第1章 集合与逻辑 高考强化-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（湘教版）

数学 必修第一册 XJ 1 1 第1章高考强化 刷真题 2 1.［课标全国Ⅲ理2020·1，5分］已知集合,,， , 则 中元素的个数为( ) C A.2 B.3 C.4 D.6 考点1 集合中的元素个数 3 解析 依题意的元素是直线上满足,且的点,即点,, , .故选C. 考点1 集合中的元素个数 4 2.［浙江2020·10，4分］设集合，，，，，中至少有2个元素，且， 满足： ①对于任意的，，若，则；②对于任意的，，若，则 .下列命 题正确的是( ) A A.若有4个元素，则有7个元素 B.若有4个元素，则 有6个元素 C.若有3个元素，则有5个元素 D.若有3个元素，则 有4个元素 考点1 集合中的元素个数 5 解析 若中有3个元素,不妨设,, , 则由条件①得,, , 由条件②得,,,在,,中显然 最大. 分两种情况讨论： 当时,,, , 若,则有,与题设矛盾,,即,此时,,,,,,,, , ,有4个元素； 当时,,若,则,,与题设矛盾,,,,此时,, , ,, , 考点1 集合中的元素个数 6 ,,或,,,或,,,,,,,, ,有5个元素或 ,,,,,,有6个元素, 当中有3个元素时, 有4个或5个或6个元素,故C,D错误. 若中有4个元素,不妨设,,, , 则由条件①可得,,,,,,由条件②可得,,,,,,,,显然 最大, 而,, 分别对应从小到大的3个元素, 中只有4个元素, 必有,,,,由此可得,,,, , , ,,,,,,,,,,,,,有7个元素, 当中有4个元素时, 有7个元素,故A正确，B错误.故选A. 考点1 集合中的元素个数 名师点拨 “新定义”主要是指定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解 决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解.但是,透过现象 看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万 变才是制胜法宝. 考点1 集合中的元素个数 8 3.［全国新课标Ⅱ2023·2，5分］设集合,,,,,若，则 ( ) B A.2 B.1 C. D. 考点2 集合之间的关系及应用 9 解析 由题意知.当时,即,此时,,, ,不符合题意.当 时,即 ,此时,,,,,满足,所以 ,故选B. 考点2 集合之间的关系及应用 10 4.［全国新课标Ⅰ2024·1，5分］已知集合,,,0,2,,则 ( ) A A., B. C.,, D.,0, 考点3 集合之间的运算 11 解析 由题意可知，，，，所以， .故选A. 考点3 集合之间的运算 12 多种解法 由题意知，又,,0,2,,则, ，故选A. 考点3 集合之间的运算 13 5.［全国甲文2024·2，5分］已知集合，2，3，4，5，，,则 ( ) C A. B. C. D. 考点3 集合之间的运算 14 解析 因为,2,3，4,5,,，所以，2，3， ， 故选C. 考点3 集合之间的运算 15 6.［北京2024·1，4分］已知集合,，则 ( ) C A. B. C. D. 考点3 集合之间的运算 16 解析 因为集合，,所以 .故选C. 考点3 集合之间的运算 17 7.［全国甲理2023·1，5分］设全集，集合,, , ,则 ( ) A A., B., C., D. 考点3 集合之间的运算 18 解析 因为或或,},所以, },故 选A. 考点3 集合之间的运算 19 8.［全国乙理2023·2，5分］设全集，集合， ，则 ( ) A A. B. C. D. 考点3 集合之间的运算 20 解析 因为,,所以, , ,或,所以 , ,或,或 ,故选A. 考点3 集合之间的运算 21 9.［全国乙文2023·2，5分］设全集,集合,,则 ( ) A A. B. C. D. 考点3 集合之间的运算 22 解析 因为全集,集合,所以.因为 ,所以 .故选A. 考点3 集合之间的运算 23 10.［全国甲理2024·2，5分］已知集合,,则 ( ) D A. B. C. D. 考点3 集合之间的运算 24 解析 ,, ， ，故选D. 考点3 集合之间的运算 25 11.［全国甲理2022·3，5分］设全集,,0,1,2,，集合, , ，则 ( ) D A. B. C., D., 考点3 集合之间的运算 26 解析 因为,解得,,所以 , 所以,1,2, , 所以, .故选D. 考点3 集合之间的运算 27 12.［全国新高考Ⅰ2022·1，5分］若集合,,则 ( ) D A. B. C. D. 考点3 集合之间的运算 28 解析 , ,所以 .故选D. 考点3 集合之间的运算 29 13.