1.1.1 集合-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦集合核心知识，从集合的含义与元素特征切入，通过题型分类逐步延伸至元素与集合关系、表示方法、分类及区间表示，构建从概念理解到应用实践的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于结合数学思维与数学眼光，通过规律方法总结和名师点拨强化推理意识，如判断集合构成的明确标准和元素互异性应用实例。易错点分析助力学生精准把握概念，丰富的地方名校真题提升应用意识，既帮助学生夯实基础，也为教师提供系统教学资源。

数学 必修第一册 XJ 1 1.1 1.1 集合 2 1.1 1.1.1 集合 刷基础 3 1.下列给出的对象能构成集合的有( ) ①某校2025年入学的全体高一年级新生; 的所有近似值;③某个班级中学习成绩较好的所有 学生;④不等式 的所有正整数解. B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型1 集合的含义与元素的特征 4 解析 对于①：某校2025年入学的全体高一年级新生,对象确定,能构成集合, 故①正确； 对于②： 的所有近似值,根据近似值的标准不一样得到的近似值不一样,因此对象不确定,故不能 构成集合,故②错误； 对于③：某个班级中学习成绩较好是相对而言的,故这些学生对象不确定,不能构成集合,故③错误； 对于④：不等式 的正整数解有1,2,3,能构成集合,故④正确. 故选B. 题型1 集合的含义与元素的特征 5 规律方法 判断一组对象能否构成集合的关键是该组对象是否唯一确定,即是否能找到一个明确的标准,确定 任意一个对象是不是给定集合中的元素. 题型1 集合的含义与元素的特征 6 2.［湖南部分学校2025·注高一联考］集合,, 中的三个元素表示某一个三角形的三边长 度，那么这个三角形一定不是( ) A A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 题型1 集合的含义与元素的特征 7 解析 根据集合中元素的互异性得,, ，故这个三角形一定不是等腰三角形.故选A. 题型1 集合的含义与元素的特征 8 名师点拨 集合中的元素满足互异性,相同的元素只能算一个. 题型1 集合的含义与元素的特征 9 3.［江苏扬州2025高一期中］集合,,中的 不能取的值是( ) C A.0 B.1 C.2 D.3 题型1 集合的含义与元素的特征 10 解析 由集合中元素的互异性可知，，，，得， ， ，故选C. 题型1 集合的含义与元素的特征 11 4.［甘肃兰州2025高一期中］给出下列6个关系式：，， ， ，， ，其中正确的个数为 ( ) A A.4 B.2 C.3 D.5 题型2 元素与集合的关系 12 解析 ，，，，因此①③④⑤正确;， ，因此 ②⑥不正确.所以正确的个数为4.故选A. 题型2 元素与集合的关系 13 5.［吉林延边州2025高一期中］若,3,4,，则 所有可能取值的集合为( ) B A. B. C.,0,3, D. 题型2 元素与集合的关系 14 解析 由,3,4,，得或或或.当时， ，不满足集合 中元素的互异性，故不符合题意；当时，，符合题意；当时， ，符 合题意；当时，得舍去，此时 ，符合题意. 所以所有可能取值的集合为 .故选B. 题型2 元素与集合的关系 15 6.［安徽江南十校2025高一联考］已知集合,，若且 ，则实 数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 题型2 元素与集合的关系 16 解析 由且，得 解得 ，故选A. 题型2 元素与集合的关系 17 7.［福建福州2024高一月考］已知集合,, }. （1）若是空集，求实数 的取值范围； 【解】若是空集,则且,所以,解得,所以实数 的取值范围为 . 题型2 元素与集合的关系 18 （2）若中只有一个元素，求实数的值，并求集合 ； [答案] 当时,集合 ; 当时,,所以,解得,此时集合 . 综上,所求实数的值为0或 . 当时,集合 ; 当时,集合 . 题型2 元素与集合的关系 19 （3）若中至多有一个元素，求实数 的取值范围. [答案] 由（1）（2）可知,当中至多有一个元素时,或,所以实数 的取值范围为 . 