第六章 统计 素养检测-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（北师大版）

该高中数学课件系统梳理了统计单元的核心知识，涵盖抽样方法（简单随机抽样、分层抽样）、用样本估计总体（频率分布直方图、数字特征等），通过现实情境题目将知识点串联，帮助学生构建“抽样-数据整理-分析推断”的完整知识网络。 其亮点在于以“情境问题-逻辑推理-数据表达”为主线，如结合居民用水、学生成绩等实例设计题目，培养学生用数学眼光观察现实世界的意识，通过分层练习（选择、解答题）和错题解析，发展数学思维与数据表达能力，助力教师实施个性化复习，提升学生知识巩固效果。

数学 必修第一册 BS 1 6 第六章素养检测 刷速度 2 建议用时：90分钟 1.为了了解某校600名学生的学习情况，随机抽取了100名学生进行调查，在这个问题中样本是 ( ) C A.100 B.100名学生 C.100名学生的学习情况 D.600名学生的学习情况 3 解析 为了了解某校600名学生的学习情况,随机抽取了100名学生进行调查,在这个问题中样本是 100名学生的学习情况.故选C. 4 2.［江西景德镇一中2025高一期末］某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00， 01， ，38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次 读取，选出来的第5个零件的编号是( ) 0647 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179 C A.36 B.16 C.11 D.14 5 解析 从第一行第3列开始,由左至右依次读取,读取出来的零件的编号依次为36,33,26,16,11,所以 选出来的第5个零件的编号是11.故选C. 6 3.［江西部分学校2025高一期末联考］某高校有本科生1 000人，硕士生200人，博士生20人申 请报名做中国航展的志愿者，现用分层随机抽样的方法从中抽取一批志愿者，若抽取的博士生有 5人，则从该高校抽取的志愿者总人数为( ) C A.265 B.285 C.305 D.325 7 解析 设从该高校抽取的志愿者总人数为,则,解得 .故选C. 8 4.某学校组织高一学生参加数学测试，现将学生成绩整理并做出频 率分布直方图如图所示，其中数据的分组依次为 ， ， .若高于60分的人数是350，则高一学生人数为 ( ) C A.1 000 B.750 C.500 D.250 9 解析 由频率分布直方图得高于60分的人数所占的频率为 ,所以高一学 生人数为 .故选C. 10 5.［河南南阳六校2025高一联考］已知一个容量为10的样本的平均数为5，方差为1.6.现将样本中 的3个数据4,5,6去掉，则去掉后剩余样本容量为7的样本的平均数和 分别是( ) B A.5，1 B.5，2 C.5，3 D.4，3 11 解析 设样本容量为10的样本数据为,, ,,由得 . 由方差 , 得 . 不妨设,, , 则 , .故选B. 12 6.［安徽阜阳一中2025期末］某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶 梯式水价，即确定一户居民月均用水量标准，用水量不超过的部分按平价收费，超出 的部分 按议价收费.通过抽样获得了100户居民的月均用水数据（单位： ），制成如下频率分布表. 分 组 频 率 0.23 0.32 0.13 0.09 0.09 0.05 0.03 0.04 0.02 如果以居民月均用水量不超过的占，大于的占 为标准，根据频率分布表估计，下列最 接近 的数是( ) B A.15 B.14 C.13 D.12 13 解析 由题表中数据可知月均用水量在的频率为 , 月均用水量在的频率为 , 所以分位数位于内,设为 , 则,解得 , 所以,则选项中与 最接近的数为14.故选B. 14 7.构建德、智、体、美、劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力 的方向，某校积极响应党的号召，开展各项有益于德、智、体、美、劳 全面发展的活动.如图所示的是该校高三 班两个班级在某次活动中 的德、智、体、美、劳的评价得分对照图（得分越高，说明该项教育越 好），则下列结论正确的是( ) 15 ①高三（2）班五项评价得分的极差为1； ②除体育外，高三（1）班的各项评价得分均高于高三（2）班对应的得分； ③高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高； ④各项评价得分中，这两个班的体育得分相差最大. A.②③ B.②④ C.①③ D.