第四章 对数运算与对数函数 高考强化-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（北师大版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了指数函数与对数函数的核心知识，按“指数对数值计算、性质比较大小、函数性质应用”三大考点构建体系，结合高考真题与原创题，帮助学生形成从基础运算到综合应用的知识网络。 其亮点在于采用“真题溯源-多解探究-规律总结”复习模式，如考点2通过2021新高考题比较对数大小，用换底公式和作差法培养逻辑推理能力，原创题设计分层练习，兼顾不同水平学生，助力教师精准把握学情，提升学生数学思维与问题解决能力。

数学 必修第一册 BS 1 4 第四章高考强化 刷真题 2 1.［北京2024·9，4分］已知,是函数 的图象上两个不同的点，则( ) B A. B. C. D. 考点1 指数、对数值的计算 3 解析 ,, 等号取不到， 即 .故选B. 考点1 指数、对数值的计算 4 2.［浙江2022·7，4分］已知,,则 ( ) C A.25 B.5 C. D. 考点1 指数、对数值的计算 5 解析 因为，所以， ，所以 ，故选C． 考点1 指数、对数值的计算 6 3.［全国甲理2024·15，5分］已知且,则 ____. 64 解析 因为,所以.又 ,故 ，解得 . 考点1 指数、对数值的计算 7 4.［全国新高考Ⅱ2021·7,5分］设，， ，则( ) C A. B. C. D. 考点2 应用指数函数、对数函数的性质比较大小 8 解析 因为，，所以 .故选C. 考点2 应用指数函数、对数函数的性质比较大小 9 5.（多选）［全国新高考Ⅰ2020·11，5分］已知，，且 ，则( ) ABD A. B. C. D. 考点2 应用指数函数、对数函数的性质比较大小 10 解析 由,,,得,即,当且仅当 时取等号， 故A正确； 由,,,得，故 ，故B正确； ,当且仅当 时，等号成立，故C错误； ,得,当且仅当 时， 等号成立，故D正确. 故选 . 考点2 应用指数函数、对数函数的性质比较大小 11 6.［全国甲文2022·12,5分］已知,, ，则( ) A A. B. C. D. 考点2 应用指数函数、对数函数的性质比较大小 12 思路导引 考点2 应用指数函数、对数函数的性质比较大小 13 解析 因为，所以 .又因为 ， 所以 ， ， 所以 . 因为，所以 ， ，所以 . 综上, ,故选A. 考点2 应用指数函数、对数函数的性质比较大小 14 7.［课标全国Ⅱ文2020·12,5分］若 ，则( ) A A. B. C. D. 考点2 应用指数函数、对数函数的性质比较大小 15 解析 由，可得.设，则 .易 知在上为增函数，所以，则，所以 ，故A正确，B错误. 而当，时， ，故C,D错误.故选A. 考点2 应用指数函数、对数函数的性质比较大小 16 8.［课标全国Ⅰ理2020·12,5分］若 ，则( ) B A. B. C. D. 考点2 应用指数函数、对数函数的性质比较大小 17 解析 由题设知.又 ，所以 ，从而 . 令函数，，则有，显然在 上为增函数， 所以 ，故选B. 考点2 应用指数函数、对数函数的性质比较大小 18 9.［课标全国Ⅲ理2020·12,5分］已知,.设,, ,则 ( ) A A. B. C. D. 考点2 应用指数函数、对数函数的性质比较大小 19 思路导引 考点2 应用指数函数、对数函数的性质比较大小 20 解析 , 由 , 可知,则 . ,, . ,, , ,即,.综上可得 . 考点2 应用指数函数、对数函数的性质比较大小 21 名师点拨 比较,大小的关键是利用作差比较法结合换底公式将 变形，进而利用基本不等式 比较 是否大于0. 而比较,的大小主要是借助指数与对数的互化及换底公式转化为与中间量 的大小比较. 考点2 应用指数函数、对数函数的性质比较大小 22 10.［全国新课标Ⅱ2023·4，5分］若为偶函数，则 ( ) B A. B.0 C. D.1 考点3 指数函数、对数函数的性质及其应用 23 解析 由,得或,故的定义域为.由 为偶函数可 知,即,化简得 . 又 ,即 ,所以,解得 ,故选B. 考点3 指数函数、对数函数的性质及其应用 24 多种解法 设,,则 .因为 ,所以为奇函数.又为偶函数,所以 为奇 函数,所以 ,故选B. 考点3 指数函数、对数函数的性质及其应用 25 11.［北京2023·4，4分］下列函数中，在区间 上单调递增的是( ) C A. B. C. D. 