重难点专题3.2 函数奇偶性及其与单调性综合十一种题型（高效培优专项训练）数学湘教版2019必修第一册

重难点专题3.2 函数奇偶性及其与单调性综合十一种题型 题型一 判断函数的奇偶性 题型二 求函数的解析式 题型三 根据函数奇偶性求参数 题型四 抽象函数的奇偶性 题型五 根据奇偶性求函数值 题型六 奇偶函数对称性的应用 题型七 函数单调性、奇偶性的判断 题型八 利用单调性、奇偶性进行图象辨识 题型九 利用单调性、奇偶性比较函数值大小 题型十 利用单调性、奇偶性解不等式 题型十一 不等式恒成立及有解问题 题型一 判断函数的奇偶性 1．（25-26高一上·新疆·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，写出各项对应函数的解析式，利用函数奇偶性的定义依次判断各项对应函数的奇偶性. 【详解】因为， A：，而，显然不是奇函数，不符； B：，定义域为，显然不关于原点对称，不符； C：，其中且定义域为，易知为奇函数； D：，定义域为，显然不关于原点对称，不符； 故选：C 2．（25-26高一上·全国·课堂例题）根据定义，判断下列函数的奇偶性 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1)奇函数； (2)偶函数； (3)偶函数； (4)偶函数； (5)非奇非偶函数 【分析】（1）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解； （2）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解； （3）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解； （4）判断函数的定义域为，再说明总有,由函数奇偶性的定义即可得解. （5）判断函数的定义域为，由函数奇偶性的定义即可得解. 【详解】（1）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有, 所以函数是奇函数； （2）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有， 所以函数是偶函数； （3）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有， 所以函数是偶函数； （4）依题意知函数的定义域为， 当时，，所以，，则， 当时，，所以，，则 所以为偶函数. （5）函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以函数既不是奇函数，也不是偶函数. 题型二 求函数的解析式 3．（24-25高二下·陕西·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由偶函数的性质即可求解. 【详解】当时，， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以， 故选：C 4．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数奇偶性求对称区域解析式，再利用绝对值的意义，把分段函数又写成含绝对值的函数即可. 【详解】当时，，即有， 再由是定义在上的奇函数，所以， 即有， 所以当时，， 当时，， 综上可得：， 故选：C. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 【答案】 ． 【分析】根据奇偶性构造出新的关系式，结合题干表达式，列方程组求解. 【详解】由题意得， 则有 两式相减得，所以 故答案为：， 6．（2025高一·全国·专题练习）已知为定义在上的奇函数，当时有，求的解析式． 【答案】 【分析】由为定义在上的奇函数，则，再根据时，，求解即可. 【详解】因为为定义在上的奇函数，所以． 设， 所以 题型三 根据函数奇偶性求参数 7．（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知是定义在上的奇函数，且，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】由奇函数的性质即可得解. 【详解】因为，所以， 因为是定义在上的奇函数，所以，所以，解得. 故选：B. 8．（24-25高一上·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶性可得，，，解出，进而得出答案． 【详解】由偶函数的定义域是关于原点对称的，所以， 显然，，所以． 故选：B． 9．（24-25高二下·吉林·期末）已知为奇函数，则（   ） A． B．2 C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据奇函数定义结合函数定义域计算求解. 【详解】函数是奇函数，且，都在定义域内， 所以且， 所以且， 所以，所以. 故选：A. 10．（2022·上海·高考真题）若函数，为奇函数，则参数a的值为 ． 【答案】1 【分析】根据奇函数的定义可求参数的值. 【详解】当时，， 当时，，故， 而，故即， 故答案为：1. 11．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数 . 【答案】0 【分析】根据奇函数的定义求解． 【详解】是奇函数，则恒成立， 所以，解得 故答案为：0． 题型四 抽象函数的奇偶性 12．