第四章 §3 -3.2 对数函数y=log_2x的图象和性质_3.3 对数函数y=log_ax的图象和性质-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦对数函数，系统覆盖y=log₂x与y=logₐx的图像性质、反函数关系等核心内容。课堂导入关联指数函数，通过对比构建知识脉络，以学习支架形式帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于按题型分类讲解，结合易错点总结和规律方法，培养学生数学思维与表达能力。例如通过复合函数单调性分析，引导学生用数学语言推理，提升逻辑能力，教师可借助系统题型设计高效教学，学生能夯实基础并提升解题技能。

数学 必修第一册 BS 1 §3 §3 对数函数 2 §3 3.2 对数函数的图象和性质+3.3 对数函数的图象和性质 刷基础 3 1.已知点在函数 的图象上，则下列各点也在该函数的图象上的是( ) A A. B. C. D. 题型1 对数函数的图象 4 解析 点在函数的图象上， . 当时，， 点 也在该函数的图象上，故A符合题意； 当时, ,故B不符合题意； 当时， ,故C不符合题意； 当时， ，故D不符合题意.故选A. 题型1 对数函数的图象 5 2.（多选）［四川部分学校2025高一期末联考］函数 的图象可以为( ) ACD A. B. C. D. 题型1 对数函数的图象 6 解析 由题意得函数的定义域为, . ①当时，函数单调递增，且，又 ，故A满足 题意，B不满足题意. ②当时，函数单调递减，且，又 ， 当时， ，故C满足题意； 当时，，故D满足题意.故选 . 题型1 对数函数的图象 7 归纳总结 底数和对数函数且 单调性的关系 （1）当时,对数函数为增函数；（2）当时,对数函数 为减函数. 题型1 对数函数的图象 8 3.［陕西咸阳高新一中2024高一质量检测］函数, , ,的图象如图 所示，则,,, 的大小顺序是( ) A A. B. C. D. 题型1 对数函数的图象 9 解析 如图，作出直线,则,, , ，解得,,, ，由图可知 ,即 ，故选A. 题型1 对数函数的图象 10 4.已知，，为正数，且 ，则( ) D A. B. C. D. 题型1 对数函数的图象 11 解析 令，则，，， ， 在平面直角坐标系中画出，， 的图象及直线 ，结合图象知 ． 多种解法令，则 ， 易得，， ， 又当时，函数在上单调递增，且 ， ， ，即 ．故选D. 题型1 对数函数的图象 5.［江西上饶2025高一月考］函数且 的图象恒过定点 .若对任意正数，都有，则 的最小值是( ) D A.2 B. C.1 D. 题型1 对数函数的图象 13 解析 对于函数且 , 令,可得,且,所以,即, . 对任意的正数,都有,即,则 , 所以 , 当且仅当 即 时,等号成立. 所以的最小值是 .故选D. 题型1 对数函数的图象 14 6.已知实数,满足等式 ，给出下列五个关系式： ；；；； ．其中可能成立的关系式是 ________． ②④⑤ 题型1 对数函数的图象 15 解析 实数，满足等式，即在处的函数值和在 处 的函数值相等，当时，，此时⑤成立；作出直线 ，由图象知， 此时，可得，，由此知②成立，①不成立;作出直线 ，由图象 知，此时，可得， ，由此知④成立，③不成立.综上，可能成立的 关系式为②④⑤. 题型1 对数函数的图象 16 7.已知集合，，，则 ( ) B A. B. C. D. 题型2 对数函数的性质 17 解析 集合，， ， ，故选B． 题型2 对数函数的性质 18 8.［安徽淮北一中2024高一月考］函数 的值域为( ) C A. B. C. D. 题型2 对数函数的性质 19 解析 , 设,,则 , 故函数的值域为 .故选C. 题型2 对数函数的性质 20 9.已知,,，则,, 的大小关系为( ) A A. B. C. D. 题型2 对数函数的性质 21 解析 因为，， 在定义域上单调递减，所以 ，， ， 所以 .故选A. 题型2 对数函数的性质 22 规律方法 对数式比较大小的常见类型及解决方法 常见类型 解决方法 底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行比较 底数不同,真数为同一常数 方法一：可以先用换底公式化为同底后,再进行比较； 方法二：借助对数函数图象高低进行比较 底数与真数都不同 常借助1,0等中间量进行比较 题型2 对数函数的性质 23 10.［河南部分学校2025高一联考］函数 的单调递增区间为( ) A A. B. C. D. 题型2 对数函数的性质 24 解析 由题知，解得 ， 因为函数的图象开口向下，对称轴为直线 ， 所以函数在上单调递增，在 上单调递减. 