考点3 指数函数、对数函数的性质及其应用 26 解析 对于A,因为在 上单调递增, 所以在 上单调递减,故A错误； 对于B,在 上单调递减,故B错误； 对于C,因为在 上单调递减, 所以在 上单调递增,故C正确； 对于D,因为,, , 所以在 上不单调,D错误.故选C. 考点3 指数函数、对数函数的性质及其应用 27 12.［全国新课标Ⅰ2024·6，5分］已知函数在上单调递增,则 的 取值范围是( ) B A. B. C. D. 考点3 指数函数、对数函数的性质及其应用 28 解析 当时，函数，若函数在 上单 调递增，则有，即；当时，函数，函数在 上单调递增.因为函数在上单调递增，所以，解得 .综上可得 .故选B. 考点3 指数函数、对数函数的性质及其应用 29 快解 当时，显然函数在 上不单调， 可排除C选项和D选项；当时，当 从0的左侧趋近于0时， ，而，所以函数在 上不单调，可排除A.故选B. 考点3 指数函数、对数函数的性质及其应用 30 归纳总结 单调分段函数的解题策略 （1）首先在各段上具有相同的单调性；（2）在分段端点处函数值要保证“有效”衔接. 考点3 指数函数、对数函数的性质及其应用 31 13.［课标全国Ⅱ理2020·9,5分］设函数，则 ( ) D A.是偶函数，且在单调递增 B.是奇函数，且在 单调递减 C.是偶函数，且在单调递增 D.是奇函数，且在 单调递减 考点3 指数函数、对数函数的性质及其应用 32 解析 的定义域为 ，且 ，所以 为奇 函数.当时， 当时，，易知在上单调递增；当 时， ，易知在上单调递减.因为 为奇函数，且在 上连续，所以在上单调递增，在, 上单调递减，故选D. 考点3 指数函数、对数函数的性质及其应用 33 14.［天津2021·3,5分］函数 的图象大致为( ) B A. B. C. D. 考点3 指数函数、对数函数的性质及其应用 34 解析 设，则函数的定义域为 ，关于原点对称，又 ，所以函数为偶函数，排除A,C；当时， , ，所以 ，排除D.故选B. 考点3 指数函数、对数函数的性质及其应用 35 15.［全国新课标Ⅱ2024·8，5分］设函数.若,则 的最小 值为( ) C A. B. C. D.1 考点3 指数函数、对数函数的性质及其应用 36 解析 可看作与在定义域 内同正同负，因此两函数图象与 轴的交点重合，如图所示. 令，，得，即 ， ，所以的最小值为 ，故选C. 考点3 指数函数、对数函数的性质及其应用 37 16.［全国乙文2022·16,5分］若是奇函数，则____， _____. 考点3 指数函数、对数函数的性质及其应用 38 思路导引 函数解析式变形确定函数定义域的不等式组 的值由奇函数在 处有意义时函数值为0求出 的值. 考点3 指数函数、对数函数的性质及其应用 39 解析 ，定义域为不等式组的解集．因为函数 为奇函 数，所以其定义域关于原点对称，由，易知，所以函数 的定义域中一定不含 有，所以是方程的根，即，解得 .所以 ，所以函数的定义域为．由函数 为奇函数知，所以，解得 ． 考点3 指数函数、对数函数的性质及其应用 40 多种解法 为奇函数，则 在定义域内恒成立. 故 要使对定义域内任意恒成立，须 为一常数， 即为一非零常数，设该常数为 ， 故， ， 即 , 所以，解得,，则, 2. 考点3 指数函数、对数函数的性质及其应用 41 4 第四章高考强化 刷原创 42 1.已知函数 . （1）判断函数 的单调性，并证明； 【解】函数在 上单调递增. 证明：,,则,则函数的定义域为 . 又,即,故函数 为奇函数. 任取,则 ,故 ,因此 ,所以函数在区间 上单调递增. 又函数为上的奇函数,所以函数在 上单调递增. 43 （2）函数，若对任意满足的正数,，都有 ，求实 数 的取值范围. [答案] 因为,在上单调递增,所以,即 , 故 ,当且 仅当 时等号成立, 所以,因此 , 所以 的取值范围为 . 44 2.已知函数 （1）若，，使得，求解关于的方程 ； 【解】由题意知,因为 为减函数,故 .若,则时,,,与 矛盾,不符合题 意,故 . 当时，在上单调递增，故在 处取得最大值且为 ,即.要使，即，因为，当 时，的最大值为0,且在处取得，故,即 . 所以方程的解集为 }. 45 （2）若函数的图象上存在关于直线对称的点，求实数 的取值范围. [答案] 因为曲线关于直线对称的曲线为,所以若函数 的图象上存在关 于直线对称的点,则曲线与的图象在 上有公共点, 故,使,即在 时成立. 因为函数在上单调递增,所以函数在 上单调递增,当 时, ,当时, . 所以,即的取值范围为 . 46 $$