函数为定义在上的减函数，若 ，则( ) C A. B. C. D. 题型3 函数单调性的应用 27 解析 是定义在上的减函数，，与的大小关系不能确定，从而, 的 大小关系不确定，故A错误. ，当或时，；当时，，故, 的大 小关系不确定，故B错误. ，， ，故C正确. ，当或时， ；当 时，，故, 的大小关系不确定，D错误.故选C. 题型3 函数单调性的应用 28 12.［湖北孝感2024高一期中］若函数与在区间 上都单调递 减，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 题型3 函数单调性的应用 29 解析 由题意,函数的图象对应的抛物线开口向下,对称轴为直线,故 在 上单调递减, 若在区间上单调递减,则,解得 . 函数,若在区间上单调递减,则 ,且 或,即或 . 综上,实数的取值范围是 ,故选A. 题型3 函数单调性的应用 30 归纳总结 含参数的单调性问题,应先分析函数的单调性情况,求出函数的单调区间,再结合题中给出的函数的 单调性信息,转化为区间的包含关系,最后由区间的包含关系得到关于参数的不等式（或不等式组） 进行求解. 注意根据二次函数在某一区间上单调性求参数的范围时,利用二次函数图象的对称轴在区间外部或 端点处列不等式求解. 题型3 函数单调性的应用 31 13.［福建泉州2025高一段考］已知函数，则不等式 的 解集为( ) C A. B. C. D. 题型3 函数单调性的应用 32 解析 函数，由解得 ，则 的定义域为 . 因为是增函数， 也是增函数， 所以是 上的增函数， 由不等式得解得 ，故选C. 题型3 函数单调性的应用 33 规律方法 利用函数的单调性,脱去不等式中的“ ”,转化为关于自变量的不等式,例如对于一个增函数,若有 ,则能得到；对于一个减函数,若有,则能得到 .然后通过 解这个相对简单的不等式来解决问题,同时注意定义域的限制. 题型3 函数单调性的应用 34 14.若函数在上单调递减，在上单调递增，则实数 的取值 范围是( ) D A. B. C. D. 题型3 函数单调性的应用 35 解析 函数根据反比例函数的性质可得在区间 上单调递减,要 使函数在区间上单调递减,则 . 由在上单调递增,得,解得.故实数的取值范围是 .故 选D. 题型3 函数单调性的应用 36 15.［安徽蚌埠2025高一联考］已知定义在上的函数满足 , ，且当时，，则不等式 的解集为( ) B A.或 B.或 C. D. 题型3 函数单调性的应用 37 解析 已知, ， 令，则 ， 令,，则 . 令,，且，则 ， 整理得 ， 因为，所以，可得 ， 所以，即 ， 可知在 上单调递增. 又，即 ， 可得，即 ， 结合在定义域上单调递增，可得，解得或 ， 所以不等式的解集为或 .故选B. 题型3 函数单调性的应用 38 16.［甘肃武威2025高一月考］定义在上的函数满足：①当时， ；②对 任意实数，都有 . （1）证明：当时， ； 【证明】令，则，所以 . 当时，，则 ， 在 中， 令，则，所以 . 题型3 函数单调性的应用 39 （2）判断在 上的单调性； 【解】设，则，所以 ， 于是 ， 故在 上单调递增. 题型3 函数单调性的应用 40 （3）解不等式 . 【解】由题意知，原不等式等价于 , 由（2）知，在上单调递增，可得，且, ，解 得 . 故原不等式的解集是 . 题型3 函数单调性的应用 41 17.若函数在上单调递减，则实数 的取值范围是_ _____. 解析 当时,,显然此函数在 上单调递减； 当时,函数图象的对称轴为直线,要使函数在 上单调递减, 只需满足解得 . 综上所述,实数的取值范围是 . 易错点1 忽略含参函数的分类讨论而致错 42 易错警示 形如型函数的单调性问题,由于 的值不确定,因此函数不一定是二次函数,要对 的取值进行分类讨论.本题的易错之处是忽视二次项系数为0的情况. 