第6章 06 易混易错练7(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦统计中的分层随机抽样、频率分布直方图应用、百分位数理解等易错点，通过典型例题导入，衔接抽样方法、数据描述等基础，搭建从基础到易错突破的学习支架。 其特色在于针对易混易错点设计专项练习，结合现实情境实例（如游客满意度调查），用数学眼光观察问题、数学思维推理（如分层抽样比例计算）、数学语言表达（如频率分布直方图面积意义），帮助学生突破难点，提升应用能力，也为教师提供针对性教学资源。

第六章 统计 第1讲　描述运动的基本概念 专题专项练 易混易错练7 第1讲　描述运动的基本概念 易错点1　对分层随机抽样的抽样比理解不准确而出错 1.[2025江西南昌十中月考]某中学选派270名学生参加南昌市广播体操比赛,其中高一108人,高二、高 三各81人,现要在比赛前抽取10人检验他们训练的熟练度,考虑选用简单随机抽样、分层随机抽样两种 方案,将学生按高一、高二、高三依次编号为1,2,…,270.如果抽到的号码有下列四种情况: ①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250; ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265; ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254; ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270. 则不可能为分层随机抽样的是 ( ) A.①　    B.②　    C.③　    D.④     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　设在高一、高二、高三的学生中分别抽取x,y,z人, 则由分层随机抽样可知 = = = ,解得x=4,y=z=3, 由题意可知,需要从高一学生的编号1到108里抽取4个,从高二学生的编号109到189里抽取3个,从高三 学生的编号190到270里抽取3个(易错点:需要根据样本中各层的人数正确确定所抽取号码的对应范 围),所以④中的编号不符合题意. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026河北保定博野中学月考]为研究某种病毒与血型之间的关系,决定从被感染的人群中抽取样本 进行调查,其中感染人群中O型血、A型血、B型血、AB型血的人数比为4∶3∶3∶2,现用分层随机抽 样的方法抽取一个样本量为n的样本,已知样本中O型血比AB型血的人数多20,则n=___________.     120     解析　由题意得样本中O型血的人数为 = ,AB型血的人数为 = , 所以 - = =20,解得n=120. 易错警示　分层随机抽样需按比例抽样,因此列比例式时应注意“=”两边的标准要一致. 第1讲　描述运动的基本概念 易错点2　应用频率分布直方图时把纵坐标当成频率而出错 3.[多选题][2026河南开封高级中学月考]近几年,人工智能(AI)逐渐走入人们的生活并得到越来越多的 使用.为了解某大学大一学生对AI的使用情况,随机抽取了该校100位大一学生,收集了这100位学生在 一学期内向AI提问的次数,得到如图所示的频率分布直方图(60次以下的视为不经常向AI提问,60次及 以上的视为经常向AI提问),则下列结论正确的是 ( )     A     A.b=0.005 B.这100位学生中经常向AI提问的人数为75 C.估计大一学生在一学期内向AI提问的次数的平均数为70 D.按照经常向AI提问与不经常向AI提问进行分层随机抽样,从这100人中抽取24人,则在经常向AI提问 的学生中应抽取16人 第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于A,由题图得2b+0.015+0.020+0.025+0.030=0.1(易错点),故b=0.005,A正确; 对于B,在一学期内向AI提问的次数不少于60的频率为1-(0.005+0.020)×10=0.75, 故这100位学生中经常向AI提问的人数约为100×0.75=75,B正确; 对于C,估计大一学生在一学期内向AI提问的次数的平均数为45×0.005×10+55×0.020×10+65×0.025×10 +75×0.030×10+85×0.015×10+95×0.005×10=69.5,C错误; 对于D,经常向AI提问与不经常向AI提问的人数之比为3∶1,故从这100人中抽取24人,应在经常向AI提 问的人中抽 ×24=18(人),D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2026黑龙江哈尔滨四校联考]某校调查了100位70岁以内的教职工(含离退休)的年龄(单位: 岁)情况,分成了[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70]五组,并制作了如图所示的频率分布直方 图,若同一组中的数据用该组区间的中间值作代表,则下列结论正确的是 ( ) A.a=0.015     A     B.这100位教职工中年龄在[40,70]内的人数为55 C.这100位教职工年龄的众数的估计值为45岁 D.这100位教职工年龄的中位数的估计值为42.5岁 第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于A,由题图得10×(0.005+0.04+0.035+0.005+a)=1,解得a=0.015,A正确. 对于B,这100位教职工中年龄(单位:岁)在[40,70]内的人数为100×(0.035+0.015+0.005)×10=55,B正确. 对于C,这100位教职工年龄的众数的估计值为 =35(岁),C错误. 对于D,前两组的频率和为(0.005+0.04)×10=0.45<0.5,前三组的频率和为(0.005+0.04+0.035)×10=0.8>0.5, 所以中位数在[40,50)内, 设这100位教职工年龄的中位数为x岁,则10×0.005+10×0.04+(x-40)×0.035=0.5,解得x≈41.4,D错误. 易错警示    利用频率分布直方图解决相关问题时要注意三点:一是纵轴表示频率与组距的比值;二是频 率分布直方图中各矩形的面积是频率;三是频率分布直方图中原始数据无法得知,各组数据往往用对应 区间的中点值代替. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025江西赣州期末]赣州市是我国当今保存最完好的北宋城,有“江南宋城”之誉,是客家先民中原 南迁的第一站,世称“客家摇篮”,被命名为“国家历史文化名城”“中国优秀旅游城市”.