①④ √ 16 解析 对于①,高三（2）班德、智、体、美、劳各项得分依次为,9,,9, , 所以极差为 ,故①正确； 对于②,两班的德育分相等,故②错误； 对于③,高三（1）班的平均分为 , 高三（2）班的平均分为 ,故③正确； 对于④,两班的体育分相差 , 而两班的劳育分相差 ,故④错误.故选C. 17 8.［陕西渭南2025高一期末联考］下列命题是真命题的有( ) B A.有甲、乙、丙三种个体按 的比例进行分层随机抽样调查，如果抽取的乙个体数为9，那么 样本容量为32 B.数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数相同 C.若甲组数据的方差为5，乙组数据为5,6,9,10,5，则这两组数据中较稳定的是甲 D.一组数据为7,6,5,4,3,3,3,2,2,1的 分位数为4 18 解析 对于A, 甲、乙、丙三种个体按的比例进行分层随机抽样,乙占了, 样本容量为 ,故A不是真命题； 对于B,数据1,2,3,3,4,5的平均数为,众数为3,中位数为 ,故B是真命题； 对于C,乙组数据的平均数为 , 方差为 , , 乙组数据更稳定,故C不是真命题； 对于D,将这组数据从小到大排列为1,2,2,3,3,3,4,5,6,7,又,则这组数据的 分位数 是第七个数据与第八个数据的平均数,为 ,故D不是真命题.故选B. 19 9.［黑龙江哈三中2025高二月考］某学校共有4 000人，其中高一1 000人，高二1 500人，高 三1 500人，现采用抽样调查的方式调查学生平均身高，则下列说法正确的是( ) BC A.若采用简单随机抽样的方式，抽取容量为200的样本，则高一（25）班的小明同学被抽入样本 的概率为 B.若采用按比例分配的分层随机抽样的方式，抽取容量为200的样本，则应从高一中抽取的人数 为50 C.若采用按比例分配的分层随机抽样，发现高一、高二、高三学生的样本平均身高分别为167， 169，173，则总体平均身高的估计值为170 D.若采用按比例分层随机抽样，发现高一、高二、高三学生的样本平均身高分别为167，169， 173，方差分别为50，60，40，则总体身高方差的估计值为50 20 解析 对于A,因为学校共有学生4 000人,则采用简单随机抽样的方式,抽取容量为200的样本, 高一（25）班的小明同学被抽入样本的概率应为 ,故A错误； 对于B,因为高一年级学生在全校学生中所占的比例为 ,现抽取容量为200的样本,则应从高一中抽 取的人数为 ,故B正确； 对于C,因为高一、高二、高三的学生人数的比例为 , 故按比例分配的分层随机抽样,总体的平均身高的估计值为 ,故C正确； 对于D,由C选项已得总体的平均身高约为170,则总体身高方差的估计值为 ,故D错误.故选 . 21 10.［江西宜春四校2025高一联考］一个同学抛掷10次骰子，记录出现的点数，根据统计结果， 在下列情况中可能出现点数6的有( ) ABD A.平均数为3，中位数为4 B.中位数为4，众数为3 C.平均数为2，方差为2.1 D.中位数为3，方差为0.85 22 解析 对于A,若10次点数分别为1,1,1,1,4,4,4,4,4,6,符合题意,故A正确. 对于B,若10次点数分别为3,3,3,3,4,4,4,6,6,6,符合题意,故B正确. 对于C,设10次点数分别为,,,,,,,,, 且 ,平均数为 , 假设有一次点数为6,不妨设,平均数为 ,由方差公式 ,代入相关数据得 ,即 ,显 然 最大只能取4, 不妨设,得,此时方程无解,所以 . 当时,, 最大只能取3, 23 不妨设,得 ,此时方程有唯一解, , 即10次点数分别为1,1,1,1,1,1,1,3,3,6,但此时平均数为,不符合题意；当 时, ,方程无解；显然时方程无解,所以 . 当时,,取 得 ,此时方程无解（其余情况也均无解）,所以 . 当时,平均数为 ,不符合题意. 综上所述,假设不成立,故C错误. 对于D,若10次点数分别为3,3,3,3,3,3,3,4,4,6,符合题意,故D正确.故选 . 11.［江西上饶2024高一期末］我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水 问题较为突出.某政府为了制定居民节约用水相关政策，抽样调查了该市200 户居民月均用水量（单位： ），绘制成频率分布直方图如图所示，则下列说 法正确的是( ) ABC A.图中小矩形 的面积为0.24 B.该市居民月均用水量的众数约为 C.大约有的居民月均用水量不超过 D.这200户居民月均用水量的中位数大于平均数 25 解析 由,可得 , 所以 ,故A正确； 由题意可知该市居民月均用水量的众数约为 ,故B正确； 由题意可得该市居民月均用水量不超过 的频率为 ,故C正确； 设这200户居民月均用水量的中位数为 , 因为第一个矩形的面积为,第二个矩形的面积为,第三个矩形的面积为 ,所以中位数 ,则 . 这200户居民月均用水量的平均数 ,因为 , 所以这200户居民月均用水量的中位数小于平均数,故D不正确．故选 . 26 12.