易错点1 忽略含参函数的分类讨论而致错 43 18.［四川眉山2025高一期中联考］已知函数在 上单调递 增，则实数 的取值范围为( ) D A. B. C. D. 易错点2 忽略分段函数的分界点而致错 44 解析 当时，，函数 的图象开口向下，对称轴为直线 ，当时， 单调递增. 当时， ， 又因为函数在上单调递增，当时，函数在 上单调递增. 所以解得 .故选D. 易错点2 忽略分段函数的分界点而致错 45 易错警示 对于分段函数在实数集 上的单调递增（减）的问题,除了保证在定义域的每一个区间上单调性相 同之外,还要考虑在分界点处的函数值的大小关系.若函数是增函数,则在分界点处左边函数值小于 或等于右边函数值；若函数是减函数,则在分界点处右边函数值小于或等于左边函数值,这样才能 满足在 上单调递增（减）,否则求出的参数的取值范围会出现错误. 易错点2 忽略分段函数的分界点而致错 46 3.2.1 课时2 函数的最值 刷基础 47 1.已知函数的定义域为，有以下三种说法：①若存在常数，使得对任意 ，有 ，则是的最大值；②若存在，使得对任意，有，则 是的最大值；③若存在，使得对任意，且，有，则 是 的最大值.其中正确说法的个数为( ) C A.0 B.1 C.2 D.3 题型1 函数的最大（小）值的判定及求解 48 解析 由函数最大值的概念知②③正确. 题型1 函数的最大（小）值的判定及求解 49 2.［江西师大附中2024高一期中］函数， 的值域是( ) C A. B. C. D. 题型1 函数的最大（小）值的判定及求解 50 解析 , 当时,单调递增,,且当时, , 当时,单调递增,,且当时, , 故函数,,的值域是 .故选C. 题型1 函数的最大（小）值的判定及求解 51 3.［浙江绍兴2025高一期中］已知，，记,则函数 , 的最大值为( ) B A. B.1 C. D.2 题型1 函数的最大（小）值的判定及求解 52 解析 由得或 ， 当时，，，在 上单调递增； 当时，，，在, 上单调递增； 当时，，，在 上单调递减. 因此在上单调递增，在上单调递减，所以 ，故选B. 题型1 函数的最大（小）值的判定及求解 53 4.［辽宁大连八中2025高一段考］若函数的值域是 ，则函数 的值域是( ) B A. B. C. D. 题型1 函数的最大（小）值的判定及求解 54 解析 因为函数的值域是，所以函数的值域是 . 令，则 ，由对勾函数的性质可知，函数 在上单调递减，在 上单调递增， 而，， ， 则，即函数的值域是 .故选B. 题型1 函数的最大（小）值的判定及求解 55 5.（多选）［吉林长春实验中学2025高一期中］已知函数 ， 则下列命题正确的是( ) BC A.当 时，函数最大值为1 B.当 时，函数最大值为0 C.若存在最大值，则 D.，在 上不可能单调递减 题型1 函数的最大（小）值的判定及求解 56 解析 A选项，当时，在上单调递减，故 ； 在上单调递增，在 上单调递减， 故，所以当 时，函数最大值不存在，故A错误. B选项，当时，在上单调递减，故 ； 在上单调递增，在 上单调递减， 故，所以当 时，函数最大值为0，故B正确. C选项，因为在上单调递减，所以 ； 题型1 函数的最大（小）值的判定及求解 57 若，则在上单调递增，则 . 因为，所以，此时 无最大值； 若，则在上单调递增，在 上单调递减， 则，要使存在最大值，则，解得 ，故C正确. D选项，注意到当，时，在 上单调递减，故D错误. 故选 . 题型1 函数的最大（小）值的判定及求解 58 6.已知函数在上的值域为，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 题型2 函数的最大（小）值的应用 59 解析 二次函数图象的对称轴为直线 , 在上的值域为, , ,由图可知 .故选A. 题型2 函数的最大（小）值的应用 7.