目前,赣州 市形成了“红色故都、客家摇篮、江南宋城、生态家园、世界橙乡、堪舆圣地”六大旅游品牌.2024 年国庆假期期间,赣州旅游再次火爆“出圈”.据统计,10月1日至7日,全市共接待游客1 050.07万人次. 为了解游客的旅游体验满意度,某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客,并将收集 到的游客满意度分值数据分成六段:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如图所示的频 率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值,并估计这100名游客满意度分值数据的中位数(结果保留整数); 第1讲　描述运动的基本概念 (2)已知位于[70,80)的满意度分值的平均数 =78,方差 =9,位于[80,90)的满意度分值的平均数 =88,方 差 =4,试求位于[70,90)的满意度分值的平均数 和方差s2. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由(0.005+0.010×2+0.020+a+0.025)×10=1,解得a=0.030.满意度分值在[40,80)内的频率为(0.005 +0.010×2+0.020)×10=0.45<0.5, 在[40,90)内的频率为(0.005+0.010×2+0.020+0.030)×10=0.75>0.5, 所以中位数落在区间[80,90)内(易错点:根据频率分布直方图正确确定中位数所在的区间), 所以中位数为80+10× = ≈82. (2)满意度分值在[70,80)内的频率为0.02×10=0.2,对应的游客人数为100×0.2=20; 在[80,90)内的频率为0.03×10=0.3,对应的游客人数为100×0.3=30, 位于[70,80)的满意度分值的平均数 =78,方差 =9, 位于[80,90)的满意度分值的平均数 =88,方差 =4, 所以位于[70,90)的满意度分值的平均数 = =84, 方差s2= ×[ +( - )2]+ ×[ +( - )2]=30(易错点:要根据题意联想到分层随机抽样中的方差公式). 第1讲　描述运动的基本概念 易错点3　对百分位数理解不到位而出错 6.[多选题][2026江西景德镇一中期末]某公司为保证产品生产质量,连续10天监测某种新产品生产线的 次品件数,得到一组样本数据:3,4,1,3,5,3,1,5,2,3,则关于这组数据的结论正确的是 ( ) A.极差是4　    B.众数等于平均数 C.方差是2　    D.70%分位数为3.5     ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　这组数据从小到大排列为1,1,2,3,3,3,3,4,5,5. 对于A,这组数据的极差为5-1=4,故A正确; 对于B,这组数据的众数为3,平均数为 =3,故B正确; 对于C,这组数据的方差为 ×[(1-3)2+(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(3-3)2+(3-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2+(5-3)2]= ,故 C错误; 对于D,因为10×70%=7,所以这组数据的70%分位数为 =3.5,故D正确. 易错警示　当计算n个数据的p分位数时,首先按从小到大排列原始数据,然后计算i=n×p,若i是整数,则p 分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数,若i不是整数,大于i的最小整数为j,则p分位数为第j项数据. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026河南驻马店期末]2023年以来,河南省文化和旅游厅制定推动文旅市场恢复振兴的系列措施,以 丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验.现为进一步发展河南文旅,提升河南经 济,对5月份来豫旅游的部分游客发起满意度调查,从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度, 满意度采用百分制,统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图,图中b=4a. (1)求图中a的值,并估计满意度的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表); (2)若有超过60%的人满意度在75分及以上,则认为该月文旅成绩合格,河南省5月份文旅成绩合格了吗? 请说明你的理由; 第1讲　描述运动的基本概念 (3)河南文旅6月份继续对来豫旅游的游客发起满意度调查,采用分层随机抽样,现知6月1日—6月15日 调查的4万份数据中满意度的平均值为80分,方差为75;6月16日—6月30日调查的6万份数据中满意度的 平均值为90分,方差为70.由这些数据估算6月份的总样本的平均数与方差. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意知  解得a=0.01,b=0.04, 估计满意度的平均值为65×0.15+75×0.35+85×0.4+95×0.1=79.5(分). (2)超过60%的人满意度在75分及以上,即40%分位数大于或等于75分, 满意度在[60,70)内的频率为0.15<0.4,满意度在[60,80)内的频率为0.5>0.4,可知40%分位数位于[70,80), 则70+ ×10= ,故可以估计40%分位数为 分, >75,所以有超过60%的人满意度在75分及 以上,故河南省5月份文旅成绩合格了. (3)把6月1日—6月15日的样本记为x1,x2,…,x40 000,其平均数记为 ,方差记为 , 把6月16日—6月30日的样本记为y1,y2,…,y60 000,其平均数记为 ,方差记为 , 则总样本平均数 = × + × = ×80+ ×90=86(分), 第1讲　描述运动的基本概念 则总样本方差s2== [ +( - )2]+ [ +( - )2]= ×[75+(80-86)2]+ ×[70+(90-86)2]=96, 所以估算总样本平均值为86分,总样本方差为96. 易错警示    在频率分布直方图中,计算p分位数x时,首先要确定x在哪个区间内,再根据x左侧的矩形面积 之和的占比为p列出关于x的方程,解出x的值即为所求的p分位数. 第1讲　描述运动的基本概念 $