第四章 §2 对数的运算-§2 综合训练-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦对数的运算，通过复习指数运算引入，以对数与指数互化作为学习支架，衔接前后知识脉络，系统呈现对数运算法则、换底公式及方程应用，帮助学生构建完整知识体系。 其亮点在于融合基础训练与名校考题（如中科大少年班、厦大强基计划题），通过鲑鱼游速等实际问题培养数学眼光，借助方程根与系数关系提升推理能力，采用讲练结合与归纳总结法强化数学语言表达。学生能提升运算与探究能力，教师可丰富教学资源适配分层教学。

数学 必修第一册 BS 1 §2 §2 对数的运算 2 §2 §2 综合训练 刷能力 3 建议用时：40分钟 1.求值： ( ) C A.1 B. C.2 D. 4 解析 .故选C. 5 2.已知 ，给出下面四个等式： ； ； ； . 其中正确的个数为( ) B A.0 B.1 C.2 D.3 6 解析 当,时,, , 故①②错误；当时,,,③正确；当 时,④错误. 因此只有一个正确,故选B. 7 3.［河南南阳部分学校2025高一联考］已知，， ， 则 的值为( ) A A.或0 B.1 C. D.1或0 8 解析 因为 , ， 所以由 ， 得，化简得，即 ，解得 或 . 又 ， 所以当时， . 当时， . 综上，的值为 或0. 故选A. 9 4.［陕西西安铁一中学2025高二期末］数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当 较大 时，，常数 .利用以上公式，可以估算 的值为( ) C A. B. C. D. 10 解析 由题意得 ， . 两式相减得 . 故选C. 11 5.［江西多校2025高一期末联考］大部分大西洋蛙鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵.研究蛙鱼 的科学家发现蛙鱼的游速（单位：）可以表示为，其中 表示鱼的耗氧量的单 位数.若蛙鱼的游速每增加 ，则它的耗氧量的单位数是原来的( ) B A.3倍 B.9倍 C.18倍 D.27倍 12 解析 设原来的游速为，则提速后的游速为，原来的耗氧量的单位数为 ，提速后的耗 氧量的单位数为 ， 则 所以 ， ，故 ， 所以若蛙鱼的游速每增加 ，则它的耗氧量的单位数是原来的9倍.故选B. 13 6.［天津第一中学2025高一期末］计算 ____. 解析 . 14 7.［河北秦皇岛2024高一月考］已知,，若,，则 的取值 范围是______. 解析 因为,,,,所以 , 所以,所以的取值范围是 . 15 8.已知，是方程的两个实数根，则 _ _. 解析 因为,是方程 的两个实数根, 所以由根与系数的关系得, , 则 . 16 多种解法因为的实数根为或,不妨设,,则, , 所以 . 17 9.设，，若，则 的最大值为_ _. 解析 由得,又,,所以 . 同理可得 . 因为 , 所以,所以 . 故 . ①当,且时,, . 由基本不等式知 ， 当且仅当,即 18 即, 时等号成立. ②当,且时, . ③当,且时, . ④当,且时,不满足 . ⑤当或时, . 综上所述,的最大值为 . 10.［江苏南通海安高级中学2025高一月考］求下列各式的值： （1）（其中， ，注意：结果用分数指数幂表示）. 【解】原式 . 20 （2） . [答案] 原式 . 21 （3）已知，，试用，表示 . [答案] ， ， ， ， . 22 归纳总结对数式与指数式的互化 且可转化为且 . 23 11.［2025中国科学技术大学少年班创新班入围考］若关于 的方程 有实数解，则实数 的取值范围是________. 解析 设 , 则 . ,其只有一根 ， 则,即 有解, 解得 . 24 12.［厦门大学2024强基计划］表示不超过的最大整数，则 ________. 解析 若是整数，则 ； 若不是整数，则，故 . 而是整数，，故由 知 ，所以 . 记，则 . 对于 当,10,100,时，是整数，此时 ； 当,10,100,时，不是整数，此时 . 故 . 25 13.［清华大学2023强基计划］已知,,求 的可能取值. 【解】由题意可知 ,① 同理, ,② 可得 , 则或 . 26 $$