生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数.现知一企业生产某 种商品的件数为时的成本函数为（万元）， .若售出一件商品收入是 20万元，那么该企业为获取最大利润，应生产这种商品的件数为( ) A A.18 B.36 C.22 D.9 题型2 函数的最大（小）值的应用 61 解析 由题意可知,售出件商品时的收入是 万元,则企业获得的利润 , . 由二次函数的性质可知,当时,利润最大, 该企业为获取最大利润,应生产这种商品的件数为 18.故选A. 题型2 函数的最大（小）值的应用 62 8.［河南信阳高级中学2024高一月考］已知若是 的最小值， 则实数 的取值范围为( ) C A. B. C. D. 题型2 函数的最大（小）值的应用 63 解析 当时, , 所以要使是的最小值,则 , 又当时,,当且仅当 时取等号, 所以,即,解得,又因为,所以 .故选C. 题型2 函数的最大（小）值的应用 64 归纳总结 本题中分段函数的最小值应该是两段最小值中的较小者,故应分析两段的最小值并给出它们的不等关系. 题型2 函数的最大（小）值的应用 65 9.［广东广州广雅中学2025高一质量检测］已知，函数在区间 上 的最大值是5，则 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 题型2 函数的最大（小）值的应用 66 解析 当时，在上单调递减，在 上单调递增， 所以 ， 当时， ， 此时的最大值为，解得 ，舍去； 当时， ，符合题意； 当时，, ， 则 或 题型2 函数的最大（小）值的应用 67 解得或 . 综上，实数的取值范围是 .故选B. 题型2 函数的最大（小）值的应用 10.［江苏西交大苏州附中2025高一期中］已知函数, . （1）若，求函数, 的值域. 【解】若，则 当时， . 当时， ， 所以函数,的值域为 . 题型2 函数的最大（小）值的应用 69 （2）设，是否存在实数，使得的最小值为 ?若存在，请求出所有符 合条件的实数 ；若不存在，请说明理由. [答案] 由题意可得 ①当时，根据二次函数的性质，可知函数在 上单调递减， 在上单调递增，所以函数的最小值为 . 又的最小值为，所以，解得 . 题型2 函数的最大（小）值的应用 70 ②当时，根据二次函数的性质，可知函数在上单调递减，在 上单 调递增，所以函数的最小值为 . 又的最小值为，所以，解得，又，所以 . ③当时，根据二次函数的性质，可知函数在 上单调递减， 在上单调递增，所以函数的最小值为 . 又的最小值为，所以，解得 . 综上所述，存在实数，使得的最小值为，此时 . 题型2 函数的最大（小）值的应用 71 11.［山东济宁2024高一期中］设函数，若不等式 对任意的 恒成立，则实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 题型3 恒成立与能成立问题 72 解析 ,即在区间 上恒成立. 令,则的图象开口向上且对称轴为 轴. 若,此时,而不恒为负数,所以 不恒成立,矛盾； 若,此时,要使得,则 恒成立, 而在上单调递增,所以 , 所以只需满足,解得或 （舍去）,故选B. 题型3 恒成立与能成立问题 73 12.已知函数的定义域为，设函数的定义域为.若,使得 成 立，则实数 的取值范围为( ) C A. B. C. D. 题型3 恒成立与能成立问题 74 解析 由题意得,可得,故 . 若,使得成立,故在上, . 又,即的图象开口向上且对称轴为直线 ,易知在 上,单调递减,所以,故 .故选C. 题型3 恒成立与能成立问题 75 13.［浙江杭州2025高一期中］若命题“，不等式 恒成立”是真 命题，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 题型3 恒成立与能成立问题 76 解析 若命题“，不等式恒成立”是真命题，则 ，不 等式 恒成立. 