第四章 §4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦指数函数、幂函数、对数函数增长的比较，通过典型题目导入，如判断增长最快函数的选择题，衔接函数基本性质旧知，搭建从具体函数实例到抽象增长规律的学习支架。 其亮点在于题型分层清晰，结合实际案例如出租车耗油量模型选择，通过图象分析三种函数增长趋势，培养学生数学思维的逻辑推理和数学眼光的抽象能力。学生能提升应用意识，教师可借助系统题型与解析优化教学，提高效率。

数学 必修第一册 BS 1 §4 §4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 刷基础 2 1.［北京理工大学附中2024高一月考］下列函数中，随着 的增长，增长速度最快的是( ) D A. B. C. D. 题型1 三种函数的不同增长 3 解析 依据常数函数、一次函数、对数函数、指数函数的性质可知增长速度最快的函数模型是指 数函数模型,故随着 的增长, 的增长速度最快.故选D. 题型1 三种函数的不同增长 4 归纳总结（1）当描述增长速度变化很快的情况时，选用指数函数模型；（2）当描述不断增长， 但又不会增长过快，也不会增长到很大的情况时，选用对数函数模型；（3）幂函数模型 可以描述增长速度不同的变化的情况，当的值较小时，增长较慢；当 的 值较大 时，增长较快. 题型1 三种函数的不同增长 5 2.（多选）［辽宁盘锦辽河油田一高2025高一月考］函数,, 在区 间 上( ) ABC A.的递增速度越来越快 B. 的递减速度越来越慢 C.的递减速度越来越慢 D.的递减速度慢于 的递减速度 题型1 三种函数的不同增长 6 解析 作出三个函数在区间 上的图象，如图所示， 根据指数函数、对数函数及幂函数的图象和性质可知在区间 上， 的递增速度越来越快，故A正确； 的递减速度越来越慢，故B正确； 的递减速度越来越慢，故C正确； 的递减速度快于的递减速度，故D错误.故选 . 题型1 三种函数的不同增长 3.［陕西汉中部分学校2025高一月考］以下四种说法中，正确的是( ) D A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B.已知，则对任意的， C.对任意的， D.不一定存在，当时，总有 题型1 三种函数的不同增长 8 解析 对于选项A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与 一次项系数不确定，增长速度不能比较大小，故A错误； 对于选项B，取,，此时 ，故B错误； 对于选项C，当时，结合幂函数与对数函数的图象易知 不恒成立，故C错误； 对于选项D，当时，结合指数函数、幂函数和对数函数的图象易知，一定存在 ，使得当 时，总有，但若去掉限制条件“ ”，则结论不成立，故D正确.故选D. 题型1 三种函数的不同增长 9 4.能使不等式成立的 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 题型2 三种函数的图象与性质的应用 10 解析 作出,, 的图象如图所示， 由图象可知，当或时， . 故选D. 题型2 三种函数的图象与性质的应用 11 5.已知，，， ，则下列不等关系正确的是( ) C A. B. C. D. 题型2 三种函数的图象与性质的应用 12 解析 因为幂函数在上单调递增，所以 . ， ， 故 ，故选C. 题型2 三种函数的图象与性质的应用 13 6.［广东湛江2024高一月考］函数 的大致图象是( ) A A. B. C. D. 题型2 三种函数的图象与性质的应用 14 解析 由,且定义域为,得 是偶函数,排除D； 当时,,则,此时 ,排除C； 当 时, , ,但随的增大,的增长速度比 快, 所以 ,排除B.故选A. 题型2 三种函数的图象与性质的应用 15 7.已知函数和，设两个函数的图象相交于点和，且 . 若，，且，，指出， 的值，并说 明理由. 【解】依题意知，和是使两个函数的函数值相等的自变量 的值. 当时，，即 ； 当时，,即 ； 当时，,即 . 因为，，,，， , 所以，即 . 又因为，， ， ，， ， 所以，即 . 题型2 三种函数的图象与性质的应用 16 8.［安徽安庆2025高一期末］从甲地到乙地的距离约为 ，经多次实验得到一辆汽车每小时 耗油量（单位：）与速度单位： 的下列数据： 0 40 60 80 120 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是 ( ) B A. B. C. D. 题型3 三种函数的实际应用 17 解析 由图表中数据可知函数模型满足①定义域为 ；②在定义域内单调递增；③函数图象 过原点. 函数和在定义域内单调递减，不满足条件②，故 错误； 函数 中，0不在函数的定义域内，不满足条件①,故D错误； B选项：当,,时， 满足条件①②③，故B正确.故选B. 题型3 三种函数的实际应用 18 9.某企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元.从今年起，计划每人每年的年薪比上一年 增加 ，另外每年新招3名工人，每名新工人的第一年年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪 相同.若以今年为第一年，那么第年企业付给工人的工资总额 （万元）为( ) A A. B. C. D. 题型3 三种函数的实际应用 19 解析 第一年企业付给工人的工资总额为 万元， 第二年企业付给工人的工资总额为 万元， 以此类推，第 年企业付给工人的工资总额应为 （万元）.故选A. 题型3 三种函数的实际应用 20 10.［江西宜春2024高一期末］若镭经过100年后剩留量为原来质量的 ，设质量为1的镭经 过年剩留量为，则与 的函数关系为( ) A A. B. C. D. 题型3 三种函数的实际应用 21 解析 设镭每年放射掉其质量的百分比为，则，所以 ，所以 .故选A. 题型3 三种函数的实际应用 22 11.下列各项是四种生意预期的收益关于时间 的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生 意是____．（填序号） ； ； ； . ① 解析 结合四类函数的增长差异可知,①的预期收益最大，故填①. 题型3 三种函数的实际应用 23 12.函数,, 的图象如图所示,试分别指出各曲线对应的函数,并 比较三者的增长差异（以1,,,,, 为分界点）. 题型3 三种函数的实际应用 24 【解】由幂函数增长速度介于指数爆炸与对数增长之间,可得出曲线对应的函数是 , 曲线对应的函数是,曲线对应的函数是 . 由图象可得: 当时, ; 当时, ; 当时, ; 当时, ; 当时, ; 当时, ; 当时, . 题型3 三种函数的实际应用 25 13.［广东惠州2024高一期中］如图所示，桶1中的水按一定规律流入桶2中，已知开始时桶1中有 升水，桶2是空的，分钟后桶1中剩余的水量符合指数衰减曲线（其中是常数， 是 自然对数的底数）.假设在5分钟时，桶1和桶2中的水量恰好相等.求： （1）桶2中的水量（升）与时间 （分）的函数关系式. 【解】 桶2中的水是从桶1中流出的水，而桶1中开始时的水量是 升，桶1中剩余的水量满足 , 桶2中的水量与的函数关系式是 . 易错点 忽视指数与对数的运算法则而致错 26 （2）在多少分钟时，桶1中的水量是 升? [答案] 时，, , 解得, . . 当时，有 ， 解得 . 在15分钟时,桶1中的水量是 升. 易错点 忽视指数与对数的运算法则而致错 27 易错警示 不能充分应用指数式与对数式的互化，不易找到解题方法. 易错点 忽视指数与对数的运算法则而致错 28 $$