抽样调查某地区120名教师的年龄和学历状况，调查情况如图，则估计该地区35岁以下具有 研究生学历的教师人数为____. 30 解析 由题图可知35岁以下的本科教师有50人,35岁以下教师本科学历的比例为 ,所以35岁 以下的本科和研究生学历教师人数的和为 ,所以35岁以下的研究生学历的教师人 数为 . 27 13.［安徽江南十校2025联考］已知样本,, ,的平均数为3，方差为4，样本,, , 的 平均数为8，方差为2，则新样本,, ,,,, , 的方差为_____. 8.8 解析 ,, ,,,, ,的平均值为 . 根据分层随机抽样的方差公式得所求方差为 . 28 14.某市某次高中数学统测学生测试成绩频率分布直方图如图所示.现按测试成绩由高到低分成A， B，C，D四个等级，其中A等级占,B等级占,C等级占,D等级占 的比例，规定达到 C等级及以上才能通过考试，则要通过本次考试的学生分数至少为____. 24 解析 由题图可知,分数在20分以下的比例为 ,在40分以下的比例为 ,因此分位数位于内,由 ,所以通过 本次考试分数至少为24. 29 15.（本小题满分13分）某乡镇供电所为了调查农村居民用电量情况，随机抽取了500户居民去 年的月均用电量（单位： ），将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图所示,其中直方 图从左到右前3个小矩形的面积之比为 . 30 （1）抽取的样本中月均用电量在 之内的居民共有多少户？ 【解】 从左到右前3个小矩形的面积之比为 , 前三组数据的频率之比为 . 前三组数据的频率之和为 , 月均用电量在之内的频率为 , 月均用电量在之内的居民共有 （户）. （2）试根据直方图估算该乡镇居民月均用电量的中位数是多少.（精确到 ） [答案] 由（1）得,月均用电量在之内的频率为 , 月均用电量在之内的频率为 . , , 中位数在第3组, 中位数为 . 32 16.（本小题满分15分）［江西南昌二中2024高一月考］南昌的西瓜脆甜爽口，汁多肉厚，其实 在南昌还有一种香瓜也非常好吃，由于个小产量也少，往往供不应求，所以不被大家熟悉.南昌某 种植园在香瓜成熟时，随机从一些香瓜藤上摘下100个香瓜，称得其质量分别在 ，， （单位：克）中，经统计绘制频率分布直 方图如图所示. （1）在样本中，按分层随机抽样从质量在中的香瓜中随机抽取了 个香瓜，其中质量 在中的香瓜有6个，求 的值. 【解】按分层随机抽样的方法得,所以 . 33 （2）估计这组数据的平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表）. [答案] 由频率分布直方图知,各区间频率依次为,,,, , 这组数据的平均数 . 34 （3）某个体经销商来收购香瓜，同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表，用样本 估计总体，该种植园中大概有香瓜2万个，经销商提出以下两种收购方案：方案①：所有香瓜以5 元/500克收购；方案②：对质量低于350克的香瓜以3元/个收购，对质量高于或等于350克的香 瓜以5元/个收购.请分别计算两种方案获得的利润，并说明种植园选择哪种方案获利更多？ 35 [答案] 方案①：由题意可知20 000个香瓜中： 200克的有 个, 300克的有 个, 400克的有 个, 500克的有 个, 600克的有 个,则以5元/500克收购获得利润为 元； 方案②：质量低于350克的香瓜有 个, 质量高于或等于350克的香瓜有 个, 则对质量低于350克的香瓜以3元/个收购,对质量高于或等于350克的香瓜以5元/个收购获得的利 润为 元. 因为 , 所以该种植园选择方案②获利更多. 17.（本小题满分15分）［重庆部分学校2025高一联考］随着新能源电动汽车的推广，人们对电 动汽车的电池续航能力非常关注.某 店为了解车主对甲、乙两款电动汽车电池续航能力的满意程 度，从该店销售的甲、乙两款车中各随机抽取10名车主对其所使用车辆的电池续航能力进行评分 （单位：分），并对数据进行整理、描述和分析（评分用表示，共分为三组：A. , B.,C. ），下面给出了部分信息： 甲款电动汽车10名车主的评分是100,95,85,85,80,80,80,80,75,70. 乙款电动汽车10名车主的评分在B组的数据是85,85,85,80,80. 抽取的甲、乙两款电动汽车车主的评分统计表 平均数 中位数 众数 甲 83 80 乙 83 85 37 抽取的乙款电动汽车车主的评分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中____，______， ____. 80 82.5 30 38 解析 甲款电动汽车10名车主的评分数据中,80出现的次数最多,故众数为80,即 . 