令，则，，则有，可得 . 因为函数,在区间 上均为减函数， 所以函数在区间 上为减函数， 故当时，，所以 , 即实数的取值范围是 .故选A. 题型3 恒成立与能成立问题 77 规律方法 不等式的恒成立与有解问题的转化规则 ①若在上恒成立,则 ； ②若在上恒成立,则 ； ③若在上有解,则 ； ④若在上有解,则 . 题型3 恒成立与能成立问题 78 14.［广东深圳华中师大附中2025高一月考］已知函数,, , .对于任意的，存在，使得，则实数 的取值范围是 ________. 题型3 恒成立与能成立问题 79 解析 由题意知，对于任意的，存在，使得 ，即需满足 . 函数在上单调递减，所以 ， 当时，在区间上单调递增，则 ， 所以，解得，所以 ; 当时，在区间上单调递减，则 ， 所以，解得，所以 ; 当时， 符合题意. 综上所述，实数的取值范围是 . 题型3 恒成立与能成立问题 80 15.［黑龙江哈尔滨四中等校2025高一期中联考］已知函数 . （1）当时，求函数 的单调递增区间（写出结论即可）； 【解】当时， 所以函数的单调递增区间为， . 题型3 恒成立与能成立问题 81 （2）在（1）的条件下，当时，恒成立，求实数 的取值范围； [答案] 由（1）可知，当时， ， 则，即 ， 即在 上恒成立. 因为函数在 上单调递减， 所以，所以 ， 故实数的取值范围为 . 题型3 恒成立与能成立问题 82 （3）当时，求函数在上的最小值 . [答案] 当时，，其图象的对称轴为直线 ， 所以函数在上单调递增， ； 当时，又 ， 结合图象知，在上单调递减，在 上单调递增， 所以 ； 当时，，其图象的对称轴为直线 ， 题型3 恒成立与能成立问题 83 因为此时的图象是开口向下的抛物线，所以 ， 即 ， 综上所述， 题型3 恒成立与能成立问题 84 16.（多选）已知函数的定义域为，值域为，则 的可能的取值是 ( ) BCD A.1 B.2 C.3 D.4 易错点 忽略参数的分类讨论而致错 85 解析 因为函数在区间上单调递减,在上单调递增,所以在 上 的最小值为,且 . ①当时,由值域为,可知必有 , 所以且,解得,此时 . ②当时,由值域为,可知必有 , 所以且,解得,此时 . 综上可知,,所以的可能的取值有2,3,4,故选 . 易错点 忽略参数的分类讨论而致错 86 17.［甘肃张掖2025高一月考］已知二次函数的最小值为1，且 . （1）求 的解析式； 【解】是二次函数,且,图象的对称轴为直线 . 又 的最小值为1, 设 . 又, . . 易错点 忽略参数的分类讨论而致错 87 （2）若在区间上不单调，求实数 的取值范围； [答案] 要使在区间上不单调,则,解得 . 故实数的取值范围是 . 易错点 忽略参数的分类讨论而致错 88 （3）若，试求 的最小值. [答案] 由（1）知,图象的对称轴为直线 . 若,则在上单调递增, ； 若,即,则在上单调递减, ; 若,即,则 . 综上,当时, ； 当时, ； 当时, . 易错点 忽略参数的分类讨论而致错 89 易错警示 二次函数在不定区间上的最值问题,应按照二次函数图象的对称轴与区间的相对位置关系进行分类 讨论后求其最值.本题中由于函数图象的对称轴确定,区间变化,因此应该按照对称轴在区间两侧与 在区间内分类讨论. 易错点 忽略参数的分类讨论而致错 90 3.2.1 课时2 函数的最值 刷提升 91 1.（多选）［山西太原实验中学2025高一月考］已知函数 的图象是一条连续不断的曲线， 的定义域为,,且，下列选项可判断 为单调函数的是( ) ABC A. B. C. D., 92 解析 A选项，,,，有，由函数单调性定义可得在 上单调递减，A正确； B选项， ， 因为,,，所以，故 ， 由函数单调性定义可得在 上单调递增，B正确； C选项，，故，又, 且 ，所以由函数单调性定义可得在 上单调递增，C正确； D选项，由题意得或 ，不是单调函数，D错误. 