第2章 一元二次函数、方程和不等式 素养检测-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（湘教版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了不等式的性质、解法、恒成立问题及实际应用，通过典型例题将二次不等式、基本不等式、线性规划等知识点串联，构建“概念-解法-应用”的完整知识网络。 其亮点在于采用“真题溯源-错解分析-素养提升”的复习模式，如结合山东临沂一中月考的线性规划题培养数学思维，设计从基础到综合的分层练习。这种设计帮助学生巩固知识，发展应用意识，也为教师提供精准复习的教学支持。

数学 必修第一册 XJ 1 2 第2章素养检测 刷速度 2 1.［山东临沂一中2025高一选科考试］已知,，则 的最大值 是( ) D A.4 B. C. D. 3 解析 因为,所以 . 因为，且,所以 , 所以.故的最大值为 .故选D. 4 2.不等式 的解集为( ) B A. B.或 C.或 D. 5 解析 不等式可化为,即,解得或 .故 所求不等式的解集为或 .故选B. 6 3.已知，是两个实数，且 ，有如下三个式子： ，， .其中恒成立的有( ) B A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 7 解析 不恒成立； 恒成立； ③当,时,,故 不恒成立.故选B. 8 4.［福建泉州部分学校2025高一期中联考］已知不等式 的解集为 ，且不等式对于任意的 恒成立，则实数 的取值范围为( ) B A. B. C. D. 9 解析 由题意得，一元二次方程 的两根分别为2，3， 由根与系数的关系，可得得，则不等式 ， 即对于任意的 恒成立， 等价于 或 解得或，则实数的取值范围为 .故选B. 10 5.［甘肃嘉峪关二中2024高一期中］若两个正实数，满足，且不等式 有解，则实数 的取值范围是( ) D A. B.或 C. D.或 11 解析 ,当且仅当 , 时等号成立.要使得不等式有解,只需,解得或 ,故选D. 12 6.［河南部分学校2025高一调研］已知集合,，若 是的必要条件，则 的最大值为( ) D A. B. C. D. 13 解析 因为是的必要条件，所以，所以, 恒成立. 所以即又 ， 所以，当且仅当,时取等号，所以的最大值为 .故选D. 14 7.［江西南昌外国语2025月考］设实数,满足，则 的最小值为 ( ) C A. B. C. D.1 15 解析 因为，所以 ， 令则因为 ，所以 ，当 且仅当，即或时等号成立，所以的最小值为 .故选C. 16 8.记不等式，的解集分别为，， 中有且只有两个正 整数，则实数 的取值范围为( ) B A. B. C. D. 17 解析 由可得或,所以或 . 因为中有且只有两个正整数,所以 .对于方程 ,判别式 ,所以方程的两根分别为, , 所以 . 因为中有且只有两个正整数,所以当时,解得,此时 , ,不符合题意； 当时,则 18 即解得 所以 . 综上所述,实数的取值范围为 .故选B. 9.［重庆渝北区2025高一段考］生活经验告诉我们，克糖水中有克糖,,且 ， 若再添加克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式： ，趣称之为“糖水不等 式”.根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是( ) BCD A.若，，则与的大小关系随 的变化而变化 B.若，，则 C.若，，则 D.若，，则一定有 20 解析 对于A，，，， ，故A错误； 对于B，，，， ，故B正确； 对于C，，，， ， ， ，故C正确； 对于D，，，， ， ，故D正确.故选 . 21 10.［东北三省六校2025高一联考］已知关于的一元二次不等式的解集为 ， 则下列说法正确的是( ) ACD A.若 ，则且 B.若，则关于的不等式的解集也为 C.若，则关于的不等式 的解集为 或 D.若,为常数，且，则的最小值为 22 解析 A选项，若 ，即一元二次不等式 无解， 则一元二次不等式恒成立，且 ，故A正确； B选项，令，则,,， 可化为 ，当时，可化为 ，其解集不等于 ，故B错误； C选项，若，则，且和2是一元二次方程 的两根， ，且，，， 关于 的不等式 可化为，可化为 ， 23 ，，解得或，即不等式 的解集为 或 ，故C正确； D选项，,为常数，且 ， ， ， ，令，则 ， ， 当且仅当，即,，且为正数时，等号成立，所以 的最小 值为，故D正确.