又，则函数 为减函数， 由复合函数单调性知，函数的单调递增区间为 .故选A. 题型2 对数函数的性质 25 归纳总结 利用复合函数的单调性求形如函数且 的单调区间： （1）若,则函数的单调递增（减）区间即为函数 的单调递增（减）区间或 其子集； （2）若,则函数的单调递增（减）区间即为函数 的单调递减（增）区 间或其子集. 注：复合函数的单调性满足“同增异减”,且复合函数的单调区间一定是其定义域的子集. 题型2 对数函数的性质 26 11.当时，不等式恒成立，则实数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 题型2 对数函数的性质 27 解析 由题意，易知，在同一坐标系内作出，及 的图象. 若的图象过点，则，解得 . 因为当时，不等式恒成立，所以函数， 的图象恒在 ，的上方，如图所示，则实数的取值范围是 .故选C. 题型2 对数函数的性质 28 12.（1）若的定义域为，则实数 的取值范围为______； 解析 定义域为即真数恒大于0,则或解得 . （2）若函数的值域为，则实数 的取值范围为______. 解析 值域为即真数能取遍内的实数,故或解得 . 题型2 对数函数的性质 29 规律方法 对于,定义域为,意味着在上恒成立；值域为,意味着 的 值域能取到里的所有数,再根据 的图象及性质求解即可. 题型2 对数函数的性质 30 13.［湖南长沙雅礼中学等2025高一期末联考］已知偶函数在 上单调递减， ，若，则实数 的取值范围是______. 解析 因为偶函数在上单调递减，，所以在 上单调递增， ， 所以等价于，所以 ， 所以，解得.所以实数的取值范围是 . 题型2 对数函数的性质 31 14.定义区间的长度为.若函数的定义域为，值域为 ，则区间 长度的最大值为___. 解析 由题知，函数的定义域为，值域为 ，要使定义域区间长度最大，则 ，解得，故区间长度的最大值为 . 题型2 对数函数的性质 32 15.设，在同一直角坐标系中，函数与 的图象大致是( ) B A. B. C. D. 题型3 对数函数与指数函数互为反函数 33 解析 因为，所以为增函数，图象过点； 为增函数，图象 过点 ，故选B. 题型3 对数函数与指数函数互为反函数 34 16.［重庆江北区2024高一期末］已知函数的图象与函数的图象关于直线 对称， 函数是奇函数，且当时，，则 ( ) D A. B.4 C. D.5 题型3 对数函数与指数函数互为反函数 35 解析 由于函数的图象与函数的图象关于直线对称，则 ，所以当 时，，，又 为奇函数，所以 ． 故选D． 题型3 对数函数与指数函数互为反函数 36 名师点拨 同底的指数函数与对数函数互为反函数，互为反函数的两个函数的图象关于直线 对称. 题型3 对数函数与指数函数互为反函数 37 17.［湖北武汉部分学校2025高一联考］函数与的图象关于直线 对称， 则 的单调递增区间是______. 解析 因为与的图象关于直线对称，所以 ， 所以 ， 由可得，即函数的定义域为 ， 令，因为函数在上单调递增，在 上单调递减， 外层函数为减函数，由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是 . 题型3 对数函数与指数函数互为反函数 38 18.［山东日照2025高一联考］已知函数，且的图象过点 ，若 ,的反函数为，则 的值域为______. 解析 函数，且的图象过点 , ,即.又，且 ， ， . ，即 ， . 的反函数为，的值域为 . 题型3 对数函数与指数函数互为反函数 39 19.若，则实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 易错点1 忽略对底数的讨论而致错 40 解析 由 ， 当 时，不等式明显成立； 当时， . 综上，实数的取值范围是 ，故选B. 易错点1 忽略对底数的讨论而致错 41 20.函数，且在上的最大值与最小值的差是1，则实数 的值为_ _____. 2或 解析 当时，函数在上单调递增，所以，即 ，所 以 ； 当时，函数在上单调递减，所以 ， 即，所以 . 综上可知，或 . 易错点1 忽略对底数的讨论而致错 42 易错警示 底数的范围不同，函数的单调性可能不同，所以一定要对底数进行讨论. 易错点1 忽略对底数的讨论而致错 43 21.函数在上单调递减，则实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 解析 若函数在上单调递减,则解得 ，故选B. 易错点2 忽略与对数有关的复合函数中的真数大于0而致错 44 易错警示 本题考查了复合函数单调性的相关知识，同时也考查了对数函数定义域的要求，而同 学们在做题时常常丢掉定义域的限制条件，属于易错题型.