故选 . 93 2.［甘肃天水2025质检］定义一种运算,设, 为常数，且，则使函数的最大值为4的 的值可以是( ) A A.或4 B.6 C.4或6 D. 94 解析 在 上的最大值为5， 由，解得或,所以当 时， ，所以要使函数 的最大值为4，则根据定 义可知当时,的图象必经过点 ，如图，即 时，，此时解得，符合题意；当 时， 的图象必经过点，即时， ,解得 ,符合题意.故 或4.故选A. 3.若“，”为真命题，则 的取值范围为( ) B A. B. C. D. 96 解析 原不等式可化为 , 令,是关于 的一次函数, 因为“, ”为真命题, 所以或 , 即或,解得或 , 所以的取值范围为 .故选B. 97 4.对于定义域为的函数，如果存在区间 ，同时满足下列两个条件： 在区间 上是单调的； ②当定义域是时，的值域也是，则称是函数 的一个“黄金区间”. 如果是函数的一个“黄金区间”，则 的最大值为( ) C A. B.1 C. D.2 98 思路导引 利用函数单调性得利用这个同构方程得,为方程 的两个同 号的实数根,由得出的取值范围,再由根与系数的关系表示出,进而求出 的最值. 99 解析 由题意,在,上均单调递增,而函数 在“黄 金区间”上单调,所以或,且在 上单调递增, 故即,为方程 的两个同号实数根, 即方程有两个同号的实数根,因为 ,所以只需要 或 , 又所以 ,则当 时,有最大值 .故选C. 100 5.［福建泉州2025高一段考］已知函数,.若对 , ,，使得，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 101 解析 ，令,，则 , 令, ， 在上单调递减，在上单调递增，所以，则 . 易知在区间上单调递增，则 ， 又,,，使得 ， 所以解得 ，故选A. 102 6.［江西多校2025高一联考］若的最小值是4，则实数 的值为_________. 6或 103 解析 当时， ，解得 ，符合题意； 当时， ，解得 ，符合题意； 当时，， ，舍掉. 综上，或 . 104 7.［江苏泰州中学2024高一期中］已知在 上单调递增， 在上为增函数，则是 的________________.（在“充分不必要 条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选择最合适的填写） 必要不充分条件 105 解析 因为在 上单调递增, 所以当时, ,满足题意； 当时,则有,解得 . 综上,当在上单调递增时，实数的取值范围为 . 因为在 上为增函数, 所以解得 . 若成立,则一定成立,反之则不一定成立,所以是 的必要不充分条件. 106 8.［辽宁鞍山一中2025高一月考］已知函数，且满足, . （1）判断在 上的单调性，并用定义证明； 【解】由函数满足, , 可得解得 则 . 在 上单调递增,证明如下： 任取,,且 ,则 , 107 由,可得 , 又,, , 则,即 , 所以在 上单调递增. 108 （2）设，若对任意的，总存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围. [答案] 对任意的,由在 上单调递增, 可得,即 , 则在上的值域, . 函数图象的对称轴为直线 , 当时,在 上单调递增, 值域 , 由题意可得,则 解得 ； 109 当时,在 上单调递减, 值域 , 由题意可得,则 解得 . 综上,实数的取值范围为 , . 110 9.［北京大学2022强基计划］已知是二次函数,，且，则 ____. 36 111 解析 由,可设 ,则由 得 , 所以,且,整理后即为 . 由得 . 若,则必有,此时与 矛盾, 所以且 , 整理后为 , 与相加即得 , 即,所以,所以 . 又由于在原不等式中令可得 , 所以,由此解得 . 所以,所以 . $$