题型2 元素与集合的关系 20 特别注意 本题中方程不一定是二次方程,因此求解时不要忘记讨论 时的特殊情况. 题型2 元素与集合的关系 21 8.［湖南株洲二中2025高一月考］集合, }用列举法表示为( ) C A.,,0,1, B.,0,1, C. D. 题型3 集合的表示方法 22 解析 由，解得，所以, }= .故选C. 题型3 集合的表示方法 23 9.［甘肃张掖2025联考］方程组 的解集是 ( ) C A., B., C., D.,或, 题型3 集合的表示方法 24 解析 由解得或所以方程组的解集是, . 故选C. 题型3 集合的表示方法 25 名师点拨 此类题考查集合元素类型的辨析,正确解出方程组,方程组的解是有序实数对,其解集是由有序实数 对构成的集合,容易出现概念混淆,把解集的形式弄错. 题型3 集合的表示方法 26 10.（多选）集合 用描述法可表示为( ) AB A.是不大于9的非负奇数} B.,,且 C., D., } 题型3 集合的表示方法 27 解析 对于A,是不大于9的非负奇数 ,故A正确； 对于B,,,且 ,故B正确； 对于C,, ,故C错误； 对于D,,,故D错误.故选 . 题型3 集合的表示方法 28 链接教材 此题由教材第6页练习第2题改编,用描述法表示集合时注意： （1）写清楚该集合的代表元素,即弄清代表元素是数、点还是其他对象； （2）准确说明集合中元素所满足的特征； （3）所有描述的内容都要写在集合符号内,并且不能出现未被说明的符号； （4）用于描述的语句力求简明、准确,多层描述时,应准确使用“且”“或”等描述语句之间的关系． 题型3 集合的表示方法 29 11.有下列四个说法： 是空集； ②若，则 ； ③集合 有两个元素； ④集合 是有限集. 其中正确说法的个数是( ) B A.0 B.1 C.2 D.3 题型4 集合的分类与集合相等 30 解析 中有一个元素0,不是空集,①不正确； ②当 时不成立,②不正确； 有两个相等的实数根,因此集合只有一个元素,③不正确； ④集合 是有限集,④正确.故选B. 题型4 集合的分类与集合相等 31 12.（多选）下列集合是无限集的是( ) ABD A.是能被3整除的数} B. C.,,} D. 是面积为1的菱形} 题型4 集合的分类与集合相等 32 解析 对于A,能被3整除的数有无数个,所以为无限集； 对于B,满足的实数有无数个,所以集合 为无限集； 对于C,该集合可表示为,, ,为有限集； 对于D,面积为1的菱形有无数个,所以为无限集． 故选 ． 题型4 集合的分类与集合相等 33 13.［重庆南开中学2024高一期中］下列选项中，集合, 表示同一集合的是( ) A A.， B.， C.， D.， 题型4 集合的分类与集合相等 34 解析 A：根据集合元素的无序性,可得 ,故A正确； B：和 是不同的元素,故B错误； C：因为中的元素是有序实数对,而 中的元素是实数,所以C错误； D：因为中有两个元素,即4,3,而中有一个元素,即 ,所以D错误. 故选A. 题型4 集合的分类与集合相等 35 归纳总结 两集合相等的常见考法及解法 （1）若两个集合相等,则所含元素完全相同,与顺序无关,但要注意检验,排除不满足集合元素互异 性或与已知相矛盾的情形. （2）若两个集合中元素均有无限多个,则要看两集合的代表元素是否一致,再看代表元素满足的条 件是否一致.若均一致,则两个集合相等. 题型4 集合的分类与集合相等 36 14.［河南周口2025高一月考］已知集合,1,，,0,，若，则 等于 ( ) C A.或3 B.0或 C.3 D. 题型4 集合的分类与集合相等 37 解析 因为,1,，,0,且 ， 所以，解得或 ， 当时， ，不满足集合中元素的互异性，故舍去， 当时，， ，符合题意.故选C. 题型4 集合的分类与集合相等 38 15.集合 表示成区间是( ) B A. B. C. D. 题型5 集合的区间表示 39 解析 由得,表示成区间是 ,故选B. 题型5 集合的区间表示 40 16.用区间表示下列集合： __________; ______; __________; ______. 