（2025高二下·山东青岛·竞赛）已知是定义在上不恒为的函数，为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据为奇函数，得，然后根据为偶函数，得，然后通过对进行赋值进行求解即可. 【详解】由于为奇函数，可得：， 令，得：，解得：； 又为偶函数，则， 令，得：. 故选：A 13．（2025高一·全国·专题练习）对任意，都有，且不恒为0，函数，则（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】利用赋值法可得，进而求出的值即可. 【详解】令，可得，故， 令，可得， 由不恒为0，得，则是奇函数，即有， 因为， 所以 令，得到，故B正确. 故选：B. 题型五 根据奇偶性求函数值 14．（25-26高一上·广西·期中）已知函数，若，则（    ） A．4 B． C．14 D． 【答案】A 【分析】由题可得为奇函数，然后由奇函数性质可得a，然后可得答案. 【详解】设，则， 又的定义域为，从而是奇函数，即， 故，即. 因为，所以，解得， 则，故. 故选：A 15．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A．－7 B．7 C．－5 D．5 【答案】A 【分析】由奇函数的定义知，可知，再根据时的解析式，即可求得，从而求解即可. 【详解】因为时，，所以， 因为是定义在上的奇函数，所以. 故选：A 16．（2025·重庆·模拟预测）已知定义在上的奇函数满足，则 . 【答案】2026 【分析】法一：由题意利用列举法写出函数值，整理等式可得递推公式，根据累加法，可得答案；法二：由题意利用列举法写出函数值，设出函数解析式，利用等式检验，可得答案. 【详解】法一： 由函数是上的奇函数，则， 由，令，则； 则 ， 由 . 法二： 由函数是上的奇函数，则， 由，令，则； 由，令，则； 设，则，，即，符合题意， 所以. 故答案为：. 题型六 奇偶函数对称性的应用 17．（2021高三·全国·专题练习）已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数在下列给出的四式中只可能是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，图乙函数是偶函数，与图甲对照，y轴左侧图象相同，右侧与左侧关于y轴对称，对选项一一利用排除法分析可得答案． 【详解】由图乙知，图象关于y轴对称，对应的函数是偶函数， 对于A，当时，，甲在y轴右侧图象与图乙的不相同，不合，故A错； 对于B：时，，图乙在x轴下方有图象，故B错． 对于D：当时，，其图象在y轴左侧与图乙的不相同，不合，故D错； 故选:C 18．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 19．（25-26高一上·全国·单元测试）设函数，对于任意正数都有，已知函数的图象关于点中心对称，若，则的解集为 ． 【答案】 【分析】变形后，令，则在上单调递增，又为奇函数，则为偶函数，故在上单调递减．又，则，分和两种情况，根据函数单调性，得到不等式的解集． 【详解】因为，所以， 令，则在上单调递增． 函数的图象关于点中心对称，则的图象关于原点对称， 即为奇函数，则为偶函数，故在上单调递减． ，则． 当时，，即，即，则； 当时，，即，即，则． 综上所述，． 故答案为： 20．（25-26高一上·全国·单元测试）设为定义在上的偶函数，如图是函数图象的一部分，当时，是线段；当时，图象是顶点为，且过点的二次函数图象的一部分． (1)在图中的直角坐标系中补充完整函数的图象； (2)求函数在上的解析式； (3)求函数的单调区间和最大值． 【答案】(1)作图见解析； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据偶函数的对称性画出函数图象； （2）根据已知写出解析式，结合点在函数图象上求参数，再用分段函数形式写出解析式； （3）由图象确定函数的单调区间和最大值. 【详解】（1）如图，根据函数为偶函数，函数的图象关于轴对称，补充完整其图象如下： （2）当时，； 当时，依题设， 将点代入，得，解得， 故． 即函数在上的解析式为； （3）由图知，函数单调递增区间为和，单调递减区间为和， 函数在和处取得最大值，且， 所以函数的最大值为4． 21．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知定义在上的函数图象关于原点对称． (1)求的解析式； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)解不等式． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由关于原点对称可得，再结合关于原点对称，计算即可； （2）借助定义法证明即可得； （3）结合奇函数性质及函数单调性计算即可得. 【详解】（1）由题意可得， 即，，故， 即，此时有， 故关于原点对称，故， 即的解析式为； （2）在上单调递增；证明如下： 令，则 ， 由，则，，， 故，即在上单调递增； （3）由题意可得为奇函数，则有， 又因为在上单调递增，则有，解得， 所以原不等式的解集为． 题型七 函数单调性、奇偶性的判断及应用 22．（24-25高二下·北京东城·期末）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由奇函数定义及选项单调性可得正确答案. 【详解】对于A，定义域为，，则函数为奇函数，又函数在递减，在上单调递增，则A错误； 对于B，定义域为，，则函数为奇函数，又函数在上单调递增，故B正确； 对于C，定义域为，，则函数为偶函数，故C错误； 对于D，定义域为，定义域不关于原点对称，为函数非奇非偶函数，故D错误. 