第1章 集合与逻辑 素养检测-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（湘教版）

数学 必修第一册 XJ 1 1 第1章素养检测 刷速度 2 1.设，是全集的子集，，则满足的集合 的个数是( ) C A.14 B.15 C.16 D.17 3 解析 设,由,得,显然的个数为,所以 的个数是16.故选C. 4 2.［山东青岛二中2025高一段考］十七世纪，数学家费马提出了猜想：“对任意正整数 ，关 于，，的方程 没有正整数解”.1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终 成费马大定理.则费马大定理的否定为( ) D A.对任意正整数，关于，，的方程 都没有正整数解 B.存在正整数，关于，，的方程 至多存在一组正整数解 C.存在正整数，关于，，的方程 至少存在一组正整数解 D.存在正整数，关于，，的方程 至少存在一组正整数解 5 解析 “对任意正整数，关于,,的方程 没有正整数解”的否定为“存在正整 数，关于,,的方程 至少存在一组正整数解”.故选D. 6 规律方法 一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题， 并找到量词的位置及相应结论，然后遵循改量词、否结论的原则写出命题的否定. 7 3.［北京北师大附中2025高一期中］设全集，集合， ， 如图所示，阴影部分所表示的集合为( ) A A.或 B.或 C.或 D.或 8 解析 因为，，所以 ，所以图中阴影 部分所表示的集合为或 .故选A. 9 4.［甘肃白银2025期中］已知集合，集合，若 ， 则实数 的取值范围为( ) A A. B. C. D. 10 解析 因为集合 ， 所以 . 因为 ，所以 .故选A. 11 5.［广东深圳实验中学2024高一段考］设，不等式 成立的一个充分不必要条件可 以是( ) D A. B. C. D. 12 解析 因为 , 所以,解得 . 由充分不必要条件的定义可知,只有D选项符合.故选D. 13 6.已知集合，，且，则实数 的所有可能的值 构成的集合是( ) D A. B. C. D. 14 解析 因为,所以 . 又因为集合,,所以当集合为空集时, ,符合 题意; 当集合不是空集时,,所以或 ,解得或 . 综上，实数的所有可能的值构成的集合是 .故选D. 15 7.命题“是的必要不充分条件”是假命题，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 16 解析 若命题“是的必要不充分条件”是真命题,则 . 因为命题“是的必要不充分条件”是假命题,所以实数的取值范围是 .故选A. 17 8.［四川成都2025高一期中］对于正整数集合,, , ，如果去掉其中 任意一个元素 之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合， 且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为平衡集.记.若集合 是平 衡集，并且存在为奇数，则集合中元素个数 的奇偶性( ) D A.与相关，既可以是奇数，又可以是偶数 B.与 无关，既可以是奇数，又可以是偶数 C.与无关，必为偶数 D.与 无关，必为奇数 18 解析 由已知得,, ,，因为集合 是平衡集， 设去掉元素，根据题意得，其中 ， 不妨设集合，中的元素的和均为，则，其中,2, , ， 则，所以为偶数，其中,2, , ， 因此与 的奇偶性相同. 因为存在为奇数，所以 均为奇数， 由知也为奇数，且，所以 也为奇数. 所以的奇偶性与 无关，必为奇数.故选D. 19 9.［江苏无锡天一中学2025高一期中］下列命题中为真命题的是( ) AD A.“”是“ ”的既不充分又不必要条件 B.“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件 C.“关于的方程有实数根”的充要条件是“ ” D.设，，则“”是“ ”的必要不充分条件 20 解析 对于A，由于“”与“ ”互相不能推出，所以A正确; 对于B，正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形， 即“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，所以B错误； 对于C，“关于的方程有实数根”的充要条件是“ ”， 所以C错误； 对于D，因为可以等于零，所以由不能推出，故充分性不成立，由可得 且 ，即必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件，所以D正确.故选 . 21 10.［福建福州十校2025高一期中联考］已知全集,，， ， ，， ，则下列选项正确的是( ) BC A. B. C. D. 的真子集个数为8 22 解析 因为,，所以 . 因为，所以1,,1, . 因为，所以3,7,,3,7, . 又，所以, . 综上，画出 图如图. 23 对于A， ，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D，的真子集个数为，故D错误.故选 . 24 11.在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为 ，即 ，，1，2，3， ，给出如下四个结论，其中是正确结论的有( ) ACD A. B. C.若整数，属于同一“类”，则 D.若，则整数， 属于同一“类” 25 思路导引 根据题意,,,1,2,3,为除以5余 的所有整数组成的集合,逐项讨论. 对选项A,可通过2 026除以5的余数是否为1进行判断； 对选项B,可通过 除以5的余数是否为3进行判断； 对选项C,根据 的定义进行判断； 对选项D,由,判断, 分别除以5的余数是否相同. 26 解析 对于A选项,因为,所以 ,A正确； 对于B选项,因为,所以 ,B错误； 对于C选项,若整数,属于同一“类”,可设,,,, ,所以 ,,,故 ,C正确； 对于D选项,设,,,,, , 则,因为,,所以,且 ,又因 为,所以,即,故整数, 属于同一“类”,D正确. 