［全国新课标Ⅱ2024·2，5分］已知命题,;命题, .则( ) B A.和都是真命题 B.和都是真命题 C.和都是真命题 D.和 都是真命题 考点4 命题及其真假的判定 30 解析 对于命题，当时，，所以是假命题，是真命题.对于命题 ,若 ,则,0,1，所以满足“,”，故是真命题， 是假命题，故选B. 考点4 命题及其真假的判定 31 14.［北京理2017·13，5分］能够说明“设，，是任意实数.若，则 ”是假 命题的一组整数，， 的值依次为_________________________. ,,（答案不唯一） 解析 ,,矛盾,所以,, 可验证该命题是假命题. 考点4 命题及其真假的判定 32 15.［天津2023·2，5分］已知,,则“”是“ ”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点5 充分、必要条件的判断 33 解析 依题意可知,若,则或.当时,；当 时, .若,即,则,所以.所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.故选B. 考点5 充分、必要条件的判断 34 16.［天津2022·2，5分］“是整数”是“ 是整数”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点5 充分、必要条件的判断 35 解析 由题意知“是整数”可推出“ 是整数”,故充分性成立； 反之不成立,例如,当时,为整数, 不是整数,故必要性不成立. 所以“是整数”是“ 是整数”的充分不必要条件.故选A. 考点5 充分、必要条件的判断 36 17.［浙江理2016·4，5分］命题“，，使得 ”的否定形式是( ) D A.，，使得 B.，，使得 C.，，使得 D.，，使得 考点6 全称量词命题与存在量词命题的否定 37 解析 的否定是 , 的否定是 ,“”的否定是“ ”.故选D. 考点6 全称量词命题与存在量词命题的否定 38 1 第1章高考强化 刷原创 39 1.（多选）任取集合，,的个非空子集,, , ，定义 为记所得的个值之和为 ，则( ) ACD A.与的奇偶性相同 B.是的一个倍数 C.的最小值为 D.的最大值为 40 解析 由定义知,当时,,则,故.显然取 的单元素子集 ,,则时,,所以.考虑的情况下,若改变集合 , 中的一个,使 ,则,如取 , ,则,即的值由增大为,因此,,, , 中每增加一 对集合的交集非空,则的值增加2,故与具有相同的奇偶性,但不一定是 的倍数.又由定义可知, .若对任意的,, ,如取,2, , , ,则,即.故选 . 41 2.已知“”表示正整数被质数除的余数为.已知质数 不整除正 整数，若,2, ,，, ，则( ) C A.且被除余1 B.且被除余 C.且被除余1 D.且被除余 42 解析 先证集合有个元素.假设中不是个元素，则其中至少有两个数被质数 除 的余数相同，余数设为，则,,,,,则 , ,故,由不整除知,能被 整除,又 ，,则必有,矛盾，故集合中共有个元素.因为 ,否则 , 中必存在一个能被整除,矛盾，故,2, ,,所以.由, 可 得, 与被除的余数相同,即 与被除的余数相同,而被 除的余数唯一且不为0,所以 ,即被 除余1.故选C. 43 3.已知全集，集合满足：，且当时必有，则 ___. 解析 若为的真子集,则为由部分正整数组成的非空集合,故中存在最小元素 ,故 ,从而,于是,因为,若,由的性质可知 ,这与 矛盾,所以,但这又与是中的最小元素矛盾，所以不是 的真子集,即 ,则 . 44 4.若一个正整数各数位上的数字从左到右依次递增或递减，则称此数为“好数”，如7是一位 “好数”，12与21是两位“好数” ，则所有的“好数”有________个. 1 524 解析 由题意可知,“好数”的各数位上的数字各不相同.构造集合 与集合 ,取的一个元子集,将这 个元素从高数位到低数位 按从大到小的顺序排列,则形成一个位“好数”,因为 ,所以这样从左到右依次递减的“好数” 有个；同理取的一个元子集,将这 个元素从高数位到低数位按 从小到大的顺序排列,形成一个位“好数”,于是递增的“好数”有个.又, 公共的1元 子集,, ,算了2次,所以符合要求的“好数”共有 （个）. 45 5.已知集合,, ,,,, ,，, .若元素 ，,,2, ,5，且， 的各元素之和为256，则 集合 ___________________________. 或 46 解析 因为,,2, ,5,则,又,故.由 知, ,则,即或 . 因为,若,则,由知,存在使且 ,显然不成立； 若,则,存在使,则 . 由于的各元素之和为256,则,又,故 . （1）当时,则,因为的各元素之和为256,所以,解得 . （2）当时,则,3,,9,,,9,,81,,故 . 又,故,则 . 若,则 ，无正整数解； 若,则,解得 . 综上所述,或 . 47 $$