故选：B 23．（2026高三·全国·专题练习）已知二次函数的最小值为1，函数是偶函数，且． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可设，代入运算求解即可； （2）根据题意结合二次函数单调性分析求解即可. 【详解】（1）因为函数是偶函数，所以的图象关于直线对称， 又因为的最小值为1，可设， 且，解得， 所以． （2）由（1）可知：在内单调递减，在内单调递增， 因为在区间上单调， 则或，解得或， 所以实数的取值范围为． 24．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数． (1)判断的奇偶性与单调性； (2)若，求的解集． 【答案】(1)奇函数，在单调递增，在单调递增 (2) 【分析】（1）由奇函数定义判断奇偶性，由单调性定义及奇函数性质判断单调性；（2）写出其等价不等式组，再利用单调性求解. 【详解】（1）因为函数的定义域为，关于原点对称， 且，故是奇函数； 任取，且， 则 ， 因为，且，所以， 又，所以，即， 故在单调递增， 由函数为奇函数可得在单调递增； （2）由题意得等价于或 由（1）得是奇函数，因为，所以， ①即 解得或； ②即解得， 综上，的解集为． 题型八 利用单调性、奇偶性进行图象辨识 24．（25-26高一上·福建龙岩·阶段练习）下列图象是函数的图象的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数奇偶性与单调性，利用排除法即可得. 【详解】令，则定义域为，有， 故为奇函数，可排除A、B； 当时，，则在上单调递增，故可排除C. 故选：D. 25．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由解析式求函数的定义域并判断奇偶性，结合上的单调性，应用排除法即可得. 【详解】由得的定义域为，又，故为偶函数，排除B，C； 当时，，则在上单调递增，排除D， 故选：A 26．（23-24高一上·天津河北·期中）函数 的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得函数为奇函数，其图象关于原点对称，再求得在上单调递增，在上单调递减，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的定义域为， 且满足， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A选项， 又由当时，，可得在上单调递增， 当时，，可得在上单调递减， 所以D选项符合题意. 故选：D 题型九 利用单调性、奇偶性比较函数值大小 27．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知关于对称，，再由在上单调递增可判断大小关系. 【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，所以对，， 所以关于直线对称，所以， 又因为在上单调递增，所以. 故选：B 28．（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）定义在上的偶函数，对任意的都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对任意的都有可得，再结合偶函数的性质即可求解. 【详解】因为对任意的都有， 所以，即，，即， 所以， 又因为是定义在上的偶函数，， 所以， 故选：A 29．（多选）（25-26高一上·河北·期中）已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用对称性将自变量变换到区间内，再根据单调性比较大小即可得解. 【详解】因为的图象关于直线对称， 所以， ， 又因为在区间上单调递增，且， 所以， 所以， 所以和正确； 故选：BD 30．（23-24高一上·广东江门·期中）设偶函数 在区间 上单调递增， 则、的大小关系为： （用大于号连接）； 【答案】； 【分析】根据偶函数的性质及函数的单调性比较大小即可. 【详解】由偶函数性质可知， 又函数 在区间 上单调递增， 所以， 故答案为： 题型十 利用单调性、奇偶性解不等式 31．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知定义在上的奇函数在上单调递减，若，则实数的最小值为 ． 【答案】 【分析】结合函数性质可得函数在上单调递减，结合函数的单调性及定义域化简不等式可得结论. 【详解】因为函数的定义域为，函数为奇函数，函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 因为， 所以， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 32．（2025高一·全国·专题练习）已知定义在上的奇函数满足，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】是增函数，且， 因为为奇函数，所以在上是增函数． 由，得， 于是，解得．故． 故答案为：. 33．（25-26高一上·河北保定·开学考试）定义在R上的函数满足，当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】令求出，令可得在R上为减函数，根据单调性和奇偶性即可得解. 【详解】令，则，得， 令，则，即， 所以为奇函数. 