故选 . 27 12.［重庆育才中学2025高一期中］已知集合， ， 若是的必要条件，则实数 的取值范围是_ _____________. 28 解析 由可得 . 因为是的必要条件，所以,因此解得 , 所以实数的取值范围是 . 29 13.［甘肃金昌2025高一月考］某学校举办运动会时，高一（1）班共有36名同学参加比赛，有 26人参加游泳比赛，有15人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比 赛的有6人，同时参加田径比赛和球类比赛的有4人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加游泳 和球类比赛的有___人. 8 30 解析 设高一（1）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合,, ，设同时参加游泳和 球类比赛的学生人数为，则由题意作出 图如图， 由题意可得，解得 .因此同时参加游泳和球类比赛的学 生有8人. 31 14.［山东部分学校2024高一选科联考］已知集合,,,,,, ，其中 ，且,,,.若,,, 的所有元素之和为20， 则 ___. 5 32 解析 由得,则.因为,即,,, , 所以.当时,因为,所以,则,,,即 , 所以,,则,,,所以得,即或1,与 矛盾. 当时,则,因为,,所以,即,所以, , 则,,,得,,即或1,而与 矛盾, 所以, . 因为,,,,,所以,将,, 代入, 得,解得或（舍去）,所以 . 33 15.（本小题满分13分）已知全集,0,1,2,，集合,0,， . （1）求 ； 【解】易知,0,1, . （2）求 . [答案] 易知,故,1,2, . 34 16.（本小题满分15分）［湖南长沙雅礼中学2025高一期末］已知集合 ，集合 . （1）若，，是的充分条件，求实数 的取值范围； 【解】已知，，若是的充分条件，则有 ， 所以解得 . 所以实数的取值范围为 . （2）若 ，求实数 的取值范围. [答案] 因为 ，所以要使 ，只需 或，解得或 ， 所以实数的取值范围为或 . 35 17.（本小题满分15分）已知命题,为假命题，设实数的取值集合为 ， 集合，若____，求实数 的取值范围. 在①“”是“”的必要不充分条件；②“”是“ ”的充分条件； 这三个条件中任选一个，补充到本题的横线处，并按照你的选择求解问题. 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 36 【解】由命题为假命题,可知, 为真命题. 当时,, 显然不成立； 当时,只需 . 综上， . 选①：“”是“”的必要不充分条件,则 . 当 时, ,满足要求； 当 时,解得 . 综上，实数的取值范围是或 . 选②：“”是“”的充分条件,则,且 . 当 时, ,满足要求； 37 当 时,解得 . 综上，实数的取值范围是 . 选③： ,又 , 则当 时, ,满足要求； 当 时,解得 . 综上，实数的取值范围是或 . 名师点拨 由存在量词命题为假命题求参数的范围,即得集合,根据所选条件判断集合, 之间的关系,讨论 , ,求参数 的范围. 39 18.（本小题满分17分）［浙江宁波六校2024高一期中联考］已知命题“ ， ”是真命题. （1）求实数的取值所构成的集合 ； 【解】因为命题“,”是真命题,所以方程 无解, 所以,解得,因为,所以,所以实数 的取值所构成的集合 . 40 （2）在（1）的条件下，设不等式的解集为，若“”是“ ”的必要条件， 求实数 的取值范围. [答案] 因为,所以,解得 , 所以 . 又“”是“”的必要条件,所以 . 当 时,,即 ,满足题意； 当 时, 解得 . 综上,实数的取值范围是 . 41 19.（本小题满分17分）［甘肃兰州2025高一月考］已知集合,, ， ，其中 ，新定义性质若对任意的，必有，则称集合具有性质.由 中元素可构成两个点集和,,，, , ，其中中有个元素，中有 个元素. （1）已知集合、集合,2,和集合 ，判断它们是否具 有性质，若有，则直接写出其对应的集合， ；若无，请说明理由. 【解】由于，故不具有性质 . 集合具有性质，对应集合 , 3,，, . 集合不是整数集，所以不具有性质 . 42 （2）集合具有性质，若，求：集合 最多有几个元素？ [答案] 由题意可知,集合的元素构成有序实数对,,,，共有 个. 因为，所以 . 又因为时，，所以时， ， 所以集合的元素个数不超过 . 不妨取,2, ,，此时中元素的个数为 ， 故 中元素的个数最多为4 950. 43 （3）试判断：“集合具有性质”是“ ”的什么条件，请说明理由. [答案] 充分不必要条件，理由如下： 当集合具有性质 时， ①对于，根据定义可知：,, ， 又因为集合具有性质，所以 . 如果，是中的不同元素，那么， 中至少有一个不成立， 于是， 中至少有一个不成立， 故和也是 中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即 . 44 ②对于，根据定义可知：,, ， 又因为集合具有性质，则 . 如果，是中的不同元素，那么， 中至少有一个不成立， 于是， 中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素，可见的元素个数不多于的元素个数，即 . 由①②可知 . 若,1,2,，则,,,, , , ， ,,,,,, ， 满足，而集合不具有性质 . 所以“集合具有性质”是“ ”的充分不必要条件. 45 规律方法 新定义问题的方法和技巧 （1）可通过举例的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息的理解较 为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，那么要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情 况下可以使用书上的概念. 46 $$