1.1.2 子集和补集-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（湘教版）

数学 必修第一册 XJ 1 1.1 1.1 集合 2 1.1 1.1.2 子集和补集 刷基础 3 1.对于集合，，“ ”不成立的含义是( ) C A.是的子集 B.中的元素都不是 的元素 C.中至少有一个元素不属于 D.中至少有一个元素不属于 题型1 子集的概念 4 解析 “”成立的含义是集合中的任何一个元素都是集合的元素,不成立的含义是集合 中至少有一个元素不属于集合 ,故选C. 题型1 子集的概念 5 2.［河南豫北名校2025高一联考］设集合，,，则 的非空子 集的个数为( ) C A.3 B.4 C.7 D.8 题型1 子集的概念 6 解析 要使，，则,4,9，故中含有三个元素，所以的非空子集有， ， ，，，， ，共7个.故选C. 题型1 子集的概念 7 二级结论 若集合中有个元素,则其子集个数为,非空子集个数为,真子集个数为 ,非空真子集 个数为 . 题型1 子集的概念 8 3.［甘肃兰州2025高一期中］已知集合， ，若 ，则实数 的取值范围是_______________________. 或 题型1 子集的概念 9 解析 若 ，满足，此时只需，解得 ； 若 ，由，得解得 . 综上，实数的取值范围是或 . 题型1 子集的概念 10 4.［福建南平2024高一期末］下列图能正确表示集合和 关系 的是( ) B A. B. C. D. 题型2 真子集的概念 11 解析 ,又 , 所以 ,选项B符合,故选B. 题型2 真子集的概念 12 5.（多选）［广东深圳2024高一月考］下列说法中，正确的有( ) BD A.空集是任何集合的真子集 B.若，，则 C.任何一个集合必有两个或两个以上的真子集 D.如果不属于的元素一定不属于，则 题型2 真子集的概念 13 解析 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,故选项A错；真子集具有传递性,故选项B 正确；若一个集合是空集,则没有真子集,故选项C错；由图易知选项D正确.故选 . 题型2 真子集的概念 14 6.已知集合，.若，则实数 的取值范围为( ) A A. B. C. D. 题型2 真子集的概念 15 解析 因为,,,所以 ．故选A. 题型2 真子集的概念 16 7.［江苏苏州六校2025高一联考］满足关系的集合 的个数为___. 7 题型2 真子集的概念 17 解析 由题意得，集合 中一定含有1，2，3，可能含有0，4，5，但不同时含有0，4，5，所以 集合的个数为 . 题型2 真子集的概念 18 8.［山西晋中2025高一期末］若集合， ，则 ( ) C A. B. C. D. 题型3 全集与补集 19 解析 因为， ，所以 .故选C. 题型3 全集与补集 20 9.已知全集，集合或，则 ____________ _________________. 或 题型3 全集与补集 21 解析 在数轴上表示出全集,集合（如图所示）,根据补集的概念可知 或 . 题型3 全集与补集 22 名师点拨 求集合补集的技巧 （1）当集合是用列举法表示时,可借助 图求解． （2）当集合是用描述法表示的连续数集时,可借助数轴,利用数轴分析求解． 题型3 全集与补集 23 10.设全集是数集,3，，已知,，，求实数， 的值. 【解】,且 . 又, , 解得或 经检验都符合题意. 题型3 全集与补集 24 11.［湖南邵阳2025高一月考（改编）］下列表述中，正确的个数是( ) ；；； . C A.0 B.1 C.2 D.3 易错点1 混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错 25 解析 ，①错；，②对；，③对； ，④错. 所以表述正确的个数为2.故选C. 易错点1 混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错 26 易错警示 元素与集合之间的关系用“ , ”表示,而集合与集合之间是包含或不包含的关系,特别注意空集 是不含有任何元素的集合,且规定 . 易错点1 混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错 27 12.设集合，集合，若，则实数 取值集合的真 子集的个数为( ) C A.2 B.3 C.7 D.8 易错点2 忽略对空集的讨论而致错 28 解析 由 , 得 , 解得或 , 所以 . 当时, ,满足 ； 当时,,因为,所以或,解得或 . 综上,实数取值的集合为 , 所以实数取值集合的真子集的个数为 ,故选C. 易错点2 忽略对空集的讨论而致错 29 易错警示 求解含参数的集合时,应考虑该集合为空集的特殊情况,本题求解的易错之处是忽视集合 为空集的 特殊情况而导致漏解. 易错点2 忽略对空集的讨论而致错 30 13.［辽宁沈阳东北育才中学2025高一月考］已知集合或, ， 若，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C.或 D. 易错点3 忽略端点的取值情况而致错 31 解析 集合或 , ,当时，不成立，此时 ，满足 ； 当时，因为，所以，又因为，所以，解得 ； 当时，因为，所以，又因为，所以，解得 . 综上可知， .故选A. 易错点3 忽略端点的取值情况而致错 32 易错警示 在根据集合间的关系求参数时,需要注意端点处是否取等号,最有效的方法是假设可以取等号,如果 满足题中条件就可以取等号,不满足则取不到等号. 本题还要考虑 的情况. 