考虑复合函数的单调性需遵循原则“同 增异减”，即内层函数和外层函数单调性相异时，复合函数才会单调递减， 作为对数函数的底， 所以有 ，所以内层函数递减，外层函数需递增，还需保证真数在定义域上恒大于0，只需保 证真数部分最小值大于0即可. 易错点2 忽略与对数有关的复合函数中的真数大于0而致错 45 22.［天津静海区一中2025高一月考］已知函数在 上单调递减， 则实数 的取值范围为______. 解析 设， . 由函数在 上单调递减， 得函数在上单调递减，且 ， 故解得 . 故的取值范围为 . 易错点2 忽略与对数有关的复合函数中的真数大于0而致错 46 易错警示 求解与对数函数有关的含参数的复合函数问题时,参数不但要结合复合函数单调性的性 质列出不等式求取值范围,还要满足对数的真数在所给的单调区间上大于0这一条件. 易错点2 忽略与对数有关的复合函数中的真数大于0而致错 47 23.［山东德州一中2024高一段考］若函数且在 上单调递 减，则实数 的取值范围为( ) D A. B. C. D. 易错点3 忽略分段函数的定义域分界点而致错 48 解析 由题知,在上单调递减,在 上单调递减,且 ,所以解得 , 所以实数的取值范围为 .故选D. 易错点3 忽略分段函数的定义域分界点而致错 49 易错警示 函数的单调性确定，则定义域分界点处的函数值的大小关系也是确定的. 易错点3 忽略分段函数的定义域分界点而致错 50 §3 3.2 对数函数的图象和性质+3.3 对数函数的图象和性质 刷提升 51 1.［山东德州部分学校2025联考］函数 的图象大致为( ) A A. B. C. D. 52 解析 易知函数定义域是 ，关于原点对称，又 ， 所以是奇函数，图象关于原点对称，排除 . 当时， ，排除B.故选A. 53 2.函数 的最小值为( ) B A. B.3 C.4 D. 54 解析 因为 ,所以 ，当且仅 当，即时取等号，故函数 的最小值为3，故选B． 55 3.［广西玉林2024高一月考］已知函数，则 ( ) D A. B.0 C.2 D. 56 解析 , , .故选D. 57 4.［江苏西交大附中2025高一期中］已知，，，则实数,, 的大小关 系正确的是( ) C A. B. C. D. 58 解析 因为，，所以.而， ， 易知函数在 上单调递减， 因为，所以，即.综上可得， .故选C. 59 5.且在上为增函数，若的图象与的图象关于直线 对称， 则 的单调递增区间为( ) B A. B. C. D. 60 解析 由在上为增函数,得.由对称性知,,所以在 上为增函数. 设,由,解得或,显然函数 在上单调递减,在上单调递增,所以函数 的单调递增 区间为，即的单调递增区间为 . 故选B. 61 6.已知函数,，若对任意的，存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 62 解析 因为对任意的，存在，使得 ， 所以 . 因为当时，单调递增，所以 . 又因为当时，单调递减，所以 ， 所以，解得 ，故选A. 63 7.［四川成都2024高一期中］若 ，则( ) D A. B. C. D. 64 解析 ,即 . 设,则函数在 上单调递增, ,即,故 ； ,即,故 . 综上所述, .故选D. 65 8.（多选）已知函数 ，则下列说法正确的是( ) ABC A. B.函数的图象与 轴有两个交点 C.函数的最小值为 D.函数 的最大值为4 66 解析 ,A正确； ,令,得,解得或 ,即 的图象与 轴有两个交点,B正确； 因为,所以当,即时,取得最小值 ,C正确； 没有最大值,D错误.故选 . 67 9.若函数是定义在上的偶函数，是奇函数，且当时， ， 则 ____． 解析 因为是定义在上的偶函数，所以，可得 .因为 是奇函数，所以，所以 ， ，，所以 是周期为4的周期函数， 所以 68 10.已知函数 . （1）当时，求 的值域； 【解】当时， , 故的值域为 . （2）若，求实数 的取值范围； [答案] 由得 , 所以解得 , 即实数的取值范围为 . 69 （3）若在区间上单调递增，求实数 的取值范围. [答案] . 若在区间 上单调递增， 则且,所以 , 即实数的取值范围为 . 70 11.［陕西西安2025高一月考］已知函数 . （1）写出函数 的定义域并判断其奇偶性； 【解】由函数有意义,得解得 , 所以函数的定义域为 ,关于原点对称. 由 , 所以函数 为定义域上的偶函数. 71 （2）若，求实数 的取值范围; [答案] 由函数 , 可得 , 又 , 所以解得 . 故实数的取值范围为 . 72 （3）若存在使得不等式成立，求实数 的最大值. [答案] 若存在使得不等式成立,即 . ,其中 . 因为函数在上单调递增,在 上单调递减, 所以函数在上单调递增,在 上单调递减, 可得,所以,即 , 所以实数的最大值为 . 73 $$