故选 . 11.［甘肃庆阳2025高一月考］已知,，且满足 ,则下列说法正确的是 ( ) ACD A.的最大值为4 B. 的最小值为2 C.的最小值为 D.的最小值为 25 解析 对于A，由,可得，即 ，即 ，解得,所以，当且仅当 时，等号成立，故A 正确； 对于B，由，可得，即 ， 解得或（舍），当且仅当时等号成立，因此 的最小值为4， 故B错误； 对于C，易知，即 ，因此 ， 当且仅当，即, 时等号成立，故C正确； 对于D，由，易得 ，所以 ， 当且仅当，即,时，等号成立，故D正确.故选 . 26 12.已知关于的不等式在上有解，则实数 的取值范围是________________. 解析 因为关于的不等式在上有解, 的最大值 为4,所以,解得 . 27 13.［山西太原2024高一期中］将基本不等式 推广可得正确结论 ，当且仅当 时，等号成立.利用此结论解决问题：已 知一个矩形的周长为，将矩形围绕其一边旋转形成一个圆柱，当矩形的长是___ 时，旋 转形成的圆柱体积最大，其最大值是______ .（答对一空给3分） 6 解析 设矩形相邻两边的长分别为, , 则,且 , 不妨设以长度为 的边进行旋转, 则圆柱的体积 , 当且仅当,即, 时取等号, 所以当矩形的长是时,圆柱的体积最大,为 . 28 14.已知,,，，当取最小值时， 恒 成立，则实数 的取值范围是____________________. 或 解析 因为,所以 ,当且仅当,即 时,等号成立. 当时,,,所以当时, 取得最大 值4.所以由恒成立可得,解得或,故实数 的取值 范围是或 . 29 15.（本小题满分13分）［广东广州铁一中学2025月考］已知 . （1）证明： . 【证明】因为，所以,, ， 所以，所以 . 30 （2）若，求 的最小值. 【解】因为，所以,，又 ， 所以 ， 当且仅当，即, 时等号成立， 所以的最小值是 . 31 16.（本小题满分15分）［北京首师大附中2025高一月考］已知, 是一元二次方程 的两个不相等的实数根. （1）若两根同号，求实数 的取值范围； 【解】由题意得 解得，所以实数的取值范围为 . 32 （2）求使得的值为整数的整数 的值. [答案] 由（1）知，当时，方程有两个不相等的实数根，可知, ， 于是 ， 由，可得，则，即要使的值为正整数，且为整数，则 ， 则有，化简得，则 ， 令，此时为整数，则 满足题意. 故使得的值为整数的整数 的值为1. 33 17.（本小题满分15分）［四川绵阳中学2025高一期末］如图所示，将一矩形花坛 扩建成一 个更大的矩形花坛，要求在上，在上，且对角线过点，已知 米， 米. （1）要使矩形的面积大于32平方米，则 的长应在什么范围？ 34 【解】设米,米，则由与相似得 ，整理得 ， 矩形的面积，即 ， 当时，得，整理得，解得或 ， 又，所以的长的范围为 . 35 （2）当的长为多少时，矩形花坛 的面积最小？并求出最小值. [答案] 当时， ， 当且仅当,即 时等号成立， 所以 ， 所以当的长为2米时，矩形花坛 的面积最小，最小值为24平方米. 36 18.（本小题满分17分）［甘肃天水一中2025高一月考］已知函数， . （1）若恒成立，求实数 的取值范围； 【解】因为函数 ， 所以恒成立等价于 恒成立， 即 恒成立. 当时， 恒成立，满足题意; 当时，要使 恒成立， 则即 解得 . 综上，实数的取值范围是 . 37 （2）当时，求不等式 的解集. [答案] 由得, ， 即,又因为 ， 所以当，即 时， 不等式的解集为或 ； 当，即 时， 可得，不等式的解集为 ; 当，即 时， 不等式的解集为或 . 综上，当时，不等式的解集为 ； 当时，不等式的解集为 ； 当时，不等式的解集为或 . 38 19.（本小题满分17分）若实数，，满足，则称比更远离 . （1）若比更远离1，求实数 的取值范围； 【解】由题意可得,即,解得,所以实数 的取值范围为 . 39 （2）判断是比更远离 的什么条件（充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、 既不充分也不必要条件），并加以证明； 【解】是比更远离 的充分不必要条件,证明： ①已知,则 ,可得 ,即 , 所以是比更远离 的充分条件. ②已知比更远离,则 ,举例,,,满足,但不满足,所以 不是比更远离 的必要条件. 综上,是比更远离 的充分不必要条件. 40 （3）已知，，若，证明:比更远离 . 【证明】因为, , , 当且仅当即 时,等号成立. 因为,所以由（2）可知比更远离 ,即得证. 41 $$