第四章 对数运算与对数函数 素养检测-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（北师大版）

该高中数学必修第一册函数单元复习课件，系统梳理了函数概念、指数函数、对数函数的图像性质及应用，通过知识框架图将定义域求解、单调性判断、奇偶性证明等核心内容串联，构建从基础概念到综合应用的完整知识网络。 其亮点在于采用“例题解析-性质探究-综合应用”分层复习模式，如通过函数定义域题培养数学抽象能力（数学眼光），对数运算转换题训练逻辑推理（数学思维），解答题中的证明题提升数学表达（数学语言）。这种设计让不同水平学生巩固知识，教师也能精准把握复习重点。

数学 必修第一册 BS 1 4 第四章素养检测 刷速度 2 建议用时：90分钟 1.［吉林长春八中2025高一期中］函数 的定义域为( ) D A. B. C. D. 3 解析 由题意得解得且，则函数的定义域为 故选D. 4 2.［山东淄博部分学校2025高一期中联考］若,，则 ( ) C A. B. C. D. 5 解析 因为，所以，所以 .故选C. 6 3.已知，， ，则( ) D A. B. C. D. 7 解析 因为单调递减，所以 ， 又与均单调递增，故， . ， ， ， 其中,，故 ， ， 故 ， 所以，即 ， 故 .故选D. 8 4.已知，，且，若，则与 在同一坐标 系内的图象可能是( ) C A. B. C. D. 9 解析 由指数函数和对数函数的单调性知，函数与，且 在 上单调性相同，可排除B，D，再由得到,则与 均单调递 减,排除A.故选C． 10 5.［江苏苏州2024高二阶段测试］已知函数是定义在上的偶函数，当 时， ,则 ( ) D A. B. C. D. 11 解析 函数是定义在上的偶函数，且时， , .故选D. 12 6.［湖南长沙雅礼中学2024高一月考］已知函数 ，则下列结论中 正确的是( ) D A.函数的定义域是 B.函数 是奇函数 C.函数在区间上单调递减 D.函数的图象关于直线 对称 13 解析 对于A：由已知得解得,即函数的定义域是 ,A错误； 对于B：,其定义域为 , 又, , 则,故函数 不是奇函数,B错误； 对于C： , 对于函数,其在 上单调递减,则由复合函数单调性的性质可得 在 上单调递增,C错误； 对于D：,即 , 又,故函数的图象关于直线 对称,D正确.故选D. 14 7.若 ，则( ) B A. B. C. D. 15 思路导引 观察题中不等式，两侧底数相同，但是指数参数不相同，可以尝试移项 ，则可构造函数，利用函数的单调性判断, 之 间的关系. 16 解析 ，.设 ，则原 式等价于，函数在上单调递增，则， ， 故选B． 17 8.中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为 “出入相补原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经 过移动再组合成另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不变.利用这个原理，解决下面问题： 已知函数满足，且当 时的解析式为 则函数在时的图象与直线 所围成的封闭 图形的面积为( ) C A.4 B.8 C.16 D.32 18 解析 由题意知，的图象关于直线 对称， 而当时， 且， ， 在时，及 的图象如图所示， 将所围成的图形在轴下方的阴影区域分成两部分补到 轴上方的阴 影区域， 可得到由轴、轴、直线、直线 所围成的矩形区域， 函数在时的图象与直线 所围成的封闭图形的 面积为 .故选C. 19 9.［河南省实验中学2025开学考］已知正数，，满足 ，则下列结论正确的有 ( ) ABD A. B. C. D. 20 解析 令，可得，， . ，故A正确； ，，所以，得.又 ，所以 ，得.所以 ,故B正确； ， 21 所以 ，故C不正确； ，故D正确. 故选 . 10.［河南开封五县2024高一期中］在同一坐标系中，对于函数与 的图象，下 列说法错误的是( ) AC A.与 的图象有两个交点 B.与 的图象有三个交点 C.，当时，的图象恒在 的图象的上方 D.，当时，的图象恒在 的图象的上方 23 解析 ,,,,,, , , 则可在同一坐标系内作出两函数图象如图所示. 