题型5 集合的区间表示 41 解析 集合表示大于的所有实数,可用开区间表示为；集合 表示大于2且小于或等于5的所有实数,可用左开右闭区间表示为；集合 表示小于 或等于的所有实数,可用左开右闭区间表示为；集合 表示大于或等于2 且小于或等于4的所有实数,可用闭区间表示为 . 题型5 集合的区间表示 42 17.［甘肃张掖2024高一月考］已知集合,1,.若，则实数 的值构成的集合 为______． 易错点1 忽略集合中元素的互异性而致错 43 解析 因为集合,1,,且 , 所以或 . （1）当时,, ,符合题意. （2）当时,解得或 . 当 时,与集合元素的互异性矛盾,舍去； 当时, ,符合题意. 综上可知实数的值构成的集合为 . 易错点1 忽略集合中元素的互异性而致错 44 易错警示 本题是含参数的集合问题,根据题意求出参数的值后要注意检验参数的值是否满足集合中元素的互 异性.本题的易错之处是忽视检验 时是否满足集合中元素的互异性. 易错点1 忽略集合中元素的互异性而致错 45 18.给出下列说法： ①集合用列举法表示为,0, ； ②实数集可以表示为为实数}或{ }； ③方程组的解组成的集合为， . 其中不正确的有________.（把所有不正确说法的序号都填上） ①②③ 易错点2 不能正确理解集合的表示方法而致错 46 解析 ①由,即,得或或.因为 ,所以集合 用列举法表示为.②实数集正确的表示为为实数}或 方程组 的解组成的集合正确的表示应为或 .故①②③均不正确. 易错点2 不能正确理解集合的表示方法而致错 47 易错警示 注意集合中的元素必须是确定的.集合的表示方法应规范. 易错点2 不能正确理解集合的表示方法而致错 48 19.［甘肃兰州2025高一月考］用列举法表示集合 的结果为__________. 易错点2 不能正确理解集合的表示方法而致错 49 解析 由可知为6的约数，所以 ,2,3,6. 又，所以,7,6,3，此时,3,2,1，因此集合 用列举法表示为 . 易错点2 不能正确理解集合的表示方法而致错 50 20.若集合,}中只有一个元素,则实数 的值为 ( ) C A.0 B.1 C.0或1 D. 易错点3 忽略对方程系数的讨论而致错 51 解析 若,则,,,符合题意；若,由可知 ,解 得,, . 综上,或 ,故选C. 易错点3 忽略对方程系数的讨论而致错 52 易错警示 本题中方程不一定是二次方程,因此求解时不要忘记讨论 的特殊情况,本题 求解的易错之处是忽视讨论 . 易错点3 忽略对方程系数的讨论而致错 53 21.［辽宁省实验中学2025高一月考］已知集合,,, , ,,,，定义集合 , ，则 中有____个元素. 63 易错点4 不理解新定义的集合（运算）而致错 54 解析 ,,,,,,,,, , , ，有9个元素（即9个点）， ,,,,,, , ,,,,,,, , ，，,,,,,,, , ,,,, , ,,,, , ,,,，有 个元素（即35个点）， 所以或或或或0或1或2或3或4，共有9个值，或或 或0或 1或2或3，共有7个值， 所以,中的元素有 个. 易错点4 不理解新定义的集合（运算）而致错 55 易错警示 若集合中的元素是自定义的,对自定义的正确理解是解题的关键. 易错点4 不理解新定义的集合（运算）而致错 56 22.［南京大学2024强基计划］集合,为120的倍数，则 的元素个数为 ____. 19 解析 由，可知, 的奇偶性相同， 又为120的倍数，所以, 均为偶数， 由，可知, 中必有一个为10的倍数， 结合带余除法可知：从10开始10的倍数除以3的余数依次为1,2,0,1,2,0, ， ①若10的倍数除以3的余数为1，则其加2为3的倍数， 可知为10的倍数，为3的倍数，此时 的值是唯一的； 57 ②若10的倍数除以3的余数为2，则其减2为3的倍数， 可知为10的倍数，为3的倍数，此时 的值是唯一的； ③若10的倍数除以3的余数为0（即为30的倍数），符合题意， 可知，均可为10的倍数，此时 的值有2个； 且，即, ， 在1到151中，可知10的倍数有15个，30的倍数有5个，考虑到150的唯一性， 所以的元素个数为 . 58 特别注意 为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所指的数是自然数（一般不包括0）. 59 $$