令，且，则， 因为，所以，所以， 所以在R上为减函数， 所以不等式 ， 即，解得. 故答案为： 34．（24-25高一上·山东威海·期末）已知为上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用函数是奇函数求出时，函数的解析式，并求出函数的单调性；利用单调递增及奇函数化简可得，分类讨论解不等式即可得解． 【详解】由为奇函数，得， 当时，，故， 故当时，，所以； 又当时，的开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递增，根据奇函数的性质可知函数在上单调递增， 故， 所以或， 解得或， 故不等式的解集为. 故答案为：. 35．（2025高三·全国·专题练习）已知单调函数满足，且，定义域为． (1)求证：为奇函数； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)或． 【分析】（1）先利用赋值法求得，再赋值得，利用奇函数的定义证明即可； （2）先判断为单调增函数，然后利用奇函数性质将不等式变为，最后利用单调性解不等式即可． 【详解】（1）函数的定义域为， 由，令，得，即． 令，得， 即，所以为奇函数． （2）由为单调函数，知为单调增函数． 由得． 因为为奇函数，所以． 因为为单调增函数，所以， 即，解得或． 36．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，． (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：． 【答案】(1)函数是奇函数，证明见解析 (2)函数在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用函数的奇偶性定义求解； （2）利用函数的单调性定义证明； （3）利用函的奇偶性和单调性求解即可. 【详解】（1）函数是奇函数， 证明：令，则，解得， 令，则，令，则． 为定义在上的奇函数． （2）函数在上单调递减， 证明：，设，则， ， ，，． 又，， 又当时，，由（1）知为定义在上的奇函数． 则当时，，， ，即，即， 在上单调递减； （3）因为， 由（1）知为定义在上的奇函数， 则， 的定义域为且在上是单调递减的， 解得， 不等式的解集为． 题型十一：不等式恒成立及有解问题 37．（2025·山东德州·三模）已知函数是定义在上的增函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，把转化成，再结合函数的奇偶性，把不等式转化成，再结合的单调性，得到，分离参数，根据二次函数的性质，可求实数的取值范围. 【详解】令，则， 由， 可得， 即， 又因为为奇函数，所以. 因为是定义在上的增函数，所以也是定义在上的增函数， 故，即恒成立. 因为，所以的最小值为， 所以，即实数的取值范围是. 故选：A 38．（24-25高一上·全国·周测）已知函数的图象关于轴对称，且对于，当时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据函数的性质，把函数不等式转化为与的代数不等式，进一步转化成不等式恒成立的问题，结合基本（均值）不等式求参数的取值范围. 【详解】由已知可得，函数为偶函数， 又对于，当时，恒成立， 即，若，都有成立， 则在上单调递减， 又函数为偶函数，则在上单调递增， 又对任意的恒成立 ，则可得． 当时，不等式为显然成立； 当时，原不等式可化为恒成立，只需要式子的最小值满足即可． 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A． 39．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在R上的偶函数在上是增函数，不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由偶函数的对称性确定区间单调性，将问题化为在上恒成立，即可得. 【详解】由偶函数的对称性，且在上是增函数，则在上单调递减， 所以在上恒成立，可得，则， 而，故. 故答案为： 40．（25-26高一上·湖北武汉·阶段练习）已知，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据对任意的，总存在，使成立，可得两个函数值域的包含关系，进而根据关于的不等式组，解不等式组即可. 【详解】，函数的对称轴为：， 对任意的，则.记； 由题意，知时不成立， 当时，，在上是增函数， ，记. 由题意，知， ，解得. 当时，，在上是减函数， ，记. 由题意，知 ，解得. 综上所述，. 故答案为：. 41．（2025高三·全国·专题练习）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解法一、令，转化为，再分，，讨论即可；解法二、根据题意，参变分离得，再分，求函数最值即可. 【详解】解法一 、令， ①当时，在上单调递减，所以，此时满足条件． ②当时，的图象的对称轴方程为， 若，则在上单调递减，则只需满足，得； 若，则，且时已满足条件． 综上，实数的取值范围为． 解法二、时，，由得， 则在上有解． 令，则当时，； 当时，， 又在单调递增，所以，即， 故实数的取值范围为． 故答案为：. 42．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)若函数，且恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用偶函数的定义可求答案； （2）利用定义法判断的单调性，根据单调性求出在的最小值即得答案. 