易错点3 忽略端点的取值情况而致错 33 1.1 1.1.2 子集和补集 刷提升 34 1.（多选）下列选项中正确的是( ) CD A.{质数奇数} B.集合与集合 没有相同的子集 C.任何集合都有子集，但不一定有真子集 D.若，，则 35 解析 A.2是质数,但是它不是奇数,所以质数奇数错误,所以A错误；B.集合 与集合 有相同的子集 ,所以B错误；C.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,所以C正 确；D.若,,则,所以D正确.故选 . 36 2.［福建南平2024高一月考］下列关系式错误的是( ) D A.,, B.,, C. D. 37 解析 对于A,由集合间的关系和集合中元素的无序性知,, ,故A正确； 对于B,由集合中元素的无序性知,, ,故B正确； 对于C,0是集合的元素,所以 ,故C正确； 对于D, 是集合 的子集而非元素,故D错误. 故选D. 38 3.［黑龙江哈尔滨2025高一期末］若 ，则下列说法正确的是( ) D A. B. C., D. 39 解析 ，是以空集为元素的集合，不是集合 的子集，故A错误； ，故B错误；，故C错误； ，故D正确.故选D. 40 4.［江苏苏州2025高一月考］设全集,，集合, ，则 ( ) B A.,} B., } C.,} D., } 41 解析 由题意知，,, ， 又,，所以,, }.故选B. 42 归纳总结 根据集合间的关系求参数的值或取值范围时,应根据集合的种类（如数集、点集、图形等）,转化 为对应方程（组）或不等式（组）,再求出相关参数的值或取值范围.转化过程中可借助数轴、 图、函数图象等来解题. 43 5.［河南二十名校2024高一联考］已知集合,,，则满足 , 的集合 的个数为( ) A A.16 B.14 C.8 D.2 44 解析 由集合,, }, 可得集合中的元素有,,,,, , 所以集合,,,的任何一个子集,添加元素, 后都可以作为 集合 , 所以符合条件的集合共有 个.故选A. 45 6.［四川成都树德中学2025期中］已知集合,,,1,，若对任意 ,都有 ，则 为( ) C A.1 B. C.2 D.1或2 46 解析 由题意得 ， 若，则或 ， 当时， ，符合题意； 当时，，，， 中元素均不符合互异性，舍去. 若，则，此时， 中元素不符合互异性，舍去. 综上， .故选C. 47 7.［甘肃庆阳2025高一期中］已知集合,, ， ，则下列,, 的关系正确的是( ) B A. B. C. D. 48 解析 由,,, , 而为奇数,为整数,又,所以 .故选B. 49 8.［北京四中2025高一期末］正交数组的概念在现代广泛应用.设集合 ,,,2,3,，任取, ，若 ，则称与正交.若，且 中任意两 个元素均正交，则 中元素个数最多是( ) C A.2 B.3 C.4 D.6 50 解析 不妨设 ， 由，则中最多再包含,, , ,,1,,1, 这6个元素， 设这6个元素组成的集合为，则中存在两个元素在集合中时，满足题意，如 , , ， 且中存在三个元素在集合中时，满足题意，如, , ,,但其中有4个元素在集合 中时，不满足题意，同理，其中有5个或6 个元素在集合 中时，均不满足题意. 因此若，且中任意两个元素均正交，则 中元素个数最多是4.故选C. 51 9.［湖北孝感高级中学2024高一调研］已知整数集合关于的方程 有整 数解，集合满足条件：；②若，则.则所有这样的集合 的个数为____. 31 52 思路导引 根据集合关于的方程 有整数解},利用一元二次方程根与系数的关系,可 求出集合,进而根据已知中集合满足的两个条件,可得互为相反数的两个元素同属于 或同不属 于,进而得到满足条件的集合 的个数. 53 解析 由题意可得.设关于的方程的两个根分别为, ,则 所以方程 的整数解只能是36的约数. 当方程的解为,36时, ； 当方程的解为,18时, ； 当方程的解为,12时, ； 当方程的解为,9时, ； 当方程的解为,6时, ； 54 当方程的解为1,时, ； 当方程的解为2,时, ； 当方程的解为3,时, ； 当方程的解为4,时, . 故集合,,,,0,5,9,16, . 由集合满足条件：；②若,则 , 得集合中互为相反数的两个元素同属于集合或同不属于集合,因为集合 中有4对相反数和元 素0, 所以这样的非空集合共有 个. 55 10.［天津滨海新区2025高一月考］已知集合, . （1）若 ，求实数 的取值集合. 【解】因为 ，所以 . 当时， ，与题意矛盾； 当时，则，解得 . 综上所述，实数的取值集合为 . 56 （2）若的子集有两个，求实数 的取值集合. [答案] 因为的子集有两个，所以集合 中只有一个元素. 当时，，符合题意；当时，则，解得 . 综上所述，实数的取值集合为 . 57 （3）若且，求实数 的取值集合. [答案] 因为，所以，解得 ， 所以.当时， ； 当时，，因为，所以或，解得或 . 综上所述，实数的取值集合为,, . 58 11.［2023全国高中数学联赛北京赛区预赛］是集合,2, , 的子集，满足任意两个元素 的平方和不是9的倍数，则的最大值是________（这里表示 的元素个数）. 1 350 解析 ,,,,,,,,, 的平方是9 的倍数的数有3个：3,6,9,的平方除以9的余数分别是1,4,0,7,7,0,4,1,0, 任意一个整数的平 方被9除的余数只能是0,1,4,7, ,,,,,,,, , ,,1,4,7的任意两个数的和（除0和0外）均不是9的倍数, 任意两个数的平方和是9 的倍数只能要求这两个数的平方本身是9的倍数, 余1, 的平方是9的倍数的数有674个, 的最大值为 . 59 $$