显然两函数的图象有三个交点,, ,故A错误,B正确； 由于指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度, 所以当时,的图象恒在的图象的上方,故C错误,D正确.故选 . 24 11.［陕西宝鸡2025月考］对于任意两个正数，，记曲线与直线，， 轴围成的曲边梯形的面积为，并约定和 ，德国数学家莱布尼 茨最早发现.关于 ，下列说法正确的是( ) ABC A. B. C. D. 25 解析 由题意,所以 , 当时, ； 当时, ； 当时, ； 当或时, 也成立. 综上所述, . 对于选项A：, , 所以 ,故A正确； 对于选项B： , 且,所以 ,故B正确； 26 对于选项C：如图, 因为 ,所以 , 即 ,故C正确; 对于选项D：取,,则 ,故D错误.故选 . 27 12.若幂函数在上为增函数，则 ___. 4 解析 由题意可得，解得或 . 因为在上为增函数，所以， . 则 . 28 13.［河南二十名校2025高一联考］已知函数，且 的图象恒过点 ，则函数 的单调递减区间为__________. 解析 当时， ， 所以的图象过定点 ， 即, ， 所以 ， 令，解得或 ， 函数在上单调递减，在 上单调递增， 又 在 上单调递增， 所以在 上单调递减， 即的单调递减区间为 . 29 14.［浙江绍兴一中2024高一期中］已知实数，满足 ， 则 的最小值是___________. 解析 ,有 , 得 . 设函数,则在上单调递增,因为,所以 , 则 , 当且仅当,即 时等号成立, 所以的最小值是 . 30 15.（本小题满分13分）计算下列各式的值： （1） ； 【解】 . （2） [答案] . 31 16.（本小题满分15分）［天津南开中学2024高一学情调查］已知函数 . （1）求函数 的解析式； 【解】令 ， 则 ， 由题意知,即，则 , 所以 ， 所以 . 32 （2）判断函数 的奇偶性并加以证明； [答案] 函数 为奇函数,证明如下： 由（1）知 ,定义域关于原点对称. 因为 , 所以函数 为奇函数. 33 （3）解关于的不等式 . [答案] 由（1）得原不等式可化为 ， 所以解得或,所以原不等式的解集为 . 34 17.（本小题满分15分）已知函数，其中， 均为实数. （1）若，且的定义域为，求 的取值范围. 【解】当时，的定义域为 , 则，解得 . 故的取值范围为 . 35 （2）若，是否存在实数，使得在区间内单调递增？若存在，求出 的取值范 围；若不存在，请说明理由. 36 [答案] 当时， ， 函数拆分成内层函数，外层函数,若函数在区间 内单调递增， 则内层函数在上单调递减，并且 . 当时，在上单调递减，并且 ，满足条件. 当 时， 需满足 解得 , 综上可知,存在实数，使得在区间内单调递增,的取值范围是 . 18.（本小题满分17分）［山西部分学校2025高一期末联考］已知函数 . （1）当时，解方程 ； 【解】当时， ， 所以, ， 所以可化为 ， 即，所以或 ， 所以或 ， 即方程的解为或 . 38 （2）若对，函数在区间 上总有意义，且最大值与最小值的差不小于2， 求实数 的取值范围. 39 [答案] 因为对,在 上总有意义， 所以对,在 上恒成立. 令，则 ， 因为，所以在上单调递减，所以 . 因为,恒成立，即，所以 . 因为在上单调递减，所以在 上单调递减， 所以, ， 由题意知 ， 即 ， 所以，即 ， 因为 ， 当且仅当，即时等号成立，所以 . 综上，实数的取值范围为 . 19.（本小题满分17分）［福建龙岩2024高一月考］已知函数且 是定义域为的奇函数，且 . （1）求的值，判断并证明 的单调性. 【解】 函数且是定义域为的奇函数, , ,即,解得 , 代入函数,则有 , , ,,即,解得或 , ,, . 在 上单调递增,证明如下： 任取实数,,且,则 , ,,又,,在 上单调递增. 42 （2）是否存在实数且，使函数在 上的最大值为0，如果存在，求出实数 所有的值；如果不存在，请说明理由. [答案] , 设,则 , , , 记 , 当,即时,要使的最大值为0,则要 , 43 ,, , 在 上单调递增, , 由,得 , , 满足题意. 当,即时,要使的最大值为0,则要,且 , 由得 , 44 ①若,则,解得 , 由 , 得,由于, 不合题意； ②若,即 , 则, ,不合题意. 综上所述,只存在 满足题意. 45 $$