乙款电动汽车车主的评分扇形统计图中A组占,B组占 , C组占 , 所以 , 所以A组有两个最大的数据,同时B组的5个数据是85,85,85,80,80, 所以最中间的数为85,80, 所以中位数为 , 即 . 39 （2）根据以上数据，你认为哪款电动汽车的电池续航能力的满意度更好？请说明理由 （写出一条理由即可）. 【解】（答案不唯一,言之有理即可）乙款电动汽车的电池续航能力的满意度更好,理由如下： 甲款和乙款评分的平均数相等,但乙款评分的众数和中位数都比甲款评分的大,所以乙款的满意度更好. （3）该 店甲款电动汽车的车主有600人，乙款电动汽车的车主有400人.若评分不低于90分为 “非常满意”，估计这些车主中对其所使用车辆的电池续航能力“非常满意”的总人数. [答案] 甲款电动汽车的车主“非常满意”的有两人,占比为 ,乙款电动汽车的车主“非常满意” 的占比为 , 所以估计这些车主中对其所使用车辆的电池续航能力“非常满意”的总人数为 . 40 18.（本小题满分17分）［湖北“荆荆襄宜”四地七校2025高二联考］某校艺术团共有150人， 男生与女生的比例是 .为了解艺术团全体学生的身高，按性别比例进行分层随机抽样，抽取样 本量为30的样本，并观测样本身高数据（单位： ）.已知男生样本的身高平均数为169，标准 差为 .下表是抽取的女生样本的数据： 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 155 158 156 157 160 161 159 162 169 163 记抽取的第个女生的身高为，女生样本平均数，标准差 . （1）用女生样本的身高频率分布情况估计艺术团女生总体的身高频率分布情况，试估计艺术团 女生总体身高在 范围内的人数； 【解】 在女生样本中,身高在内的频率为 , 艺术团女生总体身高在范围内的人数估计为 . 41 （2）用总样本的平均数和方差估计艺术团总体身高的平均数 和方差，求 , 的值； [答案] 由题意知,男生样本的身高平均数为169,方差为39, 女生样本的身高平均数为160,方差为15, 则总样本的平均数为 , 方差为 , , . 42 （3）若女生样本数据在 之外的数据称为偏离值，剔除偏离值后，计算剩余女生 样本身高的平均数与方差. 参考数据：，， . [答案] 由题意知, , 由样本数据可知,, 为偏离值. 剔除169后,女生样本的身高平均数为 , 由,得 , 则剔除169后,女生样本的身高的方差为 . 43 19.（本小题满分17分）［江西新余四中2025模拟］睡眠是守卫健康的忠臣，小周同学就高三同 学睡眠问题展开了一次调研活动. （1）小周同学随机调查了振兴中学高三十个班级的每个学生的睡眠平均时长，得到其所在区间的 人数分布，请补全统计表（横向代表班级序号，纵向代表平均睡眠时长所在区间，框内数据代表人 数）与直方图,并通过直方图,估计振兴中学高三同学睡眠的 分位数（作图不要求写出过程）. 44 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计/人 1 0 1 2 1 0 0 1 0 0 6 8 7 8 6 4 7 7 4 5 4 8 12 10 8 17 16 12 13 12 12 25 25 26 25 22 22 24 23 25 23 240 6 6 7 7 5 4 5 6 7 7 60 2 2 1 1 2 1 1 2 0 2 45 【解】补全图表如下. 46 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计/人 1 0 1 2 1 0 0 1 0 0 6 8 7 8 6 4 7 7 4 5 4 60 8 12 10 8 17 16 12 13 12 12 120 25 25 26 25 22 22 24 23 25 23 240 6 6 7 7 5 4 5 6 7 7 60 2 2 1 1 2 1 1 2 0 2 14 47 由频率分布直方图可知,从左到右各组的频率分别为,,,,, , 则, , 所以分位数位于内,设为 , 则,解得 , 所以 分位数为6.475. 48 （2）之后小周同学随机收集了100名同学的具体睡眠平均时长，这些数据中男生有60人，睡眠 平均时长的平均值与睡眠平均时长的方差分别为 与12.06；女生有40人，睡眠平均时长的平 均值与睡眠平均时长的方差分别为与 ，请根据以上数据计算出这100名同学的睡眠时长 总方差. [答案] 设男生中样本的数据为,女生中样本的数据为 . 这100名同学的睡眠平均时长的平均值为 , 这100名同学的睡眠平均时长总方差为 . 49 （3）睡眠连续性得分是判断睡眠质量的度量，一般大于或等于70算合格.临近大型考试，小周同 学用智能手表测出了考试前一周他的睡眠连续性得分，请根据图表得出两条有效信息并为他提出 一条可行的睡眠建议. [答案] 信息：①临近考试时睡眠连续性得分呈下降趋势； ②考试前3天睡眠连续性得分均不合格. 建议：调整心态、规律作息、不要紧张、自信迎考. 50 $$