【详解】（1）由是偶函数得， 即，解得． （2）由（1）得，则， 因为恒成立， 即． 当时，， 因为，所以， 则，则， 因此，即， 故函数在区间上单调递增， 则， 则原不等式等价于，解得， 故的取值范围是． 43．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知函数是定义域上的奇函数，且. (1)判断并证明函数在定义域上的单调性； (2)令函数，若对，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案、证明见解析； (2). 【分析】（1）由题设、列方程求参数值，并验证是否满足题设，再应用函数单调性定义及奇函数的对称性判断证明函数的单调性； （2）令，结合对勾函数、二次函数的性质求在上的最值，再将问题化为求参数范围. 【详解】（1）由函数为奇函数，且，可得， 则，解得，可得，定义域， 且，所以是奇函数，满足题意. 函数在、上单调递减，在、上单调递增， 证明如下：任取，且， 则， 因为，且，所以， 所以，所以，即， 所以函数在上单调递减； 任取， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在上单调递增； 由对称性，在上单调递增，在上单调递减. （2）由题意，函数，令，可得， 由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为函数的对称轴方程为， 所以函数在上单调递增， 当时，取得最小值，； 当时，取得最大值，. 所以， 对任意的都有恒成立， 所以，即，解得， 又因为，所以，所以实数的取值范围是. 44．（22-23高一上·北京·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)判断的单调性，并用单调性定义给出证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）利用与求出的值并验证即可. （2）判断函数单调性，再利用定义法证明函数的单调性. （3）求出函数在指定区间上的最大值，再结合已知列出不等式，求出实数k的范围. 【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，得， 则，又，于是，解得， ，，即是奇函数， 所以. （2）函数在上的单调递减，理由如下： 任意，且， 则 ， 由，得， 则，即，因此 所以函数在上的单调递减. （3）由对任意的，总存在，使得成立， 得在上的最大值不大于在上的最大值， 由函数在上的单调递减，得， 当时，，恒成立，因此； 当时，在上单调递增，， 则，解得，因此； 当时，在上单调递减，， 则，解得，因此， 所以实数k的取值范围是. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题3.2 函数奇偶性及其与单调性综合十一种题型 题型一 判断函数的奇偶性 题型二 求函数的解析式 题型三 根据函数奇偶性求参数 题型四 抽象函数的奇偶性 题型五 根据奇偶性求函数值 题型六 奇偶函数对称性的应用 题型七 函数单调性、奇偶性的判断 题型八 利用单调性、奇偶性进行图象辨识 题型九 利用单调性、奇偶性比较函数值大小 题型十 利用单调性、奇偶性解不等式 题型十一 不等式恒成立及有解问题 题型一 判断函数的奇偶性 1．（25-26高一上·新疆·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课堂例题）根据定义，判断下列函数的奇偶性 (1) (2) (3) (4) (5) 题型二 求函数的解析式 3．（24-25高二下·陕西·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（    ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 6．（2025高一·全国·专题练习）已知为定义在上的奇函数，当时有，求的解析式． 题型三 根据函数奇偶性求参数 7．（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知是定义在上的奇函数，且，则（   ） A． B． C．0 D．1 8．（24-25高一上·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·吉林·期末）已知为奇函数，则（   ） A． B．2 C．0 D．1 10．（2022·上海·高考真题）若函数，为奇函数，则参数a的值为 ． 11．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数 . 题型四 抽象函数的奇偶性 12．（2025高二下·山东青岛·竞赛）已知是定义在上不恒为的函数，为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 13．（2025高一·全国·专题练习）对任意，都有，且不恒为0，函数，则（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 题型五 根据奇偶性求函数值 14．（25-26高一上·广西·期中）已知函数，若，则（    ） A．4 B． C．14 D． 15．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A．－7 B．7 C．－5 D．5 16．（2025·重庆·模拟预测）已知定义在上的奇函数满足，则 . 题型六 奇偶函数对称性的应用 17．（2021高三·全国·专题练习）已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数在下列给出的四式中只可能是（   ）    A． B． C． D． 18．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高一上·全国·单元测试）设函数，对于任意正数都有，已知函数的图象关于点中心对称，若，则的解集为 ． 20．（25-26高一上·全国·单元测试）设为定义在上的偶函数，如图是函数图象的一部分，当时，是线段；当时，图象是顶点为，且过点的二次函数图象的一部分． (1)在图中的直角坐标系中补充完整函数的图象； (2)求函数在上的解析式； (3)求函数的单调区间和最大值． 21．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知定义在上的函数图象关于原点对称． (1)求的解析式； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)解不等式． 题型七 函数单调性、奇偶性的判断及应用 22．（24-25高二下·北京东城·期末）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 23．（2026高三·全国·专题练习）已知二次函数的最小值为1，函数是偶函数，且． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围． 24．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数． (1)判断的奇偶性与单调性； (2)若，求的解集． 题型八 利用单调性、奇偶性进行图象辨识 24．（25-26高一上·福建龙岩·阶段练习）下列图象是函数的图象的是（ ） A． B． C． D． 25．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一上·天津河北·期中）函数 的图象大致是（    ） A． B． C． D． 题型九 利用单调性、奇偶性比较函数值大小 27．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）定义在上的偶函数，对任意的都有，则（    ） A． B． C． D． 29．（多选）（25-26高一上·河北·期中）已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高一上·广东江门·期中）设偶函数 在区间 上单调递增， 则、的大小关系为： （用大于号连接）； 题型十 利用单调性、奇偶性解不等式 31．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知定义在上的奇函数在上单调递减，若，则实数的最小值为 ． 32．（2025高一·全国·专题练习）已知定义在上的奇函数满足，若，则实数的取值范围是 ． 33．（25-26高一上·河北保定·开学考试）定义在R上的函数满足，当时，，则不等式的解集为 ． 34．（24-25高一上·山东威海·期末）已知为上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ． 35．（2025高三·全国·专题练习）已知单调函数满足，且，定义域为． (1)求证：为奇函数； (2)若，求的取值范围． 36．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，． (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：． 题型十一：不等式恒成立及有解问题 37．（2025·山东德州·三模）已知函数是定义在上的增函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 38．（24-25高一上·全国·周测）已知函数的图象关于轴对称，且对于，当时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 39．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在R上的偶函数在上是增函数，不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是 ． 40．（25-26高一上·湖北武汉·阶段练习）已知，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 . 41．（2025高三·全国·专题练习）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ． 42．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)若函数，且恒成立，求的取值范围． 43．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知函数是定义域上的奇函数，且. (1)判断并证明函数在定义域上的单调性； (2)令函数，若对，都有，求实数的取值范围. 44．（22-23高一上·北京·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)判断的单调性，并用单调性定义给出证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $